一元函數積分學多元函數積分學重積分曲線積分曲面積分重積分三、二重積分的性質第一節一、引例二、二重積分的定義與可積性四、曲頂柱體體積的計算機動目錄上頁下頁返回結束二重積分的概念與性質

解法:

類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy面上的閉區域D頂:連續曲面側面：以D的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面求其體積.機動目錄上頁下頁返回結束1)“分割”用任意曲線網分D為n個區域以它們為底把曲頂柱體分為n個2)“取近似”在每個3)“求和”則中任取一點小曲頂柱體機動目錄上頁下頁返回結束4)“取極限”令機動目錄上頁下頁返回結束2.平面薄片的質量

有一個平面薄片,在xoy平面上占有區域D,計算該薄片的質量M.其面密度為設D的面積為

,則若非常數,仍可用“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“分割”用任意曲線網分D為n個小區域相應把薄片也分為小區域.機動目錄上頁下頁返回結束2)“取近似”中任取一點3)“求和”4)“取極限”則第k小塊的質量機動目錄上頁下頁返回結束兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結構式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質量:機動目錄上頁下頁返回結束二、二重積分的定義及可積性定義:將區域D

任意分成n個小區域任取一點若存在一個常數I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數積分表達式面積元素記作是定義在有界區域D上的有界函數,機動目錄上頁下頁返回結束引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質量:如果在D上可積,也常記作二重積分記作這時直線來劃分區域D,此面積元素可用平行坐標軸的機動目錄上頁下頁返回結束因二重積分存在定理:若函數定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個點或有限個光滑曲線外都連續,積.在有界閉區域D上連續,則若有界函數在有界閉區域D上除去有例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.機動目錄上頁下頁返回結束三、二重積分的性質(k為常數)

為D的面積,則機動目錄上頁下頁返回結束特別,由于則5.若在D上6.設D的面積為

,則有機動目錄上頁下頁返回結束7.(二重積分的中值定理)證:由性質6可知,由連續函數介值定理,至少有一點在閉

為D的面積,則至少存在一點使使連續,因此機動目錄上頁下頁返回結束區域D上例1.

比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上機動目錄上頁下頁返回結束例2.判斷積分的正負號.解:分積分域為則原式=猜想結果為負

但不好估計.舍去此項機動目錄上頁下頁返回結束例3.估計下列積分之值解:

D的面積為由于積分性質5即:1.96I2D機動目錄上頁下頁返回結束8.設函數D位于x軸上方的部分為D1,當區域關于y軸對稱,函數關于變量x有奇偶在D上在閉區域上連續,域D關于則則性時,仍有類似結果.在第一象限部分,則有機動目錄上頁下頁返回結束x軸對稱,四、曲頂柱體體積的計算設曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的機動目錄上頁下頁返回結束同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算機動目錄上頁下頁返回結束例4.求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:設兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為機動目錄上頁下頁返回結束內容小結1.二重積分的定義2.二重積分的性質(與定積分性質相似)3.曲頂柱體體積的計算二次積分法機動目錄上頁下頁返回結束被積函數相同,且非負,思考與練習解:

由它們的積分域范圍可知1.比較下列積分值的大小關系:機動目錄上頁下頁返回結束2.

設D是第二象限的一個有界閉域,且0<y<1,則的大小順序為()提示:因0<y<1,故故在D上有機動目錄上頁下頁返回結束3.計算解:機動目錄上頁下頁返回結束4.證明:其中D為解:利用題中x,y位置的對稱性,有又D的面積為1,故結論成立.機動目錄上頁下頁返回結束第二節目錄上頁下頁返回結束作業備用題1.估計的值,其解:被積函數D的面積的最大值的最小值機動目錄上頁下頁返回結束中D為2.判斷的正負.解：當時，故又當時，于是機動目錄上頁下頁返回結束*三、二重積分的換元法第二節一、利用直角坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分機動目錄上頁下頁返回結束二重積分的計算法

一、利用直角坐標計算二重積分且在D上連續時,由曲頂柱體體積的計算可知,若D為X–型區域則若D為Y–型區域則機動目錄上頁下頁返回結束當被積函數均非負在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于機動目錄上頁下頁返回結束說明:(1)若積分區域既是X–型區域又是Y–型區域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則機動目錄上頁下頁返回結束例1.

計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區域.解法1.將D看作X–型區域,則解法2.將D看作Y–型區域,

則機動目錄上頁下頁返回結束例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區域.解:為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則機動目錄上頁下頁返回結束例3.計算其中D是直線所圍成的閉區域.解:

由被積函數可知,因此取D為X–型域:先對x積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.機動目錄上頁下頁返回結束例4.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區域,則機動目錄上頁下頁返回結束例5.

