模型24摩擦力做功問題及求變力做功的幾種方法

模型概述

1.摩擦力做功問題

1)無論是靜摩擦力還是滑動摩擦力都可以對物體可以做正功，也可以做負功，還可以不做功。

2)靜摩擦力做功的能量問題

①靜摩擦做功只有機械能從一個物體轉移到另一個物體，而沒有機械能轉化為其他形式的能。

②一對靜摩擦力所做功的代數和總等于零，而總的機械能保持不變。

3)滑動摩擦力做功的能量問題

①滑動摩擦力做功時，一部分機械能從一個物體轉移到另一個物體，另一部分機械能轉化為內容,

因此滑動摩擦力做功有機械能損失。

②一對滑動摩擦力做功的代數和總是負值，總功W=-Ff相對，即發生相對滑動時產生的熱量。

2.求變力做功的幾種方法

1.用沙=R求功

W

當牽引力為變力，且發動機的功率一定時，由功率的定義式「=一，可得少=?九

t

1)“微元法”求變力做功：

情形一：當力的大小不變，而方向始終與運動方向相同或相反時，力尸做的功與路程有關，W=Fs

或少=—后，其中s為物體通過的路程.

情形二：當力的大小不變，運動為曲線時，將物體的位移分割成許多小段，因小段很小，每一小段上

作用在物體上的力可以視為恒力,這樣就將變力做功轉化為在無數多個無窮小的位移上的恒力所做功的

代數和，此法適用于求解大小不變、方向改變的變力做功.

【舉例】質量為加的木塊在水平面內做圓周運動，運動一周克服摩擦力做功

成

Wf=Ff-Axj+Ff-AX2+Ff-AX3+...=Ff-(Axj+Ax2+Ax3+...)=F,■2

2)“圖像法”求變力做功：在尸x圖像中，圖線與x軸所圍“面積”的代數和就表示力尸在這段位移內所做

的功,且位于X軸上方的“面積”為正功，位于X軸下方的“面積”為負功，但此方法只適用于便于求圖線與X

軸所圍面積的情況(如三角形、矩形、圓等規則的幾何圖形).

【舉例】一水平拉力拉著一物體在水平面上運動的位移為X0,圖線與橫軸所圍面積表示拉力所做

F+F1

的功，w=0x

2

3)“平均力”求變力做功：當力的方向不變而大小隨位移線性變化時，可先求出力對位移的平均值

F=耳;片，再由4=同cos。計算，如彈簧彈力做功.

【舉例】彈力做功，彈力大小隨位移線性變化，取初狀態彈力為0,則

W=Fx=0+.x=°+"x=-kx2

222

4.應用動能定理求解變力做功：在一個有變力做功的過程中，當變力做功無法直接通過功的公式求

解時，可用動能定理少變+少恒川一f",物體初、末速度已知，恒力做功少恒可根據功的公式求

出，這樣就可以得到少變=，2V22一/2也2—平恒，就可以求出變力做的功了.

【舉例】用力廠把小球從/處緩慢拉到8處，尸做功為力,則有：

WFWG=0WF-mgl(l-cos3)=0=>JVF=mg/(l-cos<9)

5)等效轉換法求解變力做功：將變力轉化為另一個恒力所做的功。

【舉例】恒力尸把物塊從N拉到8,繩子對物塊做功JF=F.(———4)

