期中真題必刷常考60題（31個考點專練）

一.三角形（共2小題）

1.（2022秋?安次區校級期中）下面是小強用三根火柴組成的圖形，其中符合三角形概念的是（）

【分析】因為三角形的定義為：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形.

【解答】解：因為三角形是由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形.

故選：C.

【點評】此題考查了三角形的定義.解題的關鍵是熟練記住定義.

2.（2022秋?寧化縣期中）（1）在如圖所示的平面直角坐標系中，描出下列各點：A（l,3）,B（-2,-1）,C（4,-l）,

并依次連接成三角形；

（2）計算出AABC的周長.

【分析】（1）根據點的坐標確定點在坐標系中的位置；

（2）求出邊長即可求解.

【解答】解：（1）如圖所示，AABC就是所求作的三角形;

y

（2）由圖形可知，AB=M+32=5,AC=742+32=5,BC=6,

」.AABC的周長為16.

【點評】本題主要考查點的坐標及平面直角坐標系中圖形周長的求法，確定圖中三角形的邊長是解題的關

鍵.

二.三角形的角平分線、中線和高（共2小題）

3.（2021春?高郵市期中）在下列各圖的AABC中，正確畫出AC邊上的高的圖形是（）

【分析】根據三角形的高的概念判斷.

【解答】解：AC邊上的高就是過5作垂線垂直AC交AC的延長線于。點，因此只有C符合條件,

故選：C.

【點評】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，關鍵是利用基本作圖作三角形高的方法解答.

4.（2024春?肇源縣期中）如圖，在AABC中，AD是3c邊上的中線，AADC的周長比AABD的周長多5cMi,

至與AC的和為13cm,求AC的長.

cDB

【分析】根據中線的定義知CD=BD.結合三角形周長公式知AC-AB=5cm；又AC+AB=13c〃z.易求AC

的長度.

【解答】解：?.?AD是BC邊上的中線，

為3c的中點，CD=BD.

AADC的周長的周長=5cm.

AC—AB=5cm.

又AB+AC=13cm,

/.AC=9cm.

即AC的長度是9cm.

【點評】本題考查了三角形的中線，根據周長的差表示出AC-=是解題的關鍵.

三.三角形的穩定性（共2小題）

5.（2023秋?祁陽縣期中）下列生活中的一些事實運用了“三角形穩定性”的是（）

A.

c.

【分析】三角形具有穩定性，其它多邊形不具有穩定性，把多邊形分割成三角形則多邊形的形狀就不會改

變.

【解答】解：兒童座架利用三角形的穩定性，座架形成三角形不變形，結實，故C符合題意;

A、B、￡＞不是三角形，故選項不符合題意.

故選：C.

【點評】本題考查三角形穩定性的實際應用.三角形的穩定性在實際生活中有著廣泛的應用，如鋼架橋、房

屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩定的結構，往往通過連接輔助線轉化為三角形而獲得.

6.（2023秋?濱城區期中）如圖，把手機放在一個支架上面，就可以非常方便地使用，這是因為手機支架利

用了三角形的穩定性.

【分析】利用三角形的穩定性的性質直接回答即可.

【解答】解：三角形的支架很牢固，這是利用了三角形的穩定性，

故答案為：穩定.

【點評】本題考查了三角形的穩定性，解題的關鍵是能夠了解三角形具有穩定性，屬于基礎題，難度不大.

四.三角形的重心（共1小題）

7.（2020秋?巴東縣期中）三角形三條中線的交點叫做三角形的（）

A.內心B.外心C.中心D.重心

【分析】根據三角形的重心概念作出回答，結合選項得出結果.

【解答】解：三角形的重心是三角形三條中線的交點.

故選：D.

【點評】考查了三角形的重心的概念.三角形的外心是三角形的三條垂直平分線的交點；三角

形的內心是三角形的三條角平分線的交點.

五.三角形三邊關系（共2小題）

8.（2023秋?新洲區期中）在學習“認識三角形”一節時，小穎用四根長度分別為2cm,3cm,4cm,5cm

的小棒擺三角形，那么所擺成的三角形的周長不可能是（）

A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm

【分析】根據三角形的三邊關系定理：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，判斷即可得.

【解答】解：當三角形三邊長分別為：2cm,3cm,5aw時，

,.?2+3=5,不能構成三角形，

所擺成的三角形的周長不可能是10cm,

故選：B.

【點評】本題考查了三角形的三邊關系，解題的關鍵是熟練掌握三角形的三邊關系.

9.（2023秋?靈寶市期中）如圖，在AABC中，4）是邊上的中線，AABD的周長比AADC的周長多1,

A3與AC的和為11.

（1）求AB、AC的長；

（2）求BC邊的取值范圍.

【分析】（1）根據三角形中線的定義，BD=CD.所以AABD和AADC的周長之差也就是AB與AC的差,

然后聯立關于他、AC的二元一次方程組，利用加減消元法求解即可.

