難點與解題模型11與角平分線、中點有關問題（5大熱考題型）題型一：與角平分線有關問題題型二：與中線有關問題題型三：與中位線有關問題題型四：與等腰三角形底邊中點有關問題題型五：倍長中線模型題型一：與角平分線有關問題常考模型及步驟第一步：依據特征找模型——找是否存在角平分線第二步：抽離模型——判斷角平分線上一點與角兩邊上點的連線與角平分線的位置關系第三步：利用性質解題——利用角平分線的性質、全等三角形、等腰三角形“三線合一”及平行線的性質解題【中考母題學方法】【典例1-1】（2023·湖南·中考真題）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以小于長為半徑作弧，分別交于點，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，在內兩弧交于點；③作射線，交于點．若點到的距離為，則的長為．【答案】【分析】根據作圖可得為的角平分線，根據角平分線的性質即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于點，依題意，根據作圖可知為的角平分線，∵∴，故答案為：．【點睛】本題考查了作角平分線，角平分線的性質，熟練掌握基本作圖以及角平分線的性質是解題的關鍵．【典例1-2】（2023·江蘇·中考真題）如圖，、、、是直線上的四點，．

(1)求證：；(2)點、分別是、的內心．①用直尺和圓規作出點（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；②連接，則與的關系是________．【答案】(1)見解析(2)①見解析

②【分析】本題主要考查全等三角形的判定、圖形的平移，牢記全等三角形的判定方法和圖形平移的性質（連接各組對應點的線段平行或在同一條直線上）是解題的關鍵．（1）可證得，結合，即可證明結論．（2）①三角形的內心為三角形的三個角的角平分線的交點，因此只需作出任意兩個角的角平分線，其交點即為所求．②因為，所以可看作由平移得到，點，點為對應點，點，點為對應點，據此即可求得答案．【詳解】（1）∵，，，∴．在和中∴．（2）①三角形的內心為三角形的三個角的平分線的交點，作，的角平分線，其交點即為點．

②因為，所以可看作由平移得到，點，點為對應點，點，點為對應點，根據平移的性質可知．故答案為：．【典例1-3】（2023·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實踐問題探究：（1）如圖1是古希臘數學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個已知角．”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在和上分別取點C和D，使得，連接，以為邊作等邊三角形，則就是的平分線．

請寫出平分的依據：____________；類比遷移：（2）小明根據以上信息研究發現：不一定必須是等邊三角形，只需即可．他查閱資料：我國古代已經用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在的邊，上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線是的平分線，請說明此做法的理由；拓展實踐：（3）小明將研究應用于實踐．如圖4，校園的兩條小路和，匯聚形成了一個岔路口A，現在學校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規在對應的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）作圖見解析；【分析】（1）先證明，可得，從而可得答案；（2）先證明，可得，可得是的角平分線；（3）先作的角平分線，再在角平分線上截取即可．【詳解】解：（1）∵，，，∴，∴，∴是的角平分線；故答案為：（2）∵，，，∴，∴，∴是的角平分線；（3）如圖，點即為所求作的點；

．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，角平分線的定義與角平分線的性質，作已知角的角平分線，理解題意，熟練的作角的平分線是解本題的關鍵．【典例1-4】（2023·河南·中考真題）如圖，中，點D在邊上，且．

(1)請用無刻度的直尺和圓規作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)若（1）中所作的角平分線與邊交于點E，連接．求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用角平分線的作圖步驟作圖即可；（2）證明，即可得到結論．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，

（2）證明：∵平分，∴，∵，，∴，∴．【點睛】此題考查了角平分線的作圖、全等三角形的判定和性質等知識，熟練掌握角平分線的作圖和全等三角形的判定是解題的關鍵．【中考模擬即學即練】【變式1-1】（2024·貴州銅仁·一模）如圖，在中，，以為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以，為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線，交于點．已知，，的面積為（

）A．4 B．8 C．10 D．6【答案】D【分析】本題考查了作圖—基本作圖、角平分線的性質．根據角平分線的尺規作圖可得平分．作，再根據角平分線的性質可得，再利用三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：過點作于T，如圖所示：由題意可知：平分，，，，，故選：D．【變式1-2】（2024·山東濟寧·一模）如圖，在中，，．(1)請用無刻度的直尺和圓規在邊上求作一點，使得點到邊，的距離相等（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖形中，過點作于點．求證：；若，，求的長．【答案】(1)作圖見解析；(2)證明見解析；．【分析】（）利用基本作圖作的平分線即可；（）先根據角平分線的性質得到，然后根據“”證明，從而得到；由，則利用三角形面積公式可求出，再利用的結論得到，然后計算即可；本題主要考查了尺規作一個角是平分線，角平分線的性質，三角形全等的判定和性質，三角形面積的計算，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，尺規作一個角的平分線．【詳解】（1）如圖，作的平分線，則為所求，（2）證明:∵平分，，，∴，在和中，，∴，∴；∵，∴，∴，∴．【變式1-3】（2024·河南周口·模擬預測）如圖，在中，．(1)請用無刻度的直尺和圓規作出的平分線．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若（1）中所作的角平分線與邊交于點，，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查尺規作圖-作角的平分線、角平分線的性質，正確作出角的平分線是解答的關鍵．（1）根據作角平分線的方法步驟畫圖即可；（2）過D作于點，根據角平分線的性質得到，然后利用三角形的面積公式求解即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．（2）解：如圖，過D作于點．平分，即，，，．【變式1-4】（2023·廣西桂林·模擬預測）在中，是邊上的高．(1)尺規作圖：作的平分線，交于．(2)若，，求的面積．【答案】(1)詳見解析(2)20【分析】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了角平分線的性質．（1）利用基本作圖作平分；（2）作于，如圖，根據角平分線的性質得，然后利用三角形面積公式計算即可．【詳解】（1）如圖，為所作．（2）作于，如圖，平分，，，，．【變式1-5】（2023·廣東惠州·二模）如圖，，，于．(1)求證：平分；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】本題考查了角平分線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，關鍵是作出輔助線構造全等三角形．（1）過點作，交的延長線于點．由證明，可得，結論得證；（2）證明，可得，可求出．【詳解】（1）證明：過點作，交的延長線于點．，，，，，在與中，，，，又∵平分；（2）解：由（1）可得，在和中，，∴，，．題型二：與中線有關問題與中線有關的解題關鍵解題關鍵是利用中線的性質,如圖,在△ABC中,AD是△ABC的中線則BD=CD,【中考母題學方法】【典例2-1】（2024·山東德州·中考真題）如圖，在中，是高，是中線，，，則的長為（

