專題22數列的概念與表示（九大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01數列的有關概念

?題型02數列的周期性

?題型03數列的單調性及應用

?題型04求數列的通項公式一定義法

?題型05求數列的通項公式一累加法

?題型06求數列的通項公式一累乘法

?題型07求數列的通項公式一an與Sn的關系

?題型08求數列的通項公式一觀察法

?題型09求數列的通項公式一構造法

?題型01數列的有關概念

1.（23-24高二上,山西?期末）下列說法中，正確的是（）

A.數列2,4,6,8可表示為集合｛2,4,6,8｝

B.數列1,2,3,4與數列4,3,2,1是相同的數列

C.數列｛/+"｝的第左項為公+左

D.數列01,2,3,4,…可記為｛科

【答案】C

【分析】利用數列定義即可逐個選項判斷即可得解.

【解析】對于A,由數列的定義易知A錯誤；

對于B,兩個數列排列次序不同，是不同的數列，故B錯誤；

對于C,數列｛〃?+“｝的第+項為第+左,故C正確;

對于D,因為OeN,所以〃eN,這與數列的定義不相符，故D錯誤.

故選：C.

2.（2024高三?全國?專題練習）下列三個結論中，正確結論的序號的是（）

①數列1,1,2,3,5,是無窮數列；

②任何數列都能寫出它的通項公式；

③若數列｛1g%｝是等差數列，則數列｛%｝是等比數歹U.

A.①②B,①③C.②③D.①②③

【答案】B

【分析】根據無窮數列的定義判斷①，根據數列的定義判斷②，根據等比數列的定義判斷③.

【解析】解：數列1,1,2,3,5,表示數列有無窮項，所以是無窮數列，故①正確；

不規則數列無法求出其通項，故②錯誤；

若數列｛1g4｝是等差數列，設公差為d,所以1g。.7%="（"22）,整理得電詈=",

Un-i

所以言=1。"（常數）（?>2）,故數列｛氏｝是等比數列，故③正確.

故選：B

3〃%

3.（2024高三?全國?專題練習）已知數列｛%｝滿足，若要使｛%｝為k項的有窮數列，則

W

A，1-31-3?U1_3M口.]_3?+2

【答案】B

【分析】只需"=左+1時分母有為。即可得解.

【解析】若要使｛%｝為k項的有窮數列，則〃=上+1時1+（3、1,=0,解得%=1'.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了數列的通項公式，數列分母不為0是解題的關鍵，屬于基礎題.

?題型02數列的周期性

4.（23-24高二下?遼寧沈陽?階段練習）在數列｛與｝中，-（?>2）,q=2,則沏您=（）

an-\

11

A.—1B.—C.—D.2

22

【答案】A

【分析】根據遞推式寫出數列前面幾項得出數列周期，進一步即可求解.

【解析】由題意可得：%=2,%=1-；=；,。3=1-2=-1,。4=1+1=2/一，

由此可以發現數列｛%｝的周期是3,

從而〃2025=Q674x3+3=〃3=一1?

故選：A.

C1

2%,&，

2對仆

5.（23-24高二上?廣東湛江?階段練習）在數列｛%｝中，%=,,右q=不則〃2020=（）

4321

A.-B.一C.一D.-

5555

【答案】C

【分析】根據遞推公式列出數列的前幾項，找到規律，即可判斷.

——〃，+?4

【解析】因為％討=J且4="

2an~^an~~

、乙

4331

所以W=2%—l=2x——1=—,a3=2a2—l=2x——1=—,

c2c4=41=3

“4—2a3—,“5—244—,“6=2a5_12x1,....,

2

所以｛%｝是以4為周期的周期數列,所以a2020=%X504+4=4=1.

故選：C

6.（23-24高二下?四川?期中）已知數列｛%｝滿足％=4,。向=*%,則數列｛%｝前2024項的積為（）

[~an

A.4B.1C.——D.—1

【答案】B

【分析】先找到數列｛冊｝的周期，然后求得數列｛冊｝前2024項的積.

1+匕生

【解析】因為4用=產，所以%+2=產吐=—^=一!，

1-%+111+%%

1

a

n+4=-----=%,所以數列｛。九｝的周期為4.

an+2

,513

由q=4,則出=一§,a3=――,a4=—,

所以數列｛&J前2024項的乘積為戶6=1.

故選：B.