sinasinp

AB

典題攻破

1.摩擦力做功問題

【典型題1】（2024?福建龍巖?一模）下列說法正確的是（）

A.作用力做正功，反作用力也一定做正功B.作用力做負功，反作用力也一定做負功

C.一對靜摩擦力所做的功的代數和總為零D.一對滑動摩擦力所做的功的代數和總為零

【答案】C

【詳解】A.作用力做正功，反作用力也不一定做正功，例如撞到墻被反彈回去的球，彈力對球做正功,

因為墻不動，反作用力對墻不做功，故A錯誤；

B.作用力做負功，反作用力不一定做負功，如物體在水平面上滑行物體受到的摩擦力做了負功，但其

摩擦力的反作用力不做功，故B錯誤；

C.反作用力一對靜摩擦力作用的物體間無相對滑動，故位移始終相等，而二力大小相等，方向相反，

故一個做正功，則另一個就做負功，一對靜摩擦力所做的功的代數和總為零，故C正確；

D.一對滑動摩擦力，二力大小相等，方向相反，由于物體相對運動，位移為不相等，所以一對相互作

用的滑動摩擦力做的功的代數和可以不為零，故D錯誤。

故選C。

2.變力做功問題

【典型題2】（2024?全國?模擬預測）質量為1kg的物體，在一水平拉力作用下由靜止開始在水平面上運動,

運動過程中受到地面的摩擦力大小為1N,拉力隨位移的變化如圖所示，運動1m后撤去拉力，則下列說

法正確的是（）

A.物體的最大位移為8m

C.運動過程中合力的最大功率為80WD.運動過程中合力的最大功率為4^W

【答案】D

【詳解】A.設物體位移為x,拉力戶為變力，變力做功為圖像圍成的面積，則拉力廠做功為

K=（3+5）xlx；J=4J

由能量守恒知皈=_A

代入得x=?=；m=4m

A錯誤；

B.由動能定理知，物體的最大速度為%，則笈=]〃說

代入得％卻二升117sMm/s

B錯誤；

CD.當運動過程中合力最大時，拉力為尸=5N,速度最大％時，合力功率最大為

%=（尸一/）%=（5-1）V6W=4A/6W

C錯誤，D正確o

故選D。

【典型題3】（2022?河南?一模）水平桌面上，長6m的輕繩一端固定于。點，如圖所示（俯視圖），另一端

系一質量機=2.0kg的小球。現對小球施加一個沿桌面大小不變的力尸=10N,/拉著物體從M點運動到N

點，尸的方向始終與小球的運動方向成37。角。已知小球與桌面間的動摩擦因數〃=0.2,不計空氣阻力，

取g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,則下列說法正確的是（）

A.拉力廠對小球做的功為16兀（J）B.拉力廠對小球做的功為8兀（J）

C.小球克服摩擦力做的功為16%（J）D.小球克服摩擦力做的功為4兀（J）

【答案】A

【詳解】AB.將圓弧分成很多小段。，b,…,In,拉力產在每小段上做的功為電，電，…,W?,因拉

力廠大小不變，方向始終與小球的運動方向成37。角，所以

P/=M/cos37°

用尸月2cos37°

%用〃cos37。

故叫=%+%+...+%二廠cos37°（/]+/2+...+/〃）=/cos37。??=10x0.8x（x6（J）=16%（J）

故A正確，B錯誤；

CD.同理可得小球克服摩擦力做的功叫=〃"?g?苧=8%（J）

故CD錯誤。

故選Ao

針對訓練

1.（2023?海南?一模）如圖所示，用一個大小不變的力尸拉著滑塊（視為質點）使其沿半徑為R的水平圓軌

道勻速運動半周，若力尸的方向始終與其在圓軌道上作用點的切線成60。夾角，則力尸做的功為（）

A.------B.2FRC.FRD.F兀R

2

【答案】A

【詳解】將力尸分解為切線方向和徑向方向兩個分力，其中徑向方向始終與速度方向垂直，不做功，切

線方向分力始終與速度方向相同，則滑塊勻速運動半周，力尸做的功為少=尸。0560。口尺=F胃7TR

2

故選Ao

2.（2025?安徽蚌埠?一模）（多選題）如圖甲所示，質量為8kg的物體受水平推力F作用在水平面上由靜止

開始運動，推力F隨位移x變化的關系如圖乙所示，運動10m后撤去推力F。已知物體與地面間的動摩

擦因數為0.5,重力加速度取lOm/s2,在物體運動的整個過程中（）

A.推力對物體做的功為480JB.物體的位移為12m

C.物體的加速度大小先減小后不變D.物體在x=5m時速度最大，最大速度為6mzs

【答案】AB

【詳解】A.根據尸-x圖像的面積表示力做功，可知推力對物體做的功為叫=gx（2+10）x80J=480J

故A正確；

B.設物體整個運動過程的位移大小為％,根據動能定理可得叫一〃根gx°=O

解得飛=12m

故B正確；

C.在推力不變，物體的加速度大小不變；當推力開始減小時，一開始推力大于摩擦力，物體的加速度

逐漸減小；當推力等于摩擦力時，物體的加速度為0,之后推力小于摩擦力，物體的加速度反向逐漸增

大，撤去推力后，物體的加速度大小保持不變，故C錯誤；

D.當推力等于摩擦力時，物體速度最大，則有尸=〃mg=40N

結合b-x圖像可知此時x=6m,根據動能定理可得唯〃加=-0

其中％=80x2J+g（80+40）x4J=400J

解得最大速度為％=2V10m/s

故D錯誤。

故選AB?

