熱點題型?選填題攻略

專題07立體幾何外接球與內切球+截面問題

O----------------題型歸納?定方向----------?>

目錄

題型01內切球等體積法.........................................................................1

題型02內切球獨立截面法......................................................................6

題型03補形法.................................................................................8

題型04單面定球心法（定+算）................................................................12

題型05雙面定球心法（兩次單面定球心）.......................................................17

題型06平行線（相交線）法做截面..............................................................21

?>-----------題型探析,明規律------------?>

題型01內切球等體積法

【典例1-11（24-25高三上?浙江?開學考試）若某圓臺有內切球（與圓臺的上下底面及每條母線均相切的球）,

且母線與底面所成角的余弦值為:，則此圓臺與其內切球的體積之比為（）

【答案】A

【知識點】錐體體積的有關計算、臺體體積的有關計算、球的體積的有關計算、多面體與球體內切外接問

題

【分析】將圓臺還原成圓錐，作出圓錐的軸截面，再結合給定角求出圓錐底面圓半徑、高與內切球半徑的

關系即可計算得解.

【詳解】將圓臺母線延長交于點S,得圓錐5。一作圓錐SO】的軸截面，等腰梯形ABC。為圓臺的軸截面，

截內切球。得大圓，并且是梯形ABC。的內切圓，令&4切圓。于T,如圖,

設底面圓直徑AB=2R,依題意，cosZ&AO,=1,SA=3R,SQ=20R,

設內切球半徑為r,則。7=。。[=。。2=廠，cosZSOT=1,SO=3r,

SQ=4r=20R,于是R=6r,且。?為SO^的中點，而內切球體積匕=可，,

圓臺的體積％=/—叫-:兀（、產：501=2（何2.4廠=93,

所以圓臺與其內切球的體積比為1=:.

故選：A

【典例1-2]（23-24高一下?福建龍巖?期末）已知球。內切于圓臺ER其軸截面如圖所示，四邊形ABCQ

為等腰梯形，AB//CD,且CD=2AB=6,則圓臺所的體積為（）

27扃D51ali「57瓜、630兀

D.C.D.

4---------------------4------------------------------4------------------------------4

【答案】D

【知識點】臺體體積的有關計算、多面體與球體內切外接問題、切線長

【分析】根據題意，作出圖形，得到上下底面的半徑，進而分析運用勾股定理求出高即可.

【詳解】根據圓和等腰梯形的對稱性知道，E歹分別為上下底的中點.

連接E尸，則EFLOC,過8GLDC于G.四邊形￡BCG為矩形.

33

由于8=6"=3,則"=3沖=]'則GC=FC"G="dEw

39

由切線的性質知道BCnBE+CFn=+Bn不

22

貝！]BG=y]BC2-GC2=

V4s上+X+F）力，SE（|）2=X32=9兀,,BG=3底.

代入計算可得，y[x嚀+9兀+尸）X3應=『.

【變式1-1]（2024?河南開封?二模）已知經過圓錐SO的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐

5。分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是

（）

A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27

【答案】C

【知識點】錐體體積的有關計算、多面體與球體內切外接問題

【分析】作出圓錐SO的軸的截面，根據題意推出上、下兩部分幾何體的兩部分的內切球的半徑之比為1:3,

從而可得上部分圓錐的體積與圓錐SO的體積之比為1:27,從而可得解.

【詳解】如圖，作出圓錐S。的軸截面

設上、下兩部分幾何體的兩部分的內切球的球心分別為E,F,半徑分別為r，R,

即OF=FG=R,EG=r,

根據題意可知△SAB為正三角形，易知SE=2r,圓錐SO的底面半徑08=再，

:.SO=2r+r+R+R=3r+2R,又SO=~jiOB,

3r+27?=37?,/.R=3r,

???上部分圓錐的底面半徑為高為力，

又圓錐SO的底面半徑為O8=V5R=3Br,高為SO=3r+2R=9r,

上部分圓錐的體積與圓錐SO的體積之比為f-Y=—,

y3J27

上、下兩部分幾何體的體積之比是1:26.

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是找到上、下底面的半徑的關系，從而得到兩圓錐的體積之比.