）A． B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】本題考查了三角形的高線和中線的意義，根據和求出，根據是中線即可求解．【詳解】解：∵，，∴∵是中線，∴故選：B【典例2-2】（2023·浙江·中考真題）如圖，點P是的重心，點D是邊的中點，交于點E，交于點F，若四邊形的面積為6，則的面積為（）

A．15 B．18 C．24 D．36【答案】B【分析】連接,根據三角形重心的性質可知：P在上，由三角形中線平分三角形的面積可知：，證明和,根據相似三角形面積的比等于相似比的平方可解答．【詳解】解：如圖，連接，

點P是的重心，點D是邊的中點，P在上，，，，，，，，設的面積為m，則的面積為，的面積為，四邊形的面積為6，，，的面積為9，的面積是18．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形重心的性質，相似三角形的判定與性質，難度適中，準確作出輔助線是解題的關鍵．【典例2-3】（2024·福建福州·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象分別與等腰的直角邊和斜邊交于點C，D，點A在x軸正半軸上，連接，，若，則的面積為．【答案】【分析】連接，作軸于，由等腰直角三角形的性質得出，由反比例函數的幾何意義得出，證明，得出，求出，再由三角形中線的性質即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，作軸于，，∵為等腰直角三角形，，∴點為的中點，∴，∵點、是反比例函數上的點，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質、反比例函數的幾何意義、相似三角形的判定與性質、與三角形中線有關的面積的計算等知識點，熟練掌握知識點并靈活運用是解此題的關鍵．【典例2-4】（2024·河北·中考真題）如圖，的面積為，為邊上的中線，點，，，是線段的五等分點，點，，是線段的四等分點，點是線段的中點．（1）的面積為；（2）的面積為．【答案】【分析】（1）根據三角形中線的性質得，證明，根據全等三角形的性質可得結論；（2）證明，得，推出、、三點共線，得，繼而得出，，證明，得，推出，最后代入即可．【詳解】解：（1）連接、、、、，∵的面積為，為邊上的中線，∴，∵點，，，是線段的五等分點，∴，∵點，，是線段的四等分點，∴，∵點是線段的中點，∴，在和中，，∴，∴，，∴的面積為，故答案為：；（2）在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴、、三點共線，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查三角形中線的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等分點的意義，三角形的面積．掌握三角形中線的性質是解題的關鍵．【典例2-5】（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點，，三點是格點，點是與網格線的交點．，僅用無刻度直尺在給定網格中完成畫圖．(1)在圖1中，取的中點，的中點，連接，再作平行四邊形；(2)在圖2中，在上畫出一點，使；(3)在圖3中，點在格點上，連接，，在上畫點，使平分四邊形的面積．【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析(3)圖見解析【分析】本題考查三角形的中線，相似三角線的判定和性質，平行四邊形的判定和性質：（1）作的中點，連接，則平行四邊形即為所求；（2）找到格點，使得，連接交于點，則點即為所求；（3）連接，取的中點，過點作，交于點即可．【詳解】（1）解：如圖所示，作的中點，連接，則平行四邊形即為所求，（2）如圖所示，找到格點，使得，連接交于點，則點即為所求，

∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（3）如圖：點即為所求；由作圖可知：，∴，∵（平行線間的距離處處相等），∴．【中考模擬即學即練】【變式2-1】（2024·云南昆明·二模）如圖，，是的兩條中線，連接．若，則陰影部分的面積是（

）

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查的是三角形的中線，熟記三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關鍵．根據三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分計算即可．【詳解】解：是的中線，，，是的中點，，故選：B【變式2-2】（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，是的中線，點E是的中點，連接并延長，交于點F，若．則的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，三角形的中線，正確添加輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．過點A作平行線交延長線于點G，可得，通過比例式即可求出，即可解決問題．【詳解】解：過點A作平行線交延長線于點G，∵，∴，∴，∵點E是的中點，∴，∴，∵是的中線，∴，∴，∴，∴，故選：B．【變式2-3】（2024·安徽蚌埠·模擬預測）如圖，D，E，F分別為三邊上一點，且交于點G，若，則（