（2）根據三角形三邊關系解答即可.

【解答】解：（1）?.??1￡）是BC邊上的中線，

BD=CD,

.,.八46。的周長—小4/）。的周長=（45+4）+5。）—（4。+4）+8）=帥—4。=1,

即AB-AC=l?,

又AB+AC=11②，

①+②得.2AB=12,

解得AB=6,

②-①得，2AC=10,

解得AC=5,

和AC的長分別為：AB=6,AC=5；

（2）-.AB=6,AC=5,

【點評】本題考查了三角形的三邊關系，三角形的中線定義，二元一次方程組的求解，利用加減消元法求解

是解題的關鍵.

六.三角形內角和定理（共2小題）

10.（2024春?岳陽縣期中）AABC中，ZC=90°,ZA=35°,貝1」/8=_55。_.

【分析】直接根據三角形的內角和是180。即可得出結論.

【解答】解：?.?NC=90。，ZA=35°,

.-.ZB=180°-90°-35°=55°.

故答案為：55°.

【點評】本題考查的是三角形的內角和，熟知三角形的內角和是180。是解答此題的關鍵.

11.（2023春?民權縣期中）如圖，在AABC中，E,G分別是鉆，AC上的點，F,。是3c上的點，連

接班，AD,DG,AB//DG,Zl+Z2=180°.

（1）求證：AD//EF；

（2）若DG是NADC的平分線，N2=140。，求ZB的度數.

【分析】（1）由平行線的性質可得N1=NZME,由Nl+N2=180。可得NZME+N2=180。，即可證明；

（2）由（1）可知NZME=40。，再由平行線的性質可得4=40。，由角平分線的定義可得NADC=80。，再

由三角形外角性質即可求出NB.

【解答】（1）證明：?.?A5//DG,

:.Z1=ZDAE,

?.?Nl+N2=180°,

.-.ZZME+Z2=180°,

:.AD//EF；

（2）解：-.-AD//EF,Z2=140°,

ZDAE=180°-Z2=180°—140°=40°,

?：ABIIDG,

:.Zl=ZDAE^40o,

?.?DG是NADC的平分線，

ZADC=2/1=2x4O。=80°,

ZB+ZBAD=ZADC,

.-.ZS=ZADC-ZBAD=80°-40°=40°.

【點評】本題考查平行線的判定與性質，三角形內角和定理，角平分線的定義等知識點，解題的關鍵是熟練

掌握平行線的判定與性質.

七.三角形的外角性質（共2小題）

12.（2023秋?松滋市期中）將一副三角板按照如圖方式擺放，則NCBE的度數為（）

E

【分析】根據三角板的性質得出NACB=60。，44c=45。，再利用外角的性質計算即可.

【解答】解：由題意可得：

ZACB=60°,ZBAC=45°,

NCBE=ZACB+ABAC=600+45°=105°,

故選：C.

【點評】本題考查的是三角形的外角性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的

關鍵.

13.（2024春?武進區期中）如圖，已知NA=60。，ZB=20°,NC=30。，則NBDC的度數為_110。

【分析】延長交AC于E,根據三角形的外角性質計算，得到答案.

【解答】解:延長班）交AC于E,

,.?/DEC是AABE的外角，ZA=60°,ZB=20°,

ZDEC=ZA+ZB=80°,

則ZBDC=ZDEC+"=110°,

【點評】本題考查的是三角形的外角性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的

關鍵.

八.全等圖形（共2小題）

14.（2023秋?長沙期中）如圖，在2x3的正方形方格中，每個小正方形方格的邊長都為1,則/I和N2的

關系是（）

A.Z2=2Z1B.Z2-Zl=90°C.Zl+Z2=180°D.Zl+Z2=90°

【分析】根據題意可得：AC=BD=2,BC=DE=1,ZACB=NBDE=90。,從而可得4+/BED=90。，

然后利用&4s證明AABCMABED,從而可得/2=N3ED,再利用等量代換可得Nl+N2=90。，即可解答.

【解答】解：如圖：

由題意得：AC=BD=2,BC=DE=1,ZACB=ZBDE=90°,

:.Z1+ZBED=9O°,

在AABC和ABED中,

AC=BD

<NACB=NBDE,

BC=DE

:.AABC^ABED（SAS）,

:.Z2=ZBED,

.-.Zl+Z2=90o,

故選：D.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

15.（2023秋?二道區校級期中）如圖，已知方格紙中是9個相同的小正方形，則N1+N2的度數為_45。

【分析】根據全等三角形的判定和性質即可得到結論.

【解答】解：如圖，

在AABC與AEDC中,

AB=DE=2,

</ABC=ZD=90°,

BC=CD=1

:.AABC=AEDC(SAS),

:.Z1=Z.CED,

?.?NCED+N2=45。,

.-.Zl+Z2=45°,

故答案為：45°.

【點評】主要考查了正方形的性質和全等三角形的判定.充分利用正方形的特殊性質來找到全等的條件從而

判定全等后利用全等三角形的性質解題.

