第06講平行線的性質

學習目標

課程標準學習目標

1.掌握兩直線平行，同位角相等，并能夠靈活應用。

①平行線的性質2.掌握兩直線平行，內錯角相等，并能夠靈活應用。

3.掌握兩直線平行，同旁內角互補，并能夠靈活應用。

思維導圖

知識點01平行線的性質

I.兩直線平行，同位角相等:

①性質內容:

兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單說成兩直線平行，同位角相等

②符號語言：

若AB〃CD,則NNEB=/NFD

2.兩直線平行，內錯角相等：

①性質內容：

兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。簡單說成兩直線平行，內錯角相等

②符號語言：若AB〃CD,則N4EM=/NFD

3.兩直線平行，同旁內角互補:

①性質內容：

兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。簡單說成兩直線平行，同旁內角互補

②符號語言：若AB〃CD,則N3￡N+NNFD=180°

【即學即練。

1.用一副三角板拼成如圖所示的形狀,使得兩個三角形的直角邊互相平行，則N1與22相等的依據是（）

A.兩直線平行，同位角相等

B.兩直線平行，內錯角相等

C.兩直線平行，同旁內角互補

D.對頂角相等

【分析】由兩平行線，內錯角相等，即可得到答案.

【解答】解：N1與N2相等的依據是兩直線平行，內錯角相等,

故選：B.

【即學即練2】

2.如圖，直線/1〃勿RtZk48C中，NB=60°,直角頂點/在直線/上，頂點C在直線4上，已知/1=

25°,則N2的度數為（）

A.35°B.45°C.55°D.65

【分析】根據含30°角的直角三角形的性質和平行線的性質得出/2的度數即可.

【解答】解：?.,RtZ\Z3C中，Z5=60°,

ZACB=30°,

：.Z2=ZACB+Zl=30°+25°=55°,

故選：C.

【即學即練3】

3.如圖，直線a,6被直線c所截，若a〃6,Zl=48°,則/2的度數是（）

A.148°B.138°C.142°D.132°

【分析】先根據平行線的性質求出N3的度數，再由鄰補角的定義即可得出結論.

【解答】解：〃從Zl=48°,

；.N3=N1=48°,

/.Z2=180°-Z3=180°-48°=132°.

故選：D.

題型精講

題型01根據平行線的性質計算

,則N2的度數為()

C.138°D.52°

【分析】根據平行線的性質和對頂角相等解答即可.

，a//b,

故選：B.

【變式1】如圖，已知ZBAC=100°,NDAE=50：則NC=()

「E

A.10°B.20°C.30°D.40°

【分析】根據鄰補角定義得出ND4C=80°,根據角的和差求出NC4￡=30°,根據平行線的性質即可

得解.

【解答】解：VZDAC+ZBAC=1SO°,ZBAC=100°,

/.ZDAC=S0°,

VZDAC=ZDAE+ZCAE,NDAE=50°,

：.ZCAE=30°,

■:AE//BC,

：.ZC=ZCAE=30°,

故選：C.

【變式2】如圖，NECZ）=50°,點M是EC上一點，過點/作/5〃CD,若〃/平分則N/W

【分析】根據兩直線平行，同位角相等可得NEMS=NECZ)=50°,于是利用平角的定義可得

130°,再根據角平分線的定義即可求解.

【解答】W：9：AB//CD,

：.ZEMB=ZECD=50°,

；?NAME=1800-NEMB=180°-50°=130°,

?:MF平分/AME,

：.ZAMF=65°.

故選：D.

【變式3】如圖，AB//DE,BC//EF,若NE=118°,則N5的度數為（）

C

//F

BA

DE

A.62°B.72°C.102°D.118°

【分析】根據兩直線平行，同旁內角互補求得Nl=50°,再兩直線平行，內錯角相等可得N1=N5.

【解答】解：

VZE=118°,

AZ1=62°,

■:BC〃EF,

：.ZB=Z1=62°.

故選：A.