?題型03數列的單調性及應用

7.（23-24高二下?青海海西,期中）設數列｛%｝的通項公式為%=向-（左-5）〃+1,若數列｛4｝是單調遞增數

列，則實數后的取值范圍為（）

A.（4,+co）B.（-<?,4）

C.（8,+oo）D.（—8,8）

【答案】D

【分析】根據題意有與<“用，解得上的取值范圍；

【解析】由數列｛與｝是單調遞增數列可得，對于〃eN*都有%+1>%成立，

即（〃+1）?—（左一5）（"+1）+1>n~—（k—5^n+\,k<2Tl+6對〃?N*者B成立，

所以左<（2〃+6）1nm=2x1+6=8.（或通過二次函數的對稱性求解）

故選：D.

8.（23-24高二上?江蘇南京?階段練習）己知數列｛《｝滿足：［3，”"7（"eN*）,且數列｛%｝是

［a,〃>7

遞增數列，則實數。的取值范圍是（）

A.B.C.（2,3）D.（1,3）

【答案】C

【分析】由數列的單調性求解.

3—a>0

【解析】由題意。>1,解得2<”3.

7（3-〃）-3</6

故選：C.

9.（24-25高三上?山西大同?期末）等比數列｛。"｝中，S,為其前"項和，％=1,且4%,2g嗎成等差數列，

則,（”eN*）的最小值為（）

1416

A.—B.—C.—D.1

2925

【答案】D

【分析】先根據等差中項及等比數列得通項求出公比，再根據等比數列的前"項和公式求出S”，判斷出數

列［2］的單調性即可得解.

【解析】設公比為4,

由4%,242M3成等差數列，得4a2=441+〃3,

又數列｛七｝為等比數列，所以得4%9=4%+//,解得9=2,

%(1-g"

所以之2n-l

n"(i-g)n

2〃一1

令，=

n

2"+1-12T_(”-l)2"+l

則b,+「b”=>0,

n+1n

所以數列，一｝遞增數列，

所以當"=1時，2取得最小值1.

n

故選：D.

10.(2024?重慶?二模)記正項數列｛。,｝的前〃項和為S,,若s“=R+l),“N則叫+1

的最小值

為.

【答案】等

【分析】由s“=%(：+i),利用數列通項和前〃項和的關系求得%=%邑=嗎”，再令

1OQ

/(x)=x2+-^,x>0,利用導數法求解.

【解析】當"=1時，…?)則％=i或％=。(舍去)，

當“22時，由§=?"(.+1),得S-=%(""-+1),

22

兩式相減得2。〃=片+%--%，得(%+一1-1)=。，

因為為>。，所以%-%一1=1，

所以數列｛%｝是等差數列，則%=%邑=當辿，

4/(x)=x2+—,x>0,則r(x)=2x—岑=2(x「4),

x')x2X2

當無e(0,4)時，/,(x)<0,當xe(4,+(?)時，/,(x)>0,

所以/（X）在（0,4）上單調遞減，在（4,+8）上單調遞增，

由S“=」---^隨"的增大而增大，s,=——=3,S3=——=6,

"222

02128c128155c2128〃64172

貝超+三-=9+.=干&+『36+丁/-,

D,JJJJ

]28[55

所以s；+k的最小值為一.

故答案為：-

1TO

【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是構造函數判斷得其單調性，從而考慮邑，$3的情

況，從而得解.

11.（23-24高二下?遼寧?期末）設數列｛（｝滿足%=l,a“=ln（%+|-l）+m,"eN*,若對一切〃eNq42,

則實數機的取值范圍是（）

A.B.1<m<2C.m>3D.2<m<3

【答案】A

【分析】根據題意列不等式，結合函數的單調性求得”的取值范圍.

【解析】因為6=1,an=In（a?+1-1）+m,?eN,,

設函數/（x）=e』+l,則<=/,“）.

fx<2/、

依題意有+注意到/（x）=e+1在區間（F，2]上為增函數，

故當x=2時，e-+l有最大值，即+1W2,解得僅N2.

故選：A.

?題型04求數列的通項公式一定義法

12.（23-24高二下?云南昆明?階段練習）已知數列滿足：%=1,%="an+1=2an+x-an+2.

⑴證明：-%｝是等差數列，并求｛%｝的通項公式；

k

（2）設也,若數列｛"｝是遞增數列，求實數上的取值范圍.

