專題05平行線中的拐點(diǎn)模型之蛇形模型（5字模型）

平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟

悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型（蛇形模型（“5”字模

型））進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，

這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。

通用解法：見拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。

模型1：蛇形模型（“5”字模型）

基本模型：如圖，AB//CD,結(jié)論：Zl+Z3-Z2=180".

圖1

如圖1,已知：AB//DE,結(jié)論：6Z+/=/7+180°.

如圖2,已知：AB//DE,結(jié)論：。+尸=7+180°.

【模型證明】在圖1中，過C作A8的平行線CF,，/4二/b圓.

'：AB//DE,J.CF//DE,：.Zy+ZFCD=180°,'：Aa=ZFCD+ZFCB,AZa+Z/=Z+180°

在圖2中，過C作AB的平行線CF,.?.//?+/PC8=180°,

'：KB//DE,C.CF//DE,:.Ny=/FCD,'：Za=ZFCD+ZFCB,：.Za+Z^=Z/+180°

例L（2023?江蘇揚(yáng)州??？级＃┮阎鐖D，AB//CD,ZA=140,40=28。，那么NAED=

【答案】68

【分析】過E作E尸〃A2,根據(jù)平行線的性質(zhì)N1和N2的度數(shù)，即可得到/回的度數(shù).

【詳解】解：如圖：過E作E尸〃A3,則A3〃E尸〃CD,

vZA=130°,.?.Nl=180?！?40°=40°,

vZD=25°,,-.Z2=ZD=28°,ZA￡E>=40°+28°=68°,故答案為：68.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，通過作輔助線，構(gòu)造同旁內(nèi)角和內(nèi)錯(cuò)角是解決問題的關(guān)鍵.

例2.（2023下?上海松江?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞湖而過，如果第一次拐

彎處的一A是71。，第二次拐彎處的角是-3,第三次拐彎處的NC是154。，這時(shí)道路恰好是和第一次拐彎

之前的道路平行，則N3=.

【答案】97。/97度

【分析】過3作由推出&）〃C尸，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出/4BO和，進(jìn)

而求出—ABC.

【詳解】解：如圖，過8作3￡>〃包，

EC

B

^AE//CF,SBD//CF,0ZA=ZABD=71°,ZD5C+ZC=180°,

0ZC=154°,EZDBC=26°,貝!］拉3。=//血）+/08。=71°+26。=97°.故答案為：97°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和角的計(jì)算.

例3.（2023下?山東泰安?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線AB〃a>,P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接R4,PD.則

/A、/D、NAPZ）之間的等量關(guān)系為.

【答案】ZAPD=180°+ZA-ZD

【分析】過點(diǎn)尸作PM〃M，從而可得N4=NAPM,再根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行可得

PM//CD,然后利用平行線的性質(zhì)可得NDPM=180。-〃，從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作，NA=N/4PM,

AB//CD,:.PM//CD,AD+ZDPM=180°,:.ZDPM=180°-ZD,

■：ZAPD=ZAPM+ZDPM,ZAPD=ZA+1800-ZD,

則NA、/D、NAP。之間的等量關(guān)系為/APD=180o+/A—ND,故答案為：ZAPD=180°+ZA-ZD.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

例4.（2023下?江蘇蘇州,七年級(jí)校考期中）圖1中所示是學(xué)校操場(chǎng)邊的路燈，圖2為路燈的示意圖，支架AB、

BC為固定支撐桿，燈體是8,其中垂直地面于點(diǎn)A,過點(diǎn)C作射線CE與地面平行（即CE〃/）,已

知兩個(gè)支撐桿之間的夾角ZABC=140°,燈體。與支撐桿8C之間的夾角ZDCB=80°,則/OCE的度數(shù)

【答案】30。/30度

【分析】過點(diǎn)8作3尸〃CE.先利用平行線的性質(zhì)和垂直的定義、角的和差關(guān)系求出NC3尸，再利用平行

線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系求得結(jié)論.

【詳解】解：過點(diǎn)8作跖〃CE.?.,CE〃/,:.BF//l..-.ZABF=Z1=9O°.

VZABC=140°,Z.CBF=140°-90°=50°.-.BF//CE,ZECB=ZCBF=50°.