題型02平行線與直角三角板

【典例1］如圖，將直尺與含45°角的直角三角形疊放在一起，若/2=35°,則N1的度數為（）

【分析】根據余角的定義和平行線的性質即可得到結論.

VZACB=90a,Z2=35°,

；.N3=90°-Z2=90°-35°=55°,

???直尺對邊平行，

.?.Z1=Z3=55°.

故選：C.

【變式1】如圖，將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，若/1=60°15',則N2的大小為（）

【分析】根據平行線的性質得出N3,進而利用互余解答即可.

【解答】解：如圖，

由直尺兩邊平行，可得：Z1=Z3=6O°15',

；./2=90°-N3=90°-60°15'=29°45',

故選：D.

【變式2】如圖，直角三角板的直角頂點放在直線6上，且。〃b,/1=55°,則/2的度數為（）

【分析】先根據平行線的性質求出N3的度數，再由兩角互余的性質求出N2的度數即可.

【解答】解：：。〃"Zl=55°,

.\Z3=Z1=55°,

.\Z2=90°-Z3=90°-55°=35°.

故選：A.

【變式3】將等腰直角三角形NDE和直角三角形/8C（其中/C=30°）按如圖所示的方式擺放，點。在

8C上，若AE〃BC,則NEMC的度數是（）

A.12°B.15°C.20°D.25°

【分析】根據“兩直線平行，內錯角相等”求出/C4E=30°,再根據角的和差求解即可.

【解答】解：ZC=30°,

：.ZCAE=ZC=3>0°,

VZDAE=45°,

；./D4C=NDAE-NC4E=15°,

故選：B.

題型03平行線與折疊

【典例1】如圖，紙片的邊緣CD互相平行，將紙片沿斯折疊，使得點瓦。分別落在點8,D'

處.若/1=80°,則/2的度數是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【分析】根據平行線的性質可得//￡夕=80°,從而利用平角定義求出/5￡夕=100°,然后根據折

疊的性質進行計算即可解答.

【解答】解：

：.Z1=ZAEB'=80°,

AZBEB'=180°-ZAEB'=100°,

由折疊得：

N2=NFEB'=~ZBEB'=50°，

2

故選：A.

【變式1】如圖，將矩形紙片/BCD沿AD折疊，得到△2C‘D,C。與48交于點￡.若Nl=35°,則

Z2的度數為()

A.20°B.30°C.35°D.55°

【分析】已知四邊形/BCD是矩形，則可得N8〃CD,/C=90°；聯系折疊的性質易得N2OC'、Z

DC8的度數，由平行線的性質可求出N/AD的度數；接下來在△3C'。中利用三角形內角和即可求

出N2.

【解答】解：由題意可知：

ZC=90°,AB//CD,

：.ZABD=Z1=3,5°

由折疊的性質可知：

ZBDC=Z1=35°,ZDCB=ZC=90°.

/.Z2=180°-ZDCB-ZABD-ZBDC'=20°.

故選：A.

【變式2】如圖，矩形紙片/BCD,M為/。邊的中點將紙片沿2M、CM折疊，使/點落在小處，。點落

在5處，若/1=32°,則()

42

A.74°B.106°C.122°D.148°

【分析】利用折疊的性質，相重合的角相等，然后利用平角定理求出角的度數.

【解答】解：?；N1=32°,ZAMAX+Z.l+ZDMDI=180°,

ZAMAi+ZDMDi=1800-32°=148°.

AZSAMi+ZCAffi>i=74°.

AZBMC=ZBM4i+ZCA?i+Zl=74°+32°=106°.

故選：B.

【變式3】如圖，將一條兩邊互相平行的紙帶折疊，下列正確的是（）

A.若/1=工/2,則/1=40°B.若N1=N2,則Nl=55°

2

C.若N1=2N2,則/1=80。D.若/1=3/2,則/1=108°

【分析】先根據已知條件畫出圖形，再根據平行線的性質證出NN3C=N1,再由折疊性質證出2/2+/

1=180°,最后按照證出的/I和/2的關系式，根據各個選項的中的已知條件，求出N1的度數，進行

判斷即可.