）A．50 B．54 C．60 D．63【答案】C【分析】本題主要考查等積法及一元二次方程的解法，熟練掌握等積法是解題的關鍵；設，由題意易得，，然后可建立方程進行求解．【詳解】解：設，由等積法可知：，∴，即①，∵，∴，即②，聯立①②可得：，解得：（負根舍去），∴，∴；故選C．【變式2-4】（2024·重慶·模擬預測）如圖，在中，，為的中點，為中點，連接交于點，則的面積為．【答案】【分析】本題考查了三角形中位線的性質，相似三角形的判定和性質，三角形中線的性質，連接，可得為的中位線，進而得，，即得，得到，再根據已知可得，進而由中線性質得到，再由即可得到，由得到是解題的關鍵．【詳解】解：連接，∵為的中點，為中點，∴為的中位線，∴，，∴，∴，∵，，∴，∵點為的中點，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【變式2-5】（2024·遼寧·模擬預測）如圖，將沿直線翻折得到，交于點，為的中點，連接并延長，交的延長線于點，連接，若，，的面積為，則的面積為．【答案】【分析】本題考查了翻折變換，勾股定理，三角形的面積的計算，根據折疊的性質得到，，根據勾股定理得到，根據三角形的面積公式得到，求得，根據三角形的面積公式即可得到結論，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】∵沿直線翻折得到，∴，，∴，在中，，，∴，∵的面積為，為中點，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【變式2-6】（2024·山東臨沂·模擬預測）如圖，將沿邊上的中線平移到的位置，已知的面積為，陰影部分三角形的面積為，若，則的值為．【答案】【分析】本題主要平移的性質，解題的關鍵是熟練掌握平移變換的性質與三角形中線的性質、相似三角形的判定與性質等知識點．先證明，再利用相似三角形的性質求得便可．【詳解】解：如圖，、，且為邊的中線，，，將沿邊上的中線平移得到，，，則，即，解得或（舍），故答案為：1.5．【變式2-7】（2024·廣東東莞·模擬預測）如圖，在菱形中，兩條對角線相交于點O，，過點C作，交的延長線于點E，連接，則的面積是【答案】【分析】根據菱形的性質得到，利用勾股定理求出，證明，得到，求出，求出，再根據點O是中點，即可求解．【詳解】解：菱形中，兩條對角線相交于點O，，，，，，，，，，，點O是中點，，故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質，三角形中線的性質，三角形相似的判定與性質，勾股定理，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．【變式2-8】（2024·上海浦東新·一模）如圖，在中為中點，為的角平分線，的面積記為，的面積記為，則．【答案】【分析】此題考查角平分線的性質，關鍵是根據三角形中線的性質和角平分線的性質得出面積關系解答．根據三角形中線的性質和角平分線的性質解答即可．【詳解】解：過點D作，為的角平分線，

∵為中點，∴設，則則，故答案為：．【變式2-9】（2024·廣東廣州·二模）如圖，已知中，，，，，為邊上的中線．(1)求的長；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定義及三角形中線的性質是解題的關鍵．（1）先根據的余弦求出的長，再利用勾股定理即可解決問題．（2）根據為邊上的中線可知，的面積是面積的一半，據此可解決問題．【詳解】（1），．在中，，，．（2）為邊上的中線，．又，．題型三：與中位線有關問題與中位線有關的解題關鍵利用中位線的性質解題,如圖,在△ABC中,D,E分別為AB,AC的中點,則DE//BC,【中考母題學方法】【典例3-1】（2024·廣東深圳·模擬預測）【定義】我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．【示例】如圖，，是的中線，且，垂足為，像這樣的三角形稱作“中垂三角形”．設，，．數學興趣小組想研究“中垂三角形”的三邊是否存在某種關系，進行了如下探究過程：(1)【特例探究】如圖2，為“中垂三角形”，當，時，求，的值；解：∵為“中垂三角形”，即，又∵，，∴，，∵分別是中線，連接，∴是的中位線，∴，，∵，，∴，∴，…（此處省略部分步驟）∴，．完成上述解題過程中的填空；：，：，：；(2)【歸納證明】請你觀察（）中的解題思路及計算結果，猜想，，三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖證明你發現的關系式；(3)【拓展應用】利用（）中的結論，解答下列問題：如圖，在邊長為的菱形中，為對角線，的交點，，分別為線段，的中點，連接，并延長交于點，，分別交于點，，直接寫出的值．【答案】(1)，，；(2)，見解析；(3)．【分析】（）判斷為等腰直角三角形，計算即可；（）設，，表示線段，，最后利用勾股定理即可；（）證出，，即可求解；本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理的性質，角所對直角邊是斜邊的一半，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】（1）解：如圖，連接，省略步驟為：，∴，，∴，∴，，故答案為：，，；（2）解：，理由如下：連接，設，，則，∵，，∴，∴，∴，，∴，，∴，，∴；（3）解：連接，∵四邊形為菱形，∴，，，∵，分別為線段，的中點，∴，，，，∴，，∴，∴，即，同理，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，故的值為．【典例3-2】（2024·重慶九龍坡·三模）小明想利用三角形全等的知識，再探三角形中位線定理，他的探究思路如下：如圖，在中，點、分別為、的中點，連接，過點在的右邊作，使得，延長交于點，然后通過證明和平行四邊形來證明三角形中位線定理，請完成下面的作圖和填空．