2

【答案】⑴證明見解析，an=n

⑵左<4

【分析】（1）根據條件，利用等差數列定義，即可證明結果，利用等差數列的通項公式得到

??+i-an=2n+\,再利用累加法，即可求出結果；

(2)由⑴得6“=1+與，再利用數列也｝是遞增數列，得到左<(〃+1)2"2對〃eN*恒成立，即可求出結

n

果.

【解析】⑴因為4+2=2%+「%+2,所以。"+2-%+1-(。“+1-。")=2。”+]-。“+2-2%+1+。”=2為常數，

又出-%=3,所以數列｛%+「與｝是公差為2,首項為3的等差數列.

所以=3+(n-l)x2=2n+l,

_1

當〃22時，(對-%_J+_4-2)---n(a2-?1)=2(/7-1)+1+2(/7-2)+1H---l-2xl+l,

所以又％=1,所以%=/,又"=1,滿足。"=",

所以數列｛。?｝的通項公式為%=n2.

(2)由⑴知，=/+與，因為數列也｝是遞增數列，

n

kkk

所以b,,*「b=(?+l)2+---r-(?2+—)=(2"+1)[1----r^]>0,對〃eN*恒成立，

n(w+1)n(n+V)n

得到后<(力+1)2/對"eN*恒成立，所以％<4.

13.(2023?四川成都?模擬預測)數列｛對｝的前"項和為S"，且2s“=3a”-1.

⑴求｛。“｝的通項公式；

3〃

⑵若6”=7—忑-----也｝的前"項和為/明求/⑺(〃eN+)的最小值?

(見+1)(%+1+1)

【答案】⑴a“=3"T

⑵。

8

【分析】(1)由2s“=3%-1可知當"W2時，有2s兩式作差可求出數列｛%｝為等比數列，計

算q即可求出通項公式.(2)裂項相消法求出前“項和/(〃)，根據數列的單調性以及極限的思想即可求出

最值.

【解析】(1)因為2s所以2sl=2%=3%-1,即％=1

當〃22時，2s=3a?_1-l,則2S“-2sl=2a.=3an-3%,

整理得2=3(〃22),

%

則數列｛4｝是以1為首項，3為公比的等比數列，故氏=1X3"T=3"\”=1

也滿足所以%=3")

3〃311

(2)由(1)得b”=(3"、+1)(3“+1)=5(3"-|+]-3"+1)

所以/(")=|[($一占)+(占一占)+…+(E-占)_

2

223"+1，43"+1

顯然/(〃)＜；3

3

又因為4＞0,〃〃)單調遞增(〃N+),所以，⑺"(1)=、

O

3

所以加的最小值是3

O

14.(22-23高三上?天津濱海新?階段練習)已知S”是正項數列｛”“｝的前〃項和電=2%=2,

%+2=ga"("eN*),S3，,5-6,必成等差數列.

⑴求｛4｝的通項公式;

(2)若％=(2〃-1)%,求上｝的前2〃項和凡;

,〃+2,、

(3)若c,,=,證明｛g｝的前“項和與＜1.

fl\jl十1)^*"2.n

77-1

22為奇

【答案】⑴《=”;

2。為偶

(2)弓=17+(⑵-17)2"；

⑶證明見解析.

【分析】⑴利用邑，$5-6,其成等差數列和%=2q=2,0"+2=眄,(”—*)即可求出4,即可求出奇偶

項數列；

(2)分奇偶項分別利用錯位相減求和再相加即可求出答案;

(3)利用裂項相消即可得到答案.

【解析】（1）由S3,S5-6,見成等差數列得2區-6）=53+34

^-53+55-54-12=0

%+。4+—12=0

2

/.2a1q+a2q-12=0

*.*ciy—1,a?~2

2q?+2q-12=0

，9=2或”一3（舍）

n-\

凡的奇數項是以首項為1公比為2的等比數列，即°V

un=24

%的偶數項是以首項為2公比為2的等比數列，即0i

un=24

則

"n-1

2虧,〃為奇

??=1"

2。為偶

fl-1

（2"-1）-2h,"為奇

⑵”=“

（2〃-1）2,〃為偶

T2n=丁奇+%

4=4+4+4+…+b2n-3+&T

=1+5x2*+9X22+---+（4M-7）-2,,^+（4?-3）-2^1

=2+5x2?+9x23+…+（4〃-7>2"T+（4"-3）2

一盤=l+4x2i+4x22+―+4x2"T+（3-4"）x2"