【解答】解：如圖所示：由平行線的性質可得：

/ABC=N1,

由折疊性質可得：/CBD+/ABD=180°,

即N2+/2+N/3C=180°,

：.2Z2+ZABC=1SO°,

.\2Z2+Zl=180o,

A.若/1=,則//2=180°,Z2=72°，/1=36°,故此選項不符合題意;

B.若/1=/2,則3/1=180°,Zl=60°,故此選項不符合題意；

C.若/1=2/2,則4/2=180°,Z2=45°,Zl=90°,故此選項不符合題意；

D.若N1=3N2,則5/2=180°,Z2=36°,Zl=108°,故此選項符合題意；

故選：D.

題型04平行線間的拐點

【典例1】如圖，直線〃?〃〃，含有45°角的三角板的直角頂點。在直線加上，點/在直線〃上，若/1=

20°,則N2的度數為（）

om

B

A.15°B.25°C.35°D.45°

【分析】過5作5K〃加，推出5K〃幾，由平行線的性質得到NO5K=N1=2O°,N2=NABK,求出N

ABK=ZABO-ZOBK=25°,即可得到N2=25°.

【解答】解：過5作5K〃冽，

：.BK//n,

：.ZOBK=Z1=20°,Z2=ZABKf

VZABO=45°,

AZABK=ZABO-ZOBK=45°-20°=25°,

：.Z2=ZABK=25°.

故選：B.

【變式1】如圖，直線"〃"，△ABC是直角三角形，48=90°,點C在直線"上.若/1=50°,則N2

的度數是（）

A.60°B.50°C.45°D.40°

【分析】根據平行線的性質可以得到N1=/3DC，然后直角三角形的性質，即可求得N2的度數.

【解答】解：延長交直線"于點。，

'：m//n,Nl=50°,

：.Z\=ZBDC=50°,

VZABC=90°,

：.ZCBD=90°,

/.Z2=90°-ZBDC=90°-50°=40°,

故選：D.

【變式2】如圖，AB//CD,則圖中Nl、N2、N3關系一定成立的是（）

A.Nl+N2+N3=180°B.Zl+Z2+Z3=360°

C.Z1+Z3=2Z2D.N1+N3=N2

【分析】首先過點E作斯〃48,由45〃CZ）,可得EF〃AB〃CD,然后根據兩直線平行，內錯角相等,

即可求得N4￡F=N1,ZCEF=Z3,繼而可得N1+N3=N2.

【解答】解：過點￡作斯〃45,

■:AB〃CD,

：.EF//AB//CD,

：.AAEF=A\,/CEF=/3,

?：/2=NAEF+/CEF=

故選：D.

【變式3】如圖，AB//CD,則N/、NC、N￡、//滿足的數量關系為（）

A.ZA+ZC+ZF=ZEB.ZA+ZC+ZE+ZF=360°

C.ZA+ZC+ZE-ZF=180°D.ZA+ZC-Z^+ZF=180°

【分析】過￡作皿/〃45,過尸作得到目/〃7W〃CD,因此N/+N4EM=180°,ZMEF=Z

NFE,ZNFC=ZC,得至"/MEF=NEFC-ZC,ZAEM=ZAEF+ZC-/EFC,于是得至!JNZ+N/￡F+

ZC-ZEFC=180°.

【解答】解：過E作近過尸作印〃45,

■:AB〃CD,

：.EM//FN//CDf

：.ZA+ZAEM=1SO°,ZMEF=ZNFE,ZNFC=ZC,

：./C+/MEF=ZNFE+ZNFC=/EFC,

：.ZMEF=ZEFC-NC,

?.*/AEM=NAEF-ZMEF=ZAEF+ZC-/EFC,

：.AA+AAEF+AC-ZEFC=1SO°.

故選：C.

【變式4】如圖，已知/8〃CZ）,點E,方分別在45,C。上，點G,〃在兩條平行線43,CZ）之間，/AEG

與/尸“G的平分線交于點若N￡G〃=84°,ZHFD=20°,則的度數為（）

【分析】過點G,M,7/作4g的平行線，容易得出N4EG+NGHF=104°,EM和MH是角平分線，所

以/AEM+/MHF=52。,進一步求即可.