【變式1-21（23-24高一下?湖北黃岡,期末）若圓錐的內切球（球面與圓錐的側面以及底面都相切）的半徑為1,

當該圓錐體積是球體積兩倍時，該圓錐的高為（）

A.2B.4C.73D.2上

【答案】B

【知識點】球的截面的性質及計算、錐體體積的有關計算、球的體積的有關計算、多面體與球體內切外接

問題

【分析】先設出未知量，即圓錐半徑為「，圓錐高為〃，分析組合體軸截面圖，找出"與「的一組關系式，

再根據題意中圓錐與球體的體積關系找出另一組人與廠的關系式即可求出答案.

【詳解】如下圖組合體的軸截面，設圓錐半徑為「，圓錐高為力，則=AO=h-l,AC=^+r2-

由$111/。4￡1=5111/。4/7得襄=曾,代入得/?r-2/?r2-/z2=0①，

Cz/i

23

由"該圓錐體積是球體積兩倍"可知V=1^./Z=2x（1^xl）,即加2=&②，聯立兩式得h=4.

故選:B

【變式1-3]（24-25高三上?河北保定?開學考試）如圖，已知球。內切于圓臺（即球與該圓臺的上、下

底面以及側面均相切），且圓臺的上、下底面半徑4=1/=3,則球。與圓臺。。2側面的切痕所在平面分圓

臺上下兩部分體積比為

【知識點】臺體體積的有關計算、多面體與球體內切外接問題

【分析】作出該幾何體的軸截面，利用平面幾何知識，分別計算出切痕所在平面圓的半徑。3尸和上下兩個

圓臺的高。03和。2。3，即可代入圓臺體積公式計算即得.

【詳解】

如圖為該幾何體的軸截面，其中圓。是等腰梯形ABC。的內切圓,

設圓0與梯形的腰相切于點P，Q，與上、下底分別切于點。，。2，

圓臺上、下底面的半徑為4="=3.則CQ=CP=1,BO2=BP=3,.

TT

BC=BP+PC=4,于是，在直角梯形GQ8C中，易得=

=20尸="2-（3-1）2=2A/3，則^6>16>P=ZB=|,

設0P與002交于點。3,則尸=6sing=1,

003=0。1-。。3=鳳6cosm=孝，

09=O&=2后與=當,

故圓臺。1。3體積為K=；義^~（兀+卜義］+；兀）=與￥兀，

圓臺QC體積為K=；義巧^（；兀+/；兀*9兀+9兀）=63f兀,

19百

V兀19

故切痕所在平面分圓臺上下兩部分體積比為于=3丁=廝-

v26373Iov

19

故答案為：.

題型02內切球獨立截面法

【解題規律?提分快招】

定義1；若一個多面體的各頂點都在一個球面上，則稱這個多面體是這個球的內接多面體，這個球是多面體

的外接球。

定義2；若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是多

面體的內切球。

【典例1-1】(2024?江蘇宿遷?三模)若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個球是這個多面

體的內切球.在四棱錐中，側面上鉆是邊長為1的等邊三角形，底面ABCC)為矩形，且平面

平面A2CD.若四棱錐尸-ABCD存在一個內切球，設球的體積為用,該四棱錐的體積為匕，則J的值為

72

()

6兀n百兀C島n百兀

A.D.>------------U?

6121854

【答案】C

【知識點】錐體體積的有關計算、球的體積的有關計算、多面體與球體內切外接問題、面面垂直證線面垂

直

【分析】過點尸作出四棱錐P-ABCD的內切球截面大圓，確定球半徑表達式，再借助四棱錐體積求出球半

徑計算作答.

【詳解】如圖，取中點8中點N,連接尸Af,PN,MN,

因△聲是正三角形，則又ABCD是矩形，有MN上AB,

而平面平面平面尸ABc平面ABCD=AB,PA/u平面弘8,A￡Vu平面ABC￡>,

因此PA/_L平面ABCD,初V_L平面上鉆，

又ADIIMNIIBC,則A￡>_L平面上45,3C_L平面則A￡)_LR1,BC1PB,

PMcMN=M,PM,MNu平面尸MV,則平面9V,又PNu平面尸MV,

所以AB_LPN,而AB〃CD,則CDLPN,顯然APADRPBC,

由球的對稱性和正四棱錐尸-ABCD的特征知，平面尸MV截四棱錐尸-A5CE>的內切球。得截面大圓，

此圓是RtZkPMN的內切圓，切MN,分別于E,F,有四邊形OEMF為正方形，

2>

設AD=x,又PM=昱,PN=J-+x2則球的半徑r=gi一-+x

2V424J

又四棱錐P-ABCD的表面積為S=SVMB+2S、PAD+SABCD+SVPCD=^-+x+x+^,

由^P-ABCD=J=3^ABCD，PM,解得X={>

所以"=

v2lo

故選：c.

