試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁陜西省西安中學高2025屆高三第二次模擬考試數學試題（時間：120分鐘滿分：150分）第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設，其中i為虛數單位．則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．在矩形ABCD中，，則以A，B為焦點，且過C，D兩點的橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．若在區間上是增函數，則的最大值是（

）A． B． C．1 D．4．已知圓，圓，兩圓的公共弦所在直線方程是（

）A． B． C． D．5．若（a，b為有理數），則a=（

）A．-25 B．25 C．40 D．416．在研究變量與之間的關系時，進行實驗后得到了一組樣本數據利用此樣本數據求得的經驗回歸方程為，現發現數據和誤差較大，剔除這兩對數據后，求得的經驗回歸方程為，且則（

）A．8 B．12 C．16 D．207．已知函數是上的偶函數，對任意，且都有成立．若，，，則的大小關系是（

）A． B． C． D．8．設是首項為，公比為q的等比數列的前項和，且，則（

）．A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分．9．如圖，四邊形的斜二測畫法的直觀圖為等腰梯形，已知，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．四邊形的面積為 D．四邊形的周長為10．若曲線（e為自然對數的底數）有兩條過坐標原點的切線，則a的取值可以是（

）A． B． C．0 D．111．甲、乙兩個口袋各裝有1個紅球和2個白球，這些球除顏色外完全相同．把從甲、乙兩個口袋中各任取一個球放入對方口袋中稱為一次操作，重復n次操作后，甲口袋中恰有0個紅球，1個紅球，2個紅球分別記為事件，，，則（

）A． B．

C． D．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．雙曲線的左，右焦點分別為，點在雙曲線右支上，若，則.13．在棱長為2的正方體中，點是棱的中點，則點到平面的距離是到平面的距離的倍．14．把1?2?3?4?5這五個數隨機地排成一個數列，要求該數列恰好先遞增后遞減，則這樣的數列共有.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．某同學用“五點法”畫函數（ω＞0，）在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：0πx020－20(1)請將上表數據補充完整，并直接寫出函數的解析式；(2)當時，求使成立的x的取值集合．16．已知平面上動點到的距離比到直線的距離小1，記動點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)設點的坐標為，過點作曲線的切線，切點為（在第一象限），若過點的直線與曲線交于M，N兩點，證明：．17．已知函數．(1)若對任意的恒成立，求實數的取值范圍；(2)若是函數的極值點，求證：．18．如圖1，是等邊三角形，為等腰直角三角形，，將沿AC翻折到的位置，且點不在平面內（如圖2），點在線段PB上（不含端點）．(1)證明：；(2)若直線PC與AB所成角的余弦值為．（i）當直線PB與平面所成角為60°時，求PF；（ii）設平面與平面的夾角為，求的取值范圍．19．材料一：在伯努利試驗中，記每次試驗中事件發生的概率為，試驗進行到事件第一次發生時停止，此時所進行的試驗次數為，其分布列為，我們稱服從幾何分布，記為.材料二：求無窮數列的所有項的和，如求，沒有辦法把所有項真的加完，可以先求數列前項和，再求時的極限：根據以上材料，我們重復拋擲一顆均勻的骰子，直到第一次出現“6點”時停止.設停止時拋擲骰子的次數為隨機變量.(1)證明：；(2)求隨機變量的數學期望；(3)求隨機變量的方差.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】根據復數的四則運算法則，復數模的計算，結合充分性和必要性的定義進行判斷即可.【詳解】因為，所以．令，解得或，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A2．A【分析】由題意可得，根據勾股定理求出，利用橢圓的定義即可求離心率.【詳解】由題知：，則，因為點C在橢圓上，所以由橢圓的定義知：，即，所以.故選：A.3．A【分析】易知，由時，，根據在區間上是增函數，由求解.【詳解】解：，當時，，因為在區間上是增函數，所以，則，所以，則的最大值是，故選：A4．B【分析】兩圓方程作差即可.【詳解】由圓，圓，兩式作差得，，即，所以兩圓的公共弦所在直線方程是.故選：B.5．D【解析】先求得二項式的展開式的通項公式，然后令求解.【詳解】二項式的展開式的通項公式為：，則，故選：D6．C【分析】由題意，求出剔除后的平均數，進而求出剔除前的平均數，根據回歸直線必過樣本點中心得到，進而得到，將點代入，即可求解.【詳解】設沒剔除兩對數據前的平均數分別為，，剔除兩對數據后的平均數分別為，，因為，所以，，則，所以，又因為，所以，解得.故選：C.7．A【分析】根據題意，由偶函數的性質可得的圖象關于直線對稱，結合函數的單調性分析可得在上為增函數，據此分析可得答案．【詳解】根據題意，函數是上的偶函數，則函數的圖象關于直線對稱，又由對任意，且，都有成立，則函數在上為增函數，又，，，又，所以，由函數的圖象關于直線對稱，知，又，所以，故，故選：A．8．C【分析】根據題意算出，可得且，由此對各項的結論加以判斷，即可得結論．【詳解】，，，即且，，且，兩邊都除以，得，可得．對于A，由，可得，故A項不正確；對于B，由于，所以不成立，故B不正確；對于C，因為，所以，可得．結合，可得，故C正確；對于D，根據且，當，時，，此時不成立，故D不正確．故選：C．9．BC【分析】A選項，作出輔助線，得到各邊長，結合，求出；B選項，由斜二測法可知；C選項，作出原圖形，求出各邊，由梯形面積公式得到C正確；D選項，在C基礎上，求出各邊長，得到周長.【詳解】A選項，過點作⊥軸于點，因為等腰梯形中，，所以，又，所以，A錯誤；B選項，由斜二測法可知，B正確；C選項，作出原圖形，可知，，，⊥，故四邊形的面積為，C正確；D選項，過點作⊥于點，則，由勾股定理得，四邊形的周長為，D錯誤.故選：BC10．AD【分析】設切點為，求導得出斜率，利用點斜式得到切線方程，因為切線過坐標原點，可得到，有兩條切線轉化為有兩個不等的實根，即可求出a的取值范圍，進而得到正確選項.【詳解】設切點為，，所以切線的斜率，則此曲線在P處的切線方程為，又此切線過坐標原點，所以，由此推出有兩個不等的實根，所以，解得或，故選：AD．11．ABD【分析】對于A項，重復一次操作，甲袋中有1紅的情況有兩種，運用互斥事件的概率加法公式計算即得；對于B項，運用條件概率公式，分別算出和代入公式計算即得；對于C項，運用獨立事件的概率乘法公式計算即得；對于D項，運用相容事件的并的概率公式計算即得.【詳解】因在操作前，甲袋中：1紅2白，乙袋中：1紅2白．對于A項，重復1次操作，甲口袋中有1紅的概率，故A項正確；對于B項，，，，故，故B項正確；對于C項，因事件與相互獨立，則，，故C項錯誤；對于D項，，故D項正確．故選：ABD．【點睛】關鍵點點睛：對所求事件所包含的情況的判斷，求若干事件的并的概率，需要判斷互斥還是相容，對于條件概率題，要么用樣本空間中基本事件數計算，要么用概率公式計算，對于積事件的概率應先判斷兩事件的獨立性，再用公式求.12．【分析】根據雙曲線的定義求得，再利用余弦定理求解.【詳解】因為點在雙曲線右支上，且，則，又，在中，由余弦定理可得，，所以.故答案為：.