九.全等三角形的性質(共2小題)

16.(2023秋?虞城縣校級期中)如圖，AACEwADBF,AD=8,BC=2,貝fjAC=()

A.2B.8C.5D.3

【分析】根據全等三角形的對應邊相等可得=,再求出A5=CZ)=g8Q-BC)=3,那么

AC=AB+BC,代入數值計算即可得解.

【解答】解：尸，

/.AC=DB,

:.AC-BC=DB-BC,即AB=CD,

???A￡>=8,BC=2,

AB=1(AD-BC)=1x(8-2)=3,

:.AC^AB+BC=3+2=5.

故選：C.

【點評】本題考查了全等三角形對應邊相等的性質，熟記性質并求出AB=C0是解題的關鍵.

17.(2023秋?永昌縣校級期中)為了慶祝神舟十五號的成功發射，學校組織了一次小制作展示活動，小明

計劃制作一個如圖所示的簡易模型，已知該模型滿足AABD=AACE，點3和點C是對應頂點，若AB=8cm,

AD=3cm,貝!JDC=5cm.

【分析】由AARDMAACE,得至IjAC=AB=8cm,即可求出CD的長.

【解答】解：?.?AA8D=AACE,

AC=AB=8cm,

AD—3cm,

CD=AC—AD=5(cm).

故答案為：5.

【點評】本題考查全等三角形的性質，關鍵是掌握全等三角形的對應邊相等.

一十.全等三角形的判定(共2小題)

18.(2023秋?永泰縣期中)如圖，已知AB=AC,當添加條件_N3=NC_時，可由“角邊角”判定

AABE=AACD.

【分析】用“角邊角”證明兩個三角形全等，已知條件給出一組邊相等和一組對應角相等，進而添加一組角

相等即可.

【解答】解：添加ZB=NC,

在AABE與AACD中，

ZA=ZA

<AB=AC,

ZB=ZC

:.AABE=AACD（ASA）,

故答案為：ZB=ZC.

【點評】本題考查的是三角形全等的判定，理解“角邊角”定理是解題的關鍵.

19.（2022秋?交城縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，=.在3c上求作一點P使△ABPM△ADP.（要

求：用尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

【分析】作44D的平分線得44P=NZMP,結合=AP=AP可得△ABPM△ADP.

【解答】解：如圖所示，點尸即為所求.

【點評】本題主要考查作圖-基本作圖,解題的關鍵是掌握全等三角形的判定與性質、角平分線的尺規作圖.

一十一.直角三角形全等的判定（共2小題）

20.（2023秋?中山區期中）如圖，在AABC和ADFE1中，ZA=ZD=90°,AC=DE,若要用“斜邊、直角

邊（HL）”直接證明RtAABCvRtADFE,則還需補充條件：_BC=FE_.

【分析】由AC=Z）E,BC=FE,即可推出RtAABC=RtADFE（HL）,于是得到答案.

【解答】證明：在RtAABC和RtADFE中，

AC=DE

BC=FE

RtAABC=RtADFE(HL).

故答案為：BC=FE.

【點評】本題考查直角三角形全等的判定，關鍵是掌握直角三角形全等的判定方法.

21.（2021秋?鎮平縣期中）如圖，AB=AC,ZBAC=90°,于CE_LAE于石，且BD>CE.

求證：BD=EC+ED.

【分析】由題中=以及AB和AC所在三角形為直角三角形，可以判斷出應證明AABDWAC4七.

【解答】證明：?.?"40=90。，CE±AE,BDLAE,

:.ZABD+ZBAD=90°,ZBAD-^ZDAC=90°,ZADB=ZAEC=90°.

.\ZABD=ZDAC.

???在△ABD和AC4E中

NABD=ZEAC

<ZBDA=ZE,

AB=AC

:.AABD=ACAE(AAS).

:.BD=AE,EC=AD.

AE=AD+DE,

BD=EC+ED.

【點評】本題考查三角形全等的判定方法和性質，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS,ASA,

AAS.HL.得到NABD=4MC是正確解答本題的關鍵.

一十二.全等三角形的判定與性質（共2小題）

22.（2023秋?海淀區校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，C（4,4）,點、B、A分別在x軸正半軸和y軸

正半軸上，ZACB=90°,則等于（）

【分析】過。作CM_Ly軸于M,CN_Lx軸于N,證△ACM二△5OV,推出AM=BN,即可解決問題.

【解答】解：過。作CM_Ly軸于M,CN_Lx軸于N,

則/CMA=NCNB=90。,

???C(4,4),

,,.CN=CM=4,

?;ZMON=/CNO=NCMO=90。,

ZMCN=360°-90°-90°-90°=90°,

???ZACB=90°,

:.ZACB=ZMCN,

:.ZACM=ZBCN,

在△ACM和△BCN中，

ZCMA=ZCNB

CM=CN

/ACM=/BCN

△ACM=△BCN(ASA),

:.AM=BN,

:.OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=^^=^.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質和判定，四邊形的內角和定理，坐標與圖形性質等知識，證明

三角形全等是解題的關鍵.