=1+——_^+（3-4〃）*2"

=-7+（7-4?）x2"

,

.?.7Lf=7+（4n-7）x2,

4禺=2+64+&+.?,+b2n-2+b2n

=3X21+7X22+---+(4/7-5)-2,'-1+(4?7-1)-2,,

23,!,,+1

27；S=3X2+7X2+---+(4?-5)-2+(477-1)-2

-7；^=3x21+4x22+---+4x2"-(4n-l)-2,,+1

4X22(1-2"-')

=6+------——-)+(l-4w)-2"+1

=-10+(5-4/7)x2,,+1

"0+(4"-5)X2"M

4*=0+.=7+(4〃-7)x2"+10+(4〃-5)x2"i=17+(12〃-17)2"

T2n=17+(1217)2"

n+2_〃+211

nn

⑶C"_n(n+V)a2n~n(n+l)2~{n+\)-2

_11111

D-+2++l

?-C1+c2+---e?-2x2>2x21-3x2"'n-2"-~(n+1)-2"

=1---------------

(n+1)-2"

-----\----->0

(77+1).2"

..凡<1.

?題型05求數列的通項公式一累加法

15.（2023廣西南寧模擬預測）數列｛。“｝滿足2-=。21+&加3，詠=4（后eN*,q為正常數），且

a"

%=2%=2,aj=a2?a6,a1+a2+a3=a5.

⑴求數列｛見｝的通項公式;

（2）求數列｛%｝的前"項和S”.

即二L"為奇數

【答案】⑴%=J

2之〃為偶數

―+415+2等，〃為奇數

（2電=2_；2

包二士蛆+2=,〃為偶數

【分析】（1）由題意可得奇數項成等差數列，設公差為4,且偶數項成等比數列，公比為式4>0）,運用等

差數列和等比數列的通項公式，解方程可得公差，和公比q,即可得到所求通項公式；

（2）討論〃為偶數和奇數，由等差數列和等比數列的求和公式，計算可得所求和.

【解析】（1）數列｛%｝滿足2%國=出1+%+3,況=4，

a2k

可得出口，電小，出3成等差數列，即奇數項成等差數列，設公差為工

且偶數項成等比數列，公比為q（q>。）,且%=2%=2,al=a2-a6,q+%+%=%,

可得（l+d『=2.2/,3+l+d=l+2d,

解得d=3,q=2,

1+3（卓-1],"為奇數；叫二1,”為奇數

則（="I2），化為%=；2

2.2?:為偶數125,〃為偶數

（2）當〃為偶數時,

數列｛%｝的前”項和

Sn=(Q]+%+…+〃〃一1)+(。2+〃4+…)

21-27

1.41+3n-4

+——

22(21-2

-L

當“為奇數時（"23）,

3(?-1)2-2(?-1)

SS+a+22-2+^—

n=n-ln=82

尤也±1+2等.2

8

當"=1時S]也適合上式.

〃+1

3n2+4H-15+2虧，"為奇數

8

綜上：S"="

3n2-2n-16n+2

+22，”為偶數

8

16.（23-24高二下?廣東深圳?期末）設數列｛%｝滿足%=3,。N=。“+8”+4

⑴求數列｛%｝的通項公式;

(2)求數列的前〃項和S,

【答案】(l)a“=4/-l/eN*

【分析】(1)利用累加法求解數列通項公式，再根據分組求和進行化簡；

(2)利用裂項相消求解數列的前〃項和Sn；

【解析】(1)1?,??+1=a?+8/7+4an+l-an=8n+4,

可知%=8(〃T)+4,

an-\~a.2=8(〃-2)+4,

an-2~an-3=8("-3)+4,

%—a[=8x2+4,

%—q=8x1+4,

ax=3,

上式相力口得見=8(〃一1)+4+8(〃-2)+4+8(〃-3)+4+?一+8、2+4+8+4+3

=8[(?-1)+(H-2)+(H-3)H----1-2+1]+4(〃-1)+3

=8x-+4(z?-1)+3=4/?2-1

所以數列｛an｝的通項公式a“=4/_l,"eN*

111111

(2)—=—Q=------------------——(-z-----------------)x,z?￡N

2

an4H-1(2〃+l)(2〃—1)22H-12〃+l'

c11111

所以二—1—1---1--1--1—

%出的%%

—(1—)+—(-----)+—(-------)+???+—(-------------------)+—(------------------

2323525722〃-32n-l22n-l2〃+1

^3■[-------------1-----------------------1---------------------1—???~|-----------------------------------------------------1-------------------------------------------------

2335572”32n-l2n-l2n+l

n

2〃+1

所以數列P4的前“項和sn=-^~.