【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵是過點尸作出四棱錐尸-ABCD的內切球截面大圓，利用等體積法求出

內切球半徑「和AD.

【變式1-1］（23-24高一下?浙江寧波?期末）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉

膈.在鱉膈A-BCD中，平面BCD,BCA.CD,且AB=3C=CD=1,則其內切球表面積為（）

A.3兀B.抬71C.^3—2^2j71D.—1）無

【答案】C

【知識點】球的表面積的有關計算、多面體與球體內切外接問題、線面垂直證明線線垂直

【分析】設四面體ABCD內切球的球心為0,半徑為「，則

+

^ABCD=^O-ABC+^O-ABD+^O-ACD+^O-BCD~S&ABC+S&ABD^AACD+S*CD）,求得

^ABCD~^AABC+^AABD+^AACD+^ABCD=1+V2>匕（BCD=§義］X1X1X1=q，從而求得廠,根據球的表

面積公式即可求解.

【詳解】

A

因為四面體ABC。四個面都為直角三角形，平面

所以AB上BD,AB上BC,BC上CD,ACLCD,

設四面體ABC。內切球的球心為0,半徑為一，

r++

則^ABCD~^O-ABC+K)-ABD+^O-ACD+^0-BCD=§(^AABC^ABD^hACD+^BCD)

LL3V

所以廠=飛一，

ABCD

因為四面體ABCD的表面積為S^CD=^AABC+^AABD+^AACD+^ABCD-+及，

又因為四面體A5CD的體積匕BCD=7x^xlxlxl=7J

32o

所以，工處，

S2

所以內切球表面積S=4兀產=(3-20)兀.

故選：C.

題型03補形法

②對棱相等模型(補形為長方體)

題設：三棱錐(即四面體)中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑

(AB=CD,AD^BC,AC=BD)

【典例1-1】在VA3C中，BC=6,AB+AC=8,E,F,G分別為三邊BC,CA,A8的中點，將AAFG,

△BEG,△€￡尸分別沿尸G,EG,斯向上折起，使得A,B,C重合，記為P,則三棱錐尸-EFG的外接球

表面積的最小值為（）

15K17兀19兀21K

A.B.C.D.

2222

【答案】B

【知識點】基本（均值）不等式的應用、球的表面積的有關計算、多面體與球體內切外接問題

【分析】設凡8=2m，AC=2n,由題設m+〃=4.將尸-EFG放在棱長為x,y,z的長方體中，可得羽

的關系式，三棱錐P-EFG的外接球就是長方體的外接球，利用基本不等式結合球的表面積公式求解.

【詳解】設AB=2m,AC=2n,由題設“i+〃=4.

三棱錐尸―EFG中，FG=PE=3,EF=PG=m,EG=PF=n,

將P-EFG放在棱長為x,y,z的長方體中，如圖，

三棱錐尸—EFG的外接球就是長方體的外接球，

2

所以（2R）2=x+y2+z2=g（9+根？+〃2）,

由基本不等式療+〃2"+-=8,當且僅當〃?="=2時等號成立，

2

所以外接球表面積s=4幾后＞|（9+8）7t=^.

故選：B.

【點睛】關鍵點睛：本題解決的難點是根據題意得到三棱錐尸-EPG的特征，從而放置到相應的長方體中,

由此得解.

【典例1-2】據《九章算術》中記載，"陽馬”是以矩形為底面，一棱與底面垂直的四棱錐.現有一個“陽馬”,

24,底面4BCD,底面4BC。是矩形，且PA=5,AB=4,BC=3,則這個“陽馬”的外接球表面積為（）

A.5TTB.200兀C.50TID.100兀

【答案】C

【知識點】球的表面積的有關計算、多面體與球體內切外接問題

【分析】把四棱錐補成一個長方體，如圖，長方體的對角線就是其外接球也是四棱錐P-ABCD的

外接球直徑，由長方體性質求得球半徑后可得表面積.

【詳解】把四棱錐P-ABC。補成一個長方體，如圖，長方體的對角線就是其外接球也是四棱錐尸-ABCD的

外接球直徑，

設球半徑為R，則（2R>=PA2+AB2+BC2=50,

球表面積為S=4兀4=5071.