故答案為：30°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

例5.（2023下?浙江紹興?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB//CD,AE平分/BAN,AE的反向延長(zhǎng)線交NCDN

的平分線于點(diǎn)M，則與/N的數(shù)量關(guān)系是（）

A.ZM=2ZNB.ZM=3ZNC.ZM+ZN=180°D.2ZM+Z2V=18O°

【答案】D

【分析】先利用角平分線的定義得到乙?AE=g/BAN,NCDM=；NCDN,過M作加〃A5,過N作

NH//AB,再利用平行線的判定與性質(zhì)得到/FME=/a4E=』/a4N,ZBAN=ZANH,

2

NFMD=NCDM=；NCDN,ZCDN+ZHND=180°,經(jīng)過角度之間的運(yùn)算得到

ZCDN-ZBAN=180°-ZAND,ZDMA=~(180°-ZAND),即2/DM4+Z/VVD=180°可求解.

［詳解］解：回AE1平分NA4N,DM平分2CDN,

SZBAE=-ZBAN,ZCDM=-ZCDN,

22

過M作MF〃M，過N作NH〃AB,則NFME=NBAE=工ZBAN,ZBAN=ZANH,

2

MF

AB

H—>N

__________E

CD

^AB//CD,SMF//CD,NH//CD,EZFMD=ZCDM--ZCDN,ZCDN+ZHND=180°,

2

0ZAND=ZANH+ZHND=ZBAN+180°-ZCDN,即ZCDN-ZBAN=180°-ZAND,

又用ZDMA=ZFMD-ZFME=；(ZCDN-NBAN)=1(1800-ZAND),

02ZDMA+ZAND=180°,即2ZM+Z7V=18O°,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義、平行線的判定與性質(zhì)、角的運(yùn)算，添加平行線，利用平行線的性質(zhì)探

究角之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

例6.(2023下?陜西漢中?七年級(jí)?？计谥?如圖，已知直線P是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD.

圖③

(1)如圖①，若ZPAB=130。，ZPDC=120°,求NAPD的度數(shù)；

⑵如圖②，若NA=50。，40=150。，求/4PD的度數(shù)；

(3)如圖③，試判斷NB4B、NCD尸和NAPD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)110°(2)80。(3)/8尸+々45—NAPD=180。，見解析

【分析】(1)過點(diǎn)尸作根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得答案；(2)過點(diǎn)尸作歷〃AB,根據(jù)

兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得出/APE=50。，根據(jù)平行線公理及性質(zhì)可得出N￡P(guān)￡>=30。，最后根據(jù)角的和與

差即可得出答案；(3)過點(diǎn)P作EF〃的，則4?//￡F//CD,據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和與差即可得出答案.

【詳解】(1)解：如圖，過點(diǎn)尸作尸

圖①圖1圖2

■.■AB//PE,:.ZPAB+ZAPE=180°,ZPAB=130°,ZAPE=180°-130°=50°,

AB//CD,AB//PE,:.PE//CD,:.ZPDC+ZDPE=180°,

ZPDC=120°,ZDPE=180°-120°=60°,

?1-ZAPE+ZDPE=ZAPD,ZAPD=50°+60°=110°；

(2)解：如圖1,過點(diǎn)尸作EF〃人?.,NA=50。，ZAPE=ZA=50°.

?：AB//CD,..EF//CD,:.ZCDP+ZEPD=1SOP.

ZD=150°,ZEPD=180°-150°=30°,/.ZAPD=ZAPE+ZEPD=50°+30°=80°

(3)解：ZCDP+ZPAB-ZAPD=180°.

理由：如圖2,過點(diǎn)尸作砂〃AB,則AB//EF//CD,

ZCDP=ZDPF,ZFPA+ZPAB=180°,NFPA=NDPF—ZAPD,

：.ZDPF-ZAPD+ZPAB=180°,..ZCDP+ZPAB-ZAPD=180°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵.

例7.(2023下?重慶璧山?七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))已知：點(diǎn)A、C、8不在同一條直線上，AD//BE.

⑴如圖①，當(dāng)/A=48。，/8=108。時(shí)，求NC的度數(shù)；

(2)如圖②，AQ,8。分別為-DAC、NE3c的平分線所在直線，試探究4b與-4。的數(shù)量關(guān)系;

⑶如圖③，在(2)的前提下，且有AC〃Q3,QPLPB,直接寫出NACB:NZMC:NCBE的值.

