專題18全等三角形模型之倍長中線與截長補短模型

全等三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本專題就全等三

角形中的重要模型（倍長中線模型、截長補短模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.倍長中線模型......................................................................................................................................1

模型2.截長補短模型......................................................................................................................................5

...................................................................................................................................................9

模型1.倍長中線模型

中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線。所

謂倍長中線模型，就是將三角形的中線延長一倍，以便構造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關知

識來解決問題的方法。（注：一般都是原題已經有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）。

倍長中線在全等三角形的輔助線做法中，難度不是特別大，相對好理解和掌握。

練習時要記住下面三點：①見中點，先倍長；②證明8字全等；③找關系。

1）倍長中線模型（中線型）

條件：AD為ABC的中線。結論：ABDECD

證明：延長A△D至點E，使DE=AD，連結CE。

∵AD為ABC的中線，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴ABD≌△ECD（SAS）

2）倍長△類中線模型（中點型）△

條件：ABC中，D為BC邊的中點，E為AB邊上一點（不同于端點）。結論：EDB≌FDC。

證明：△延長ED，使DF=DE，連接CF。△△

∵D為BC邊的中點，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴EDB≌FDC（SAS）

3）倍長類中線模型拓展（中點+平行線型）△△

條件：AB∥CD，E為AC的中點，F為AB邊上一點（不同于端點）。結論：AFE≌CGE。

證明：延長FE，交DC的延長線于點G。△△

∵E為AC的中點，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴AFE≌CGE（AAS）

若“中點+平行線型”按“中點型”來倍長，則需證明點G在CD上，為了避免證△明三點共△線，點G就直接通過

延長相交得到。因為有平行線，內錯角相等，故根據“AAS”或“ASA”證明全等。這里“中點+平行線型”可以看

做是“中點型”的改良版。

例1．（2024·廣東·校考二模）綜合與實踐：小明遇到這樣一個問題，如圖1，ABC中，AB7，AC5，

點D為BC的中點，求AD的取值范圍．

小明發現老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以

便構造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長AD

到E，使DEAD，連接BE，構造△BED≌△CAD，經過推理和計算使問題得到解決

請回答：(1)小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：________；（填入你選擇的選項字母）

A．SASB．SSSC．AASD．ASA

(2)AD的取值范圍是________．

小明還發現：倍長中線法最重要的一點就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構造．

參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點，G、F分別為AD，BC邊上的點，若AG2，BF4，

GEF90，求GF的長．

例2．（23-24遼寧錦州七年級期末）【問題提出】期末復習課上，數學丁老師出示了下面一個問題：如圖1，

在ABC中，D是BA延長線的點，E是AC邊上一點，且滿足DEBC,DEAACB，那么A是BD的

中點，請你說明理由．

【思路探究】小王同學從條件出發分析解題思路：以DE為腰構造等腰DEF和平行八字型全等三角形，如

圖2，以點D為圓心，以DE長為半徑畫弧，交CA的延長線于點F，先應用等腰三角形的軸對稱性，再應

用三角形全等“AAS”（或“ASA”）的判定方法即可得ABAD，小張同學從結論出發分析解題思路：以AB

為腰構造等腰△ABF，將說明ADAB的問題轉化為說明ADBF的問題，如圖3，以點B為圓心，以AB

長為半徑畫弧，交AC于點F，于是可得BFABAF，再應用三角形全等“AAS”(或“ASA”)的判定方法

即可得ABBFAD．

（1）請你選擇小張同學或小王同學的思路或按自己的思路寫出完整的解題過程；

【學以致用】（2）請你在理解了小張同學或小王同學解題思路的基礎上，解答下面一道圖形較為復雜的同

類問題：如圖4，在四邊形ABCD中，ABACCD,ACD90，過點B作線段BEAB，且BEAB，

連接DE，交BC的延長于點F，猜想DF與EF的數量關系并說明理由．

例3．（2024·江蘇·九年級校考期中）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖①，ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得

到了如下的△解決方法：延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE．請根據小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到ADC≌△EDB，依據是．A．SAS；B.SSS；C.AAS；D.HL