(1)用尺規完成以下基本作圖：以點為頂點，在的右側作，延長，交于點；（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結論）(2)求證：，．證明：∵點為的中點，∴，又∵，∴①．在和中，，∴，∴③，，∵點為的中點，∴，∴④，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴⑤，∴，．【答案】(1)畫圖見解析(2)①；②；③；④；⑤【分析】本題考查了尺規作圖及幾何證明，涉及作角等于已知角，全等的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，掌握作圖方法和幾何性質是解題的關鍵．（1）根據作角等于已知角的方法作圖即可；（2）根據所給步驟推理證明即可得到結論．【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）∵點為的中點，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵點為的中點，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴，．故答案為：①；②；③；④；⑤．【典例3-3】（2024·廣西南寧·模擬預測）閱讀下面材料，并回答問題．在幾何學習中，經常通過添加輔助線構造圖形，將未知問題轉化為已知問題．在八下課本49頁中，我們得到了三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．證明過程如下：已知：如圖1，D、E分別是的邊AB，AC的中點；求證：且．證明：如圖1，延長DE到點F，使，連接FC，DC，AF．∵E為AC中點①，∴四邊形ADCF是平行四邊形，（②）（填推理的依據）∴CF平行且等于DA即CF平行且等于BD．∴四邊形DBCF是平行四邊形，，又，，．這個證明方法，就體現了三角形問題和平行四邊形問題的相互轉化．(1)請完成證明過程中的填空：①_______

②_______(2)在學習的過程中，我們可以用轉化的數學思想，解決很多數學問題．例如：如圖2，在四邊形ABCD中，，且點E，F分別為AB和CD中點．猜想：線段AD，BC和EF之間的數量和位置關系，并寫出證明過程．(3)類比運用：如圖3，在四邊形ABCD中，，且．求證：．【答案】(1)①CE

②對角線相互平分的四邊形是平行四邊形(2)；；證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據線段中點定義和平行四邊形的判定定理即可得到結論；（2）連接并延長交的延長線于點，先證明，推出，，利用（1）的結論，根據中位線的性質即可求解；（3）如圖3，過點作AB的平行線，交于點，推出四邊形是平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到，，求得，根據等腰三角形的性質得到，于是得到．【詳解】（1）解：①CE；②對角線相互平分的四邊形是平行四邊形故答案為：CE，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；（2），證明：延長和交于點，為CD中點在和中，為的中點，為AB，中點，為的中位線，，，即，（3）證明：過點作AB的平行線，交于點，，四邊形為平行四邊形