【答案】（1）120°⑵NBCF=2ZAQB⑶NDACZACB;NCBE=1:22

【分析】（1）過點(diǎn)C作CF〃AD,則CF〃鹿，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出NACF=NA、ZBCF=180°-ZB,

將其代入NACB=NACF+N3CF即可求出-ACS的度數(shù)；（2）過點(diǎn)。作。“〃4。，則根據(jù)平

行線的性質(zhì)、角平分線的定義可得出NAQB=；（NCBE-NCAD）,結(jié)合（1）的結(jié)論可得出2ZAQ8+NC=180。；

（3）由（2）的結(jié)論可得出/C4D=gNCB2①，由尸2可得出NG4D+NCBE=180。②，聯(lián)立①②

可求出/C4D、/CBE的度數(shù)，再結(jié)合（1）的結(jié)論可得出—ACB的度數(shù)，將其代入NACB:ND4C:NCBE

中可求出結(jié)論.

【詳解】（1）如圖1,過C點(diǎn)作CF〃AD,則CF〃m,

0ZACB=ZACF+NBCF=18O°-(ZB-ZA)=120°；

(2)如圖2,過。作則Q河〃BE,^ZAQM=ZNAD,ZBQM=ZEBQ,

回A。平分NC4D,BQ平分NCBE,^\ZNAD=-ZCAD,NEBQ’NCBE,

22

0ZAQB=ZBQM-ZAZAQB=ZBQM-ZAQM=|(NCBE-ZCAD),

由(1)知，ZACB=180°-(ZCBE-ACAD)=180°-2ZAQB,

^ZACB=1800-ZBCF,0180°-2ZAQB=1800-ZBCF,回NBC尸=2ZAQ3；

(3)^AC/IQB,0ZAQB=ZCAP=|ACAD,ZACP=ZPBQ=|ZCBE,

0ZACB=180°-ZACP=180°--ZCBE,02ZAQB+ZACB=180°,^\ZCAD=-ZCBE,

22

^QP//PB,^ZCAP+ZACP=90°,即NC4r)+/C3E=180°,

0ZG4￡>=6O°,ZCBE=120°,0ZACB=180°-(Z.CBE-ZCAD)=120°,

0ADACZACBZCBE=60°:120°:120°=1:22.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例8.(2023下?河北邢臺(tái)?七年級(jí)校考階段練習(xí))已知AB〃CD.

【初步感知】如圖，若NC=3/3,求/3的度數(shù)；

【拓展延伸】如圖，點(diǎn)E,尸在兩平行線之間，求證：NB+NE=NC+/F；

【類比探究】如圖，ZABE=3NEBP,NCFE=3NEFP,若NE=88。，NC=130。，求-P的度數(shù).

【答案】初步感知：/B=45。；拓展延伸：見解析；類比探究：ZP=102°

【分析】(1)【初步感知】由平行線的性質(zhì)及已知即可求得結(jié)果；

(2)【拓展延伸】過點(diǎn)E作H欣〃互，過點(diǎn)F作FN〃AB.由平行線的性質(zhì)即可證得;

(3)【類比探究】利用【拓展延伸】中得到的結(jié)論，結(jié)合已知即可求得.

【詳解】解：【初步感知】B1AB//CD,ISZB+ZC=180°.

B1ZC=3ZB,0ZB+3Zfi=18O°,EIZB=45°；

【拓展延伸】證明：如圖，過點(diǎn)￡作醐/〃9，過點(diǎn)F作FN〃AB.

SAB//CD,SAB//CD//EM//FN,

^ZB+ZBEF+ZFEM=18Q°,ZEFN+ZEFC+ZC=180°,/EFN=/FEM,

BZB+ZBEF=ZC+ZEFC；

【類比探究】由【拓展延伸】中的結(jié)論，^ZABE+ZE=ZCFE+ZC,

0ZABE-ZCFE==130°-88°=42°.

^ZABE=3ZEBP,NCFE=3/EFP,^ZEBP-ZEFP=14°.

