專題40最值模型之代數法求最值模型（基本不等式與判別式法、函數法）

幾何中最值問題是中考的常見題型，變幻無窮，試題設計新穎，形式活潑，涵蓋知識面廣，綜合性強。

在各地中考數學試卷中，幾何最值問題也是重難點內容，在中考數學試卷中通常出現在壓軸題的位置。

本專題我們所講的代數法求幾何最值是對前面幾何法求最值模型的一個補充，那首先我們弄明白什么

是幾何法？什么是代數法？若題目條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，

這就是幾何法。若題目條件和結論能明顯體現某種函數或代數關系，則可先建立目標函數或方程，再求函

數或代數式的最值，這就是代數法。今天我們重點講解代數法常見的三類方法：函數法（二次函數或一次

函數）、判別式法或基本不等式法，希望對大家有所幫助！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.函數法求幾何最值模型......................................................................................................................1

模型2.基本不等式法求幾何最值模型..........................................................................................................7

模型3.判別式法求幾何最值模型................................................................................................................11

.................................................................................................................................................16

模型1.函數法求幾何最值模型

在實際的解題中，如果求的是一條線段的最值或是幾條線段和（或差）的最值，那么首選是嘗試套用

常見的基本的幾何模型，若未能夠直接套用幾何模型，那么可以先分析題目中和動點有關的數量關系，特

別是一些變化過程中的不變量，通過數量關系的轉化，將其化歸為常見的基本的幾何模型（如將軍飲馬模

型，胡不歸模型，阿氏圓模型等），從而解決問題。若不能用幾何模型求解，則可以尋找其中隱藏的函數

關系，然后構建函數模型解決最值問題。

建立函數模型求最值一般需要以下幾個步驟：（1）選擇自變量，確定自變量的取值范圍；（2）求得

函數解析式；（3）在自變量取值范圍內利用配方或函數圖象的最高點（或最低點），二次函數需結合頂點

公式，求得函數的最大值（或最小值），一次函數則考慮增減性和自變量的范圍。

3

例1．（2024·陜西西安·?？家荒＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，ABADAC，ABC120，ADC150，

4

BCCD6，則BD的最小值是．

【答案】92

4

【分析】將△ADC繞點A順時針旋轉至ABM，可推得CBM90及ABD∽AMC，由勾股定理將CM

3

用BC表示出來，求得CM的最小值，再結合BDMC，可得答案．

4

【詳解】解：如圖，將△ADC繞點A順時針旋轉至ABM，使AD與AB重合，連接CM，則ADC≌ABM，

∴ACAM，BMDC，ABMADC150∴CBM360ABCABM36012015090，

又∵DACBAM，∴DACCABBAMCAB，即DABCAM，

ABAMMCAMAC43

又∵1，∴ABD∽AMC，∴，∴BDMC

ADACBDABAD34

∵BCCD6，BMDC，∴BCBM6，∵CBM90，∴

22

CMBC2BM2BC26BC2BC318，∴當BC3時，CM取得最小值為32

33929292

∵BDMC，∴32∴BD的最小值是．故答案為：

44444

【點睛】本題考查了旋轉的性質、相似三角形的判定與性質及勾股定理等知識點，數形結合、熟練掌握相

關性質及定理是解題的關鍵．

例2．（2023·廣東茂名·三模）如圖，已知O的弦CD4，A為O上一動點（點A與點C、D不重合），

連接AO并延長交CD于點E，交O于點B，P為CD上一點，當APB120時，則APBP的最大值為（）

A．4B．6C．8D．12

【答案】C

【分析】如圖，延長BP交O于F，連接AF，CF，BD．則AFB90，APF60，PAF30，

AP2FP，APBP2FPBP，證明CPF∽BPD，則FPBPCPDP，設FPBPy，PCx，則

2

DP4x，0x4，yx4xx24，然后利用二次函數的性質求最值，然后作答即可．

【詳解】解：如圖，延長BP交O于F，連接AF，CF，BD．

∵AB是O的直徑，∴AFB90，

∵APB120，∴APF60，PAF30，∴AP2FP，∴APBP2FPBP，

∵DFDF,∴CPBD，又∵CPFBPD，∴CPF∽BPD，

CPFP

∴，即FPBPCPDP，設FPBPy，PCx，則DP4x，0x4，

BPDP

2

∴yx4xx24，∵10，∴x2時，y值最大，最大值為4，

∴APBP的最大值為8，故選：C．

【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，同弧所對的圓周角相等，含30的直角三角形，相似三角形