即．【點睛】本題考查了三角形中位線定理，等腰三角形的性質，平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，掌握以上知識是解題的關鍵．【中考模擬即學即練】【變式3-1】（2024·山西陽泉·一模）閱讀下面材料，并完成相應的任務．三角形中位線的折法如圖1，在中，，將向下對折，使點A與點C重合，得到折痕，則垂直平分，易得是的中位線，如圖2，借鑒直角三角形中位線的折法，可以折出銳角三角形的中位線．第一步，將向左對折，使點C的對應點落在上，展開后，得到折痕；第二步，將向下對折，使點A與點P重合，得到折痕，則是的中位線．理由如下：設與交于點Q．第一次折疊可得，第二次折疊可得，且．∴．∵．∴（依據）．∵，∴，AE=CE．∴是的中位線，如圖3，繼續探究其他折法：第一步，將向左對折，使點C的對應點落在上，展開后，得到折痕；第二步，將向下對折，使點A的對應點落在上，點M的對應點落在折痕上，則是的中位線．任務：(1)寫出材料中的依據：_____．(2)請根據圖3的折法，求證：是的中位線．【答案】(1)平行線分線段成比例(2)證明見解析【分析】（1）根據平行線分線段成比例可得答案；（2）由第一次對折可得：，，由第二次對折可得：，，，可得，是的垂直平分線，則，如圖，連接交于，再結合平行線分線段成比例即可得到結論．【詳解】（1）解：∵．∴（平行線分線段成比例）（2）由第一次對折可得：，，由第二次對折可得：，，，∴，是的垂直平分線，∴，如圖，連接交于，∵，∴，∴，，∴是的中位線．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理的應用，三角形的中位線的含義，線段的垂直平分線的判定與性質，理解對折的含義是解本題的關鍵．【變式3-2】（2024·江蘇淮安·模擬預測）在初二下學期我們學習了三角形中位線的定義以及三角形中位線定理，并且能用相關知識解決問題．【問題再現】已知：如圖1，在中，D、E分別是邊的中點，求證：，【簡單應用】（1）如圖2，A、B兩地被建筑物阻隔，為測量A、B兩地的距離，在地面上選一點C，連接，分別取的中點D、E．測得的長為，則A、B兩地的距離為_______．（2）如圖3，在四邊形中，，點E、F分別是和的中點，求的長．【靈活運用】如圖4，在邊長為6的正方形中，點E是上一點，點F是上一點，點F關于直線的對稱點G恰好在的延長線上，交于點H，點M為的中點，若，求的長．【答案】問題再現：證明見解析；簡單應用：（1）40；（2）1；靈活運用：3【分析】問題再現：過點C作交的延長線于點F，證明．得到，，進一步證明四邊形是平行四邊形，得到，，即可證明，；簡單應用：（1）根據問題再現的結論求解即可；（2）如圖所示，取中點G，連接，由問題再現的結論可知，，再證明，可由平行線的唯一性可知三點共線，則；靈活運用：如圖所示，連接，由對稱性可得，證明，得到；如圖所示，以所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，設，則，求出，則；再求出，由勾股定理得到，解得或（舍去），則，求出直線解析式為，進而求出點E的坐標即可得到答案．【詳解】解：問題再現：過點C作交的延長線于點F，∴，∵E是的中點，∴．在和中，，∴．∴，，∵D是的中點，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，；簡單應用：（1）∵的中點分別為D、E，∴由問題再現的結論可知，故答案為：40；（2）如圖所示，取中點G，連接，∵點E、F分別是和的中點，∴由問題再現的結論可知，，∵，∴，∴由平行線的唯一性可知三點共線，∴；靈活運用：如圖所示，連接，由對稱性可得，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴；如圖所示，以所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，設，則，∵正方形的邊長為6，∴，∴，∴，∵點H為的中點，∴；∵M為的中點，∴，∵，∴，∴或（舍去），∴，設直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，在中，當時，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，平行四邊形的性質與判定，三角形中位線定理的證明，全等三角形的性質與判定，勾股定理，一次函數與幾何綜合等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．【變式3-3】（2024·遼寧錦州·二模）【問題提出】如圖1，在中，，，為內一點，連接，將繞點順時針旋轉得到，連接并延長到點，使，連接，，．求證：，．【思路探究】“神州小組”的解題思路：將線段借助平行線進行平移，如圖2，過點作平行交的延長線于點，這樣可以將證明和的關系轉化為和的關系；“智慧小組”的解題思路：結合為的中點構造三角形的中位線，如圖3，過點作平行交延長線于點，從而借助三角形中位線性質，將和的關系轉化為和的關系．（1）請你選擇其中一個小組的思路，或者用你自己探究的思路寫出證明過程；【思維訓練】王老師為了進一步讓學生體會平行線在圖形證明中的作用，又出示了下列問題：（2）如圖4，在中，，，為上一點，將繞點逆時針旋轉得到，連接，，為中點，連接并延長交的延長線于點，若，探究，，之間的數量關系，并說明理由；【能力提升】（3）“北斗小組”的同學在【問題提出】的基礎上對該問題又進一步拓展：連接，若為平面內一點，，，，其他條件不變，求的長．【答案】（1）見解析；（2），理由見解析；（3）或【分析】（1）神州小組的解法：將線段借助平行線進行平移，過點作平行交的延長線于點，這樣可以將證明和的關系轉化為和的關系，即可得證；“智慧小組”的解法：結合為的中點構造三角形的中位線，過點作平行交延長線于點，從而借助三角形中位線性質，將和的關系轉化為和的關系，即可得證．（2）過點作交于點，取中點，連接，證明，根據平行線的性質與判定證明，即可解答．（3）分兩種情況，點在內部，點在外部，利用勾股定理即可解答．【詳解】（1）證明：神州小組的解法：如圖，連接，延長交延長線于點，交于點，，，，，，，，由旋轉可得，，，，，，，即，，，，，，，即．“智慧小組”的解法：如圖，延長交于點，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，即，，，，，．（2）解：，理由如下：如圖，過點作交于點，取中點，連接，，，，，，，，由旋轉，得，，，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（3）解：點在內部，如圖，，，，，，，，三點共線，在中，，，，解得；點在外部，如圖，同理，可得方程，解得，綜上所述，或．【點睛】本題考查幾何變換的綜合應用，主要考查了全等三角形的性質與判定，勾股定理，相似三角形的判定與性質，旋轉的性質，平行線的性質與判定，添加輔助線是解題的關鍵．【變式3-4】（2024·遼寧大連·二模）【問題初探】（1）在數學活動課上，李老師給出如下問題：如圖1，在中，點是的中點，點是的一個三等分點，且，連接，交于點，求證：．①如圖2，小鵬同學利用“三角形中位線的性質”的解題經驗，取的中點，連接，再通過“全等三角形的性質”解決問題；②如圖3，小亮同學利用“三角形相似的性質”的解題經驗，過點作，交的延長線于點，再通過“全等三角形的性質”解決問題．請你選擇一名同學的解題思路，寫出證明過程．【類比分析】（2）李老師發現之前兩名同學都運用了數學的轉化思想，將證明三角形線段的關系轉化為我們熟悉的角度去理解．為了幫助同學們更好地感悟轉化思想，李老師又提出了一個問題，請你解答：如圖4，在中，點是的中點，點，是的三等分點，，與分別交于點，，求的值．【學以致用】（3）如圖5，在中，，在射線上取點，使，連接，在上取點，射線，相交于點，當時，求的值．【答案】（1）詳見解析（2）（3）【分析】（1）選擇小鵬同學的解題思路．如圖1，取的中點，連接．得出是的中位線，根據中位線性質定理得出，，根據平行線性質得出，，再結合，得出，證明，根據全等三角形的性質即可證明．選擇小亮同學的解題思路．如圖2，過點作，交的延長線于點，根據平行線性質得出，，證明，根據相似三角形的性質得出．再結合，證出，根據，得出．證明，根據全等三角形的性質即可證明．（2）如圖3，連接．根據點，是的三等分點，得出．由（1）可知，即可得出是的中位線，根據中位線的性質得出．再證是的中位線，根據中位線的性質得出，，證明，根據相似三角形的性質即可得出．（3）如圖4，過點作于點，過點作于點，過點作的延長線于點．根據等腰三角形的性質得出，．設，得出，即可得，證明，得出，設，則，再證明，根據相似三角形的性質得出，設，即可得出，再證明，即可得出，列方程即可得出，，．根據，即可得出．【詳解】（1）選擇小鵬同學的解題思路．證明：如圖1，取的中點，連接．∵點是的中點，∴是的中位線，∴，，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．選擇小亮同學的解題思路．證明：如圖2，過點作，交的延長線于點，∴，，∴，∴．∵，∴，∴．∵點是的中點，∴，∴．又∵，∴，∴．（2）解：如圖3，連接．∵點，是的三等分點，∴．由（1）可知，∴是的中位線，∴．∵點是的中點，∴，∴是的中位線，∴，，∴，，，∴，∴．（3）解：如圖4，過點作于點，過點作于點，過點作的延長線于點．∵，，∴，．設，∵，∴，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴．設，則．∵，∴．又∵，∴，∴．設，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，．∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質和判定，平行線的性質，三角形的中位線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，本題是閱讀型題目，利用題干中的方法構造“A”型圖或“8”字形圖解答是解題的關鍵．【變式3-5】（2024·寧夏銀川·一模）如圖1．在中，D、E分別為的中點，連接：操作1．將繞點E按順時針方向旋轉到的位置．操作2．延長到點F，使，連接．試探究與有怎樣的位置關系和數量關系？（1）請結合操作1或操作2的方法所得出的結論，我們可以得到三角形中位線定理，．【結論應用】（2）如圖2，四邊形中，對角線相交于點O，四條邊上的中點分別為E、F、G、H、依次連接，得到四邊形．