同理可得ZABP+Z.P=ZCFP+ZC,即2NEBP+NP=2NEFP+NC,

a2(NEBP-NEFP)+NP=NC,回NP=NC-2(NEBP-N￡FP)=130°—2xl4°=102°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角的運(yùn)算，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023下?山東青島?七年級(jí)?？计谀┤鐖D，AB//DE,4=40。，ZD=110°,NC的度數(shù)為（）

【答案】D

【分析】過點(diǎn)C作B〃回，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

0ZD=11O°,EZ2=180°-Z￡>=70°,0ZBCD=Z1+Z2=400+70°=110°.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角

互補(bǔ).

2.（2023下?遼寧大連?七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD,CB//DE,NB=42。，則“的度數(shù)為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可求得NB=NC,ZC+ZD=180°,據(jù)此可求得答案.

【詳解】回AB〃CD,fflZB=ZC=42°.

SCB//DE,ElZC+ZD=180°.0Z￡>=18OO-ZC=18OO-42O=138°.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），牢記平行

線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023下,河北邯鄲?七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，若ABHCD,則/?、/、々之間關(guān)系是（）

A

A.Za+Z^+Z/=180°B,Za+Z/?-Z/=360°C,Za+Z^-Z/=180°D.Zcr-Z^+Z/=360o

【答案】C

【分析】作所〃AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得Ntz+NAEF=180。，Ny=NDEF,然后由N￡=NA跖+ZDE歹

整理后可得答案.

^AB//CD,SAB//CD//EF,0Za+ZAEF=180°,Z/=ZDEF,

又E|N￡=NA￡F+ZDEF,0Za+Z^=18O°+Z7,gpZ?+Z^-Zz=180°.故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是

解題的關(guān)鍵.

4.（2023?河北衡水?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，一艘快艇向正東方向行駛至點(diǎn)A時(shí)，接到指令向右轉(zhuǎn)70。航行

到B處，再向左轉(zhuǎn)100°航行至C處.若該快艇到達(dá)點(diǎn)C后仍向正東方向行駛，則在點(diǎn)C處調(diào)整的航向是（）

A.向左轉(zhuǎn)10°B.向左轉(zhuǎn)30°C.向右轉(zhuǎn)10°D.向右轉(zhuǎn)30°

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得ZEBb的度數(shù)，進(jìn)而求得NEBC,再運(yùn)用平行線的性質(zhì)可得NNCG,最后根

據(jù)角的和差即可解答.

【詳解】解：如圖：根據(jù)題意得：ZDAB=90°-10°=20°,

^\AD//BE,SZEBF=ZDAB=20°.

0NEBC=ZEBF+ZFBC=20°+100°=120°,

自BE〃CG,0ZNCG=ZEBC=120°,

EIZ2VCW=12O°—90°=30°,即向右轉(zhuǎn)30°.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了方向角、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活利用平行線的性質(zhì)得出NABC的度數(shù)是解

題的關(guān)鍵.

5.（2023下?四川廣元?七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AB//DE,ZABC=8O°,ZCDE=140°,則ZBCD的度數(shù)

A.70°B.60°C.50°D.40°

【答案】D

【分析】延長(zhǎng)ED交于點(diǎn)F,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等求得/BED=80。，根據(jù)平角求出ZDFC=100°,

再利用三角形外角性質(zhì)即可求出ZBCD的度數(shù).

■.■AB//DE,AABC=ABFD=^°,ZDFC=180°-ZBFD=100°

QACDE=ZDFC+ZBCD=140°,ZBCD=140°-ZDFC=140°-100°=40°,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，正確作出輔助線結(jié)合平行線性質(zhì)求角度是解答本題關(guān)鍵.

6.（2023下?江蘇蘇州?七年級(jí)蘇州市平江中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞道而

過，如果第一次拐的角44=120。，第二次拐的角/3=140。，第三次拐的角是NC,這時(shí)的道路恰好和第一

次拐彎之前的道路平行，則/C是（）

BC

A.120°B.130°C.140°D.160°

【答案】D

【分析】首先根據(jù)題意作輔助線：過點(diǎn)8作即可得/場(chǎng)〃3r）〃CF,則可求得：ZA=Z1,

?2?C180?,則可求得/C的值.