(2)由“三角形的三邊關系△”可求得AD的取值范圍是．

解后反思：題目中出現“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求

證的結論集中到同一個三角形之中．

(3)【初步運用】如圖②，AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求證AE＝FE．

(4)【靈活運用】如圖③，在AB△C中，∠A＝90°，D為BC中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC

于點F，連接EF．試猜想線△段BE、CF、EF三者之間的數量關系，并證明你的結論．

例4．（23-24九年級上·吉林長春·階段練習）【問題探究】在學習三角形中線時，我們遇到過這樣的問題：

如圖，在ABC中，點D為BC邊上的中點，AB4，AC6，求線段AD長的取值范圍．我們采用的方

法是延長線段AD到點E，使得ADDE，連結CE，可證ABD≌ECD，可得CEAB4，根據三角形

三邊關系可求AD的范圍，我們將這樣的方法稱為“三角形倍長中線”，則AD的范圍是：________．

【拓展應用】（1）如圖，在ABC中，BC2BD，AD3，AC210，BAD90，求AB的長．

（2）如圖，在ABC中，D為BC邊的中點，分別以AB、AC為直角邊向外作直角三角形，且滿足

ABEACF30，連結EF，若AD23，則EF________．（直接寫出）

模型2.截長補短模型

截長補短模型分為截長模型和補短模型：適用于求證線段的和差倍分關系，截長補短的關鍵在于通過

輔助線構造出全等三角形、等腰三角形。該類題目條件中常出現等腰三角形（兩邊相等）、角平分線（兩

角相等）等關鍵詞句，可采用截長補短法構造全等三角形來完成證明過程（往往需證2次全等）。

截長：指在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；

補短：指將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。

條件：AD為ABC的角平分線，∠B=2∠C。結論：AB＋BD＝AC。

證明：法1（△截長法）:在線段AC上截取線段AB′＝AB，連接DB。

∵AD為ABC的角平分線，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴ABD≌△AB′D（SAS）

∴∠B=∠△AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠△AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C，

∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。

法2（補短法）:延長AB至點C′使得AC′＝AC，連接BC′。

∵AD為ABC的角平分線，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴C′AD≌△CAD（SAS）

∴∠C′=∠△C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴△BC′＝BD，

∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。

例1．（2024·遼寧大連·模擬預測）【方法探究】如圖1，在ABC中，AD平分BAC，ABC2C，探

究AC，AB，BD之間的數量關系；

嘉銘同學通過思考發現，可以通過“截長、補短”兩種方法解決問題：

方法1：如圖2，在AC上截取AE，使得AEAB，連接DE，可以得到全等三角形，進而解決此問題．

方法2：如圖3，延長AB到點E，使得BEBD，連接DE，可以得到等腰三角形，進而解決此問題．

（1）根據探究，直接寫出AC，AB，BD之間的數量關系；

【遷移應用】（2）如圖4，在ABC中，D是BC上一點，，B2C，ADBC于D，探究CD，AB，BD

之間的數量關系，并證明．

【拓展延伸】（3）如圖5，ABC為等邊三角形，點D為AB延長線上一動點，連接CD．以CD為邊在CD上

方作等邊CDE，點F是DE的中點，連接AF并延長，交CD的延長線于點G．若GACE，求證：

GFAEAF．

例2．（23-24八年級上·河南漯河·期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形ABCD中，對角線BD平分

ABC，AC180．求證：DADC．

思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題．

方法1：在BC上截取BMBA，連接DM，得到全等三角形，進而解決問題；

方法2：延長BA到點N，使得BNBC，連接DN，得到全等三角形，進而解決問題．

結合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．

（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接AC，當DAC60時，探究線段AB，BC，BD之間

的數量關系，并說明理由；

（3）問題拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，AC180，DADC，過點D作DEBC，垂足為點

E，請寫出線段AB、CE、BC之間的數量關系．

例3．（23-24九年級上·江蘇南通·期中）如圖，四邊形ABCD是O內正方形，P是圓上一點（點P與點A，

B，C，D不重合），連接PA，PB，PC．(1)若點P是弧AD上一點，①∠BPC度數為___________；

②求證：PAPC2PB；小明的思路為：這是線段和差倍半問題，可采用截長補短法，請按小明思路完

成下列證明過程（也可按自己的想法給出證明）．證明：在PC的延長線上截取點E．使CEPA，連接BE．

(2)探究當點P分別在AB，BC，CD上，求PA，PB，PC的數量關系，直接寫出答案，不需要證明．

例4．（23-24八年級下·遼寧盤錦·期中）【閱讀理解】截長補短法，是初中數學幾何題中一種輔助線的添加

方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短

邊相等，從而解決問題．（1）如圖1，ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，BDC120，探索