①求證：四邊形為平行四邊形；②當與滿足時，四邊形是矩形，當與滿足時，四邊形是菱形.③若，，，求四邊形的面積．【問題解決】（3）如圖3所示，在一個四邊形的草坪上修一條小路，其中點P和點Q分別為邊和邊的中點，且，，，求小路的長度．

【答案】（1）三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半；（2）①見解析；②；；③；（3）5【分析】（1）根據旋轉性質或全等三角形的判定與性質證明，，進而證明四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的性質可得結論；（2）①根據（1）中結論，得到，，，，根據平行四邊形的判定可得結論；②根據矩形和菱形的判定，當時，四邊形為矩形，當時，四邊形為菱形；、③先根據（1）中結論求得，，再根據平行線的性質求得，過H作于M，利用正弦函數定義求得，然后根據平行四邊形的面積公式求解即可；（3）連接，取的中點M，連接，，根據三角形中位線定理得到，，，，根據平行線的性質和三角形的外角性質可推導出，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）操作1：將繞點E按順時針方向旋轉到的位置，則，，，∴，即，∵D是的中點，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，；操作2．延長到點F，使，連接．∵E分別為的中點，∴，又，∴,∴，，∴，即，∵D是的中點，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，；∴三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，故答案為：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半（2）①∵四邊形中，對角線相交于點O，四條邊上的中點分別為E、F、G、H、依次連接，∴，，，，∴四邊形為平行四邊形；②當時，四邊形為矩形，理由：∵，，，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴四邊形為矩形；當時，四邊形為菱形，理由：∵，，，∴，∴四邊形為菱形；③∵，，∴，，∵，，，∴，過H作于M，則，∵四邊形為平行四邊形，∴四邊形的面積為；（3）連接，取的中點M，連接，，∵點P和點Q分別為邊和邊的中點，，，∴，，，，∴，，∵，∴，∴，即小路的長度為5．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與行線、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、三角形的中位線定理、矩形的判定、菱形的判定、解直角三角形、三角形的外角性質等知識，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握相關知識的聯系與運用，添加合適的輔助線是解答的關鍵．題型四：與等腰三角形底邊中點有關問題三線合一法解題關鍵是利用等腰三角形“三線合一”,即頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高線重合,利用角平分線、中線和高線的性質解題.【中考母題學方法】【典例4-1】（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，廠房屋頂人字架（等腰三角形）的跨度，，則中柱AD（D為底邊中點）的長為．【答案】/【分析】本題考查了等腰三角形的性質，含30度直角三角形的性質以及勾股定理．由等腰三角形的性質求得的長，由含30度直角三角形的性質得到，再根據勾股定理列式計算即可求解．【詳解】解：由題意得，，∴，∵，∴，∵，即，解得，故答案為：．【典例4-2】（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，為等腰三角形，是底邊的中點，腰與半圓相切于點，底邊與半圓交于，兩點．(1)求證：與半圓相切；(2)連接．若，，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了等腰三角形三線合一，角平分線的判定與性質，解直角三角形，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．（1）連接、，作交于，根據等腰三角形三線合一可知，，平分，結合與半圓相切于點，可推出，得證；（2）由題意可得出，根據，在中利用勾股定理可求得的長度，從而得到的長度，最后根據即可求得答案．【詳解】（1）證明：連接、，作交于，如圖為等腰三角形，是底邊的中點，平分與半圓相切于點由是半圓的切線（2）解：由（1）可知，，，又，在中，，，解得：【典例4-3】（2022·山東德州·中考真題）如圖1，在等腰三角形中，，為底邊的中點，過點作，垂足為，以點為圓心，為半徑作圓，交于點，．(1)AB與的位置關系為_______；(2)求證：是的切線；(3)如圖2，連接，，，求的直徑．(結果保留小數點后一位．參考數據：)【答案】(1)相切(2)見解析(3)【分析】（1）利用直線與圓的相切的定義解答即可；（2）過點作于點，連接，通過證明，利用直線與圓相切的定義解答即可；（3）過點作于點，利用等腰三角形的性質和三角形的內角和定理求得，再利用垂徑定理和直角三角形的邊角關系定理求得圓的半徑，則圓的直徑可求．【詳解】（1）解：，點為圓心，為半徑，圓心到直線AB的距離等于圓的半徑，為的切線，與的位置關系為相切，故答案為：相切；（2）證明：過點作于點，連接，如圖，，為底邊的中點，為的平分線，，，，為的半徑，為的半徑，是的切線；（3）解：過點作于點，如圖，，，，，．，，，，為的平分線，．在中，，∴的直徑．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，垂徑定理，圓的切線的判定與性質，等腰三角形的性質，直角三角形的邊角關系定理，三角形的內角和定理，過圓心作直線的垂線段是解決此類問題常添加的輔助線，綜合運用以上知識是解題的關鍵．【中考模擬即學即練】【變式4-1】（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，廠房屋頂人字形鋼架（等腰三角形）的中柱（為底邊中點）的長為，，則它的跨度為m.【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理的應用、含角的直角三角形的性質、等腰三角形的性質等知識點，掌握勾股定理和等腰三角形的性質是解題的關鍵．由等腰三角形的性質得，再由含角的直角三角形的性質得,再由勾股定理求出的長，進而求得的長即可．【詳解】解：∵，D為底邊的中點，,∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【變式4-2】（2024·貴州遵義·模擬預測）輔助線是解決幾何圖形問題的利劍，合理添加輔助線，會使問題變得簡單，下表給出了三角形中幾個常見利用中點添加輔助線的模型，請根據要求解決問題．題眼1．普通三角形+中點2．等腰三角形+底邊中點3．直角三角形+斜邊中點4．兩個中點大致圖形輔助線名稱倍長中線三線合一斜邊中線中位線具體做法延長到點E，使，連接連接連接連接產生效果