【解答】解：如圖所示，過點G,M,H作GN〃AB,MP//AB,KH//AB,

?：AB〃CD.

：.AB//GN//MP//KH//CD,

?:GN〃AB.

：.ZAEG=/EGN,

,:GN〃KH,

：.ZNGH=ZGHK,

,:KH〃CD,

：./HFD=/KHF,

VZEGH=S4°,ZHFD=20°,

/.ZAEG+ZGHF=W4°,

???ew和MH是角平分線，

/.ZAEM+ZMHF=52°,

VZHFD=ZKHF=20°,

AZAEM+ZMHK=32°,

9：MP//AB//KH,

:?/EMP=/AEM,ZPMH=ZMHK,

:?/EMP+/PMH=32°,

即NEM/=32°.

故選：D.

題型05平行線的判定與性質求值

A.Z3=Z4B.Z1=Z4C.ZB=Z5D.ZD=Z5

【分析】根據內錯角相等，兩直線平行可得再根據兩直線平行，內錯角相等可得結論.

【解答】解：,??N1=N2,

：.AD//BC,

：.NZ）=N5.

故選：D.

【變式1］如圖，已知bLc,若Nl=65°,則N2等于（）

A.65°B.90°C.25°D.70°

【分析】先根據bLc,可得。〃6,根據平行線的性質可得N1=N3,再根據對頂角的性質即可得

出答案.

【解答】解：因為a_Lc,bLc,

所以a//b,

所以N1=N3=65°,

所以N2=N3=65°.

故選：A.

d相交，已知N1=N2,43=76：則N4=()°

C.114D.14

【分析】由N1=N2,證出由平行線的性質即可得出N4=N3=76°.

【解答】解：???N1=N2,

?\a//b,

???N4=N3=76°,

故選:A.

【變式3】如圖，若Nl=55°,Z3+Z4=180°,則N2的度數為()

A.115°B.120°C.125°D.135°

【分析】由N3+N4=180°,得到ZB〃CZ),推出N5=N1=55°,即可求出N2=125°.

【解答】解：?.?N3+N4=180°,

C.AB//CD,

Z5=Z1=55°,

VZ5+Z2=180°,

???N2=125°.

故選：C.

題型06平行線的判定與性質證明

【典例1】將下面的解答過程補充完整：如圖,已知。EF平分NCED,/A=/CFE,那么跖與

B

FC

平行嗎？為什么？

解:因為。￡〃3c（已知），

所以NDEF=/CFE（兩直線平行，內錯角相等①）,

因為E尸平分NCE。（已知），

所以以。斯=/CFE②（角平分線的定義），

所以/CFE=NCEF（等量代換⑶）,

因為/4=/C尸￡（已知），

所以以N=4CEF⑷（等量代換），

所以EF〃4B（同位角相等，兩直線平行⑤）.

【分析】先根據兩直線平行，內錯角相等，得到/DEF=/CFE,再根據角平分線得出/OM=NC￡尸,

進而得到/C尸E=/CER再根據//=NCFE,即可得出/N=/CE尸，進而根據同位角相等，兩直線

平行，判定斯〃2c.

【解答】解：因為￡（石〃2。（已知），

所以/DEF=NCFE（兩直線平行，內錯角相等①），

因為斯平分NCED（已知），

所以/DEF=NCFE②（角平分線的定義），

所以/CFE=/CEF（等量代換③），

因為NN=NCFE（已知），

所以N4=/CEF④（等量代換），

所以即〃42（同位角相等，兩直線平行⑤）

故答案為：兩直線平行，內錯角相等，NCFE.等量代換，ZCEF,同位角相等，兩直線平行.

【典例2】如圖，己知/4BC=180°-NN,BD_LCD于D,ETUCD于E.

（1）求證：AD//BC；

（2）若乙4D5=36°,求NEFC的度數.