[a?\2??+l

?題型06求數列的通項公式一累乘法

17.（23-24高二下?黑龍江大慶?期末）記數列｛4｝的前”項和為S"，已知q=1且2S”=（〃+1）%.

⑴求｛對｝的通項公式；

（2）記6“=F求數列低｝的前2"項和凡

為偶數

【答案】（1）%="

枕+1Q

2

（2）4“=-3—+n+n

【分析】（1）由S”與。“的關系式可得數列｛即｝的遞推公式區=7A（"?2,"eN*）,利用累乘法可求通項

15—

公式；

（2"〃為奇數

（2）由⑴知，%=〃所以"='工;f，利用分組求和法求心〃.

[〃，〃為偶數

【解析】（1）根據題意，%=1,2Sn=（n+l）an9貝！|2S〃T=〃％,

兩式相減得2。,=(/?+l)a?-na^(?>2,77eN,),

即亡=而（"22，"，'）’

aa”」a.nn-12r

所以“'=二n口…丁'

故｛冊｝的通項公式為an=n；

2",〃為奇數

(2)由(1)知，a=n,所以b〃=

n小幾為偶數

故石“=4+仇+4+…+篇,=(4+&+…+62"T)+(4+d+…+仇”)，

(2+2、…+2?"T)+(2+4+…+2〃)=S+UL空二+"".

1-423

18.（23-24高二下?山東日照,期末）己知等差數列｛《｝的前"項和為S“，且%=2。“+1,S5^4S2.

⑴求數列｛%｝的通項公式；

(2)設數列｛2｝的前〃項和為北，且々=2,令。,以=4+2也M，求7；的最小值.

【答案［

(2)2

【分析】(1)由等差數列及其前"項和基本量的計算即可列方程組求解首項、公差，進而得解;

(2)由(1)中結論結合累乘法得數列｛"｝的通項公式，通過裂項法得北的表達式說明月單調遞增，或由

7田-<=6同>0也可說明北單調遞增，進而得解.

【解析】(1)設等差數列｛(｝的首項為《，公差為d.

5al+1Od=8q+4d

由S5=4S2M2/=2%+1,得

6Z|+(2〃—1)d=2〃］+2(〃-1)d+1

解得:ax=-2,d=-\,所以=

(2)方法一：由(1)得a“=-〃一1(〃eN*),

"+ia-n-1n+\(_

由題意—n=------=-----HGNT；

H

b“an+2--3"+3

bb,nn-1n-2432.

b“=口一義士-義一.x且xb1=----x----x-----x---x—x—x—x2

如b?-24n+2n+\n------654

=7----------r=12f-------匚］(?>2,neN*),

而4=12x(〈-；］=2,從而”=12(-—-M

<23J\n+ln+2/

_J_￡_1…+J_____

-+

~33~4n+1n+2)

而義關于〃單調遞減，從而-一二關于〃單調遞增,

n+2n+2

所以北=12"--］關于"也是單調遞增，

［2n+2)

所以當〃=1時，7；的最小值為工

方法二：由(1)得％一1(〃￡N*),

b%二fT〃+1

由題意彳￡N*)

%+2-〃-3〃+3

b='xZx…x%x4=-x3x*x432

n?X—X—X—X2

bn_xbn_2bxn+2n+1n654

7~~r=n[—-----k;>2,neN*

11

而a=i2x2,從而〃=12>0neN*,

n+1n+2

又T〃+m，所以北單調遞增,

所以北的最小值為4=4=2.

?題型07求數列的通項公式一an與Sn的關系

19.(23-24高二下?江西萍鄉?期中)己知數列｛%｝("eN*)的前"項和為S“，且滿足％=2,a“=高S”.

⑴求生,%的值;

⑵試猜想｛%｝的通項公式，并證明.

【答案】⑴%=4,4=6

⑵a“=2〃(〃eN*),證明見解析

【分析】(1)由數列的遞推式，分別令”=1和"=2,計算可得所求值;

(2)猜想%=2"(〃eN*),由數列的遞推式和數列的恒等式，可得證明.

