平行線中的拐點模型（5大模型）

01模型導圖

目錄

【模型總結】...................................................................................1

模型1：豬蹄模型（M型）與鋸齒模型.............................................................1

模型2：鉛筆頭模型............................................................................11

模型3：牛角模型..............................................................................20

模型4：羊角模型..............................................................................24

模型5：蛇形模型（“5”字模型）...............................................................28

02模型總結

模型I：豬蹄模型（V型）與鋸齒模型

【模型解讀】

圖1圖2圖3

如圖1,①已知：AMWBN,結論：乙IPB=〃H乙B；②已知：乙4PB=乙計乙B,結論：AMWBN.

如圖2,已知：AMWBN,結論：Z-Px+^Pi=^A+^B+^P2.

如圖3,已知：AM\\BN,結論：乙/+乙七+…+乙匕"+1=乙4+乙8+zJ:>2+…+4&

【模型證明】

（1）//尸8=//+/8這個結論正確，理由如下：如圖1,過點尸作尸。〃

N

,:PQ〃AM,AM//BN,：.PQ//AM//BN,；./4=/4PQ,NB=/BPQ,

：.ZA+ZB=ZAPQ+ZBPQ=ZAPB,即：ZAPB=ZA+ZB.

（2）根據（1）中結論可得，ZA+ZB+ZP2^ZP1+ZP3,

故答案為：ZA+ZB+ZP2=ZP1+ZP3,

（3）由（2）的規律得，//+N5+NP2+~+尸2”=/尸1+N尸3+NR+…+/尸2〃+1

故答案為：//+N3+/7V1----1■尸2”=NPi+NA+NPs_1----HZP2M+I

例題：（2025七年級下?全國?專題練習）如圖，

AB//CD,DE1EF,FG±EF,ZABG=150°,ZCDE=140°,求ZBGF的度數.

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?遼寧鐵嶺?期中）已知直線直線。與直線4、4分別相交于C、。兩點.

圖a圖6

（1）如圖。，有一動點尸在線段CO之間運動（不與C、。兩點重合），問在點P的運動過程中，/1、/2、Z3

又怎樣的數量關系？試說明理由.

（2）如圖6,當動點P線段8之外運動（不與C、。兩點重合），問上述結論是否成立？若不成立，試寫

出新的結論并說明理由.

2.（23-24七年級下?黑龍江鶴崗?期末）如圖1,已知/8〃CD,求證：44阱+/。尸尸=/￡尸尸；小明想至1」

了以下方法，請幫助他完成證明過程:

證明：

(1)如圖1,過點尸作尸G〃N8,則/4EP=.()

AB//CD,

.■.PG\\()

ZCFP=()

又N1+N2=NEPF,

ZAEP+ZCFP=ZEPF.

(2)如圖2,AB//CD,請寫出//EP+/E尸產+乙印C的和并說明理由；

(3)如圖3,43〃。，請直接寫出圖3中N4EP+ZEPQ+ZPQF+NQFC的和.

3.(2024七年級上?全國?專題練習)⑴如圖①，AB//CD,試問/2與N1+N3的關系是什么？并說明理

由；

(2)如圖②，AB//CD,試問N2+N4與4+N3+N5的關系是什么？請直接寫出結論；

(3)如圖③，AB//CD,試問N2+N4+N6與N1+N3+/5+N7的關系是什么？請直接寫出結論.

4.(24-25八年級上?全國?期末)如圖①，直線48〃CD,點P在兩平行線之間，點E在4B上，點尸在CD

上，連接尸￡、PF.

圖①圖②圖③

圖⑸

(1)若/尸匹=60。，ZPFD=50°,則ZEPF的度數為_。.

(2)如圖②，若點P、。在直線49與CD之間，Zl=30°,/2=40。，Z3=70°,則N4的度數為一。.

(3)如圖③，在圖①基礎上，作如平分NPEB,FR平分/PFD,若設NPEB=x°,NPFD=y。,則

/耳=_。.

如圖④，若所平分4班，FP］平分2RFD,可得與，E［平分NP』B,廠鳥平分/單明，可得/乙,

…，依次平分下去，則/q=_°.(用含X、了的式子表示)

(4)在一次綜合實踐活動課上，張開同學制作了一個如圖⑤所示的“回旋鏢”，經測量發現/尸/。=38。，

ZPBC=22°,他很想知道//P8與NC的數量關系，你能告訴他嗎？請你寫出求解過程.

模型2：鉛筆頭模型

圖1圖2圖3

如圖1,①已知：AM//BN,結論：Zl+Z2+Z3=360°；②已知：Zl+Z2+Z3=360°,結論：AM//BN.

如圖2,已知：AM//BN,結論：Zl+Z2+Z3+Z4=540°

如圖3,已知:AM//BN,結論：Zl+Z2+...+Zn=（〃一1）180°.

【模型證明】在圖1中，過P作/M的平行線PQ,

g隹

"JAM//BN,：.PQ//BN,：.Z\+ZAPQ=1SO°,/3+/B尸。=180°,Zl+Z2+Z3=360°；

在圖2中，過馬作的平行線尸C，過點尸2作的平行線尸2。，

'SAM//BN,：.AM//PIC//P2D//BN,

Nl+/APC=180°,/尸2尸1。+/尸12。=180°,/822。+/4=180°,Nl+N2+N3+N4=

540°；

在圖3中，過各角的頂點依次作N8的平行線,

根據兩直線平行，同旁內角互補以及上述規律可得：/1+/2+N3+…+/〃=(?-1)180°.