【變式1-1】三棱錐P-ABC中，上4,平面ABC,S.PA=AB=2,ABrBCS.BC=4,三棱錐尸—ABC的

外接球表面積為（）

28?

A.16rcB.20nC.-----D.24rt

3

【答案】D

【知識點】球的表面積的有關計算、多面體與球體內切外接問題

【分析】將三棱錐放入一個長方體中，求出長方體的體對角線，則得到長方體外接球的直徑，利用球的表

面積公式求解即可.

【詳解】解：因為三棱錐P-A2C中，24,平面ABC,AB±BC,

不妨將三棱錐放入一個長方體中，則長方體的外接球即為三棱錐的外接球，

因為長方體的體對角線即為其外接球的直徑，因為g=AB=2,BC=4,

則長方體的長寬高分別為4,2,2,所以三棱錐P-ABC外接球的半徑R=gJ2?+噌+」=日,

故三棱錐尸-ABC外接球的表面積S=4irR2=24n.

故選：D.

p

【變式1?2】已知三棱錐A-5CD的所有棱長均為2,球。為三棱錐A-5CD的外接球，則球。的表面積為

()

A.兀B.2兀C.4兀D.6兀

【答案】D

【知識點】球的表面積的有關計算、多面體與球體內切外接問題

【分析】把正四面體放置在正方體中，轉化為正方體外接球問題，求出半徑，代入球的表面積公式求解即

可.

【詳解】三棱錐A-BCD的所有棱長均為2,

故可把三棱錐A-BCD放置在正方體中，

如圖

設正方體的棱長為則/+/=22,解得八五，

三棱錐A-8CD的外接球就是正方體的外接球，

故球。的半徑7?=率=當，所以球。的表面積5=4兀［*］=671.

故選：D

【變式1-3］在邊長為4的正方形A8CQ中，如圖甲所示，E,F,M分別為BC,CD,BE的中點，分別沿

AE,AP及所所在直線把“￡3以4萬和折起，使B,C,O三點重合于點P,得到三棱錐P-AEF,

如圖乙所示，則三棱錐尸-AEF外接球的體積是；過點M的平面截三棱錐尸-但外接球所得截

甲乙

【答案】8扁［兀,6兀］

【知識點】球的截面的性質及計算、球的體積的有關計算、多面體與球體內切外接問題

【分析】對于第一空，三棱錐尸-AE尸外接球即為補形后長方體的外接球，從而即可求解；對于第二空，由

最大截面為過球心。的大圓，最小截面為過點M垂直于球心。與“連線的圓即可求解.

【詳解】對于第一空，由題意，將三棱錐補形為長、寬、高分別為2,2,4的長方體，如圖所示，

三棱錐尸乂所外接球即為補形后長方體的外接球，

所以外接球的直徑（2R『=22+2?+4?=24,所以R=布,

所以三棱錐尸-A所外接球的體積為V==8詬t；

對于第二空，過點M的平面截三棱錐P-AEF的外接球所得截面為圓，

其中最大截面為過球心。的大圓，此時截面圓的面積為兀汽2=兀（?了=6兀，

最小截面為過點M垂直于球心。與M連線的圓，

此時截面圓半徑,=JR2一?！?=一］等：=后*=1（其中"N長度為長方體前后面對角線長度）,

則截面圓的面積為兀r2=it,

所以過點M的平面截三棱錐P-W的外接球所得截面的面積的取值范圍為［兀,6兀］.

故答案為：8扃；［兀,6兀］.

題型04單面定球心法（定+算）

【解題規律?提分快招】

步驟：①定一個面外接圓圓心：選中一個面如圖：在三棱錐P-A5C中，選中底面AABC,確定其外接圓

圓心a（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點上，普通三角形用正弦定理定外心

a

2。r=------）、；

sinA

②過外心做（找）底面AABC的垂線，如圖中pq，面ABC,則球心一定在直線（注意不一定在線段尸。1

上）PQ上;

③計算求半徑R：在直線尸。1上任取一點。如圖：則0P=Q4=R,利用公式042=014+00;可計算

出球半徑

【典例1-1】已知球。是正三棱錐尸-A5c的外接球，若正三棱錐尸-ABC的高為近，底邊=則

球心0到平面ABC的距離為（）

A.正B.也C.旦D."