計算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,機動目錄上頁下頁返回結束對應有二、利用極坐標計算二重積分在極坐標系下,用同心圓r=常數則除包含邊界點的小區域外,小區域的面積在內取點及射線

=常數,分劃區域D為機動目錄上頁下頁返回結束即機動目錄上頁下頁返回結束設則特別,對機動目錄上頁下頁返回結束若f≡1則可求得D的面積思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點,試答:問

的變化范圍是什么?(1)(2)機動目錄上頁下頁返回結束例6.計算其中解:在極坐標系下原式的原函數不是初等函數,故本題無法用直角由于故坐標計算.機動目錄上頁下頁返回結束注:利用例6可得到一個在概率論與數理統計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,當D為R2時,利用例6的結果,得①故①式成立.機動目錄上頁下頁返回結束例7.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內的)立體的體積.解:設由對稱性可知機動目錄上頁下頁返回結束定積分換元法*三、二重積分換元法

滿足一階導數連續;雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對應的,機動目錄上頁下頁返回結束證:根據定理條件可知變換T可逆.

用平行于坐標軸的直線分割區域任取其中一個小矩形,其頂點為通過變換T,在xoy面上得到一個四邊形,其對應頂點為則機動目錄上頁下頁返回結束同理得當h,k充分小時,曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為機動目錄上頁下頁返回結束因此面積元素的關系為從而得二重積分的換元公式:例如,直角坐標轉化為極坐標時,機動目錄上頁下頁返回結束例8.

計算其中D是x軸y

所圍成的閉域.解:令則機動目錄上頁下頁返回結束軸和直線例9.計算由所圍成的閉區域D的面積S.解:令則機動目錄上頁下頁返回結束例10.

試計算橢球體解:由對稱性令則D的原象為的體積V.機動目錄上頁下頁返回結束內容小結(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形:

若積分區域為則

若積分區域為則機動目錄上頁下頁返回結束則(2)一般換元公式且則極坐標系情形:若積分區域為在變換下機動目錄上頁下頁返回結束(3)計算步驟及注意事項?畫出積分域?選擇坐標系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數關于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對稱性應用換元公式機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.設且求提示:交換積分順序后,x,y互換機動目錄上頁下頁返回結束2.交換積分順序提示:積分域如圖機動目錄上頁下頁返回結束作業第三節目錄上頁下頁返回結束解：原式備用題1.改變下列積分的積分次序.機動目錄上頁下頁返回結束2.計算其中D為由圓所圍成的及直線解：平面閉區域.機動目錄上頁下頁返回結束第三節一、三重積分的概念

二、三重積分的計算機動目錄上頁下頁返回結束三重積分

一、三重積分的概念

類似二重積分解決問題的思想,采用

引例:設在空間有限閉區域內分布著某種不均勻的物質,求分布在內的物質的可得“分割,取近似,求和,取極限”解決方法:質量

M.密度函數為機動目錄上頁下頁返回結束定義.

設存在,稱為體積元素,

若對作任意分割:任意取點則稱此極限為函數在上的三重積分.在直角坐標系下常寫作三重積分的性質與二重積分相似.性質:例如下列“乘中值定理.在有界閉域

上連續,則存在使得V為的體積,

積和式”極限記作機動目錄上頁下頁返回結束二、三重積分的計算1.利用直角坐標計算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次積分法先假設連續函數并將它看作某物體通過計算該物體的質量引出下列各計算最后,推廣到一般可積函數的積分計算.的密度函數,方法:機動目錄上頁下頁返回結束方法1.投影法(“先一后二”)該物體的質量為細長柱體微元的質量為微元線密度≈記作機動目錄上頁下頁返回結束方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質量為該物體的質量為面密度≈記作機動目錄上頁下頁返回結束投影法方法3.三次積分法設區域利用投影法結果,把二重積分化成二次積分即得:機動目錄上頁下頁返回結束當被積函數在積分域上變號時,因為均為非負函數根據重積分性質仍可用前面介紹的方法計算.機動目錄上頁下頁返回結束小結:三重積分的計算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次積分”具體計算時應根據三種方法(包含12種形式)各有特點,被積函數及積分域的特點靈活選擇.機動目錄上頁下頁返回結束其中

為三個坐標例1.

計算三重積分所圍成的閉區域.解:面及平面機動目錄上頁下頁返回結束例2.