23.(2023秋?沙市區期中)如圖，平面直角坐標系中有點5(-1,0)和點A(0,2),以A點為直角頂點在第二象

限內作等腰直角AABC,則。點的坐標為_(-2,3)_.

【分析】由“A4S”可證ACBE三ABAO,可得CE=BO=2,BE=AO^1,即可求解.

【解答】解：作CELy軸于E.

?1?A(-l,0),8(0,2),

OA=1,OB=2,

???ZCBA=9Q0,

:.ZCEB=ZAOB=ZCBA=90°,

.?.ZECB+ZEBC=90。,ZCBE-^-ZABO=90°,

:.ZECB=ZABO,

在ACBE和ABAO中，

AECB=/ABO

<ZCEB=ZAOB,

BC=AB

:.ACBE=ABAO(AAS),

:.CE=BO=2,BE=AO=1,

即OE=l+2=3,

C(-2,3),

故答案為：(-2,3).

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

一十三.全等三角形的應用（共2小題）

24.（2023秋?青秀區校級期中）如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑4?的卡鉗，卡鉗交叉點O為A4、

郎’的中點.只要量出A8的長度.就可以知道該零件內徑的長度.依據的數學基本事實是（）

A.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等

B.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等

C.三邊分別相等的兩個三角形全等

D.兩點之間線段最短

【分析】根據點O為A4'、班’的中點得出。4=。4',03=03',根據對頂角相等得到NAO3=ZA'03',

從而證得AAOB和△AO2全等，于是有=H3',問題得證.

【解答】解：?.?點O為A4'、8B'的中點，

:.OA=OA,OB=OB',

由對頂角相等得ZAOB=ZAOB',

在AAO3和△AW中，

0A=0A'

<ZAOB=ZA'OB',

OB=OB'

:.AAOB=/\A'OB'(SAS),

:.AB=AB',

即只要量出A9的長度，就可以知道該零件內徑AB的長度，

故選：B.

【點評】本題考查了三角形全等的判定與性質，正確運用三角形全等的判定定理是解題的關鍵.

25.(2023秋?武鳴區期中)如圖，池塘兩端A、3的距離無法直接測量，請同學們設計測量A、3之間距

離的方案.

圖①圖②

小明設計的方案如圖①：他先在平地上選取一個可以直接到達A、8的點O,然后連接40和30,接著分

別延長AO和30并且使CO=AO,DO=BO,最后連接CD,測出CD的長即可.

小紅的方案如圖②：先確定直線過點3作AB的垂線BE,在座上選取一個可以直接到達點A的點

D,連接4),在線段鉆的延長線上找一點C,使OC=",測BC的長即可.

你認為以上兩種方案可以嗎？請說明理由.

【分析】分別證明AABO=ACDO(S45),RtAABD=RtACBD(HL),即可解決問題.

【解答】解：以上兩種方案可以，理由如下：

甲同學方案：

在AABO和ACDO中，

AO=CO

<ZAOB=ZCOD,

BO=DO

:.^ABO=^CDO(SAS),

/.AB=CD；

乙同學方案：

在RtAABD和RtACBD中，

jDA=DC

[DB=DB'

/.RtAABD二RtACBD(HL),

/.AB=BC.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，全等三角形的應用，解決本題的關鍵是得到AABOMACDO

和RtAABD=RtACBD.

一十四.角平分線的性質(共2小題)

26.(2023春?巴州區期中)如圖，在AABC中，ZC=90°,AD平分44c交3C于點￡),DEYAB,垂

足為E,若BC=7,DE=3,則的長為4.

【分析】由角平分線的性質可知8=止=3,根據線段的和差即可得到結論.

【解答】解：?.?4)平分N54C,DELAB,NC=90。,

CD—DE,

?.?DE=3,

CD=3,

:.BD=BC-CD=7-3=4.

故答案為：4.

【點評】本題主要考查了角平分線的性質，熟記角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關鍵.

27.(2024春?平南縣期中)如圖，在AABC中，ZC=90°,AD是NS4c的平分線，于E,尸在

AC上，且BD=DF.

(1)求證：CF=EB；

(2)試判斷4?與AF,￡B之間存在的數量關系.并說明理由.

【分析】(1)根據角平分線的性質得到DC=DE,證明RtAFCD三RtABED,根據全等三角形的性質證明;

(2)證明RtAACD三RtAAED,根據全等三角形的性質證明.

【解答】(1)證明：是/班。的平分線，DE±AB,ZC=90°,

:.DC=DE,

在RtAFCD和RtABED中,

(DC=DE

\DF=DB，

RtAFCD=RtABED(HL),

CF=EB；

(2)解：AB=AF+2BE,

理由如下：在RtAACD和RtAAED中,

DC=DE

AD=AD

RtAACD=RtAAED(HL),

AC=AE,

.,.AB=AE+BE=AF+FC+BE=AF+2BE.