3.（23-24高三上?山東濟寧?期末）（多選題）某網球以大小為vo的速度豎直向上拋出，落回出發點的速度

大小為v/。網球的速度隨時間變化關系如圖所示，若空氣阻力大小與網球速率成正比，重力加速度為g,

下列說法正確的是（）

A.下降過程中網球處于超重狀態

B.網球上升、下降過程所受阻力的沖量大小相等

C.網球上升過程克服阻力做功等于下降過程克服阻力做功

D.網球從拋出到落回出發點所用的時間。=、叢

g

【答案】BD

【詳解】A.根據v-t圖像可知，下降過程的加速度與初速度方向相反，即豎直向下，為失重狀態，故A

錯誤；

B.小球運動的v-t圖像如圖所示

由于上升過程和下降過程位移大小相等，因此圖中兩陰影部分面積相等；因為

f=kv

則f-t圖像與v-t圖像相似，兩陰影部分的面積也相等，f-t圖像t軸上方圖像與坐標軸圍成的面積表示上

升過程的阻力的沖量大小，t軸下方圖像與坐標軸圍成的面積表示下降過程的阻力的沖量大小。可知上升

和下降過程的阻力的沖量大小相等，B正確；

C.小球運動過程中受到的空氣阻力大小與其速率成正比，因此上升過程中平均空氣阻力大于下降過程

中平均空氣阻力，上升過程和下降過程位移大小x大小相同，根據少=方

可知，上升過程中克服阻力做功大于下降過程克服阻力做功，C錯誤；

D.由B分析可知，阻力的總沖量為零，對全過程，根據動量定理-加-加%

解得。=、±乜

g

故D正確。

故選BDo

4.（2024?湖南株洲?一模）（多選題）如圖，質量為m的電動遙控玩具車在豎直面內沿圓周軌道內壁以恒定

速率v運動，已知圓軌道的半徑為R,玩具車所受的摩擦阻力為玩具車對軌道壓力的k倍，重力加速度

為g,P、Q為圓軌道上同一豎直方向上的兩點，不計空氣阻力，運動過程中，玩具車（）

A.在最低點與最高點對軌道的壓力大小之差為6mg

B.通過尸、0兩點時對軌道的壓力大小之和為彳

C.由最低點到最高點克服摩擦力做功為hrmv2

D.由最低點到最高點電動機做功為2k7imv2+2mgR

【答案】BC

2

【詳解1A.在最低點,玩具車在半徑方向受到向下的重力和向上的支持力，由向心力公式得片-加g=*

2

在最高點，玩具車在半徑方向受到向下的重力和向下的支持力，由向心力公式得8+/陽=腎

兩式相減可得片-8=2mg

A錯誤；

BC.在PQ兩點的受力如圖所示

在P點，由向心力公式有N2+mgcos0=—

兩式相加可得乂+%=冽E

12R

因摩托車在不同位置與圓軌道間的壓力不同，所以摩擦力是一個變力，將圓軌道分成N段，在軌道上下

關于水平直徑對稱的位置上取兩小段A、B,每段的長度為Ax=岑，則在A、B兩小段的壓力可視為

N

恒力，摩擦力做功之和為力=左（乂+必）最

.2mv22TTR4k7imv2

解得力=kx---------x--------=-------------

RNN

所以摩托車從最低點到最高點克服摩擦力做功為紜=-Wj.=k7Tmv2

BC正確;