的判定與性質，二次函數的性質等知識．熟練掌握直徑所對的圓周角為直角，同弧所對的圓周角相等，含30

的直角三角形，相似三角形的判定與性質，二次函數的性質是解題的關鍵．

例3．（2024·安徽合肥·一模）如圖，P是線段AB上一動點，四邊形APEF和四邊形PBGH是位于直線AB

同側的兩個正方形，點C，D分別是GH,EF的中點，若AB4，則下列結論錯誤的是（）

A．DPC為定值B．當AP1時，CD的值為22

C．PCD周長的最小值為232D．PCD面積的最大值為2

【答案】C

1

【分析】求出tanDPEtanHPC，得到DPE,HPC均為定值，判斷A選項，過點D作DMHG，

2

得到四邊形DMHE為矩形，利用勾股定理求出CD的值，判斷B選項，設設APx，則：PB4x，分別

利用勾股定理求出PD,PC,CD的值，利用周長公式結合完全平方公式的非負性，判斷C選項，分割法得到

SPCDS梯形DMHPSPHCSDMC，轉化為二次函數求最值，判斷D選項．

【詳解】解：∵四邊形APEF和四邊形PBGH是位于直線AB同側的兩個正方形，

∴FEPPHG90,PEEF,PHHG，

1111

∵點C，D分別是GH,EF的中點，∴DEEFPE,HCHGPH，

2222

1

∴tanDPEtanHPC，∴DPE,HPC均為定值，

2

∴DPCDPEHPC也為定值；故A選項正確；

111

過點D作DMHG，則四邊形DMHE為矩形，∴MHDEEFAP，DMHE，

222

113

∵AB4,AP1，∴PB3，∴CHHGBP，DMHEPBPA2，

222

∴CMCHHM2，∴CDDM2CM222；故選項B正確；設APx，則：PB4x，

11x111

∴MHDEEFAP，CHHGBP4x，DMHEPBPA42x，

222222

55

∴CMCHHM2，∴PDPE2DE25DEx，PCPH2CH25CH4x，

22

2

DCCM2DM242x4，

5522

∴PCD的周長x4x42x42542x4，

22

2

∵42x44，∴PCD的周長的最小值為252；故選項C錯誤；

111

∵SPCDS梯形SPHCSDMCDMPHHMPHCHCMDM

DMHP222

11111112

42x4xx4x4x242x，整理得：Sx22xx22；

22222PCD22

∴當x2時，PCD面積的最大值為2；故選項D正確；故選C．

【點睛】本題考查正方形的性質，矩形的判定和性質，勾股定理，求角的正切值，二次函數求最值等知識

點，綜合性強，難度大，屬于選擇題中的壓軸題，解題的關鍵是掌握相關知識點，添加輔助線構造直角三

角形．

例4．（23-24九年級上·四川成都·期末）如圖，ABC中，A45，ABC60，AB13，點D是

邊AB上任意一點，以CD為邊在AD的右側作等邊△DCE，則△BDE面積的最大值為．

【答案】3

4

【分析】作CMAB于M，作ENAB于N，求出BM1，CMAM3，設ADy，則DM3y，

BD13y，在MB上截取MHMD3y，連接CH，則CDCHCE，證明BCH≌BCESAS，

13

得出CBHCBE60，BHBE，由直角三角形的性質得出BNBE，EN3BNBE，由三

22

角形面積公式求出BDE的面積即可得出答案．

【詳解】解：如圖，作CMAB于M，

∵A45，ABC60，∴△ACM是等腰直角三角形，BCM30，∴AMCM，CM3，

設BMx，則AMCM3x，∴ABx3x13，解得：x1，∴BM1，CMAM3，

設ADy，則DM3y,BD13y，∵CDE是等邊三角形，∴DCE60，CDCE，

∴DCMBCE30BCM，在MB上截取MHMD3y，則CDCHCE，

∵CMDH，∴DCMHCM，∴BCHBCE，

CHCE

在VBCH和BCE中，BCHBCE，∴BCH≌BCESAS，

BCBC