【詳解】解：過點(diǎn)8作8O〃AE,^\AE//CF,

EBC

^AE//BD//CF,.-,ZA=Z1,?2?C180?,

vZA=120°,Zl+Z2=ZABC=140°,.-.Z2=20°,

ZC=180°-Z2=180°-20°=160°.故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì).注意過一點(diǎn)作已知直線的平行線，再利用平行線的性質(zhì)解題是常見做法.

7.（2023下?河南鄭州?七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，如果那么N8CD=（）

C.180°+Z2-ZlD.180°+/1—/2

【答案】D

【分析】過點(diǎn)C作CF〃帥，由筋〃OE可知，AB//DE//CF,再由平行線的性質(zhì)可知，NBCF=NL

Z2+ZDCF=180°,故可得出結(jié)論.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CF〃AB,

■.■AB\\DE,AB//DE//CF,ZBCF=Zl?,N2+/DC尸=180°②,

即4cD=180°+Nl—N2.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵.

8.（2023?陜西榆林??？既＃┤鐖D，AB〃CD,DE〃CB/B=35°,則ND的度數(shù)為（）

C.135°D.120°

【答案】B

【分析】由利用"兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，可得出NC的度數(shù)，由小〃CB,再利用"兩直線

平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，即可求出一。的度數(shù).

【詳解】解：?相〃CD,.?.NC=ZB=35。，

XvDE//CB,.-.ZC+ZD=180°,/.ZD=180°-ZC=180°-35°=145°.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢記平行線的性質(zhì)定理.

9.（2023下?吉林松原?八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，如果CD,則N1、/2、N3之間的關(guān)系為（）

B.Zl-Z2-Z3=90°C.Zl-Z2-Z3=90°D.Zl+Z2-Z3=180°

【答案】D

【分析】設(shè)N2的頂點(diǎn)為點(diǎn)E,過點(diǎn)E作射線所，使AB〃EF,可求得ZA￡F=180。-Nl,Z3=ZCEF,結(jié)

合/2=ZAEF+ZCEF即可求得答案.

【詳解】如圖所示，設(shè)N2的頂點(diǎn)為點(diǎn)E,過點(diǎn)E作射線所，使產(chǎn).

^AB//EF,SZ1+ZA￡F=18O°.0ZAEF=18O°-Z1.

SAB//EF,AB//CD,^CD//EF.0Z3=ZCEF.

0Z2=ZAEF+ZCEF=18O°-Z1+Z3.0Z1+Z2-Z3=18O°.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行公理的推論、平行線的性質(zhì)，牢記平行公理的推論（如果兩條直線都與第三條

直線平行，那么這兩條直線也互相平行）、平行線的性質(zhì)（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)

角互補(bǔ)）是解題的關(guān)鍵.

10.（2023下?湖南長(zhǎng)沙?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，若AB〃CD,/夕=65。，N7=25。，則"的度數(shù)是（）

A.115°B.130°C.140°D.150°

【答案】C

【分析】利用平行線的傳遞性作出輔助線防，再通過平行線的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】解：過E作A3的平行線所，如圖所示；

.?.ZAEF=180o-Ztt=180o-65o=115°,

?/AB//CDSEF//CD：.NFED=Zv=25°

Z/?=ZAEF+ZFED=115°+25°=140°故選c.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的基本性質(zhì)與平行的傳遞性，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，根據(jù)

傳遞性做出輔助線是解決問題的關(guān)鍵.

11.（2023?江西?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖NBAC=10。，ZACD=125°,CDLEF于點(diǎn)D,將AB繞點(diǎn)A逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,使則a的最小值為.

【分析】過點(diǎn)。作C"〃上F,過點(diǎn)A作A?〃砂，利用平行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CM〃EF,則NMCD=180?！狽CDE=90。,

ElZACM=ZACD-ZMCD=35°.過點(diǎn)A作AB'〃EF,則/B'AC=/ACM=35。.

故a的最小值為25。.故答案為：25。

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題關(guān)鍵.

12.（2023下?山東濟(jì)寧?七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，lA//l2,A8口，垂足為點(diǎn)D.若Nl=25。，則N2=度.

【分析】過點(diǎn)8作BE〃3則BE〃4〃/2,利用平行線的性質(zhì)，求解即可.