D.玩具車在豎直面內沿圓周軌道內壁以恒定速率v運動,由最低點到最高點由動能定理可知

Wv-W^-mg2R=Q

解得唯=knmv2+2mgR

D錯誤。

故選BC-

5.（2024?河南?二模）（多選題）如圖甲所示，一質量為優的小物塊，從位置。以速度比沿粗糙水平地面向

右運動。小物塊與右方一豎直墻壁第一次碰撞后，反向向左運動。當小物塊水平向左運動至距豎直墻壁

最遠處的尸/（坐標為打）位置時，立即對其施加一個水平向右的推力歹，當小物塊運動到尸2（坐標為X2）

位置時，撤去推力下，使其與豎直墻壁第二次碰撞后，恰好反向運動至位置。處靜止不動。取位置。為

坐標原點，水平向右為正方向。己知推力尸隨小物塊水平位移的變化如圖乙所示，小物塊每次和豎直墻

壁碰撞不計能量損失。則下列說法正確的是（）

A.小物塊每次和豎直墻壁碰撞的過程中，墻壁對小物塊的沖量大小為0

B.小物塊每次和豎直墻壁碰撞的過程中，墻壁對小物塊做的功為0

C.在小物塊從位置。開始運動到第一次返回到P的過程中，摩擦力對小物塊做的功為-;俏式

D.在推力9對小物塊作用的過程中，推力廠對小物塊做的功為&/（片+乙）

【答案】BCD

【詳解】A.小物塊每次和豎直墻壁碰撞的過程中，墻壁對小物塊的作用力不為零，根據I=Ft可知，墻

壁對小物塊的沖量大小不為0,選項A錯誤；

B.小物塊每次和豎直墻壁碰撞的過程中墻壁與物塊作用點沒有位移，故墻壁對小物塊做的功為零，選

項B正確;

C.由題意可知，Pl點是物塊與墻壁碰后反向運動到達的最遠點，則物塊在到達P1位置時速度為零，則

從在小物塊從位置。開始運動到第一次返回到P1的過程中，由動能定理可知，摩擦力對小物塊做的功

為%=_g機片

選項C正確;

D.因F-x圖像的面積等于力F的功，則在推力F對小物塊作用的過程中，推力F對小物塊做的功為

TrrR+F?%2

WF=—^—^2-^=—

2

選項D正確。

故選BCDo

6.（2023?山東青島?模擬預測）（多選題）冬天的北方，人們常用狗來拉雪橇。一條狗用水平拉力拉著質量

為80kg的雪橇（包括內部物品），在水平雪面做半徑為24m的勻速圓周運動，速度大小為3m/s,雪橇與

地面間的動摩擦因數0.05,重力加速度取10m/s2,cos53°=0.6o下列說法正確的是（）

A.雪橇受到狗的水平拉力大小為40N

B.狗給雪橇的水平拉力方向與雪橇前進方向成37°

C.狗給雪橇的水平拉力功率為150W

D.狗拉著雪橇轉過30。圓弧的過程中，雪橇克服地面摩擦力做功160兀J

【答案】BD

【詳解】A.狗拉雪橇的水平拉力有兩個作用效果，一個作用效果平衡雪橇做圓周運動時切向受到的摩

擦力，另一個作用效果使雪橇做圓周運動，根據雪橇做圓周運動，由牛頓第二定律有

v233

二冽——=80x——N=30N

R24

在雪橇前進的方向上始終有a=〃叫=40N

則可得雪橇受到狗的水平拉力大小為尸=再運1=50N

B.狗給雪橇的水平拉力方向與雪橇前進方向之間夾角的正切值為tan。=

居J4

可得夾角6=37。

故B正確；

C.狗給雪橇的水平拉力功率為P=&v=40x3W=120W

故C錯誤；

D.狗拉著雪橇轉過30。圓弧的過程中，雪橇克服地面摩擦力做功少萬尺=160萬J

故D正確。

故選BDo

7.（2024?重慶?三模）某同學用圖（a）所示裝置研究滑塊在水平傳送帶上的運動。實驗前，該同學已先測

出滑塊和位移傳感器（發射器）的總質量為〃=0.4kg。實驗中，該同學讓傳送帶保持恒定的速度，將

滑塊由靜止輕放在傳送帶上O處并將此時刻作為計時起點，用位移傳感器測出了各時刻t滑塊相對于O

的位移x,利用測得的多組數據在圖（b）所示的x—坐標中描出了14個點。（所有計算結果均保留兩位

有效數字）

位移傳感器恒.位移傳感器

（發射器）■塊目"（接收器）

0

圖（a）圖（b）

（1）根據描出的點作出滑塊運動的x7圖線，可以得出以下結論：

①滑塊在傳送帶上先做的是直線運動；

②傳送帶的速度大小為m/s；

③滑塊做勻加速直線運動的加速度大小為5m/s2o

（2）若重力加速度大小取g=10m/s2,則利用實驗數據可求得：

①滑塊與傳送帶間的動摩擦因數為〃=;