∴CBHCBE60，BHBEBD2DM＝13y23yy31，∴EBN60，

133

∵ENAB，∴BEN30，∴BNBE,EN3BNBEy31，

222

113323

∵BDE的面積BDEN13yy31y3，

22244

33

∴當y3，即AD3時，BDE面積的最大值．故答案為：．

44

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、線段垂直平分線的性質、等腰直角三

角形的性質、含30°角的直角三角形的性質、勾股定理、三角形的面積、二次函數最值等知識；本題綜合性

強，證明三角形全等是解題的關鍵．

例5．（23-24八年級下·四川成都·期中）如圖，在邊長為6的等邊ABC中，點D在邊AB上，且AD＝2，

長度為1的線段PQ在邊AC上運動，則線段DP的最小值為，△四邊形DPQB面積的最大值為．

13

【答案】33

2

【分析】根據垂線段最短可知當DP⊥AC時，DP最短，利用等邊三角形的性質和勾股定理求出此時DP的

長即可，再設AP=x，利用SABC-SADP-SBQC表示出四邊形DPQB的面積，構建一次函數，利用一次函

△△△

數的性質求出最大值即可．

【詳解】解：當DP⊥AC時，DP最短，∵△ABC為等邊三角形，

∴∠A=60°，∴AD=2AP=2，∴AP=1，∴DP=2212=3；

∵AB=AC=BC=6，∴△ABC的高為623233，

1113

設AP=x，則四邊形DPQB的面積=SABC-SADP-SBQC=633x36x133=3x3

2222

△△△

∵30，∴四邊形DPQB的面積隨x的增大而增大，

1313

∵x的最大值為6-1=5，∴當x=5時，四邊形DPQB的面積最大，最大值=3，故答案：3，3．

22

【點睛】本題考查一次函數的性質，等邊三角形的性質，勾股定理，三角形的面積公式，解題的關鍵是學

會構建一次函數解決最值問題，屬于中考?？碱}型．

模型2.基本不等式法求幾何最值模型

有時候設取變量后，代數式并不太容易轉化為二次函數，特別是含有分式與整式的混合代數式求最值顯得

特別麻煩，針對這種情況我們引入兩個重要不等式：

1）a2b22ab（當a=b時，取等號）；2）ab2ab（其中a、b為正數，當a=b時，取等號）；

1）a2b22ab（當a=b時，取等號）；2）ab2ab（其中a、b為正數，當a=b時，取等號）；

證明：1）作差法：∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，a2b22ab，當且僅當“a＝b”時，等號成立．

2）作差法：

∵ab2ab(a)2(b)22ab(ab)20，∴ab2ab，當且僅當“a＝b”時，等號成立．

例1．（2017·四川綿陽·中考真題）將形狀、大小完全相同的兩個等腰三角形如圖所示放置，點D在AB邊

上，DEF繞點D旋轉，腰DF和底邊DE分別交CAB的兩腰CA，CB于M，N兩點，若CA=5，AB=6，

△12△

AB=1：3，則MD+的最小值為．

MADN

【答案】23

【分析】先求出AD=2，BD=4，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠AMD+∠A=

∠EDF+∠BDN，然后求出∠AMD=∠BDN，從而得到AMD和BDN相似，根據相似三角形對應邊成比

MAMD△△

例可得，求出MA?DN=4MD，再將所求代數式整理出完全平方的形式，然后根據非負數的性質

BDDN

求出最小值即可．

1

【詳解】∵AB=6，AB=1：3，∴AD=6×=2，BD=6﹣2=4，

3

∵△ABC和FDE是形狀、大小完全相同的兩個等腰三角形，

∴∠A=∠B=△∠FDE，由三角形的外角性質得，∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，∴∠AMD=∠BDN，