【詳解】解：過點(diǎn)B作m?〃人如下圖:

SBDll^BD_LBE,即/D3E=90°

〃/?回BE〃/i〃4l3/l=/CBE=25。，

EI/2=N￡?E+NCBE=115。故答案為：115

【點(diǎn)睛】此題考查了垂直的定義，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出合適的輔助線，利用平行線的性質(zhì)

進(jìn)行求解.

13.（2023下?江蘇南通?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖為一盞可折疊臺(tái)燈及其平面示意圖，其中支架49與底座OE

垂直，支架AB,為固定支撐桿，當(dāng)燈體CD與底座OE平行時(shí)，ZBAC>=138°,ZBCD=154°,則N3的

度數(shù)為°.

圖1圖2

【答案】74

【分析】過點(diǎn)8作3G〃CD,過點(diǎn)A作A/〃OE,根據(jù)平行線的性質(zhì)NGBC=26。,N&S=48。，再根

據(jù)ZABC=ZABG+Z.CBG即可解答.

【詳解】解：過點(diǎn)B作8G〃CD,過點(diǎn)A作A/〃OE,0AOXOE,回NAOE=90。，

SAF//OE,SZOAF=90°,回/&4。=138°,0ZSAF=138°-9O°=48°,

0BG〃CD,AF//OE,CD//OE,^BG//AF,團(tuán)ZABG=ZBAF=48°.

0ZBCD=154°,BG\\CD,EIZGBC+ZBCD=180o,

0ZCBG=180°-154°=26°,0ZABC=ZABG+ZCBG=48°+26°=74°.故答案為：74.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，根據(jù)題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

14.（2023下?陜西榆林?七年級(jí)校考期中）如圖，AB//EG,CD//EF,BC//DE,若tz=50。，（3=26。，

【答案】24。/24度

【分析】延長(zhǎng)AB交OE于點(diǎn)根據(jù)平行線的性質(zhì)求解.

CD//EF,/3=26。，：.ZDEF=0=26,■：AB//EG,:.NHEG=ZBHE=50。,

r=ZDEG-ZDEF=50°-26°=24°,故答案為：24。.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì).即兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)

角相等；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

15.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AB//CD,ZA=25°,ZCDP=140°,則/尸=.

【答案】65。/65度

【分析】過點(diǎn)尸作得到PE〃AB〃CD,進(jìn)而得到/1="/2=180。-/。。尸，再利用4+N2計(jì)

算即可.本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是過拐點(diǎn)作平行線.

【詳解】解：過點(diǎn)P作尸

B1AB//CD,B1PE//AB//CD,EZl=ZA=25°,Z2=180°-ZCDP=40°,

0ZAPD=Z1+Z2=65°；故答案為：65°.

16.（2023上?四川達(dá)州?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知ZABC=80°,NCDE=140。，則NBC。=

AB

C

【答案】40。/40度

【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì).過點(diǎn)C作根據(jù)平行線的性質(zhì)和角的和差，求解

即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CF〃AB,?.?ZABC=8O。，.?.ZBCF=ZABC=8O。，

又,：AB〃DE,：.DE//CF,:.ZDCF+NCDE=180。,

：.ZDCF=40°,ZBCD=ZBCF-ZDCF=80°-40°=40°.故答案為：40°.

17.(2023下?河南安陽?七年級(jí)統(tǒng)考期末)完成下面的證明.

如圖，AB//EF,ZD=ZE,ZB+ZZ)=180°,求證：BC//DE.

證明：0ZD=ZE（已知）

?CDM()

^AB//EF(已知)

0AB"()

0/8=()

0ZB+Zr)=18Oo(已知)

0+ZD=180°（）

SBC//DE（）.

【答案】EF；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；CD；NC；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直

線也互相平行；NC；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可求解.

【詳解】證明：0ZD=ZE（已知）

B1CD//EF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

BIAB//EF（已知）

^AB//CD（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

fflZB=ZC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

0zs+zr）=i8o°（已知）

fflZC+ZD=180（等量代換）

SBC//DE（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握其判定方法是解題的關(guān)鍵.

18.（2023?陜西咸陽?七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知且NC=110。，試探究N1與N2的數(shù)量關(guān)系.

