2023-2024學年度上學期期末質量檢測初四數學試題本試卷共8頁，滿分150分，考試時間120分鐘，考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（本題共10小題，在每小題所給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確的選項填在下面的表中，每小題4分，滿分40分，錯選、不選或選出的答案超過一個，均記0分．）1.三根等高的木桿豎直立在平地上，其俯視圖如圖所示，在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子合理的是（）A B.C. D.2.如圖是我們數學課本上采用的科學計算器面板，利用該型號計算器按此順序輸入：，顯示屏顯示的結果為．將這個數據精確到后，下列說法正確的是（）A.的正切函數值約為B.正切函數值為角約是C.的正切函數值約為D.正切函數值為的角約是3.已知二次函數，其中、，則該函數的圖象可能為（）A. B.C. D.4.如圖是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以為圓心，長分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，則陰影部分的面積是（）A. B. C. D.5.如圖，圓柱形水管內積水的水平面寬，水深．則水管的半徑是（）A. B. C. D.6.如圖，是的外接圓，AD是的直徑，的半徑為，，則的值是（）A. B. C. D.7.如圖，是一塊綠化帶，將陰影部分修建為花圃.已知，，，陰影部分是的內切圓，一只自由飛翔的小鳥將隨機落在這塊綠化帶上，則小鳥落在花圃上的概率為（）.A. B. C. D.8.把二次函數的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度，如果平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，那么應滿足條件（）A. B. C. D.9.如圖，若拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，若．則的值為（）A. B. C. D.10.如圖，在中，，半徑為的與相切于點，與交于點，連接，，．有下列結論：平分；；若，則；．其中正確的是（）A. B. C. D.二、填空題（每小題4分，共20分）11.如果一個正多邊形的中心角為36°，那么這個正多邊形的邊數是______．12.一個不透明的盒子中裝有5個大小相同的乒乓球，做了1000次摸球試驗，摸到黃球的頻數為401，則估計其中的黃球個數為______．13.如圖，已知圓錐底面半徑為10cm，母線長為30cm，一只螞蟻從A處出發繞圓錐側面一周（回到原來的位置A）所爬行的最短路徑為_______________cm．14.若點在二次函數的圖象上，且點到軸的距離小于2，則的取值范圍是____________．15.如圖，二次函數與x軸相交于A，B兩點（點A在點B左邊），與y軸相交于C點，以點為圓心，1為半徑作圓，若P為上一動點，則面積的最小值為___________．三、解答題（第16，17，18，19題每題10分：第20，21題每題12分，第22，23題每題13分：滿分90分）解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．16（1）計算：；（2）在中，若，求的度數．17.在一個不透明布袋中裝著除顏色外其他都相同的紅球3個和藍球1個，它們已經在布袋中被攪勻了．（1）從布袋中一次取出2個球，全藍球是______事件．（填“必然”、“隨機”或“不可能”）（2）若隨機取出一個球，求取出的球的顏色是藍球的概率．（3）若隨機取出2個球，第一次取出一個球記下顏色后放回攪勻，第二次再取出一個球，求兩次取出的球的顏色相同的概率．18.如圖，某滑雪場的滑雪軌道由與兩部分組成，長度為，長度為，一位同學乘滑雪板沿此軌道由A點滑到了C點，若的坡度為，與水平面的夾角為，則他下降的高度為多少米？（精確到1米，參考數據：，，）．19.某三棱柱的三視圖如圖所示，已知俯視圖中，．（1）求出m，n的值；（2）求該三棱柱的體積．20.已知二次函數自變量與函數的部分對應值如表：…01234……500…（1）二次函數圖象的開口方向_____________，的值_____________；（2）點在函數圖象上，_____________（填）；（3）方程無解，則n的范圍是_____________．（4）關于的不等式的解集為_____________．21.如圖1，用一段長為33米的籬笆圍成一個一邊靠墻并且中間有一道籬笆隔墻的矩形菜園，墻長為12米．設的長為米，矩形菜園的面積為平方米．（1）分別用含的代數式表示與；（2）若，求的值；（3）如圖2，若在分成的兩個小矩形的正前方各開一個米寬的門（無需籬笆），當為何值時，取最大值，最大值為多少？22.如圖，四邊形內接于，是直徑，點D在的延長線上，延長交的延長線于點F，點C是的中點，．（1）求證：是的切線；（2）求證：是等腰三角形；（3）若，，求的長．23.已知拋物線，交x軸于A，B兩點，交y軸于C點，點F為拋物線頂點，直線垂直于x軸于E點，點P是線段BE上的動點（除B，E外），過點P作x軸的垂線交拋物線于點D，當時，．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖1，當點P的橫坐標為2時，求四邊形的面積（3）如圖2，直線分別與拋物線對稱軸交于M，N兩點．試問，是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．（4）如圖3，點在拋物線上，當是以為斜邊的直角三角形時，求點P的坐標．