計算三重積分解:

用“先二后一”機動目錄上頁下頁返回結束2.利用柱坐標計算三重積分

就稱為點M的柱坐標.直角坐標與柱面坐標的關系:坐標面分別為圓柱面半平面平面機動目錄上頁下頁返回結束如圖所示,在柱面坐標系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單;2)被積函數用柱面坐標表示時變量互相分離.機動目錄上頁下頁返回結束其中

為由例3.計算三重積分所圍解:在柱面坐標系下及平面柱面成半圓柱體.機動目錄上頁下頁返回結束例4.

計算三重積分解:在柱面坐標系下所圍成.與平面其中

由拋物面原式=機動目錄上頁下頁返回結束3.利用球坐標計算三重積分

就稱為點M的球坐標.直角坐標與球面坐標的關系坐標面分別為球面半平面錐面機動目錄上頁下頁返回結束如圖所示,在球面坐標系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標表示時方程簡單;2)被積函數用球面坐標表示時變量互相分離.機動目錄上頁下頁返回結束例5.計算三重積分解:在球面坐標系下所圍立體.其中

與球面機動目錄上頁下頁返回結束例6.求曲面所圍立體體積.解:由曲面方程可知,立體位于xoy面上部,利用對稱性,所求立體體積為yoz面對稱,并與xoy面相切,故在球坐標系下所圍立體為且關于xoz

機動目錄上頁下頁返回結束內容小結積分區域多由坐標面被積函數形式簡潔,或坐標系體積元素適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系*說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對應雅可比行列式為變量可分離.圍成;機動目錄上頁下頁返回結束1.

將用三次積分表示,其中

由所提示:思考與練習六個平面圍成,機動目錄上頁下頁返回結束2.設計算提示:利用對稱性原式=奇函數機動目錄上頁下頁返回結束3.

設由錐面和球面所圍成,計算提示:利用對稱性用球坐標機動目錄上頁下頁返回結束作業第四節目錄上頁下頁返回結束備用題

1.

計算所圍成.其中由分析：若用“先二后一”,則有計算較繁!采用“三次積分”較好.機動目錄上頁下頁返回結束所圍,故可思考:若被積函數為f(y)時,如何計算簡便?表為解:機動目錄上頁下頁返回結束2.計算其中解:利用對稱性機動目錄上頁下頁返回結束第四節一、立體體積二、曲面的面積三、物體的質心四、物體的轉動慣量五、物體的引力機動目錄上頁下頁返回結束重積分的應用

1.能用重積分解決的實際問題的特點所求量是對區域具有可加性

從定積分定義出發建立積分式

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量3.解題要點

畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、定出積分限、計算要簡便2.用重積分解決問題的方法機動目錄上頁下頁返回結束一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為機動目錄上頁下頁返回結束任一點的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:曲面的切平面方程為它與曲面的交線在xoy面上的投影為(記所圍域為D)在點例1.求曲面機動目錄上頁下頁返回結束例2.求半徑為a的球面與半頂角為

的內接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標系下空間立體所占區域為則立體體積為機動目錄上頁下頁返回結束二、曲面的面積設光滑曲面則面積A可看成曲面上各點處小切平面的面積dA無限積累而成.設它在D上的投影為d

,(稱為面積元素)則機動目錄上頁下頁返回結束故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即機動目錄上頁下頁返回結束若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且機動目錄上頁下頁返回結束例3.計算雙曲拋物面被柱面解:曲面在xoy面上投影為則所截出的面積A.機動目錄上頁下頁返回結束例4.計算半徑為a的球的表面積.解:設球面方程為球面面積元素為方法2利用直角坐標方程.(見書P109)方法1利用球坐標方程.機動目錄上頁下頁返回結束三、物體的質心設空間有n個質點,其質量分別由力學知,該質點系的質心坐標設物體占有空間域

,有連續密度函數則公式,分別位于為為即:采用“大化小,常代變,近似和,取極限”可導出其質心機動目錄上頁下頁返回結束將

分成n小塊,將第k塊看作質量集中于點例如,令各小區域的最大直徑系的質心坐標就近似該物體的質心坐標.的質點,即得此質點在第k塊上任取一點機動目錄上頁下頁返回結束同理可得則得形心坐標：機動目錄上頁下頁返回結束若物體為占有xoy面上區域D的平面薄片,(A為D的面積)得D的形心坐標:則它的質心坐標為其面密度—對x軸的