MAMD

∴△AMD∽△BDN，∴，∴MA?DN=BD?MD=4MD，

BDDN

1233

∴MD+=MD+(MD)2()22323=，

MADNMDMD

312

∴當MD，即MD=3時MD+有最小值為23．故答案為23．

MDMADN

考點：相似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；旋轉的性質；最值問題；綜合題．

例2．（2024·浙江·模擬預測）如圖，點P是O上的一個動點，AB是O的直徑，且AB8，則PAB面

積的最大值是，PAB周長的最大值是．

【答案】16828

【分析】當AB邊上的高等于半徑時，PAB面積的最大，求出此時PAB的面積即可；根據AB為直徑得

到∠P=90°，根據勾股定理得到AP2+PB2=AB2=64，得到AP+PB≤82，于是得到結論．

【詳解】解：由于AB為定值，因此只有當AB邊上的高最大時PAB面積的最大，

∵P是O上的一個動點，AB為直徑

884

∴當AB邊上的高等于半徑時，PAB面積的最大，半徑為4，此時面積為16，

22

∵AB是半圓的直徑，∴∠P=90°，∴AP2+PB2=AB2=64，

∵AP2+PB2≥2AP?PB，∴2AP?PB≤64，

∵（AP+PB）2=64+2AP?PB，∴（AP+PB）2≤128，∴AP+PB≤82，∴AP+PB的最大值為82，

∴三角形PAB周長存在最大值為828，故答案為：16；828．

【點睛】本題考查了圓的有關概念及性質，最大面積，最小周長，注意∠P=90°，然后利用勾股定理是解題

的關鍵．

例3．（2023·四川成都·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC4，點P為邊CD上一動點，連接AP