2023-2024學年度上學期期末質量檢測初四數學試題本試卷共8頁，滿分150分，考試時間120分鐘，考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（本題共10小題，在每小題所給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確的選項填在下面的表中，每小題4分，滿分40分，錯選、不選或選出的答案超過一個，均記0分．）1.三根等高的木桿豎直立在平地上，其俯視圖如圖所示，在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子合理的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了平行平行投影，根據三根等高的木桿豎直立在平地上，在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子應該同方向、長度相等且平行，據此判斷即可．【詳解】解：A、在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子的方向應該一致，故本選項錯誤，不符合題意；B．在某一時刻三根等高木桿在太陽光下的影子的長度應該相同，故本選項錯誤，不符合題意；C．在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子合理，故本選項正確，符合題意；D、在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子的方向應該互相平行，故本選項錯誤，不符合題意．故選：C．2.如圖是我們數學課本上采用的科學計算器面板，利用該型號計算器按此順序輸入：，顯示屏顯示的結果為．將這個數據精確到后，下列說法正確的是（）A.的正切函數值約為B.正切函數值為的角約是C.的正切函數值約為D.正切函數值為的角約是【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了計算器?三角函數，要求學生對計算器上的各個功能鍵熟練掌握．借助計算器這樣的工具做題既鍛煉了學生動手能力，又提高了學生學習的興趣．根據已知三角函數值求角計算器使用方法按鍵即可．【詳解】解：已知銳角三角函數值求銳角的方法是：已知，一般先按鍵“2ndF”，再按鍵“tan”，輸入“”，再按鍵“＝”即可得到結果．故選：B．3.已知二次函數，其中、，則該函數的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用排除法，由得出拋物線與y軸的交點應該在y軸的負半軸上，排除A選項和D選項，根據B選項和C選項中對稱軸，得出，拋物線開口向下，排除B選項，即可得出C為正確答案．【詳解】解：對于二次函數，令，則，∴拋物線與y軸的交點坐標為∵，∴，∴拋物線與y軸的交點應該在y軸的負半軸上，∴可以排除A選項和D選項；B選項和C選項中，拋物線的對稱軸，∵，∴，∴拋物線開口向下，可以排除B選項，故選C．【點睛】本題考查二次函數的圖象的性質，熟練掌握二次函數圖象與三個系數之間的關系是解題的關鍵．4.如圖是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以為圓心，長分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，則陰影部分的面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了求扇形面積，利用扇形面積公式，根據即可求解．【詳解】解：