【點評】本題考查的是角平分線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵.

一十五.線段垂直平分線的性質（共2小題）

28.（2022秋?陽信縣期中）如圖，在放△ABC中，NC=90。，AC=3,BC=4,AB的垂直平分線交BC

于點連接AD,則△ACD的周長是（）

C

【分析】直接利用線段垂直平分線的性質得出AD=BD,進而得出答案.

【解答】解：?.?AB的垂直平分線交3C于點

.".AD=BE）9

vBC=4,AC=3,

:.CD+AD=CD+BD=BC=4,

.?.△ACD的周長為：4+3=7.

故選：A.

【點評】此題主要考查了線段垂直平分線的性質，正確得出">=班>是解題關鍵.

29.（2024春?豐順縣期中）如圖，在AABC中，AB的垂直平分線"N交AB于點E,交AC于點￡>,且

AC=15cm,NBCD的周長等于25cm.

（1）求3c的長；

（2）若乙4=36。，并且AB=AC,求證：BC=BD.

【分析】（1）由的垂直平分線交于點E,交AC于點D,可得AD=BD,又由ABCD的周長等

于25c%,可得AC+3C=25aw,繼而求得答案；

（2）由/4=36。，并且AB=AC,易求得N3DC=NC=72。，即可證得3C=BD.

【解答】(1)解：:MN是AB的垂直平分線，

.'.AD—BD9

■：AC=15cm,ABCD的周長等于25a〃，

/.BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC-25cm,

/.BC=lOcm.

(2)證明：vZA=36°,AB^AC,

?/BD=AD,

:.ZABD=ZA=36°.

/.ZDBC=ZABC-ZABD=36°,

/.ZBDC=180。—ZDBC—NO=72°,

:.ZC=ZBDC,

BC—BD.

【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質以及等腰三角形的判定與性質.此題難度不大，注意掌握數形結

合思想與轉化思想的應用.

一十六.等腰三角形的性質（共2小題）

30.（2024春?江陰市期中）已知一個等腰三角形的兩邊長分別為3、6,則這個三角形的周長是15.

【分析】求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長；題目給出等腰三角形有兩條邊長

為3和6,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角

形.

【解答】解：（1）若3為腰長，6為底邊長，

由于3+3=6,則三角形不存在；

（2）若6為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊.

所以這個三角形的周長為6+6+3=15.

故答案為：15.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的

思想方法.求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養成檢驗三邊長能否組成三角形的好習

慣，把不符合題意的舍去.

31.（2023秋?寧津縣期中）如圖，AB^AE,AB!/DE,ZDAB=70°,ZE=40°.

（i）求m歸的度數；

(2)若NB=30。，求證：AD=BC.

【分析】(1)根據平行線的性質可得㈤B,再根據角的和差關系即可求解;

(2)根據ASA可證AAPE二ABC4,再根據全等三角形的性質即可求解.

【解答】解(1)YABIIDE,NE=40。，

.-.ZE4B=ZE=40°,

?/ZZMB=70°,

,.ZDAE=30o；

(2)證明：在AADE與A5c4中,

ZB=/DAE

<AB=AE

ABAC=NE

:.AADE=ABCA(ASA)f

AD=BC.

【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，掌握全等三角形的對應角，對應邊相等是解題關鍵.

一十七.等腰三角形的判定(共2小題)

32.(2021秋?鋼城區期中)如圖，在AABC中，AB=20cm,AC=12cm,點尸從點3出發以每秒3a〃速度

向點A運動，點。從點A同時出發以每秒2c機速度向點C運動，其中一個動點到達端點，另一個動點也

隨之停止，當AAP。是以尸。為底的等腰三角形時，運動的時間是4秒.

【分析】設運動的時間為x,貝|AP=2O-3x,當AP。是等腰三角形時，AP=AQ,則20-3x=2x,解得x

即可.

【解答】解：設運動的時間為X,

在AABC中，AB—20cm,AC=12cm,

點尸從點B出發以每秒3c機的速度向點A運動，點。從點A同時出發以每秒2皿的速度向點C運動,

當AAPQ是等腰三角形時，AP=AQ,

AP=20-3x,A。=2尤

即20-3x=2x,

解得x=4.

故答案為：4.

【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質，此題涉及到動點，有一定的拔高難度，屬于中檔題.

33.（2023春?沈北新區期中）如圖，CE是AABC的角平分線，EF//BC交AC于點、F,求證：AFEC是等

腰三角形.

【分析】根據角平分線的定義可知4CE=N3CE,根據平行線的性質可知4EC=NBCE,等量代換得

ZFCE=NFEC,根據等角對等邊可得結論.

