第23周周期工程問題

一、知識要點

周期工程問題中，工作時工作人員（或物體）是按一定順序輪流交替工作的。解答時，

首先要弄清一個循環周期的工作量，利用周期性規律，使貌似復雜的問題迅速地化難為易。

其次.要注意最后不滿一個周期的部分所需的工作時間，這樣才能正確解答。.

二、精講精練

[例題1]一項工程，甲單獨做需要12小時，乙單獨做需要18小時。若甲做1小時后

乙接替甲做1小時，再由甲接替乙做1小時……兩人如此交替工作，問完成任務時需共用多

少小時？

把2小時的工作量看做一個循環，先求出循環的次數。

①需循環的次數為：1+舄+白）＞7（次）

12185

②7個循環后剩下的工作量是：1-（J+4）X7』

12lo3b

③余下的工作兩還需甲做的時間為：!-^77=!（小時）

3b123

④完成任務共用的時間為：2X7+；=14；（小時）

OO

答：完成任務時需共用小時。

練習1:

1、一項工程，甲單獨做要6小時完成，乙單獨做要10小時完成。如果按甲、乙；甲、

乙……的順序交替工作，每次1小時，需要多少小時才能完成？

2、一部書稿，甲單獨打字要14小時，乙單獨打字要20小時。如果先由甲打1小時，

然后由乙接替甲打1小時；再由甲接替乙打1小時……兩人如此交替工作，打完這部書稿

共需用多少小時？

3、一項工作，甲單獨完成要9小時，乙單獨完成要12小時。如果按照甲、乙；甲、

乙……的順序輪流工作，每人每次工作1小時，完成這項工程的2/3共要多少時間？

2

【例題2】一項工程，甲、乙合作26a天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交

替輪流做，恰好用整數天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，比上次輪

流做要多半天才能完成。這項工程由甲單獨做要多少天才能完成？

由題意可以推出“甲先”的輪流方式，完成時所用的天數為奇數，否則不論“甲先”還

是“乙先”，兩種輪流方式完成的天數必定相同。根據“甲先”的輪流方式為奇數，兩種輪流

方式的情況可表示如下：

甲乙甲乙……甲乙甲

乙甲乙甲……乙甲乙;甲

豎線左邊做的天數為偶數，誰先做沒關系。豎線右邊可以看出，乙做一天等于甲做半天,

即甲的工作效率是乙的2倍。

①甲每天能做這項工程的1+26|X*4

②甲單獨做完成的時間=40（天）

答：這項工程由甲單獨做需要40天才能完成。

練習2：

1、一項工程，乙單獨做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣輪流交

替做，也恰好用整數天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣輪流交替做，比上次輪

流做要多半天才能完成。這項工程由甲獨做幾天可以完成？

2、一項工程，甲單獨做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣輪流交替

做，恰好也用整數天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣輪流交替做，比上次輪流

做要多;天才能完成。這項工程由甲、乙合作合作幾天可以完成？

0

3、一項工程，甲、乙合作12|小時可以完成。如果第一小時甲做，第二小時乙做，這

樣輪流交替做，也恰好用整數小時完成。如果第一小時乙做，第二小時甲做，這樣輪流交

替做，比上次輪流做要多9小時才能完成。這項工程由甲獨做幾小時可以完成？

4、蓄水池有一跟進水管和一跟排水管。單開進水管5小時灌滿一池水，單開排水管3

小時排完一池水。現在池內有半池水，如果按進水、排水；進水、排水……的順序輪流依

次各開1小時，多少小時后水池的水剛好排完？

[例題3]一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，恰好用整數天

數完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，做到上次輪流完成時所用的天數

后，還剩60個不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3o甲、乙每天各做多少個？

由題意可以推出“甲先”的輪流方式，完成時所用的天數為奇數，否則不論“甲先”還

是“乙先”，兩種輪流方式完成的天數必定相同。根據“甲先”的輪流方式為奇數，兩種輪流

方式的情況可表示如下：

甲乙甲乙……甲乙甲

乙甲乙甲……乙甲乙剩60個

豎線左邊做的天數為偶數，誰先做沒關系。豎線右邊可以看出，剩下的60個零件就是甲、

乙工作效率的差。

甲每天做的個數為：604-(5-3)X5=150(個)

乙每天做的個數為：604-(5-3)X3=90(個)