=

=．故選：D．5.如圖，圓柱形水管內積水的水平面寬，水深．則水管的半徑是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，連接，，根據垂徑定理求出，再用勾股定理解即可．【詳解】解：如圖，連接，，則，，，設水管的半徑，則，在中，，，解得，故選：B．6.如圖，是的外接圓，AD是的直徑，的半徑為，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接CD，AD是⊙O的直徑，可得∠ACD=90°．在Rt△ACD中，AD=2r=3，AC=2，可求sinD．由同弧所對的圓周角相等可得∠B=∠D，sinB可求．【詳解】解：連接CD，如圖：∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°．∵AD=2r=2×=3，AC=2，∴sinD=．∵同弧所對的圓周角相等，∴∠B=∠D．∴sinB=sinD=．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形的外接圓，圓周角定理和解直角三角形的應用．利用直徑所得圓周角為直角得到直角三角形是解題的關鍵．7.如圖，是一塊綠化帶，將陰影部分修建為花圃.已知，，，陰影部分是的內切圓，一只自由飛翔的小鳥將隨機落在這塊綠化帶上，則小鳥落在花圃上的概率為（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB2=BC2+AC2，根據勾股定理的逆定理得到△ABC為直角三角形，于是得到△ABC的內切圓半徑==1，求得直角三角形的面積和圓的面積，即可得到結論．【詳解】解：∵AB=15，BC=12，AC=9，