線段DA、DB、DC之間的數量關系．思路：延長DC到點E，使CEBD，連接AE，根據

BACBDC180，可證ABDACE，易證得△ABD≌△ACE，得出VADE是等邊三角形，所以

ADDE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數量關系．根據上述解題思路，請寫出DA、DB、DC之

間的數量關系是______；

【拓展延伸】（2）如圖2，在RtABC中，BAC90，ABAC，若點D是邊BC下方一點，BDC=90，

探索線段DA、DB、DC之間的數量關系，并說明理由；

【知識應用】（3）如圖3，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂

點之間的距離PQ2cm．

1．（2023秋·江西九江·八年級校考期末）如圖，在ABC中，點D是BC的中點，若AB＝5，AC＝13，AD

＝6，則BC的長為．△

2．（2023·江蘇淮安·三模）【探究發現】（1）如圖1，在VABC中，D為BC邊的中點，連接AD并延長至點

H，使DHAD，連接CH．由ADBCDH，得VADB≌VHDC，則AB與CH的數量關系為______，

位置關系為______．

【嘗試應用】（2）如圖2，在VABC中，AP平分BAC，D為BC邊的中點，過點D作DQ∥AP，交CA

的延長線于點Q，交AB邊于點K．試判斷BK與CQ的數量關系，并說明理由．

【拓展應用】（3）如圖3，在Rt△ABC中，BAC90，AC6，AB8，D為BC邊的中點，連接AD，

E為AC邊上一動點，連接BE交AD于點F．①若BFAC．求AE的長度；

AG4

②在射線AD上取一點G，且，連接BG，直接寫出4BE5BG的最小值．

CE5

3．（23-24九年級上·廣東梅州·階段練習）閱讀下面材料：某同學遇到這樣一個問題：如圖1，在VABC中，

AP

ACB90,BE是AC邊上的中線，點D在BC邊上，CD:BD1:2,AD與BE相交于點P，求的值．他

PD

發現，過點A作AF∥BC，交BE的延長線于點F，通過構造△AEF，經過推理和計算能夠使問題得到解

AP

決（如圖2）．請回答：(1)的值為___．(2)參考這個同學思考問題的方法，解決問題：如圖3，在VABC

PD

中，ACB90，點D在BC的延長線上，AD與AC邊上的中線BE的延長線交于點

AP

P,DC:BC:AC1:2:3，求的值____；(3)在（2）的前提下，若CD2，則BP________．

PD

4．（2024·山東·校考一模）閱讀材料：如圖1，在ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點，小亮在證明“三

角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長DE到點F，使EFDE，連接CF，證明

ADE≌CFE，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．

類比遷移：（1）如圖2，AD是ABC的中線，E是AC上的一點，BE交AD于點F，且AEEF，求證：ACBF．

小亮發現可以類比材料中的思路進行證明．

證明：如圖2，延長AD至點M，使MDFD，連接MC，……請根據小亮的思路完成證明過程．

方法運用：（2）如圖3，在等邊ABC中，D是射線BC上一動點（點D在點C的右側），連接AD．把線段

CD繞點D逆時針旋轉120°得到線段DE，F是線段BE的中點，連接DF、CF．請你判斷線段DF與AD的

數量關系，并給出證明．

5．（2024·四川達州·模擬預測）[問題背景]在ABC中，AB8，AC4，求BC邊上的中線AD的取值范

圍，小組內經過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：延長AD到E，使得DEAD，再連接BE，

把AB，AC，2AD集中在ABE中．(1)利用上述方法求出AD的取值范圍是_________；

(2)[探究]如圖2，在ABC中，CE為AB邊上的中線，點D在CB的延長線上，且BC2BD，AD與CE相

交于點O，若四邊形ODBE的面積為20，求ABC的面積；

(3)[拓展]如圖3，在四邊形ABCD中，A105，D120，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上