【分析】（1）求出N/8C+N/=180。，根據平行線的判定推出即可；

（2）根據平行線的性質求出/DBC,根據垂直推出AD〃ER根據平行線的性質即可求出NEFC.

【解答】（1）證明：??,NNJBC=180°-/A,

：.ZABC+ZA^180°,

：.AD//BC；

(2)'：AD//BC,NADB=36°,

，/DBC=ZADB=36

■:BDLCD,EFLCD,

J.BD//EF,

：./DBC=/EFC=36°

【變式1】如圖，ZB=ZBGD,/BGC=NF.試說明48+//=180°.請完善解答過程，并在括號內填

寫相應的理論根據.

解：,:/B=/BGD（已知），

/.AB//CD（內錯角相等，兩直線平行）.

■:NBGC=NF（已知），

：.CD//EF（同位角相等，兩直線平行）.

/.AB//EF（平行于同一直線的兩直線平行）.

AZS+ZF=180°（兩直線平行，同旁內角互補）.

【分析】由平行線的判定條件可得/2〃CD,CD//EF,再利用平行線的性質即可得到/8〃斯，從而可

證得N8+N廣=180°.

【解答】W：'：ZB^ZBGD（已知），

：.AB//CD（內錯角相等，兩直線平行）.

VZBGC=ZF（已知），

.??CD〃斯（同位角相等，兩直線平行）.

J.AB//EF（平行于同一直線的兩直線平行）.

AZS+ZF=180°（兩直線平行，同旁內角互補）.

故答案為：AB;內錯角相等，兩直線平行；EF；同位角相等，兩直線平行；AB；EF；兩直線平行，同

旁內角互補.

【變式2】請把以下證明過程補充完整，并在下面的括號內填上推理理由：

己知：如圖，Z1=Z2,NA=ND.

求證：Z5=ZC

證明：VZ1=Z2,（已知）

又：=對頂角相等

/2=N3,（等量代換）

：.AE//FD同位角相等，兩直線平行

/.N4=ZBFD兩直線平行，同位角相等

:/A=ND（已知）

/D=/BFD（等量代換）

/■AB//CD內錯角相等，兩直線平行

AZ5=ZC兩直線平行，內錯角相等.

【分析】先根據題意得出N2=/3,故可得出“￡■〃網）,故NA=/BFD,再由//=ND可得出NZ）=N

BFD,

故可得出AB〃CD,進而可得出結論.

【解答】證明：:/匚/2（已知），

又=對頂角相等，

AZ2=Z3（等量代換），

J.AE//FD（同位角相等，兩直線平行），

:.NA=NBFD（兩直線平行，同位角相等）.

;NA=ND（已知），

AZD=ZBFD（等量代換），

：.AB//CD（內錯角相等，兩直線平行）.

/.ZB=ZC（兩直線平行，內錯角相等）.

故答案為：對頂角相等；Z3；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；ZBFD；AB,內

錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等.

【變式3】如圖，已知4D〃FE,Z1=Z2.

（1）試說明OG〃NC；

（2）若/B/C=70°,求/4GD的度數.

【分析】（1）只要證明=即可.

（2）利用平行線的性質解決問題即可.

【解答】解：⑴■：AD//EF,

：.Z1=ZDAC,

VZ1=Z2,

：.Z2=ZDAC,

：.DG//AC.

（2）\'DG//AC,

.?.N/GO+NA4c=180°,

：NA4c=70°,

：.//GD=110°

【變式4】已知：如圖，點。，E,尸分別是三角形N8C的邊8C,CA,N8上的點，DF//CA,NFDE=N

A；

(1)求證：DE//BA.

(2)若/BFD=/BDF=2/EDC,求NB的度數.

【分析】(1)根據平行線的性質與判定方法證明即可；

(2)設NEDC=x°,由/BFD=NBDF=2NEDC可得NBFD=/BDF=2x°,根據平行線的性質可得

ZDFB=ZFDE=2x°,再根據平角的定義列方程可得x的值，進而得出N3的度數.