4242

【答案】A

【知識點】多面體與球體內切外接問題

【分析】設正三棱錐尸-A6C的底面中心為Q為BC的中點，連接A。，顯然球心O在直線PM上，由

OA2=+儂2可得外接球半徑，從而得解.

【詳解】設正三棱錐尸-ABC的底面中心為。為BC的中點，連接AD

顯然球心。在直線上，設球。的半徑為凡因為尸加=忘，

所以球心。到底面ABC的距離為OM=|魚-R|,AM=-AD=-ABx^=l,

332

由042=0“+.2,得R2=（QR）2+F,R=_^=￡^,

2V24

所以球心。到平面ABC的距離為0一逑=1.

44

故選：A

【典例1-2】在四面體ABC。中，AB=4,CD=2,AC=AD=BC=BD=3,則四面體ABC。的外接球表面積

為.

■“人-,1..657C,65

【答案】

44

【知識點】多面體與球體內切外接問題

【分析】取C。中點E,連接AE,8E,設出球心，求出△38的外接圓半徑，根據A尸2+0尸=A02可建

立關系求出.

【詳解】如圖，取8中點E,連接的,砥，

因為A5=4,Cr>=2,AC=AD=BC=BO=3,

所以人石工⑺刀石，。。,

易求得BE=AE=d3?—f=2血，滿足，

所以因為BEnCO=E,所以AE_L平面BCD,

設球心為0,球半徑為R,設△BCD的外接圓圓心為O',半徑為「，

可得sin/BCD=^=逑,則2yBD=述,即一述

BC3sinZBCD48

2

在AE上取一點/，令OO'=EF,則EF=00'=ylOB-O'B-=

mc口。弁9虎7后AF=2V2-^7?2-1|)

OF=OE=2,2---------=--------，

88

因為在Rt^AOF中AF-+OF2=AO2,

所以20—卜+［半］=R2,解得尺=字,

所以表面積為4兀心等

故答案為：等

A

【變式1-1】已知球。為棱長為1的正四面體ABC。的外接球，若點尸是正四面體A3。的表面上的一點,

。為球。表面上的一點，則|尸0的最大值為（）

A.逅B.逅C.逅D.如

61242

【答案】D

【知識點】球的結構特征辨析、多面體與球體內切外接問題

【分析】求出正四面體外接球半徑，再分析出最大值即可外接球直徑.

【詳解】首先求出正四面體外接球的半徑：

由正四面體的對稱性與球的對稱性可知球心在正四面體的高上：

設外接球半徑為R，如圖（。為外接球球心，G為△BCD的重心），

CE=-,CG=-CE=—,EG=-CE=—,

23336

AG=^AC2-CG2=—>:.OG=直一R,

33

Rt^OCG中，OC?=OG2+CG2,

即嚴=g—R『+（多2,得R邛,

因為點尸是正四面體ABC。的表面上的一點，。為球。表面上的一點，

則|尸。|的最大值相當于外接球的直徑,則闿最大值為2R=2x手邛.

故選：D.

D

【變式1-2】已知一個正三棱柱既有內切球又有外接球，且外接球的表面積為40兀，則該三棱柱的體積為（

A.6A/6B.12A/6C.6MD.12A/10

【答案】B

【知識點】柱體體積的有關計算、球的表面積的有關計算、多面體與球體內切外接問題

【分析】利用正三棱柱的性質，依題知其內切球和外接球是同心球，先求出外接球半徑，再根據球心在底

面的投影恰為底面正三角形的中心，由之求得底面三角形邊長，從而可求體積.

【詳解】

B

如圖，設正三棱柱ABC-的外接球。的半徑為R,

貝1」4兀尺2=40兀，解得R=

因三棱柱ABC-A瓦C有內切球，設內切球半徑為『，則正三棱柱的高為2升,

連接443。,444。1的中心。2，9,則線段aa的中點即為球心。，

依題意，VABC內切圓半徑為「，得QC=2r,AB=26r,

則（2r）2+尸=笛，解得r=應,AB=2娓,

故三棱柱的體積為V=—x（2痣yx2五=12瓜

4

故選：B.

【變式1-3】已知正VABC邊長為1,將VA2C繞BC旋轉至△ZJ8C,使得平面ABC_L平面BCD,則三棱

錐D-ABC的外接球表面積為.