【解答】證明：?.?CE是AABC的角平分線，

:.ZFCE=ZBCE,

■：EF!IBC,

:.ZFEC=ZBCE,

:.ZFCE=ZFEC,

:.FE=FC,

」.AFEC是等腰三角形.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定，如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.

一十八.等腰三角形的判定與性質（共2小題）

34.（2022秋?邯山區校級期中）如圖，在AA5c中，AB=4,AC=6,NABC和NACB的平分線交于O點,

過點。作3c的平行線交回于M點，交AC于N點，則AAMN的周長為（）

BC

A.7B.8C.9D.10

【分析】利用角平分線及平行線性質，結合等腰三角形的判定得到=NC=NO,將三角形4VW

周長轉化，求出即可.

【解答】解：???5O為NABC的平分線，CO為NACB的平分線，

:.ZABO=ZCBO,ZACO=ZBCO,

\-MN//BC,

,\ZMOB=ZOBC,ZNOC=ZBCO,

,\ZABO=ZMOB,ZNOC=ZACO,

:.MB=MO,NC=NO,

:.MN=MO+NO=MB+NC,

???AB=4,AC=6,

.?.兒4^周長為加/+皿+4\』411+板+3+根:=至+47=10,

故選：D.

【點評】此題考查了等腰三角形的性質，以及平行線的性質，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵.

35.（2024春?碑林區校級期中）已知：如圖，在AABC中，=點石在C4的延長線上，EP上BC,

垂足為P,EP交AB于點F.求證：AAEF是等腰三角形.

【分析】根據等邊對等角得出NB=NC,再根據￡P_L3C,得出NC+NE=90。，ZB+ZBFP=90。，從而

得出NE=NBFP,再根據對頂角相等得出最后根據等角對等邊即可得出答案.

【解答】證明：在AABC中，

???AB=AC,

/.ZB=ZC,

\'EPLBC,

/.ZC+ZE=90°,ZB+ZBFP=90。，

:.ZE=ZBFP,

又?.ZBFP=ZAFE,

:.ZE=ZAFE,

:.AF=AE,

二.人/止下是等腰三角形.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質，解題的關鍵是證明NE="石，注意等邊對等角，以及等

角對等邊的使用.

一十九.等邊三角形的性質（共2小題）

36.（2024春?武侯區校級期中）等邊三角形的兩條中線所成的銳角的度數是度.

【分析】根據題意畫出圖形，結合等邊三角形的性質和三角形內角和可求得答案.

【解答】解：如圖，AABC為等邊三角形，BD、CE分別為AC、AB邊上的中線，交于點O,

?.?AABC為等邊三角形，BD、CE分別為AC、AB邊上的中線，

:.CE±AB,班）平分ZABC,

Z.OEB=90°,NEBO=-4ABe=30°,

:.ZB0E=O)°,

故答案為：60.

【點評】本題主要考查等邊三角形的性質，掌握等邊三角形每邊上的中線、高和對角的角平分線相互重合是

解題的關鍵.

37.（2023秋?龍南市期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點B、P、。三點在同一條直線上,且ZABP^ZACQ,

ZBAP=ZCAQ.判斷AAP。是什么形狀，并說明理由.

A

Q

//P\\

BC

【分析】利用ASA證明AABP=\ACQ得至ljAP=AQ,再證明ABAC=ZPAQ=60。即可證明AAPQ是等邊三

角形.

【解答】解：AAP。是等邊三角形，理由如下：

AACB是等邊三角形，

:.AB^AC,Zfi4c=60°,

在AABP與AACQ中，

ZABP=ZACQ

<AB=AC,

ZBAP=ZCAQ

:.AABP=AACQ（ASA）,

AP=AQ,

ZBAP+ZPAC=ZPAC+ZCAQ,即ABAC=ZPAQ=60°,

是等邊三角形.

【點評】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，掌握這些判定是解題的關

鍵.

二十.等邊三角形的判定（共2小題）

38.（2023秋?南崗區校級期中）下列三角形：①有兩個角等于60。的三角形；②有一個角等于60。的等腰三

角形；③三個角都相等的三角形；④三邊都相等的三角形.其中是等邊三角形的有（）

A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④

【分析】直接根據等邊三角形的判定方法進行判斷.

【解答】解：①有兩個角等于60。的三角形是等邊三角形；

②有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；

③三個角都相等的三角形是等邊三角形；

④三邊都相等的三角形是等邊三角形；

故選：D.

【點評】本題考查了等邊三角形的判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等

邊三角形；有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

39.(2022秋?明水縣校級期中)如果a,b,c為三角形的三邊，S.(a-b)2+(a-c)2+\b-c\=0,則這個三

角形是等邊三角形.

【分析】由偶次方的非負性質和絕對值的非負性質得出。-。=0,a-c=0>b-c=0>得出a=b=c,即可

得出結論.

【解答】解：1」(a—6)~+(a—c)?+16—c|=0,

ci—Z?—0>ci—c—0Jb—c=0,

:.a=b,a=c，b=c9

;.a=b=c,

這個三角形是等邊三角形；

故答案為：等邊三角形.