①②(1)請在①，②中任選擇一個填空：你選擇的是_______，產生效果是_______．（產生效果寫一個或兩個）(2)如圖①，在三角形中，是的一條中線，，求的長．(3)如圖②，在中，，點是邊上兩個不同的動點，以為邊在內部（包括邊界）作等邊三角形，點，F分別是的中點，當的周長取最大值時，求線段的長．【答案】(1)①，或②，，(2)(3)【分析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線性質以及三角形的中位線定理即可求解；（2）延長至點E，使得，可得，則，可證明，則，在中，，故由即可求解；（3）當點P落在邊上時，等邊三角形的邊長最大，即周長最大，然后根據直角三角形的性質及三角形的中位線定理即可求解．【詳解】（1）解：選擇①，，選擇②，，；（2）解：延長至點E，使得，在和中，，∴，∴，∵，即：，∴，在中，，∴；（3）解：平移，使得點N與點C重合，過點C作于點D，∵是等邊三角形，∴，∵，，∴，∴當點N與點C重合時，與重合，∴當點P落在邊上時，等邊三角形的邊長最大，即周長最大，如圖：∵，∴，∵，∴，，∴，∴，又∵分別為的中點，∴為的中位線，∴．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，三角形的中位線定理，等邊三角形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【變式4-3】（2024·廣西·模擬預測）如圖，已知為等腰三角形，點O是底邊上中點，腰與相切于點D.(1)求證：是的切線；(2)當，的半徑為1時，求圖中陰影部分的面積；(3)設與的交點為G、H，若，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】本題主要考查了切線的性質和判斷、等腰三角形的性質、扇形的面積公式的綜合運用．（1）過點O作于點E，連接，根據等腰三角形的性質，證得平分，根據角平分線的性質，即可證得，即可證明是切線；（2）根據陰影部分的面積的面積的面積的面積-扇形的面積，計算即可；（3）根據切割線定理即可得到結論．【詳解】（1）證明：過點O作于點E，連接，∵與相切于點D，∴，∵為等腰三角形，O是底邊的中點，∴是的平分線，∴，即是的半徑，∵經過的半徑的外端點且垂直于，∴是的切線；（2）解：在中，，，∴，∵是等腰三角形，，∴，，∵，，∴，同理，，∴，∴；（3）解：∵與相切于點D，∴，∴.【變式4-4】（2024·遼寧·模擬預測）問題情境數學活動課上，王老師給同學們每人發了一張等腰三角形紙片（各等腰三角形形狀不同）探究旋轉的特性，如圖①，，為底邊的中點．將以點為旋轉中心，逆時針方向旋轉，設旋轉后得到的三角形記為，旋轉角為．同學們經過操作探究后發現：旋轉角等于2倍底角的度數時，邊總能落在原三角形邊所在的直線上．在此基礎上同學們進行如下探究：獨立思考：小明：“設與相交于點，當與垂直時，則．”小紅：“若，過點作，垂足為，交于點F，則．”實踐探究奮進小組的同學們經過探究后提出問題1，請你回答：（1）問題1：在等腰三角形中，，由繞底邊中點旋轉得到，當旋轉角時，邊總能落在原三角形邊所在的直線上．（i）如圖②，設與相交于點，當與垂直時，求證：；（ii）如圖③，若，過點作，垂足為，交于點，求證：．問題解決小明經過探究發現：在問題1的基礎上，若給出等腰三角形腰與底的長，圖中用字母標記的線段都可求，可以將問題進一步拓展．（2）問題2：如圖④，在等腰三角形中，，．若與的延長線相交于點，請直接寫出的長．【答案】（1）（i）見解析；（ii）見解析；（2）【分析】本題主要考查了直角三角形的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形中位線的性質、相似三角形的判定與性質等知識，理解題意，熟練運用相關知識是解題關鍵．（1）（i）結合，易得，由題意可知，解得的值，即可證明結論；（ii）連接，由等腰三角形的性質可得，結合題意可得為等腰直角三角形，進一步解得，的值，可證明，進而可得，再證明，即可證明結論；（2）過點作交于點，由題意易得，由相似三角形的性質可得的值，進而可得，結合，可知，然后求解即可．【詳解】（1）證明：（i）∵，∴，∴，由題意，得，∴，解得；（ii）如下圖，連接，∵，是的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴；（2）提示：如圖②，過點作交于點，∵，，且為中點，∴，，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∵，∴，，∴，∴，即，解得．題型五：倍長中線模型倍長中線法題中已知三角形及中線,或已知過一邊中點的線段,常考慮倍長中線或倍長類中線構造全等三角形.類型倍長中線倍長類中線圖示條件在△ABC中.AD是邊BC的中線在△ABC中點D是邊BC的中點,點E是邊AB上一點,連接ED作法延長AD至點E,使DE=AD,連接BE延長ED至點F,使DF=DE,連接CF結論△ACD≌△EBD△BDE≌△CDF【中考母題學方法】【典例5-1】（2024·貴州遵義·模擬預測）輔助線是解決幾何圖形問題的利劍，合理添加輔助線，會使問題變得簡單，下表給出了三角形中幾個常見利用中點添加輔助線的模型，請根據要求解決問題．題眼1．普通三角形+中點2．等腰三角形+底邊中點3．直角三角形+斜邊中點4．兩個中點大致圖形輔助線名稱倍長中線三線合一斜邊中線中位線具體做法延長到點E，使，連接連接連接連接產生效果