【答案】$

【知識點】球的表面積的有關計算、多面體與球體內切外接問題

【分析】由題意畫出圖形，取中點G,連接AG,DG,分別取VA3C與△OBC的外心作平面A3C與

平面。8C的垂線，相交于。，則。為四面體A-BCD的球心，再利用勾股定理求出多面體外接球的半徑,

代入表面積公式得答案.

【詳解】如圖，

D

A

取BC中點G,連接AGOG,則AGL3C,DGLBC,

分別取AASC與右加。的外心E,F分別過E,P作平面ABC與平面O3C的垂線，相交于O,則。為四面體

A-BCD的球心，

由AB=AC=D3=DC=3C=1,

所以正方形。EGF的邊長為衣￡,

二四面體A-3CD的外接球的半徑R=JOG?+BG=+QJ=^,

球0的表面積為4兀

故答案為：—.

題型05雙面定球心法（兩次單面定球心）

【解題規律?提分快招】

如圖：在三棱錐尸—ABC中：

①選定底面AABC,定AABC外接圓圓心。1

②選定面AR43,定AB43外接圓圓心。2

③分別過。1做面ABC的垂線，和。2做面的垂線，兩垂線交點即為外

接球球心。.

【典例1-1】已知菱形ABC。的各邊長為2,〃=60。.如圖所示，將AACD沿AC折起，使得。到達點S的

位置，連接S3,得到三棱錐S-ABC,此時S3=3,E是線段S4中點，點尸在三棱錐S-ABC的外接球上

運動，且始終保持班，AC,則三棱錐S-ABC外接球半徑為，則點產的軌跡的周長為.

【知識點】錐體體積的有關計算、多面體與球體內切外接問題、證明線面垂直、線面垂直證明線線垂直

【分析】根據線線垂直可得AC，平面SMB,由直角三角形可得三棱錐的高，結合勾股定理進而可得三棱

錐外接球的半徑，可得點的軌跡為截面圓的周長.

【詳解】取AC中點則AC±SM,BM^SM=M,u平面SMB,

ACmSMB,SM=MB=6，又SB=3,

:.NSBM=ZMSB=3。。,

作LAC于設點尸軌跡所在平面為a,

則平面a經過點“且AC_La,

設三棱錐S-ABC外接球的球心為0,^SAC,△班C的中心分別為。1，02,

易知。q_L平面SAC,00?_L平面BAC,且0,?！?2,M四點共面,

由題可得NOMQ=|ZO]MO2=60°,OXM=；SM=與,

在RtAOOM，得OOI=6QM=1,又OR=?M=當

則三棱錐S-ABC外接球半徑r=Joo；+0,2=

易知。到平面a的距離d=MH=g,

故平面a截外接球所得截面圓的半徑為（=介一屋=

???截面圓的周長為兀釬竽兀，即點尸軌跡的周長為￥*

故答案為：與，號.

S,o

【點睛】方法點睛：解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問

題求解，其解題思維流程如下：

（1）定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相

等且為半徑；

（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現這些

元素的關系），達到空間問題平面化的目的；

（3）求半徑下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.

【典例1-2］如圖，在四面體中，與均是邊長為2括的等邊三角形，二面角

的大小為120。,則此四面體的外接球表面積為.

C

【答案】28無

【知識點】球的表面積的有關計算、由二面角大小求線段長度或距離

【分析】由已知結合二面角及三棱錐的性質先定出球心的位置，然后結合球的性質求出球的半徑，進而求

得答案.

【詳解】過球心。分別作平面ABD、平面BDC的垂線,垂足分別為。1，打，則。1，。2分別為與乙BCD

的外心，

取80的中點7/,連接02H,因為△ABD與△BCD均是邊長為2月的等邊三角形

所以為二面角A-BD-C的平面角，即ZO.HO,=120°,

在R/AOH。中,四=9冬2庠1,NOHO、=；/0則=60。,

所以oq=〃qYanNO〃q=g,在R/AOA。中，AO[=2HOi=2,

故外接球的半徑7?=。4=5/^2=5，所以外接球的表面積為5=4?！?28兀

故答案為：28兀

【變式1-1]如圖，在四面體A28中，VABC和AACE)均是邊長為6的等邊三角形，D3=9,則四面體ABCZ)

外接球的表面積為;點￡是線段A。的中點，點廠在四面體A2CD的外接球上運動，且始終保持

EF±AC,則點尸的軌跡的長度為.