【點評】本題考查了等邊三角形的判定、偶次方的非負性質和絕對值的非負性質；熟練掌握等邊三角形的判

定方法，由偶次方和絕對值的非負性質得出a=b=c是解決問題的關鍵.

二十一.等邊三角形的判定與性質(共1小題)

40.(2023秋?輝縣市期中)如圖，在AABC中，ZACB=9Q°,D是AB上的點，過點。作DE_L交3C

于點F,交AC的延長線于點E,連接CD,ZDCA=ZDAC,則下列結論正確的有()

?ZDCB=ZB；?CD=-AB-,③AADC是等邊三角形；④若NE=3O。，則DE=EF+CF.

2

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【分析】由在AABC中，NACB=90。，DEA.AB,易證得NDC4=NA4C,繼而可得①=正確;

由①可證得AD=3D=CD,即可得②正確；

2

易得③AAOC是等腰三角形，但不能證得AADC是等邊三角形；

由若NE=30。，易求得NFDC=NFCD=30。,則可證得DF=CF,繼而證得DE=EF+CF.

【解答】解：,在AABC中，ZACB=90°,DE±AB,

ZADE=ZACB=90°f

.\ZA+ZB=90°,ZACD+ZDCB=9G0,

???NDC4=NZMC,

:.AD=CD,ZDCB=ZB；故①正確；

/.CD=BD9

\AD=CD,

:.CD=-AB；故②正確；

2

ZDCA=ZDAC,

AD=CD,

但不能判定AAOC是等邊三角形；故③錯誤;

?.,若ZE=30°,

.-.ZA=60°,

AACD是等邊三角形，

.?.ZADC=60。，

ZADE=ZACB=90°,

ZEDC=ZBCD=ZB=3QP,

:.CF=DF,

:.DE=EF+DF=EF+CF.故④正確.

故選：B.

【點評】此題考查了等腰三角形的性質與判定以及直角三角形的性質.注意證得。是AB的中點是解此題的

關鍵.

二十二.直角三角形的性質（共2小題）

41.（2023秋?蒙城縣期中）如圖，已知AC_LBC于點C,8_1鈣于點￡>,ZA=56°,則NDCB的度數是

)

c

A.30°B.45°C.56°D.60°

【分析】根據垂直的定義和直角三角形的性質解答即可.

【解答】街：???CD_LAB,AC±BC,

ZADC=NCDB=ZACB=90。，

?/ZA=56°,

/.ZACD=90°-56°=34°,

.?.ZDCB=90°-34°=56°,

故選：C.

【點評】此題考查直角三角形的性質，關鍵是根據直角三角形的兩個銳角互余解答.

42.（2023秋?從江縣校級期中）在RtAABC中，NC=90。，若NA=37。，則的度數為53°

【分析】根據三角形的內角和定理即可得到結論.

【解答】解：在RtAABC中，NC=90。，NA=37。，

ZB的度數為180°-90°-37°=53°,

故答案為：53°.

【點評】本題考查了直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形中兩銳角互余是解題的關鍵.

二十三.含30度角的直角三角形（共2小題）

43.（2024春?碑林區校級期中）如圖，在RtAABC中，ZBAC=90°,NB=30。，AD±BC.則下列等式成

立的是（）

AD=2DCC.AB=4DCD.BD=2AC

3

【分析】根據在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出瓦＞=3DC,BD=-AC,

2

BC=4DC,AC=2DC.

【解答】解：?.?44C=90。，ZB=30°,

.\BC=2AC,ZC=60°,

\AD.LBC,

:.ZDAC=30°,

AC=2DC,

.?.B不符合要求；

:.BC=4DC,

.?.C不符合要求；

BD=3DC,

符合要求；

AC^2DC,BC=4DC

3

:.BD^-AC,

2

不符合要求；

故選：A.

【點評】本題考查了含30度角的直角三角形，掌握此定理，應用時，要注意找準30。的角所對的直角邊，

點明斜邊，是解題的關鍵.

44.（2023秋?長沙期中）如圖，在AABC中，1垂直平分分別交AB、3c于點￡）、E,AE平分

NBAC,ZB=30°.

（1）求/C的度數；

（2）若DE=2,求BC的長.

【分析】（1）DE是邊上的垂直平分線推=利用等腰三角形的性質和角平分線的定義推角相等,

最后得出角的度數；

（2）利用角平分線的性質求出EC的長，再由直角三角形的性質求出助的長，進而可得出結論.

【解答】解：（1）是邊4?上的垂直平分線，

AE=BE,

ZB=ZBAE^30°.

?.?AE平分NBAC,

:.ZBAE=ZEAC=3O°,

ZBAC=ZBAE+ZEAC=30°+30°=60°,

NC=180°—NS4C—NB=180°—60°—30°=90°；

（2）平分ZBAC,ZACB=90°,DE±AB,

:.EC=ED=2,

?.?DE垂直平分AB,

:.ZBDE=90。.