交對角線BD于點E，過點E作EFAP，EF交BC于點F，連接AF交BD于點G，在點P的運動過程中，

△AEG面積的最小值為．

48

【答案】

25

【詳解】解：在矩形ABCD中，AB3，BC4，BAD90，∴BD5，

1

如圖，延長CB至點H，使BHBD5，∴HBDH，∴HDBC，

2

DC31

設DBC2，則Hα，∴tan，

CH453

∵AEEF,ABBF，∴A，B，E，F四點共圓，∴FAEFBE2，

11ABAD12

過點A作AMBD于點M，如圖，∵SAMBDABAD，∴AM，

ABD22BD5

2

設Sa,Sb，∵，∴，

AGMAEMabab2abab2ab0

∴，且當時，取得最小值，即，

SAGEab2ababSAGMSAEM

12

∴當AGAE時，S取得最小值，根據題意得：GAE2,AM，∴EAMGAM，

AGE5

11248

∵tan,AM，∴MEAMtan，∴GE2ME，

3555

111284848

∴SGEAM．故答案為：

AGE22552525

例4．（2023·廣東東莞·?？寄M預測）如圖所示，AB是半圓的直徑，D是AB上一動點，CDAB，CD

交半圓于點E，CT是半圓的切線，T是切點．C點、T點都是不動點．

(1)求證:BE2CT2BC2；(2)連接AE，則D點在哪個位置時，線段AE與線段EB之和最大？

【答案】(1)見解析(2)D點在AB的中點時，線段AE與線段EB之和最大

【分析】（1）以AB為直徑，作O，延長CD交O于點M，連接TM,TE,TO,EO，證明TCE∽MCT得

222

出TC2CEMC，根據垂徑定理得出EDMD，進而得出TCCDDECDDECDDE，在

RtBDE,RtBCD中，勾股定理即可得證；

2

（2）AB是O的直徑，設AEa，BEb，ABc，則有a2b2c2，aba2b22ab0，則

2aba2b2（當ab時取得等于號），繼而即可求解．

【詳解】（1）證明：如圖所示，

以AB為直徑，作O，延長CD交O于點M，連接TM,TE,TO,EO，

∵CT是O的切線，∴OTTC，∴CTO90，即CTEETO90，

11

∵OTOE，∴ETOTEO，∵TETE，∴TMETOE1802ETO90ETO，

22

∴TMEETO90，∴TMECTE，

TCCE

又∵TCEMCT，∴TCE∽MCT，∴，即TC2CEMC，

MCTC

又∵ABME，∴EDMD，∴CMCDDE,CECM2DECDDE，

222

∴TCCDDECDDECDDE，在RtBCE中，BE2ED2BD2，∴CT2BE2CD2BD2，

在RtBDC中，CD2BD2BC2，∴BE2CT2BC2

（2）∵AB是O的直徑，設AEa，BEb，ABc，則有a2b2c2，

2

∵aba2b22ab0∴2aba2b2（當ab時取得等于號）

∴22222222∴取得最大值時，，∴

AEBEab2abc2abcab2cAEBEAEBEAEBE

又由∵EDAB∴DADB即D點在AB的中點時，線段AE與線段EB之和最大．

【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，勾股定理，垂徑定理，切線的的性質，綜合運用以上知識

是解題的關鍵．

模型3.判別式法求幾何最值模型

判別式法求幾何最值的步驟：

首先主要引入兩個變量：其中一個變量用x表示，另一個變量為所求量（一般為長度、比值的最值）用其

他字母表示，常用y或其他字母表示即可；再根據題設條件建立關于x的一元二次方程；最后用Δ≥0來探求

y的最大值與最小值。

注意：運用判別式法求最值時，必須同時求得變量的范圍，因為方程有解，Δ≥0所指的是在變量能取的范

圍內方程有解，這一點應切記。

BE

例1．（2024·四川成都·二模）如圖，在正方形ABCD，點E，F在射線BC上，EAF45，則最大值

EF

是．

【答案】21

2

【分析】此題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，一元二次

方程根的判別式等，理解正方形的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，

一元二次方程根的判別式是解決問題的關鍵．過點E作EGAE交AF于G，過點G作GHEF于H，設

BE

BEx，正方形ABCD的邊長為a，k，其中x0,a0,k0，證先AEEG，再證ABE和EHG

EF

a2ax

全等得ABEHa,BEGHx，然后證△FGH∽△FAB得GH:ABFH:FB，則FH，

ax

2222

aaxxxaBEaxx22

EFFHEHa，進而得k，則：1kxaxka0，依題意得關

axaxEFx2a2

2

于x的方程1kx2axka20有兩個實數根，得到根的判別式Δa41kka20，得

12121BE

(k)，由此解得0k，據此可得k的最大值，進而可得的最大值．

222EF

【詳解】解：過點E作EGAE交AF于G，過點G作GHEF于H，如下圖所示：

BE

設BEx，正方形ABCD的邊長為a，k，其中x0,a0,k0，