【解答】解：(1)證明：???。方〃C4,

J/DFB=/A,

又,:NFDE=NA,

：.ZDFB=/FDE,

：.DE//AB；

(2)設N￡DC=x°,

*.*/BFD=ZBDF=2ZEDC,

：.ZBFD=ZBDF=2x°,

由(1)可知。

AZDFB=ZFDE=2x°,

AZBDF+ZEDF+ZEDC=2x°+2x°+x°=180°,

；?x=36,

又?：DE〃AB,

:,NB=NEDC=36°.

強化訓練

1.如圖所示，直線a〃b,直線/與q,b相交，若Nl=110°,N2的度數為（

C.70°D.80°

【分析】由推出平行線的性質推出Nl+N3=180°,又Nl=110°,求出N3=70°,由對頂角的性質得

到N2=N3=70°.

【解答】解：-：a//b,

.'.Zl+Z3=180°，

VZl=110°，

???N3=70°，

???N2=N3=70°.

2.，則N1+N2的度數是（）

C.78°D.82°

【分析】先根據等腰三角形的性質求出N/BC的度數，再由平行線的性質即可得出結論.

【解答】-：AB=AC,ZBAC=40°,

???"^4^=72。,

???直線/1〃5

???Nl+N45C+N2+N54C=180°，即Nl+72°+N2+36。=180°，

.?.Zl+Z2=72°.

故選：B.

3.如圖，直線/1〃，2，Rta/BC中，48=60°,直角頂點/在直線/1上，頂點C在直線/2上，已知/1=

25°,則/2的度數為（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【分析】由直角三角形的性質求出/4C8=30°,得到/8。=//。8+/1=55°.由平行線的性質推

出/2=N2CD=55°.

【解答】解：：RtZUBC中，ZB=60°,

：.ZACB=90°-ZB=30°,

VZ1=25°,

AZBCD=ZACB+Zl=55°,

'：h//l2,

：.Ul=4BCD=55°.

故選：C.

4.如圖兩直線加、〃與△NBC的邊相交，且加、〃分別與/8、8C平行.根據圖中所示角度，可知的

度數為（）

【分析】由兩直線平行，同旁內角互補可得出和NC的度數，再根據三角形內角和可得出的度

數.

【解答】解：因為加、〃分別與N3、8c平行，

所以NC+122。=180°,ZA+1100=180°,

所以/C=58°,ZA=70°,

所以N8=180°-NC=N4=52°.

故選：A.

5.如圖，燒杯內液體表面AB與燒杯下底部CD平行，光線即從液體中射向空氣時發生折射，光線變成

FH,點G在射線E尸上，已知/印吆=20°,NFED=60°,則/GEH■的度數為（）

E-------------------'D

A.20°B.40°C.60°D.80°

【分析】先利用平行線的性質可得NS=NGE8=60°,然后利用角的和差關系進行計算，即可解答.

【解答】解：?:AB//CD,ZFED=6Q°,

:,NFED=/GFB=60°,

VZHFB=20°,

AZGFH=ZGFB-ZHFB=40°,

故選：B.

6.如圖，直線43〃CZ）,GE_LEF于點、E,若/EFD=32°,則N5G￡的度數是（）

A.62°B.58°C.52°D.48°

【分析】過點E作45的平行線印，利用平行線的性質即可求解.

【解答】解：過點E作直線印〃Z8.

?:AB〃CD,AB//HI,/EFD=32°,

：.CD//HI,

:?/HEF=/EFD=32°,

?：GE上EF于點、E,

：.ZGEF=90°,

:?NGEH=/GEF-/HEF=90°-32°=58°,

9：AB//HI,

:?NBGE=NGEH=58°.

故選：B.

G

B

H--------------I

C------------------------------D

A.30°B.40°C.45°D.50°

【分析】根據兩直線平行，內錯角相等可得/3=/1,根據垂直的定義和余角的定義列式計算得到/2.

【解答】解：??,直線。〃6,Zl=50°,

.,./1=/3=50°,

:直線ABLAC,

二/2+/3=90°.

.\Z2=40o.