在ABDE中，

,;NBDE=90。.ZB=30°.

:.BE=2DE=4.

:.BC=BE+EC=4+2=6

【點評】本題考查的是含30度角的直角三角形、線段垂直平分線的性質，熟知在直角三角形中，30。角所

對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵.

二十四.多邊形（共2小題）

45.（2022秋?夏津縣期中）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，則尤為（）

A.30°B.35°C.36°D.45°

【分析】根據正多邊形的每個內角相等以及多邊形的內角和公式可得NE=NCDE=108。，再根據正多邊形

的各邊相等可得AADE是等腰三角形，據此可得N1的度數，再根據角的和差關系求解即可.

【解答】解：因為五邊形4JCDE是正五邊形，

所以NE=NCDE="經生且=108°,AE=DE,

5

所以Nii』空=36。，

2

所以x=NCDE-Nl-N3=36°.

故選：C.

【點評】本題主要考查了多邊形，熟記多邊形的內角和公式是解答本題的關鍵.

46.（2021秋?新城區校級期中）把一個多邊形紙片沿一條直線截下一個三角形后，變成一個十八邊形，則

原多邊形紙片的邊數可能是18邊形或17邊形或19邊形.

【分析】一個〃邊形剪去一個角后，剩下的形狀可能是，邊形或（"+1）邊形或（〃-1）邊形.

【解答】解：當剪去一個角后，剩下的部分是一個18邊形，

則這張紙片原來的形狀可能是18邊形或17邊形或19邊形.

故答案為：18邊形或17邊形或19邊形.

【點評】此題主要考查了多邊形，剪去一個角的方法可能有三種：經過兩個相鄰頂點，則少了一條邊；經過

一個頂點和一邊，邊數不變；經過兩條鄰邊，邊數增加一條.

二十五.多邊形內角與外角（共2小題）

47.（2024春?西湖區校級期中）如果一個多邊形的內角和是外角和的3倍，則這個多邊形的邊數是（）

A.6B.7C.8D.9

【分析】根據多邊形的內角和公式及外角的特征計算.

【解答】解：多邊形的外角和是360。，根據題意得：

180-（/2-2）=3x360,

解得n=8.

故選：C.

【點評】本題主要考查了多邊形內角和公式及外角的特征.求多邊形的邊數，可以轉化為方程的問題來解

決.

48.（2024春?濟南期中）如圖，正五邊形ABCDE和正六邊形昉的邊CD、FG在直線/上，正五邊

形在正六邊形左側，兩個正多邊形均在/的同側，則的大小是48度.

【分析】解法一：根據多邊形內角和公式，分別求出正五邊形和正六邊形的內角度數，即可得ZEDF和ZEFD

的度數，再根據三角形的內角和定理即可得出答案；

解法二，根據多邊形的外角和是360。，分別求出NEZ/和NEFD的度數，再根據三角形的內角和是180。，

從而得出ND砂的度數.

【解答】解：?.?五邊形ABCDE是正五邊形，

每個內角度數為（5—2）x180。—og。.

5

:.ZEDC=108°,

ZEDF=72°,

同理可得正六邊形BFGHMN每個內角度數為120。.

ZEFG=120°f

:.ZEFD=60°,

,\ZDEF=180o-ZEDF-ZEFD=180o-72o-60o=48°.

解法二：???五邊形ABCDE1是正五邊形,

:.ZEDF=72°,

???六邊形EFGHMN是正六邊形，

:.ZEFD=60。,

.*.ZDEF=180o-Z￡DF-ZE7T>=180o-72o-60o=48°；

故答案為：48.

【點評】本題主要考查多邊形內角與外角，熟練掌握多邊形的內角和定理和外角和度數是解題的關鍵.

二十六.作圖一基本作圖（共2小題）

49.（2023秋?渝北區期中）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,根據尺規作圖的痕跡，判斷以下結論錯誤

的是（）

A.ZBDE=ZBACB.ZBAD=ZBC.DE=DCD.AE=AC

【分析】由尺規作圖的痕跡可得，DELAB,AD是44。的平分線，根據同角的余角相等可判斷A,根據

角平分線的性質可判斷。，證得RtAAED二RtAACD可判定。，由于DE不是AB的垂直平分線，不能證明

NBAD=NB-

【解答】解：根據尺規作圖的痕跡可得，

?.?DE可以理解成是平角的角平分線，

:.DE±ABfAO是NBA。的平分線，

???NC=90。，

:.DE=DC,ZB+ZBDE=ZB+ZBAC=90。,

:.ZBDE=ZBAC,

在RtAAED和RtAACD中，

AD=AD

DE=DC

/.RtAAED工RtAACD（HL）,

AE=AC,

?.?DE不是AB的垂直平分線，故不能證明NSM>=Nfi,

綜上所述：A,C,D不符合題意，3符合題意，

故選：