②在0.10s~0.60s末這段時間內，滑塊與傳送帶間因摩擦產生的熱量為。=Jo

【答案】（1）2.0（2）0,500.45

【詳解】(1)由圖可知，0.40s后滑塊做勻速直線運動，即滑塊的速度等于傳送帶的速度，則有

Ax(80-40)x10-2

m/s=2.0m/s

~0.6—0.4-

(2)①[1]滑塊在傳送帶上勻加速的運動時，根據牛頓第二定律可得〃加g="?a

代入數據，解得〃=0.50

②[2]由于傳送帶與滑塊之間有相對運動時才有熱量產生，所以0.10s末?0.60s末這段時間內，只有0.10s

末?0.40s末這段時間有熱量產生，這段時間內傳送帶的位移為了傳="f=0.6m

0.1s末滑塊的速度為匕=叫=0.5m/s

0.10s末?0.40s末這段時間滑塊的位移為x滑="強/=0.375m

則滑塊與傳送帶之間的相對位移為盤=無傳-無清=0.225m

則摩擦產生的熱量為。=加=0.45J

8.(2024?北京海淀?三模)圖甲是某科技館的一件名為“最速降線”的展品，在高度差一定的不同光滑軌道中,

小球滾下用時最短的軌道叫做最速降線軌道。取其中的“最速降線”軌道I和直線軌道II進行研究，如圖乙

所示，兩軌道的起點M高度相同，終點N高度也相同，軌道I的末端與水平面相切于N點，軌道n末端

與水平面平滑連接。若將兩個完全相同的小球a和b分別放在I、II兩軌道的起點M,同時由靜止釋放，

發現在I軌道上的小球a先到達終點。已知M距離地面的高度為H,兩個小球的質量都為m,重力加速

度為g，不考慮小球的滾動影響；

(1)忽略各種阻力，求小球沿I軌道運動到最N點的速度大小；

(2)若考慮軌道摩擦力的影響，設小球和軌道間的滑動摩擦因數為〃，

a.求小球沿II軌道下落到N點的過程中，克服摩擦力做的功；

b.試比較兩小球從M運動N過程中克服摩擦力做功的大小；

c.請設計出可行的實驗方案來驗證你上一問的結論，簡要說明實驗方案的思路以及對應的實驗結果。

【答案】(1)E⑵"g焉;big島+￡〃吟州叫…見解析

【詳解】(1)由動能定理可得=

解得v=12gH

(2)設軌道II與水平面的夾角為。，斜面長s。

a.由受力分析可知，小球受到的摩擦力f="N=jumgcos0

則從M滑到N過程中，克服摩擦力做功為/I=力="加gscos6=4加

tan，

b.小球從軌道I下落過程中，所受摩擦力為變力，求摩擦力做功可以通過微元法，把I軌道分成很多段，每

一段f可認為是恒力。在第i段軌道中，設該段軌道的延長線和地面的夾角為火,對應的曲率半徑為8,

由受力分析可知，乂-冽gcosa,二加工

Pt

貝I」1-juNi=cosat+m—)

Pi

y2[[y2

小球克服摩擦力做功%=yZM=y//(mgcostz;+=/jmg-------+

Pitang—p：

c.由動能定理可知，小球滑到最底端的動能為穌

因此可以把比較匕轉換成比較耳的大小，只需設計實驗方案比較小球運動到N點的速度大小即可。比

如在N點安裝光電門。

9.(2015?北京?高考真題)如圖所示，彈簧的一端固定，另一端連接一個物塊，彈簧質量不計。物塊(可視

為質點)的質量為m,在水平桌面上沿x軸運動，與桌面間的動摩擦因數為〃。以彈簧原長時物塊的位

置為坐標原點0,當彈簧的伸長量為x時，物塊所受彈簧彈力大小為尸="，后為常量。

(1)請畫出尸隨x變化的示意圖；并根據b-x圖象求物塊沿x軸從。點運動到位置x的過程中彈力所

做的功。

(2)物塊由為向右運動到演，然后由演返回到口,在