EF

EGAE，EAF45，AEEG，四邊形ABCD為正方形，AB=a，

又DB=90°，EGAE，GHEF，BAEGEHG90,GH∥AB，

BAEAEB90,AEBHEG90，BAEHEG，

BAEHEG

在ABE和EHG中BEHG90△ABE≌△EHG(AAS)，

AEEG

ABEHa,BEGHx，BHBEEHxa，FB=FH+BHFHxa,

GH∥AB，△FGH∽△FAB，GH:ABFH:FB，即x:aFH:(FHxa)，

a2axa2axxx2a2BEaxx2

FH，EFFHEHa，k，

axaxaxEFx2a2

整理得∶1kx2axka20，依題意得關于x的方程1kx2axka20有兩個實數根

2

根的判別式Δa41kka20a0，將上式兩邊同時除以a2，得：14k4k20，

121122121

整理得：(k)，k0，k，0k，k的最大值為，

222222

BF

的最大值為21．故答案為：21．

EF22

例2．（2023·湖北武漢·模擬預測）已知四邊形ABCD為矩形，AD2AB8，E，F，G分別是AB，BC，AD

AE1

上的點，且GEF45，若=，則EFG面積的最小值為；

BE3

【答案】332/323

【詳解】解：如圖所示，過點G作GTEF于T，設AGx，EFy，S△EFGs，

2

∵GEF45，∴△EGT是等腰直角三角形，∴GTEG，

2

AE1

∵AD2AB8，∴AB4，∵=，∴AE1，BE3，

BE3

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB90，∴EGAE2AG2x21；

過點E作EMEG交BC于N，過點F作FMEM，垂足為M，

∴BENBNEAEGBEN90，∴∠AEG∠BNE，∴AEG∽BNE，

ENBEEN33x21

∴，即，∴EN，

EGAGx21xx

∵∠MEF∠MEG∠GEF45，∴MEF是等腰直角三角形，

2223x21

∴MEMFEFy，∴MNy，

222x

∵∠AEG∠BNE∠MNF，MA90，∴△AEG∽△MNF，

2

23x122

yy6x1

∴2x2∴y，

2x2

1x

2

11226x213x1

∴sEFGTyx21x21，∴3x22sx2s30，

22242x22x1

2

∵關于x的方程有解，∴2s122s30，∴s26s90，

解得s332或s332（舍去），∴s的最小值為332，故答案為：332．

【點睛】本題主要考查了矩形的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判

定，二次函數的性質等等，正確作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．

例3．（24-25九年級上·遼寧鞍山·階段練習）某數學興趣小組的同學在學完一元二次方程后，發現配方法

可以求二次三項式的最值：他們對最值問題產生了濃厚興趣，決定進行深入的研究．下面是該學習小組收

集的素材，匯總如下．請根據素材幫助他完成相應任務：

關于最值問題的探究

“主元法”是指在有多個字母的代數式或方程中，選取其中一個字母為主元（未知數），將其它字母看

素

成是常數，這樣可以把一些陌生的代數式或方程轉化為我們熟悉的代數式或方程．例如：當a0時，

材

方程ax22a10可以看作關于x的一元二次方程．但若把a看成“主元”，x看作常數，則原方程可

1

化為：(x22)a10．這就是一個關于a的一元一次方程了．

素對于一個關于x的二次三項式ax2bxc(a0)，除了可以利用配方法求該多項式的最值外，還有其

材他的方法，比如：令ax2bxcy(a0)．然后移項可得：ax2bx(cy)0再利用根的判別式

2b24ac0來確定y的取值范圍，這一方法稱為判別式法．

問題解決

任

務感受新知：用判別式法求2x25x3的最小值；

1

探索新知：若實數x、y滿足x22x4y5．求x2y的最大值．對于這一問題，該小組的同學有大

任

致的思路，請你幫助他們完成具體計算：首先令x2yk，則4y2x2k，將4y2x2k代入原式

務

得________．若將新得到的等式看作關于字母x的一元二次方程，利用判別式可得x2y的最大值為

2

__________；

任

應用新知：如圖，在平行四邊形ABCD中，C60，BD39．記AB=a，BCb，當3ab最

務

大時，求此時b的值．

3

19

【答案】任務1：；任務2：x24x2k50，；任務3：b5．

82

【分析】任務1：令2x25x3y，將其看作關于x的一元二次方程，利用判別式列出不等式求解即可；

任務2：令x2yk，將4y2x2k代入x22x4y5，將其看作關于字母的一元二次方程，利用判別

式求的k得范圍，即可確定x2y的最大值；

任務3：過點B作BEDC，根據題意可得ABDCa，BCb，BD39，利用勾股定理得

kb

BD2BE2DE2，令3abk，則有a，將其看成關于a的一元二次方程，利用判別式求得y得范

3

圍，可知3ab最大值，則有k26，結合代入消元法求解即可．