【答案】Z2=Z1+7O°

【分析】先添加輔助線，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得角之間的關(guān)系，從而N1與/2的數(shù)量關(guān)系即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)C作如圖：

則C尸〃0ZBCF=Z1,ZDCF+Z2=180°,

0ZBCD=11O°,0/。。尸=110°—/3。尸=110°—/1,

011O°-Z1+Z2=18O°,0Z2=Z1+7O°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出平行線，利用平行線的性質(zhì)得出角之間的關(guān)系.

19.（2023下?江西南昌?七年級(jí)校考期末）如圖，AB//CD,求SB,0C,SBEC三者之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】ZB+ZBEC-ZC=180°.

【分析】過點(diǎn)E作防〃AB,由平行線的性質(zhì)可知，AB//CD//EF,故可得NB+/l=180。，Z2=ZC,由

此即可得出結(jié)論.

【詳解】解：過點(diǎn)E作

^AB//CD,SAB//CD//EF,回/3+/1=180°①，N2=NC②，

團(tuán)①+②得，ZB+Zl+Z2=180o+ZC,BPZB+ZBEC-ZC=180°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵.

20.（2023下?福建廈門?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D1,已知AM〃OV,點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)8作

于點(diǎn)。，鈣13。于8」1）若/^^=120。，貝!|NASD=.（2）求證：ZABD=ZC

⑶如圖2,G在射線ZM上，當(dāng)3G平分/D3C時(shí)，求ZABG與/D4B的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）30。（2）見解析閉246=445

【分析】（1）依據(jù)題意，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，ZMAB=ZD+ZABD,又/皿4=90。，故可得解.

（2）過點(diǎn)8作BE〃/由于AM〃。丫，從而3￡1〃。'，，則NC=/CBE,再結(jié)合ABIiSC,ZC+ZABE=90°,

又BE〃DM,可得/ASD+/ABE=90。，進(jìn)而可以得解.

(3)過點(diǎn)8作BE〃/由(2)可得，ZAGB=ZGBE.設(shè)ZASG=x,ZDAB=y,則ZAG8=NG8E=y-x；

由？。90?,從而ZABD=NC=NCBE=90。-、；又BG平分/DBC,可得NDBG=NGBC,故

90°-y+x=y-x+90°-y,進(jìn)而可得ZABG與的關(guān)系.

【詳解】(1)解：由題意，ZMAB=ZD+ZABD,:.ZABD=ZMAB-ZD.-：BD^AM,ZBDA=90°.

又?.?ZM4B=120。，ZABD=ZMAB-ZD=120°-90°=30°.故答案為：30°.

(2)證明：如圖1,

過點(diǎn)8作助〃ZW,又QAM〃CN,:.BE//CN//AM,:.ZC=ZCBE.

ABLBC,ZABE+ZCBE=90°.ZC+ZABE=90°.

■.■BE//DM,ZD+ZDBE=19,0°.ZD=90°,ZDBE=ZABD+ZABE=90°.

又NC+ZABE=90。.:.ZABD=ZC■,

(3)如圖2,過點(diǎn)B作BE〃2根，由(2)可得BE〃C?V〃AW,:.ZAGB=Z.GBE.

設(shè)ZABG=x,ZDAB=y,貝IjZAGB=NG3E=y-尤.

ZD=90°,ZABD=ZC=ZCBE=90°-y.

又BG平分/DBC,：.ZDBG=ZGBC..■-90o-y+x=y-x+900-y.:.2x=y..-.2ZABG=ZDAB.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和平行公理的應(yīng)用以及三角形的外角的性質(zhì)，需要熟練掌握角度之間的

轉(zhuǎn)化，并學(xué)會(huì)借助方程的思想來解題.

21.(2023下?河北秦皇島?七年級(jí)?？计谥?(1)問題背景：

如圖1,已知寫出/AEG.NCR;與NG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)知識(shí)遷移：如圖2,Zl=60°,m//n,則N2—N3=—°.

(3)方法應(yīng)用：如圖3,一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞湖而過，在A,B,C三處經(jīng)過三次拐彎此時(shí)道路

恰好和第一次拐彎之前的道路平行（即A￡〃CD）,若ZA=110。，ZB=150°,則NC的度數(shù)是.