2?

【解析】（1）由題知，%=§02=w（%+。2），解得。2=4,

2?

同理，%=^邑=]（%+。2+。3），解得。3=6；

（2）由（1）可猜想%=2拉（幾￡m），證明如下：

22

已知〃〃=-rs〃，當〃之2時，有s〃—Si=一

n+ln+1

/、/\S”〃+1

化簡得（〃—i）s，=（〃+i）Si,BP-^-=-

dH-ln—1

圃有工=旦.也.曉S2yi+1nn-1…54+

3華S]Sn_xSn_2Sn_3……S3S2S1n-1n-2n—332?2

又％=S]=2,故S〃=〃（〃+l）,

2

則氏=--S=2H（H>2）,

77+1n

當〃=1時，上式仍成立，則a“=2〃（"eN*）.

20.(2024?遼寧,模擬預測)已知數列｛%｝的前〃項和為S,，且4,=5a“-2.

⑴證明：｛七｝是等比數列，并求其通項公式；

(2)設b?=(-iy-log5號,求數列低｝的前100項和4。.

【答案】⑴證明見解析，%=2x5"。

(2)100.

【分析】(1)利用給定的遞推公式，結合4=5“22)及等比數列定義推理得證，再求出通項公式.

(2)利用(1)的結論求出“，再利用分組求和法計算即得.

【解析】(1)數列｛%｝中，4S,,=5a0-2,當“22時，4sl=5%_「2,兩式相減得。“=5%-,

而4=百解得q=2,所以｛〃“｝是首項為2,公比為5的等比數列，

通項公式為%=2X5”T.

a2x52M+1

n

(2)由(1)知，bn=(-1)".log5=(-1)"-log5=(-l)-(2n+1),

所以Moo=3+4)+(a+4)+…+(怎+狐0)=(-3+5)+(-7+9)+…+

(-199+201)=2+2+2+…+2=2x50=100.

?題型08求數列的通項公式一觀察法

21.(23-24高二下?四川成都?期中)數列｛%｝滿足an+l=—^—(〃eN*).

⑴計算出，%，猜想數列｛%｝的通項公式并證明；

(2)求數列,“("+1)3"｝的前〃項和；

【答案】(1)%=2，4=：，猜測2=3,證明見解析

3477+1

⑵(2〃-1)3角+3

4

【分析】(1)直接通過遞推公式計算，然后猜測。“=—;并證明；

n+1

(2)使用錯位相減法即可.

1_1_2_1_1_3

【解析】（1）=廣=§,=廣

1z—//—

23

猜測=」r一j，下面用數學歸納法證明：

當〃=1時，由弓=知結論成立；

_1_1_k+1_k+l

假設結論對〃=左成立，即冬=工，貝！；―底=2左+2-1171,故結論對〃=左+1成立.

左+1k~~7

k+\

ri

綜上，有%=---7成立.

〃+1

（2）設數列,“5+1）3"｝的前"項和為S"，則S“=￡%優+1）3尢=￡>3、

k=Yk=\

nn+1nnn&〃+l_o

所以3s,=￡左-3"1=￡（左一1）?3=￡（左一1>3%+小3向=?.3后一￡3無+小3〃+1=1一三^+止3〃+1.

k=lk=2k=\k=\k=\2

(2w-l)3"+l+3

4

22.（2023?山東荷澤二模）已知各項為正數的等比數列｛%｝滿足aja“M=16",”eN*.

⑴求數列｛%｝的通項公式;

a,,n為奇數

(2)設4=1,求數列低｝的前2〃項和$2,.

-6.+〃,〃為偶數

【答案】⑴氏=22"；〃eN；

432

(2)S2?=2"-+?-M+l,neN*.

a｛-a2=16

【分析】（1）設｛%｝首項為q,公比為q,由%?。"+I=16",〃€"可得<見",包=16",化簡后可得用,4,

4+/%+2=16"i

即可得答案;

21

（2）由題可得當力為奇數時，bn+1^2-,當〃為偶數時，6“+自用=".后由分組求和法可得答案.

【解析】（1）設｛%｝首項為4,公比為必

%?%=16a；q=16

因=16",〃eN",貝i]yq+i=16"n<

如=q2=16.