①②(1)請在①，②中任選擇一個填空：你選擇的是_______，產生效果是_______．（產生效果寫一個或兩個）(2)如圖①，在三角形中，是的一條中線，，求的長．(3)如圖②，在中，，點是邊上兩個不同的動點，以為邊在內部（包括邊界）作等邊三角形，點，F分別是的中點，當的周長取最大值時，求線段的長．【答案】(1)①，或②，，(2)(3)【分析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線性質以及三角形的中位線定理即可求解；（2）延長至點E，使得，可得，則，可證明，則，在中，，故由即可求解；（3）當點P落在邊上時，等邊三角形的邊長最大，即周長最大，然后根據直角三角形的性質及三角形的中位線定理即可求解．【詳解】（1）解：選擇①，，選擇②，，；（2）解：延長至點E，使得，在和中，，∴，∴，∵，即：，∴，在中，，∴；（3）解：平移，使得點N與點C重合，過點C作于點D，∵是等邊三角形，∴，∵，，∴，∴當點N與點C重合時，與重合，∴當點P落在邊上時，等邊三角形的邊長最大，即周長最大，如圖：∵，∴，∵，∴，，∴，∴，又∵分別為的中點，∴為的中位線，∴．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，三角形的中位線定理，等邊三角形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【典例5-2】（2024·吉林長春·一模）【發現問題】數學興趣小組在活動時，老師提出了這樣的一個問題：如圖①，在中，，，第三邊上的中線，則的取值范圍是____．【探究方法】小明同學通過組內合作交流，得到了如下解決方法：（1）如圖②，延長至點，使得，連結，根據“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中線的長x的取值范圍是_______．【活動經驗】當條件中出現“中點”，“中線”等條件時，可以考慮將中線延長一倍，構造全等三角形，把分散的已知條件和所求的問題集中到同一個三角形中，進而解決問題，這種作輔助線的方法叫做“倍長中線”法．【問題解決】（2）如圖③，已知，，，連接和，點是的中點，連接．求證：．小明發現，如圖④，延長至點，使，連接，通過證明，可推得．下面是小明的部分證明過程：證明：延長至點，使，連接，∵點是的中點，∴．∵，，∴，∴，，∴，．請你補全余下的證明過程．【問題拓展】（3）如圖⑤，在和中，，，，點M，N分別是和的中點．若，，則MN的取值范圍是．【