8.如圖，已知N8〃CD,BE,分別平分尸和/CDF,且交于點￡,貝！］(

B./￡+//=180°

C.2NE+N尸=360°D.2/E-/尸=180°

【分析】過點E作助f〃/5,利用平行線的性質可證得=上(NABF+/CDF),可以得到N8ED

2

與NBFD的關系.

【解答】解：過點E作〃/8,如圖:

,:AB〃CD,EM//AB

：.CD//EM,

二/ABE=/BEM,ZCDE=/DEM,

?:/ABF的平分線與/CDF的平分線相交于點E,

：.NABE=LZABF,ZCDE=LZCDF,

22

:.NBED=NBEM+NDEM=L(NABF+NCDF),

2

?；NABF+NBFD+NCDF=36Q°,

/.ZABF+ZCDF^360°-ZBFD,

:.NBED=L(360°-NBFD),

2

整理得：2/BED+/BFD=360；

故選：C.

9.圖1是長方形紙條，/DEF=a,將紙條沿斯折疊成折疊成圖2,則圖中的NGFC的度數是()

sl-----------------------、'sl---------------

圖1圖2

A.2aB.90°+2aC.180°-2aD.180°-3a

【分析】由折疊得/GEF=a,由長方形知尸C〃GD,AE//BG,從而得到//GZ),再由平行線的性質得

到NGFC的度數.

【解答】解：由折疊和NDEF=a,得NGEF=ci,

由長方形得，C//GD,AE//BG,

：.ZGFC+ZFGD=\SQ°,ZEFB=ZDEF=a,

：.ZFGD=ZGEF+ZEFB=2a,

/.ZGFC=180°-2a,

故選：C.

10.平面鏡在光學儀器中有廣泛的應用.平面鏡反射光線的規律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光

線與平面鏡所夾的銳角相等.如圖①.一束光線加射到平面鏡。上，被a反射后的光線為"，則/1=N

2.如圖，一束光線先后經平面鏡OM,ON反射后，反射光線CD與N3平行，當//8河=30°時,

ZDCN的度數為（）

圖①圖②

A.40°B.50°C.60°D.70°

【分析】由題意得/BCO=NDCN,根據平角的定義可求出//2C的度數，再根據兩

直線平行，同旁內角互補求出N5CD的度數，從而求出NDCN

的度數.

【解答】解：由題意得/NBCO=NDCN,

VZABM^30°,

：.ZCBO^3Q0,

：.ZABC=lS0°-ZABM-ZCBO=1SQ°-30°-30°=120°,

,JAB//CD,

：.ZABC+ZBCD=imo,

：.ZBCD^60°,

,/ZBCD+ZBCO+ZDCN=180°,

AZDCN=60°,

故選：C.

11.為增強學生體質，望一觀音湖學校將“跳繩”引入陽光體育一小時活動.圖1是一位同學跳繩時的一

個瞬間.數學老師把它抽象成圖2的數學問題：已知/B〃CD,ZEAB=10°,Z￡'CZ>=105°,貝iJ/NEC

=35°.

【分析】過E作斯〃45,則斯〃/8〃CD,利用平行線的性質求得/F￡4=110°,/FEC=75°,進

而可求解.

【解答】解：過E作防〃N2,

?：AB〃CD,

J.EF//AB//CD,

：.ZEAB+ZFEA=\SO°,ZECD+ZFEC=180°,

VZEAB=10°,ZECD=105°,

/.ZFEA=11O°,ZFEC=75°,

/.ZAEC=ZFEA-ZFEC=35°,

故答案為：35°.

12.如圖，把△45C沿線段折疊，使點/落在點尸處，BC//DE,若N/+N5=100°,則NFEC=

20°

【分析】根據折疊的性質、平行線的性質和三角形內角和，即可得到結論.

【解答】解：由題意可得，

ZAED=ZDEF,

,:DE〃BC,

：?/AED=/C,ZDEF=ZEFC,

：.ZC=ZEFC,

AZC=180°-100°=80°,

；?/EFC=80°,

VZC+ZEFC+ZFEC=180°,

/.ZF￡C=180°-80°-80°=20°,

故答案為：20°.