【詳解】任務1：解：根據素材中的判別式法，令2x25x3y．整理得2x25x3y0．

11

關于x的一元二次方程，5242(3y)0，解得：y．故y的最小值為．

88

任務2：解：令x2yk，則4y2x2k．將4y2x2k代入x22x4y5，得x24x2k50．

把x24x2k50看作是關于x的一元二次方程，則(4)241(2k5)0，

9999

解得k則x2yx2y的最大值為．故答案為：x24x2k50，．

2222

任務3：如圖，過點B作BEDC，點E為垂足．根據題意，ABDCa，BCb，BD39．

131

在RtBEC，ECBCcos60b，BEBCsin60bDECDECab

222

22

31

在中，222即2整理得，22，

Rt△BDEBDBEDE(39)babaabb390

22

kb

令3abk，則a，代入上式得到一個關于b的一元二次方程：13b25kbk23510．

3

(5k)2413(k2351)0解不等式得26k26，則k的最大值為26，即3ab的最大值為26．

把k26代入13b25kbk23510得b210b250．解方程得，b5，故當3ab最大時，b5．

【點睛】本題主要考查一元二次方程的判別式、解一元一次不等式、勾股定理、含30度角的直角三角形以

及解一元二次方程，解題的關鍵是理解題目給定的求解方式，并利用解不等式和解方程的思想進行作答．

1．（2024·江蘇南京·一模）小麗在半徑為100m的圓形廣場內（包含邊界）散步，從圓周上的點A處出發，

沿直線行走到點B處，然后直角拐彎，沿直線行走到圓周上的點C處時停止行走，則小麗行走的路程ABBC

的最大值為（）

200200

A．50503mB．2mC．2002mD．1205m

33

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理，正確記憶相關知識點是解題關鍵．

根據題意可知：從圓周上的點A處出發，沿直線行走到點B處，然后直角拐彎，沿直線行走到圓周上的點C

處，則ABC90,AC是直徑，如圖，根據題意確定運動軌跡為ac，進而求解即可．

【詳解】解：根據題意圖形如下：設ABc,BCa,ACb，

∵ABBCAC，∴此時當AC最大時，ABBC才能取得最大值，

∵B90，∴AC為直徑時，AC200，AB2BC2AC2，

(ac)20，a22acc20，a2c22ac，即2ac2002，2ac200220022002，

2

即：2ac200222002，ac2aca2c22ac200222002，

a,c為正數，ac2002，故選：C．

2.（24-25九年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，VABC中，ABAC，點P為VABC內一點，APB135，

BAC90．若APBP6，且AP的長度不小于4，則PC長度的最小值為（）

A．6B．26C．42D．33

【答案】A

【分析】把△APB繞點A逆時針旋轉90得到△APC，則APAP，PAP190，APC∠APB135，

CPBP，證明APP是等腰直角三角形，得到PP2AP，∠APP45，則PPC90，利用勾股定

2

理得到PC23PA224，據此利用二次函數的性質求解即可．

【詳解】解：把△APB繞點A逆時針旋轉90得到△APC，

則APAP，PAP190，APC∠APB135，CPBP，

∴APP是等腰直角三角形，∴PP2AP，∠APP45PPC90

APBP6，BP6PA，∴CP6PA

22

在Rt△PPC中，由勾股定理得PC2PP2PC22PA26PA3PA212PA363PA224，

∵30，4PA6，∴PC2隨PA增大而增大，

2

∴當PA4時，PC2有最小值，最小值為3422436，∴PC的最小值為6，故選：A．

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，勾股定理，二次函數的最值問題，等腰直角三角形的性質與判定，

正確用含PA的式子表示出PC2是解題的關鍵．

3．（2024·安徽·模擬預測）在Rt△ABC中，C90，A30，BC3，P是邊AC上一點，PC3，

M，N是AB上兩個動點，且MN1，則PM22PN2的最小值為（）

3729

A．9B．C．D．10

43

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理，二次函數的性質，解直角三角形，求出PQ，過點P作PQAB，垂足為

點Q，，設QNx，則MQ1x，利用勾股定理得出PM22PN2MQ2PQ22PQ2QN2，由二次

函數的性質可得出答案．

【詳解】解：如圖，過點P作PQAB，垂足為點Q，

BC

∵C90，A30，BC3，∴AC33，∵PC3，∴AP23，

tan30

∵PQAB，A30，∴PQ3，∵MN1

∴當點M，N位于點Q兩側比位于同側時，所求的代數式的值更小設QNx，則MQ1x．

2

2222222129

PM2PNMQPQ2PQQN3x2x103x．