例題：(2024七年級下?全國?專題練習)如圖1,四邊形跖VB。為一張長方形紙片.

圖4

則

NBAE+ZAEC+ZECD=

(2)如圖3,將長方形紙片剪三刀，剪出四個角(/BAE、NAEF、NEFC、ZFCD),貝I]

ZBAE+ZAEF+ZEFC+ZFCD=

(3)如圖4,將長方形紙片剪四刀，剪出五個角(/BAE、NAEF、NEFG、NFGC、ZGCD),則

ZBAE+AAEF+NEFG+ZFGC+ZGCD=

(4)根據前面探索出的規律，將本題按照上述剪法剪〃刀,剪出5+1)個角，那么這(〃+i)個角的和是

鞏固訓練

1.(23-24七年級下?江蘇宿遷?階段練習)(1)如圖①，貝+

MAX//NA2,、

如圖②，則/4+/4+/4=，請你說明理由；

MAX//NA3,

(2)如圖③，MAJ/NA&,貝+/4+"=

（3）利用上述結論解決問題：如圖④，AB//CD,和NCOE的平分線相交于點憶/E=130。,

求NAFD的度數.

2.（22-23七年級下?廣東江門?階段練習）（1）如圖1,AB//CD,求44+4EC+/C的度數.

解：過點￡作EF〃/5.

EFUAB（已作），

：.ZA+ZAEF=180°（）.

XvABItCD（已知），

//（平行關系的傳遞性），

.■.ZC￡F+Z=180°（兩直線平行，同旁內角互補），

.?.N4+N/￡^+NC￡^+NC=360。（等式性質），

即N4+AAEC+ZC=；

（2）根據上述解題及作輔助線的方法，在圖2中，AB//EF,貝U/B+/C+ZD+/E=；

（3）根據（1）和（2）的規律，圖3中猜想：ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=；

（4）如圖4,AB//CD,在B,。兩點的同一側有M，M2,….此共〃個折點，貝|

4+/峪+4％+...+乙4+40的度數為（用含〃的代數式表示）.

3.（23-24七年級下?山東青島?單元測試）已知：（1）AB//CD,P為平行線內一點，請猜測/8、NP、ND

的關系并說明理由.

（2）若內部有兩個點A，P2,那么N8,/￡＞和/耳，/舄又有怎樣的數量關系（直接寫出結果）

（4）若內部有"個點的位置這樣變化，你找到了怎樣的規律？（直接寫出結果）

模型3：牛角模型

如圖1,已知結論：Z1=Z2+Z3

如圖2,已知/8〃CD,結論：Zl+Z3-Z2=180°

【模型證明】在圖1中,過￡作的平行線斯，.?./1+/尸￡3=180°

圖2

.,.N3+NFED=180°,即：N3+/2+NFE8=180°,.\Z1=Z2+Z3.

在圖2中，過E作的平行線ER：.Z1+ZFEB=\SO°

'：AB//CD,J.EF//CD,：.N3=NFEC,即：/3-/2=/FEB,AZl+Z3-Z2=180°.

注意;牛角模型的證明也可添加其他輔助線，如：延長N8交。￡于點尸，或延長￡8交C。于點尸等。

例題：（23-24七年級下?全國?單元測試）如圖，已知AABC=75°,ZCDE=145°,則/BCD

的度數為.

E

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?全國?期末）直線4B〃CD,P為直線4B上方一點，連接口、PD.

圖2

（1）如圖1,若44=100。，40=130。，求乙4PZ）的度數;

（2）如圖1,設NP/8=a,ACDP=（3,求44PD的度數（用含a、P的式子表示）;

/Apr

⑶如圖2,N為44B內部一點,ABAN^APAN,連接CN,若ZDCN=3ZPCN,求萬麗的值.

模型4：羊角模型

圖2

如圖1,已知：ABWDE,結論：a=y-P.

如圖2,已知:ABWDE,結論：a+￡+7=180°.

【模型證明】在圖1中,過C作的平行線CF,：，/3=￡FCB

,:ABRDE,：.CF\DE,：.乙y=幺FCD,,:乙a=^FCD-乙FCB,：.乙a=「y-乙0.

在圖2中，過C作N8的平行線CF,：//3=乙FCB

■■ABWE,：.CFWE,：.^y+^FCD=\^0,,:乙FCD=Aa+乙FCB,.-.ztz+z^+zy-z=180°.

例題：（2024七年級上?全國?專題練習）如圖。，AB//CD,猜想N5PZ）與/3、的關系，并說明理

由.

⑴填空：

解:猜想48尸。+乙?+/。=360。.理由：過點P作EF〃4B,如圖e所示，所以N3+N3PE=180°

（①）.因為N3〃CD,EF//AB,所以斯||CD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么

②）,所以NEPD+NO=180。（③）,所以NB+NBPE+NEPD+ZD=

（4）,即/B+ZBPD+ZZ>=360°；

（2）依照上面的解題方法，觀察圖6,已知43〃CD,猜想圖中的與23、的關系，并說明理

由;

(3)觀察圖c和圖d,已知N2〃CD,猜想圖中的N2P。與/3、的關系，不需要說明理由.

鞏固訓練

1.(23-24七年級下?重慶南岸?期末)已知：AB//CD.

(1)如圖1,點E在48,CD之間，請說明44+/C=/E；

(2)如圖2,請用等式表示NC,/E之間的數量關系，并說明理由;

(3)如圖3,請直接用等式表示/C,組,ZE2,24之間的數量關系

模型5：蛇形模型(“5”字模型)

基本模型：如圖，AB//CD,結論：Zl+Z3-Z2=180°.

如圖1,已知