圖1圖2圖3

【答案】（1）ZAEG+NCFG=NG,理由見解析；（2）120。；（3）140。

【分析】（1）過點(diǎn)G作G//〃利用平行線的性質(zhì)可解；（2）由（1）可知：N4+N5=/2,且Nl=60。，

可得N4=18（T-N1=12O。，從而得出N2-N3=N2-N5=24=120。；（3）延長(zhǎng)EA至點(diǎn)延長(zhǎng)。C至點(diǎn)N,

根據(jù)AE〃CD,可得/EAB+/NCB=ZABC,進(jìn)而得到NNCB=NA3C-NE4B=150°-110°=40°,然后可

求出NC的度數(shù).

【詳解】（1）問題背景：ZAEG+ZCFG=ZG,理由如下：過點(diǎn)G作G"〃AB,

圖1

QABIICD,^GH\\AB\\CD,@ZAEG=NHGE,NCFG=NFGH,

0ZAEG+NCFG=ZHGE+NFGH=NEGF,

(2)知識(shí)遷移：回機(jī)〃“，回由(1)可知：N4+N5=N2,

13/1=60°,0Z4=18O0-Z1=12O<>,0Z2-Z3=Z2-Z5=Z4=12O0,故答案是：120°；

圖2

（3）方法應(yīng)用：延長(zhǎng)EA至點(diǎn)延長(zhǎng)。C至點(diǎn)N,

M

圖3

^AE//CD,aZEAB+ZNCB=ZABC,

0ZEAB=11O°,ZABC=150°,0ZNCB=ZABC-ZEAB=150°-110°=40°,

0ZBCD=1800-ZNCB=140°.故答案是：140°.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

22.（2023下?吉林松原?七年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線A3//CD,E是A3與AD之間的

一點(diǎn)，連接BE,CE,可以發(fā)現(xiàn)：NB+NC=NBEC,請(qǐng)你寫出證明過程；

（2）拓展探究：如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：ZB+ZC=360°-ZBEC.

（3）解決問題：如圖③，AB//DC,ZC=120°,ZAEC=80°,則NA=.（直接寫出結(jié)論，不用

寫計(jì)算過程）

圖①圖②圖③

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）20°

【分析】（1）根據(jù)平行判定得到斯//DC,利用平行線的性質(zhì)得/C=/C￡F,NB=ZBEF,得到

NB+NC=NBEF+NCEF,即可求證出答案；

（2）類比（1）,過點(diǎn)E作班3AB,然后根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可求證出答案；

（3）類比，過點(diǎn)E作EF〃/由，根據(jù)平行判定得到E尸//DC,再根據(jù)平行的性質(zhì)得：ZC+ZCEF=180°,

/么=乙囪，根據(jù)角與角的關(guān)系求得：ZAEF=80°-60°=20°,則可求出答案.

【詳解】（1）證明：如圖①，過點(diǎn)E作EF//AB,

DC

圖①

0AB//DC（已知），EF//AB（輔助線的作法）.

HEF//ZX?（平行于同一直線的兩直線平行），

團(tuán)NC=NCEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

0EF//AB,0ZB=ZBEF,

田NB+NC=/BEF+NCEF（等量代換）BPZfi+ZC=ZBEC.

（2）證明：如圖②，過點(diǎn)、E作EF//AB,

圖②

S1AB//DC（已知），EF//AB（輔助線的作法）.

QEFHDC（平行于同一直線的兩直線平行）.

回NC+ZCEF=180°,Z.B+NBEF=180°,

0ZB+ZC+ZBEC=36O°,0ZB+ZC=360°-ZBEC.

（3）解：如圖③，過點(diǎn)E作EF〃AB,

圖③

0AB//DC（已知），EF//AB（輔助線的作法），

0EF//ZX?（平行于同一直線的兩直線平行），0ZC+ZCEF=18O°,ZA=ZBEF,

0ZC=120°,ZAEC=80°,0ACEF=180°-120°=60°,

0ZAEF=80°-60°=20°,回44=//空卯=20。.故答案為：20。.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，靈活運(yùn)用平行判斷以及平行線的性質(zhì)

找到角與角之間的關(guān)系.

23.（2023下?湖南婁底?七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)B,。分別在AK和CP上，且CD〃8K.

⑴如圖1,若NCDE=25。,ZDEB=80°,則的度數(shù)為；若/CDE=a,ZABE=j3,則

的度數(shù)為；（2）如圖2,探究NO、"EB和N3三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3汝口圖3