【答案】84兀5后

【知識點】球的表面積的有關計算、多面體與球體內切外接問題、立體幾何中的軌跡問題

【分析】設四面體ABC。外接球的球心為。ADACABAC的中心分別為?,。2,則可得。。J_平面

DAC,OO21^BAC,且。,。|,。2，加四點共面，可得/OMa=g/qMO2=60°，進而求出。。1、O,D,

然后由勾股定理求出四面體ABCD外接球的半徑；取AC中點作AC于“，設點尸軌跡所在平面

為a,求出四面體ABCD外接球半徑和0到平面a的距離，從而可求出平面a截外接球所得截面圓的半徑，

進而可得結果.

取AC中點M,連接曲公DM,則u平面DMg,

又VA3C和均是邊長為6的等邊三角形，DB=9,

,ACJ_平面DMB，DM=MB=正-號=3下）,

所以8sZDBM=1+卜.—"=走，

2x9x3括2

???ZDBM=NMDB=30°,

設四面體ABCD外接球的球心為O,GAC,^BAC的中心分別為旦,O?,

易知。平面ZMC,Oa，平面BAC，且O。。，加四點共面，

由題可得

ZOMOX=|ZOXMO2=60°,OjAf=；DM=道,

在R〃OO|M中，得OO[=6C\M=3,又0\D=%DM=2坦,

2

則四面體ABCD外接球半徑r=《00；+0P=干+2可=721,

所以四面體ABC。外接球的表面積為4W2=4兀x（0T）2=84兀；

作EHLAC于a，設點尸軌跡所在平面為a,

則平面a經過點H且4c_La,

3

易知。到平面。的距離d=MH=7，

2

故平面a截外接球所得截面圓的半徑為外=介_/=即；=（,

所以截面圓的周長為/=2叫=56,即點P軌跡的周長為5岳.

故答案為：84兀；5石7i.

題型06平行線（相交線）法做截面

【解題規律?提分快招】

平行線法:經過兩條平行（相交）直線確定唯一平面

【典例1-1]（23-24高三上?北京東城?期末）如圖，在正方體ABCD一片B￡R中，A8=2,￡尸分別是DD「即

的中點.用過點/且平行于平面ABE的平面去截正方體，得到的截面圖形的面積為（）

A.&B.275C.V5D.叵

2

【答案】B

【知識點】判斷正方體的截面形狀、由平面的基本性質作截面圖形

【分析】根據平行四邊形的性質可得四邊形RG*w為截面所在的四邊形，即可利用線面垂直得四邊形

QG&w為矩形，即可求解.

【詳解】取AA的中點加，連接

則MFUABUCR，故四邊形D￡FM為平行四邊形，即為過點F且平行于平面4洱的截面,

DtM=石,MF=2,且CQ_L平面ADDXCX,DXMu平面ADD?，則CQ±D,M,

故四邊形為矩形，

故四邊形的面積為MB，/=26，

故選：B

【典例1-2］（21-22高二上?北京?階段練習）正方體ABCD-A/B/C/Q中，E是棱A/Q中點，/是棱48中

點，G是棱BC中點，作出過E,F,G的平面截得正方體的截面形狀.

【答案】作圖見解析

【知識點】判斷正方體的截面形狀、由平面的基本性質作截面圖形、面面平行證明線線平行

【分析】根據正方體的幾何結構特征，結合平面的性質，即可求得截面的性質.

【詳解】過E,F,G的平面截得正方體的截面為六邊形EKPGH。，如圖所示，

作法：根據給定的條件，得到尸G就是一條交線，

又因為平面ABCOII平面4B/C/Q,第三個平面和它們相交，截面和面A/SG。/的交線一定和尸G平行,

又由石是4。/的中點，故取。口的中點。，則E。也是一條交線，

再延長QE和8/4的延長線交于點M,則點M在平面A/B/C/功和平面ABBiAt的交線上，

連接交A/A于點K,則EK,KP又是兩條交線，

同理可以得到。"，HG兩條交線，

因此，六邊形EKFGHQ就是所求截面.

【變式1-1]（23-24高一下?北京通州,期末）如圖，正方體48CD-ABIGR的棱長為1,E為8C的中點,

產為線段CG上的動點，過點A,E,尸的平面截該正方體所得截面記為S,則下列命題正確的是

①直線與直線"相交；

②當0<CF<；時，S為四邊形；

③當尸為C4的中點時，平面AE尸截正方體所得的截面面積為六；

O

④當Cb=：時，截面S與42，G2分別交于則削=4.