靜矩—對y軸的

靜矩機動目錄上頁下頁返回結束例5.求位于兩圓和解:利用對稱性可知而之間均勻薄片的質心.機動目錄上頁下頁返回結束例6.一個煉鋼爐為旋轉體形,剖面壁線的方程為內儲有高為

h的均質鋼液,解:利用對稱性可知質心在z

軸上，采用柱坐標,則爐壁方程為因此故自重,求它的質心.若爐不計爐體的其坐標為機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束四、物體的轉動慣量設物體占有空間區域,有連續分布的密度函數該物體位于(x,y,z)處的微元因此物體對z軸的轉動慣量:對z軸的轉動慣量為因質點系的轉動慣量等于各質點的轉動慣量之和,故連續體的轉動慣量可用積分計算.機動目錄上頁下頁返回結束類似可得:對x軸的轉動慣量對y軸的轉動慣量對原點的轉動慣量機動目錄上頁下頁返回結束如果物體是平面薄片,面密度為則轉動慣量的表達式是二重積分.機動目錄上頁下頁返回結束例7.求半徑為a的均勻半圓薄片對其直徑解:建立坐標系如圖,半圓薄片的質量的轉動慣量.機動目錄上頁下頁返回結束解:

取球心為原點,z軸為l軸,則球體的質量例8.求均勻球體對于過球心的一條軸

l的轉動慣量.設球所占域為(用球坐標)機動目錄上頁下頁返回結束G

為引力常數五、物體的引力設物體占有空間區域,物體對位于原點的單位質量質點的引力利用元素法,在上積分即得各引力分量:其密度函數引力元素在三坐標軸上的投影分別為機動目錄上頁下頁返回結束對xoy面上的平面薄片D,它對原點處的單位質量質點的引力分量為機動目錄上頁下頁返回結束例9.設面密度為μ,半徑為R的圓形薄片求它對位于點解:由對稱性知引力處的單位質量質點的引力.。機動目錄上頁下頁返回結束例10.求半徑R的均勻球對位于的單位質量質點的引力.解:利用對稱性知引力分量點機動目錄上頁下頁返回結束為球的質量機動目錄上頁下頁返回結束作業習題課目錄上頁下頁返回結束(t為時間)的雪堆在融化過程中,其側面滿足方程設長度單位為厘米,時間單位為小時,設有一高度為已知體積減少的速率與側面積成正比(比例系數0.9),問高度為130cm的雪堆全部融化需要多少小時?(2001考研)機動目錄上頁下頁返回結束備用題提示:記雪堆體積為V,側面積為S,則(用極坐標)機動目錄上頁下頁返回結束由題意知令得(小時)因此高度為130cm的雪堆全部融化所需的時間為100小時.機動目錄上頁下頁返回結束習題課一、重積分計算的基本方法二、重積分計算的基本技巧三、重積分的應用機動目錄上頁下頁返回結束

重積分的計算及應用一、重積分計算的基本方法1.選擇合適的坐標系使積分域多為坐標面(線)圍成;被積函數用此坐標表示簡潔或變量分離.2.選擇易計算的積分序積分域分塊要少,累次積分易算為妙.圖示法列不等式法(從內到外:面、線、點)3.掌握確定積分限的方法——累次積分法機動目錄上頁下頁返回結束練習計算積分其中D由所圍成.

P1242(3);6;7(1),(3)補充題:解答提示:(接下頁)

機動目錄上頁下頁返回結束2(3).計算二重積分其中D為圓周所圍成的閉區域.提示:利用極坐標原式機動目錄上頁下頁返回結束P1246.

把積分化為三次積分,其中

由曲面提示:積分域為原式及平面所圍成的閉區域.機動目錄上頁下頁返回結束P1247(1).計算積分其中是兩個球(R>0)的公共部分.提示:由于被積函數缺x,y,原式=利用“先二后一”計算方便.機動目錄上頁下頁返回結束P1247(3).計算三重積分其中是由

xoy平面上曲線所圍成的閉區域.提示:

利用柱坐標原式繞x軸旋轉而成的曲面與平面機動目錄上頁下頁返回結束P124補充題.計算積分其中D由所圍成.提示:如圖所示連續,所以機動目錄上頁下頁返回結束二、重積分計算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1.交換積分順序的方法2.利用對稱性或重心公式簡化計算3.消去被積函數絕對值符號練習題4.利用重積分換元公式P1231(總習題九);P1244,7(2),9解答提示:(接下頁)機動目錄上頁下頁返回結束證明:提示:左端積分區域如圖,交換積分順序即可證得.P1244.7(2).其中是所圍成的閉區域.提示:被積函數在對稱域