∴AB2=BC2+AC2，

∴△ABC為直角三角形，

∴△ABC的內切圓半徑==3，

∴S△ABC=AC?BC=×9×12=54，

S圓=9π，

∴小鳥落在花圃上的概率=，

故選B．【點睛】本題考查幾何概率，直角三角形內切圓的半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半及勾股定理的逆定理，解題關鍵是熟練掌握公式．8.把二次函數的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度，如果平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，那么應滿足條件（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得原拋物線的頂點坐標為，再求得平移后的頂點坐標為，根據題意得到不等式，據此即可求解．【詳解】解：∵平移前二次函數解析式為，∴平移前二次函數的頂點坐標為，∴平移后二次函數的頂點坐標為，即∵平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，且平移后的二次函數開口向上，∴平移后的二次函數只能是與y軸有一個交點，與x軸沒有交點，∴平移后的二次函數頂點一定在x軸上方，∴，解得：，故選A．【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，二次函數的性質，屬于基礎題，解決本題的關鍵是得到新拋物線的頂點坐標．9.如圖，若拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，若．則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】觀察圖象，先設，，，根據已知條件及證明，得出，利用根與系數的關系知，最后得出答案．【詳解】設，，，∵二次函數圖象過點，∴，∵，，∴，∴，∴，即，令，根據根與系數的關系知，∴，故故選：A．【點睛】本題考查了二次函數與關于方程之間的相互轉換，同時要將線段的長轉化為點的坐標之間的關系，靈活運用數形結合的思想是解題關鍵．10.如圖，在中，，半徑為的與相切于點，與交于點，連接，，．有下列結論：平分；；若，則；．其中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題考查了切線的性質，圓周角定理，相似三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，連接，設與的交點為，根據切線的性質，圓周角定理，相似三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定逐一判斷即可，熟練掌握以上知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】解：連接，設與的交點為，∵是的切線，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴平分，故正確；由得：，∴，∵，∴，∴，故正確；由上可知，平分，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，故正確；∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，故正確，綜上可知，正確，故選：．二、填空題（每小題4分，共20分）11.如果一個正多邊形的中心角為36°，那么這個正多邊形的邊數是______．【答案】10【解析】【分析】根據正n邊形的中心角的度數為進行計算即可得到答案．【詳解】根據正n邊形的中心角的度數為，則n=360÷36=10，故這個正多邊形的邊數為10，故答案為：10．【點睛】本題考查的是正多邊形內角和中心角的知識，掌握中心角的計算公式是解題的關鍵．12.一個不透明的盒子中裝有5個大小相同的乒乓球，做了1000次摸球試驗，摸到黃球的頻數為401，則估計其中的黃球個數為______．【答案】2【解析】【分析】根據概率公式先求出摸到黃球的概率，然后乘以總球的個數即可得出答案．【詳解】解：∵做了1000次摸球試驗，摸到黃球的頻數為401，∴摸到黃球頻率是：，∴估計其中的黃球個數為：（個）；故答案為：2．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．當實驗的所有可能結果不是有限個或結果個數很多，或各種可能結果發生的可能性不相等時，一般通過統計頻率來估計概率．13.如圖，已知圓錐底面半徑為10cm，母線長為30cm，一只螞蟻從A處出發繞圓錐側面一周（回到原來的位置A）所爬行的最短路徑為_______________cm．【答案】【解析】【分析】把圓錐的側面展開得到圓心角為120°，半徑為30的扇形，求出扇形中120°的圓心角所對的弦長即為最短路徑．【詳解】解：圓錐的側面展開如圖：過作,設∠ASB＝n°，即：2π?10＝，得：n＝120，∴AB＝30，故答案為：30．【點睛】本題考查了圓錐側面展開圖的圓心角，特殊角的銳角三角函數值，將圓錐中的數據對應到展開圖中是解題的關鍵．14.若點在二次函數的圖象上，且點到軸的距離小于2，則的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】先判斷，再根據二次函數的性質可得：，再利用二次函數的性質求解n的范圍即可．【詳解】解：點到軸的距離小于2，，點在二次函數的圖象上，，當時，有最小值為1．當時，，取值范圍為.故答案為：【點睛】本題考查的是二次函數的性質，掌握“二次函數的增減性”是解本題的關鍵．15.如圖，二次函數與x軸相交于A，B兩點（點A在點B左邊），與y軸相交于C點，以點為圓心，1為半徑作圓，若P為上一動點，則面積的最小值為___________．【答案】##【解析】【分析】作所在直線，垂足為點H．為定值，因此當取最小值時，面積取最小值，連接，可知當P，H，D共線時，面積最小．再證，得，求出，從而求出，然后由三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，作所在直線，垂足為點H．為定值，因此當取最小值時，面積取最小值，連接，可知當P，H，D共線時，面積最小．∵二次函數與x軸交于A，B兩點（點A在點B左邊），令，得，解得x=2或x=-2，∴，．