13.如圖是兩把完全相同的長方形直尺，一把直尺壓住射線08,且與射線。4交于點C,另一把直尺壓住

射線CM并且與第一把直尺交于點尸，連接OP,已知N尸08=40°,則N4CP的度數是80°.

A

I少如Suw%

0B

【分析】根據兩把完全相同的長方形直尺，可知OP平分N/O2,又NPO8=40°,進而可得N/03的

度數.再由長方形直尺可得CP〃。以利用平行線的性質可求解.

【解答】解：由題意，得O尸平分//O8,

AZAOB=2ZPOB=2X40°=80°,

由長方形直尺可知：CP//OB,

：.ZACP=ZAOB=80°,

故答案為：80°.

14.如圖，/1=37°,N2=37°,/。=54°,那么N34g=54°.

【分析】根據平行線的判定與性質求解即可.

【解答】解：?；N1=37°,N2=37°,

/.Z1=Z2,

J.AE//CD,

：.ZBAE=ZD=54°,

故答案為:54.

15.一副直角三角尺疊放如圖1所示，現將45°的三角尺NDE固定不動，將含30°的三角尺/8C繞頂點/

順時針轉動至圖2位置的過程中，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，則/C/E其余符合條件的度數

為60°或105°或135°.【例如：圖3,當NC4E=15°時，BC//DE1

點中心對稱的情況即可求解.

【解答】解：如圖3,當8c〃。/時，ZCAE=45°-30°=15°；

圖3

如圖，當NE〃8C時，ZCAE=90°-30°=60°；

E

如圖:，當DE〃AB（或時，/CAE=45°+60°=105°

C

EA

當。E〃4c時，如圖①，/C4E=45°+90°=135°.

①

綜上所述，旋轉后兩塊三角板至少有一組邊平行，則NC4E（00<ZG4E<180°）其它所有可能符合

條件的度數為60°或105°或135°,

故答案為：60°或105°或135°.

16.一副三角尺按如圖所示的方式擺放，48=/￡。尸=90°,點￡在/C上，點。在3c的延長線上，EF

//BC,N/=30°,ZF=45°,求出NCED的度數.

【分析】由直角三角形的性質求出二/EC3=60°,NFED=45°,由平行線的性質推出/FEC=NEC'S

=60°,即可求出NCED=NFEC-NFED=15°.

【解答】解:：NB=90°,ZA=30°,

:.NECB=9Q°-ZA=60°,

'：EF//BC,

:.NFEC=NECB=6Q°,

：NEZ）尸=90°,ZF=45°,

:./FED=90°-ZF=45°,

：.ZCED=ZFEC-ZFED=60°-45°=15°.

17.如圖，AB//CD,N/=40。，/C=/E,求NC的度數.

【分析】根據/2〃CD,則N/=N1=4O°,再根據三角形外角的性質即可得出結論.

【解答】I?：'JAB//CD,

：.ZA=Z1=4O°,

'：ZC+ZE=Z1,/C=NE,

：.2ZC=40°,

：.ZC=20°.

18.如圖，點”在CD上，已知/A4兒什/NMD=180°,4E平分/BAM,〃尸平分//兒（，請說明/￡〃

的理由.

解：因為NA4M+N4WD=180°（已知）,

ZAMC+ZAMD^1SQ°（平角的定義），

所以NA4M=N4A/C（等量代換）.

因為/￡1平分

所以NI八/BAM（角平分線的定義）.

2

因為平分N/MC,

所以N2總/AMC,

得/1=/2（等量代換）,

所以AE〃MF（內錯角相等，兩直線平行）.

【分析】根據角平分線的定義，平行線的判定定理完成填空即可求解.

【解答】解：因為NA4M+//〃￡>=180°（已知），ZAMC+ZAMD=180°（平角的定義）,

所以（等量代換）.

因為4E平分

所以N1,4（角平分線的定義）.

因為及加平分N/MC,

所以/29//巧0，

得N1=N2