【答案】②③④

【知識點】判斷正方體的截面形狀、由平面的基本性質作截面圖形、異面直線的判定

【分析】①，由，￡>//平面ACQA，可知直線與直線AF不可能相交，即可判斷；

②，由0<b<；可得截面S與正方體的另一個交點落在線段。A上，即可判斷；

③，由E為BC的中點，尸為CC]的中點，可得截面為等腰梯形，求出等腰梯形的上、下底和高，即可求得

截面面積，即可判斷；

31

④，當CF=a時，延長。。至&，使=連接AT?交AA于連接跖交GR于N連接MN,取AD

的中點s,D2上一點Q,使連接SE、SQ.QF,可求得再利用勾股定理求出MN,

4

即可判斷.

【詳解】①，因為尸為線段CG上的動點，所以詼U平面ACGA，由正方體可知2。//平面ACGA，所

以直線A。與直線AF不可能相交，故①錯誤;

②，當0<CF<g時，截面S與正方體的另一個交點落在線段。A上，如圖所示:

所以截面為四邊形；

又AGu面4MG,故4G〃面4.，故②正確;

③，連接AR,R尸,AEBG，如下所示：

因為E為BC的中點，/為CC|的中點，

則EF//BCJIADt,故面AEFD,即為平面AEF截正方體所得截面；

在RtA，G尸和RtAABE中,

又==乎，故該截面為等腰梯形，

又EF=：BCi={BB；+qC；=曰,AD1=JM+A.=友,

故截面面積S=；（EF+A2）xJoJp^^y=；x等+應*竽=|,故③正確;

31

④，當=a時，延長。。至R,使D[R=],

連接AR交AR于M,連接火尸交C2于N連接肱V,

3

取AD的中點S,OR上一點。，使連接S區SQ.QF,

4

如圖所示:

R

因為SE〃/）C且SE=DC,。//ADC且。尸=DC,

所以SE〃。尸且SE=QF,所以四邊形SEFQ是平行四邊形，則SQ〃族,

133

由。R=5，DQ=-,所以QR=QR+DR=D〃一。Q+RR=Z，

則。為。R中點，則SQ//4?,所以砂//4?,

又ARD\N~^FClN,^RDlM~^A\M,

11

RN_2K=2D1M=D\R=2=1

倚￡NQFt_3AA12

一4

2211

所以，N=

則在RtAMRN中MN=SN+DIM2=+[]=y-，故④正確；

故答案為：②③④.

【變式1-2]（23-24高一下?北京昌平?期末）在棱長為1的正方體A2CD-ABGR中，E,F,G分別為

棱44-CR,CQ的中點，動點以在平面屏'G內，且DH=1.給出下列四個結論：

①AB〃平面EFG；

②點H軌跡的長度為無；

③存在點H,使得直線DHL平面所G；

④平面跳G截正方體所得的截面面積為38.

一4

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①②④

【知識點】判斷正方體的截面形狀、判斷線面平行

【分析】根據aEG都是棱的中點，可以做出過耳尸,G的截面，再根據正方體的棱長和?！钡拈L度，可確

定H點的軌跡，從而可判斷各個結論的正確性.

【詳解】如圖：

因為歹，G分別為GA，CG中點，所以尸G//CR,

又CD］AB,所以AB//尸G,又歹Gu平面跳G,人田。平面E〃G,

所以A3//平面EFG,故①成立；

連接。鳥，交EG于點0,易證。與，平面EFG,0D=—,DH=l,

2

所以OH=g,故H點軌跡是平面EFG內以。為圓心，以g為半徑的圓，

所以H點軌跡長度為：2兀、：=兀，故②成立；

由②可知，不可能與平面跳G垂直，故③不成立；

做出截面所G,可知截面是正六邊形，且邊長為交，其面積為：6x3x［變］=迪,故④成立.

24(2)4

故答案為：①②④

【點睛】方法點睛：根據線面平行的判定和性質，可以確定過點EEG三點的截面.

題型通關?沖高考

一、單選題

1.（2024?北京朝陽?一模）在棱長為1的正方體ABCD-A瓦GR中，￡,F,G分別為棱44一BC,CQ

的中點，動點H在平面