令，得，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即∴∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查求二次函數與坐標軸的交點，勾股定理，三角形的面積，圓的基本知識，相似三角形的判定與性質等，解題的關鍵是確定面積最小時點P的位置．三、解答題（第16，17，18，19題每題10分：第20，21題每題12分，第22，23題每題13分：滿分90分）解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．16.（1）計算：；（2）在中，若，求的度數．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）代入特殊角的三角函數值，按照運算順序進行計算即可；（2）先根據非負數的性質和特殊角的三角函數值求出，，根據三角形內角和定理求出的度數．此題考查了特殊角的三角函數值的混合運算和三角形內角和定理等知識，熟練掌握特殊角的三角函數值是解題的關鍵．【詳解】解：（1）．（2），，，，，，在中，．17.在一個不透明布袋中裝著除顏色外其他都相同的紅球3個和藍球1個，它們已經在布袋中被攪勻了．（1）從布袋中一次取出2個球，全是藍球是______事件．（填“必然”、“隨機”或“不可能”）（2）若隨機取出一個球，求取出的球的顏色是藍球的概率．（3）若隨機取出2個球，第一次取出一個球記下顏色后放回攪勻，第二次再取出一個球，求兩次取出的球的顏色相同的概率．【答案】（1）不可能（2）（3）【解析】【分析】本題考查了事件的概念與分類，求解簡單隨機事件的概率，利用列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．（1）由不可能事件的含義可得答案；（2）直接利用概率公式進行計算即可；（3）先畫樹狀圖，得到所有可能的結果數與符合條件的結果數，再利用概率公式進行計算即可．【小問1詳解】解：從布袋中一次取出2個球，全是藍球是不可能事件．【小問2詳解】隨機取出一個球，則取出的球的顏色是藍球的概率是．【小問3詳解】畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有16種等可能的結果，其中取出的兩球顏色相同的結果有10種，∴兩次取出的球的顏色相同的概率為．18.如圖，某滑雪場的滑雪軌道由與兩部分組成，長度為，長度為，一位同學乘滑雪板沿此軌道由A點滑到了C點，若的坡度為，與水平面的夾角為，則他下降的高度為多少米？（精確到1米，參考數據：，，）．【答案】234米【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是熟練掌握三角函數定義．過點A作于點E，過點B作于點G，設米，則米，根據勾股定理求出（米），得出，求出米，根據三角形函數求出米，即可得出答案．【詳解】解：過點A作于點E，過點B作于點G，如圖所示：的坡度為，為260米，設米，則米，故（米），解得：，則（米），在中，，（米），他下降高度為：米，答：他下降的高度為234米．19.某三棱柱的三視圖如圖所示，已知俯視圖中，．（1）求出m，n的值；（2）求該三棱柱的體積．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本題考查根據三視圖求幾何體的體積．掌握三視圖的特點，是解題的關鍵．（1）根據三視圖的特點：長對正，高平齊，寬相等，結合正切值的定義，進行求解即可；（2）根據三視圖，得到幾何體為直三棱柱，利用直三棱柱的體積公式：底面積乘以高進行求解即可．【小問1詳解】解：如圖，作于D，由題意可知，這個三棱柱的高為6，．，，，，，，即；【小問2詳解】俯視圖中的三角形的底邊，高，，．20.已知二次函數自變量與函數的部分對應值如表：…01234……500…（1）二次函數圖象的開口方向_____________，的值_____________；（2）點在函數圖象上，_____________（填）；（3）方程無解，則n的范圍是_____________．（4）關于的不等式的解集為_____________．【答案】（1）上；5（2）（3）（4）或【解析】【分析】（1）根據表格中的數據，并結合二次函數圖象的性質求解即可；（2）根據二次函數的圖象與性質進行求解即可；（3）根據題意可得二次函數的圖象與直線沒有交點，即可求解；（4）根據題意可得該部分二次函數的圖象在直線的上方，再由二次函數的圖象過點和，即可求解．【小問1詳解】解：由表格中的數據可得，函數值先減小后增大，∴二次函數圖象的開口向上，∴頂點坐標是，∵拋物線經過點，且，∴拋物線經過點，∴；故答案為：上；5；【小問2詳解】解：由表格可得，對稱軸為直線，二次函數圖象的開口向上，∴二次函數圖象上的點離對稱軸越遠，函數值越大，∵離對稱軸較遠，∴，故答案為：；【小問3詳解】解：∵方程無解，∴二次函數的圖象與直線沒有交點，∵二次函數圖象的開口向上，頂點坐標是，∴；故答案為：【小問4詳解】解：∵，∴該部分二次函數的圖象在直線的上方，∵二次函數的圖象過點和，二次函數圖象的開口向上，∴或，即關于的不等式的解集為或．故答案為：或【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．21.如圖1，用一段長為33米的籬笆圍成一個一邊靠墻并且中間有一道籬笆隔墻的矩形菜園，墻長為12米．設的長為米，矩形菜園的面積為平方米．（1）分別用含的代數式表示與；（2）若，求的值；（3）如圖2，若在分成的兩個小矩形的正前方各開一個米寬的門（無需籬笆），當為何值時，取最大值，最大值為多少？【答案】（1）（2）9（3）當時，有最大值【解析】【分析】本題主要考查了列代數式，一元二次方程的實際應用，二次函數的實際應用，正確理解題意列出對應的代數式，方程和函數關系式是解題的關鍵．（1）根據矩形的性質列式求出，再根據矩形面積公式求出S即可；（2）根據（1）所求得到方程，解方程并檢驗即可得到答案；（3）先求出，再求出x的取值范圍，最后根據二次函數的性質求解即可．【小問1詳解】解：由題意得，，∴；【小問2詳解】解：由題意得，，∴，解得，，墻長為12米，，，應舍去，的值為9；【小問3詳解】解：，墻長為12米，，，，開口向下，∴當，著的增大而減小，當時，有最大值，最大值為：．22.如圖，四邊形內接于，是的直徑，點D在的延長線上，延長交的延長線于點F，點C是的中點，．（1）求證：是的切線；（2）求證：是等腰三角形；（3）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】本題為圓中幾何問題的綜合計算與