的點，若AG4，DF22，GEF90，求GF的長．

6．（2024·山西呂梁·一模）閱讀與思考：下面是小宇同學的數學日記，請仔細閱讀，并完成相應的任務．

“倍長中線法”中線是三角形中的重要線段之一，利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”加輔助線．

如圖1．在ABC中，AD平分BAC，且D恰好是邊BC的中點．求證：ABAC．

證明：如圖2，延長AD至點E，使DEAD．∵D是邊BC的中點∴BDCD．

∵ADBEDC，DEAD，∴△ABD≌ECD（依據）．∴BADE．

∵AD平分BAC，∴BADCAD，∴CADE，∴ACCE，∴ABAC．

任務：(1)材料中的“依據”是________．（填選項）

A．SASB．ASAC．AASD．SSS

(2)在ABC中，AB6cm，AC4cm，則BC邊上的中線AD長度的取值范圍是________．(3)如圖3，在

四邊形ABCD中，ABCD，AM平分BAD，且M是BC的中點，AB2，AD3，求DC的長．

7．（23-24八年級上·山西大同·期末）閱讀以下材料，完成以下兩個問題．

[閱讀材料]已知：如圖，ABC（ABAC）中，D、E在BC上，且DEEC，過D作DFBA交AE于

點F，DFAC．求證：AE平分BAC．

結合此題，DEEC，點E是DC的中點，考慮倍長，并且要考慮連接哪兩點，目的是證明全等，從而轉

移邊和角．有兩種考慮方法：①考慮倍長FE，如圖（1）所示；②考慮倍長AE，如圖（2）所示以圖（1）

為例，證明過程如下：證明：延長FE至G，使EGEF，連接CG．

EDEC

在DEF和CEG中，DEFCEG，∴DEF≌CEGSAS．∴DFCG，DFEG．

EFEG

∵DFAC，∴CGAC．∴GCAE．∴DFECAE．

∵DFAB，∴DFEBAE．∴BAECAE．∴AE平分BAC．

問題1：參考上述方法，請完成圖（2）的證明．問題2：根據上述材料，完成下列問題：

已知，如圖3，在ABC中，AD是BC邊上的中線，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角三角形，

BAECAF90，AEAB，ACAF，AD3，求EF的長．

8．（2024·河南南陽·一模）李老師善于通過合適的主題整合教學內容，幫助同學們用整體的、聯系的、發展

的眼光看問題，形成科學的思維習慣，下面是李老師在“利用角的對稱性構造全等模型”主題下設計的問題，

請你解答．（1）【觀察發現】①如圖1，AP是VABC的角平分線，ABAC，在AC上截取AQAB，連接

PQ，則PB與PQ的數量關系是__________；

②如圖2，VABC的角平分線AE、BF相交于點P．當C60時，線段PE與PF的數量關系是__________；

（2）【探究遷移】如圖3，在四邊形ABCD中，ABADBC，DAB的平分線與ABC的平分線恰好交

于CD邊上的點P，試判斷PD與PC的數量關系，并說明理由．

1

（3）【拓展應用】在（2）的條件下，若AB15,tanPAB，當PBC有一個內角是45時，直接寫出邊

2

AD的長．

9．（2023·湖南懷化·模擬預測）【證明體驗】（1）如圖1，AD為VABC的角平分線，ADC60，點E在AB

上，AEAC．求證：DE平分ADB．

【思考探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，F為AB上一點，連接FC交AD于點G．若FBFC，DG4，

CD6，求BD的長．

【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，對角線AC平分BAD,BCA2DCA，點E在AC上，