。用q+2=ia

又｛%｝各項為正數，則4，4>0,故。me=22"T,〃eN*；

(2)由(1)及題意可得，4=1；

21

當〃為奇數時，bn+l=an=2"-；

則當〃為偶數時，bn+b〃+、=n.

§2〃=4+打+…+優〃

=31+&〃)+(4+()+(4+&)…+(&-2+3〃一1)

=1+〃2〃-1+2+4+…+(2〃-2)

?題型09求數列的通項公式一構造法

23.（2024?內蒙古包頭?三模）已知數列｛〃/的前〃項和為S“，4=3,Sfl=l+an+l.

⑴證明：數列｛8-1｝是等比數列，并求

⑵求數列,5卜勺前〃項和1.

【答案】⑴證明見解析，S“=2"+l

【分析】（1）根據題意S“=l+a用及%M=S"+「S",整理可得，即可得證；

（2）根據⑴中S,可求出％分類討論求出工的通項公式，再根據等比數列前n項和可求得卻

an

【解析】（1）因為5“=1+。“+1，又。“+i=S〃+i-S”，

所以S,+「2S.+l=0,整理得S,+「1=2（S"一1）.

由題意得S「l=/T=2,

所以數列｛s“-1｝是以2為首項，2為公比的等比數列，故5"-1=2",

即S"2"+l.

3/=1

(2)由(1)可%=

2〃一,〃22'

"=1時,看=?1

當

3

1n—\

當〃22時，—

%2

2n—1

所以[=;+111

++???+

222

n-\

1_1

1-

n-\

12241

=-+

332

4n-l

當〃=1,代入北=3一=工滿足公式,

〃33

綜上，

3

24.(23-24高二下?遼寧錦州?期末)已知數列｛氏｝滿足%=-13(°角+1)(%+1)=。“一%+1,貝I]4.

【分析】依題意可得3(??+1+1)(%+1)=(%+l)-k+1+1),兩邊同除(。用+1)(。“+1)得到-^-7--L=3,

"及+1十,a〃十工

即可得到;是以4為首項，3為公差的等差數列，即可求出」7的通項，即可得解.

U+1J%+1

【解析】因為q=-1,3(%+i+l)(a“+l)=a“-a"+],

則3(%,+i+1乂4,+1)=(%+1)-(%+1),

因為%+1=(,顯然4+1*0,

1

所以----二3

a

n+\+1%+1

所以」7是以2=4為首項，3為公差的等差數列,

%+1

1c,

所以----7=3〃+1，

??+1

1則%=T+/i-3H

所以4+1=

3n+l3〃+l

-3n

故答案為:

3〃+l

n

25.（23-24高二下?湖南郴州?期末）己知數列｛%｝滿足：%=1,"4+「（“+1）%=認〃+1).若a=(

〃+l)Q”，

則數列也｝的前〃項和S〃=.

ri

【答案】

n+\

【分析】根據給定的遞推公式，利用構造法求出乙,再利用裂項相消法求和即得.

【解析】數列｛4｝中，由“+「(〃+1)%="(〃+1),得9-2=1,

n+1n

因此數列戶4是以?=1為首項，1為公差的等差數列，%=",即%=/,

n1n

口7〃111

于是包=一(一、一二一(?》=------，

(n+l)ann(n+1)nn+1

所以S”=(l--)+(---)+(i--)+---+(----)=1---,

”22334nn+1n+1n+1

n

故答案為：Q

26.（23-24高二下?山東煙臺?期末）已知數列｛叫是等差數列，且出=T，數列抄J滿足22,

〃eN*),且4=4=1.

⑴求數列也｝的通項公式;

（2）將數列｛%｝,｛，｝的所有公共項按從小到大的順序組成一個新的數列卜“｝，求數列｛q,｝的通項公式;

⑶設數列的前"項和為證明：?；＜|.

【答案】（1也=/一4〃+4

⑵c“=（2〃-l）2

⑶證明過程見解析

【分析】（1）首先求得。“=2〃-5,由累加法即可求解;

（2）不妨設%分"=2左，（左eN"）,〃=2左-1,（左eN*）兩種情況討論即可求解;

（3）當"=1時，結論顯然成立，當〃22時，通過放縮法以及裂項即可得證.

【解析】（1）由題意可知仇—4=。2，即4-1=11,故62=。，

由“一打二生，可得%=1，

所以數列｛%｝的公差d=2,所以。“=一