13．2【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法分別求得點到平面的距離與點到平面的距離，即可求解.【詳解】以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則,設平面的法向量為，則，則，取，則，所以，，，所以點到平面的距離為，點到平面的距離為,所以，故點到平面的距離是到平面的距離的2倍.故答案為：2.14．14【分析】根據題意，5為遞增和遞減的分界點，分情況求出總數即可．【詳解】該數列為先增后減，則5一定是分界點，且前面的順序和后面的順序都只有一種，當5前面只有一個數時，有4種情況，當5前面只有2個數時，有種情況，當5前面有3個數時，有4種情況，故一共有．故答案為：14.15．(1)表中數據見解析，；(2)【分析】（1）根據表示數據可得函數的最值、周期和取得最值時的的值，然后可得答案；（2）由條件可得，然后解出即可.【詳解】（1）表中數據補充完整為：0πx020－20（2）由可得所以，解得所以使成立的x的取值集合為16．(1)(2)證明過程見解析【分析】（1）直接法得到，分和兩種情況，進行化簡，舍去不合要求的方程，求出曲線的方程為；（2）設，求導，得到過點的切線斜率為，結合兩點間斜率公式得到方程，求出，，軸，要使，只需，設直線的方程，聯立，求出兩根之和，兩根之積，計算出，證畢.【詳解】（1）由題意得，當時，，平方化簡得，當時，，平方化簡得，由可知，不合題意，舍去，綜上，曲線的方程為；（2）設，因為，所以，故過點的切線斜率為，又直線的斜率為，故，解得，故，又，所以軸，要使，只需，當直線斜率不存在時，與拋物線只有1個交點，不合要求，設直線的方程為，聯立得，，解得或，設，則，則，故，此時直線的斜率取值范圍是.17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由參數分離整理不等式，并構造函數，利用導數求得新函數的最值，可得答案；（2）根據極值點與導數的關系，可得極值點的取值范圍以及等量關系，整理所證的不等式，可得答案.【詳解】（1）由，則可得不等式，由，則，令，求導可得，令，解得，當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，由題意可得.（2）由，則，令，求導可得在上恒成立，則函數在上單調遞增，即函數在上單調遞增，由是函數的極值點，則，即，由，則，所以.18．(1)證明見解析(2)（i）；（ii）【分析】（1）取中點為，由題意可得，再結合線面垂直的判定定理及性質定理即可證明；（2）（i）設，則，由，可得，即兩兩互相垂直，以為原點，以為基底，建立空間直角坐標系，設，求出的坐標，結合題意利用線面角的向量求法即可求解.（ii）利用二面角的向量求法可得，令，則，可得，所以，繼而即可求解.【詳解】（1）證明：取中點為，連接，因為，所以，又因為，平面，所以平面，又因為平面，所以.（2）（i）因為為等腰三角形，，所以，因為為等邊三角形，所以，設，所以，，，所以，，所以或，又因為，所以，所以兩兩互相垂直，以為原點，以為基底，建立空間直角坐標系，，則，設，所以，所以，設平面的法向量為，則，取，得，所以，解得或0（不符合題意，舍去），所以，即.（ii）設平面的法向量為，，則，取，得，所以，令，則，所以，因為時，，所以，所以.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查線面角、二面角的向量求法，關鍵是需要建立空間直角坐標系，由（1）知平面，所以需證明，設，以為基底來表示與，