EDCABC．若BC5,CD25,AD2AE，求AC的長．

10．（23-24九年級上·浙江紹興·期中）定義：如圖1，在．ABC中，把AB繞點A按逆時針方向旋轉

0180并延長一倍得到AB，把AC繞點A按順時針方向旋轉，并延長一倍得到AC，連結

BC．當180時，稱△ABC為ABC的“倍旋三角形”，△ABC的邊BC上的中線AD叫做ABC的

“倍旋中線”．(1)如圖①，當BAC90，BC2時，“倍旋中線”AD的長為______；

(2)如圖②，當△ABC為等邊三角形時，“倍旋三角形”AD與BC的數量關系為______．

(3)在圖③中，當ABC為任意三角形時，猜想“倍旋中線”AD與BC的數量關系，并給予證明．

①②③

11．（22-23九年級上·河南駐馬店·階段練習）如下表倍長中線（Methodoftimesthelengthofline）

倍長中線的意思是：延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，

然后往往需要連接相應的頂點，則對應角對應邊都對應相等，此法常用于構造全等三角形，

利用中線的性質、輔助線、對頂角一般用“SAS”證明對應邊之間的關系．請用倍長中線法解答下面問題：

在ABC中，ACB90，BD是AC邊上的中線，點E為射線BC上一動點．

(1)問題發現：如圖1，點E在BC上，BE:CE1:2，BD與AE相交于點P，延長BD至點F，使得BDDF，

AP

連接AF，求的值．

PE

王林同學根據題意寫出了如下不完整的求解過程，請補全其過程．

解：設BEk，則CE；∵BD是AC邊上的中線，∴ADCD；

CDAD

∵在△BCD和△FAD中，{BDCFDA∴△BCD△FAD（）

BDFD

APAF

∴=，∴BCFA；∴BCFA3k；又∵BCFA，∴BPEFPA；∴=．

PEBE

AP

(2)類比探究如圖2，點E在BC的延長線上，AE與BD的延長線交于點P，CE:BC1:3，求的值．

PE

(3)拓展延伸在（2）的探究結論下，若BC4，AC6，求BP的長．

12.（23-24九年級上·陜西西安·期中）閱讀下面材料，完成以下兩問：

數學課上，老師出示了這樣一道題．如圖，ABC中，D為BC中點，且ADAC，M為AD中點，連接CM

并延長交AB于N．探究線段AN、MN、CN之間的數量關系，并證明．

同學們經過思考后，交流了自己的想法：

小明：“通過觀察和度量，發現線段AN、AB之間存在某種數量關系”．

小強：“通過倍長不同的中線，可以得到不同的結論，但都是正確的”．

小偉：“通過構造、證明相似三角形、全等三角形，就可以將問題解決”．

(1)小偉在探索時，做法為：過B作BQ∥NC交AD延長線于Q，構造BDQ≌CDMASA．

AN

請你按照他的做法，判斷AN與AB之間的數量關系為：________

AB

(2)如圖（2）：延長AD至H，使ADDH，連接CH，則結論：AN2MNCN是否成立？請說明理由；

(3)如圖（3）,證明：AN2MNNC．

13．（2024·廣西賀州·一模）閱讀與思考：下面是小王的數學改錯本上的改錯總結反思請仔細閱讀，并完成

相應的任務．

截長補短法：有一類幾何題其命題主要是證明三條線段長度的“和”或“差”及其比例關系．這一類題目一般可

以采取“截長”或“補短”的方法來進行求解，所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的

一條線段長度與已知線段長度相等，然后證明其中的另一條線段與已知的另一條線段的數量關系，所謂“補

短”，就是將一條已知的較短的線段延長至與另一條已知的較短的線段長度相等，然后求出延長后的線段與

最長的已知線段的數量關系．有的是采取截長補短法后，使之構成某種特定的三角形進行求解…．

如圖1，四邊形ABCD是O的內接四邊形，連接AC，BD．BC是O的直徑，ABAC．請說明線段AD，

BD，CD之間的數量關系．

下面是該問題的部分解答過程：

解：BD2ADCD．理由如下：∵BC是O的直徑，∴BAC90，

∵ABAC，∴ABCACB45．

如圖2，過點A作AMAD交BD于點M，…．

任務：(1)補全解答過程；(2)如圖3，四邊形ABCD是O的內接四邊形，連接AC，BD．BC是O的直徑，

ABC30，則線段AD，BD，CD之間的數量關系式是______．

14．（23-24八年級上·吉林長春·階段練習）【閱讀理解】截長補短法，是初中數學幾何題中一種輔助線的添

加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一

長邊相等，從而解決問題．（1）如圖①，ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，連結DA、DB、DC，

且BDC120，探索線段DA、DB、DC△之間的數量關系．

解題思路：延長DC到點E，使CE