答：甲每天做150個，乙每天做90個。

練習3：

1、一批零件如果第一天師傅做，第二天徒弟做，這樣交替輪流做，恰好用整數天完成。

如果第一天徒弟做，第二天師傅做，這樣交替輪流做，做到上次輪流完成時所用的天數后,

還剩84個不能完成。已知師、徒工作效率的比是7：4。師、徒二人每天各做多少個？

2、一項工程，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流恰好用整數天完成。如果

死一天乙做，第二天甲做，這樣.交替輪流做要多W天才能完成。如果讓甲、乙二人合作，

只需天就可以完成。現在，由乙獨做需要幾天才能完成？

3、紅星機械廠有1080個零件需要加工。如果第一小時讓師傅做，第二小時讓徒弟做,

這樣交替輪流，恰好整數小時可以完成。如果第一小時讓徒弟做，第二小時讓師傅做，這

樣交替輪流，做到上次輪流完成時所用的天數后，還剩60個不能完成。如果讓師、徒二人

合作，只需3小時36分就能完成。師、徒每小時各能完成多少個？

［例題4］打印一部稿件，甲單獨打要12小時完成，乙單獨打要15小時完成。現在，

甲、乙兩人輪流工作。甲工作1小時，乙工作2小時；甲工作2小時，乙工作1小時；甲工

作1小時，乙工作2小時……如此這樣交替下去，打印這部書稿共要多少小時？

根據已知條件，我們可以把6小時的工作時間看做一個循環。在每一個循環中，甲、乙

都工作了3小時。

11Q

①每循環一次，他們共完成全部工程的（行+—）X3=—

121520

99

②總工作量里包含幾個9/20：1+萬=2石

zuy

91

③甲、乙工作兩個循環后，剩下全工程的1-指X2=—

乙U1.U

④由于4,所以，求甲工作1小時后剩下的工作由乙完成還需的時間為（J）

11

.存=4

⑤打印這部稿件共需的時間為：6X2+1+|=13；（小時）

答：打印這部稿件共需13；小時。

練習4：

1、一個水池安裝了甲、乙兩根進水管。單開甲管，24分鐘能包空池灌滿；單開乙管，

18分鐘能把空池灌滿。現在，甲、乙兩管輪流開放，按照甲1分鐘，乙2分鐘，甲2分鐘,

乙1分鐘，甲1分鐘，乙2分鐘……如此交替下去，灌滿一池水共需幾分鐘？

2、一件工作，甲單獨做，需12小時完成；乙單獨做需15小時完成。現在，甲、乙兩

人輪流工作，甲工作2小時.，乙工作1小時；甲工作1小時，乙工作2小時；甲工作2小

時，乙工作1小時……如此交替下去，完成這件工作共需多少小時？

3、一項工程，甲單獨做要50天完工，乙單獨做需60天完工。現在，自某年的3月2

日兩人一起開工，甲每工作3天則休息1天，乙每工作5天則休息一天，完成全部工程的與

為幾月幾日？

4、一項工程，甲工程隊單獨做完要150天，乙工程隊單獨做完需180天。兩隊合作時,

甲隊做5天，休息2天，乙隊做6天，休息1天。完成這項工程要多少天？

【例題5］有一項工程，由甲、乙、丙三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序

輪做，恰好整數天完成呢感如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用0.5天；如果按丙、

甲、乙次序做，比原計劃多用g天。已知甲單獨做13天完成。且3個工程隊的工效各不相同。

這項工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？

由題意可以推出：按甲、乙、丙次序輪做，能夠的天數必定是3的倍數余1或余2。如

果是3的倍數，三種輪流方式完工的天數，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序輪流做，用

的天數是3的倍數余lo三種輪流方式做的情況可表示如下：

甲乙丙，甲乙丙，...甲乙丙，甲

乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲，乙萬丙

丙甲乙，丙甲乙，...丙甲乙，丙;甲

91919

從中可以退出：丙4甲；由于乙=甲一t丙=甲一三甲Xt,又推出乙4甲；與題中“三

個工程隊的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的.次序輪做，用的天數必定是3的倍

數余2。三種輪流方式用的天數必定如下所示：

甲乙丙，甲乙丙，...甲乙丙，甲乙

乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲，乙丙］甲

丙甲乙，丙甲乙，...丙甲乙，丙甲;乙

O

19

由此推出：丙而甲，丙丁乙

4O

①丙隊每天做這項工程的5x|=/

132zb

19Q

②乙隊每天做這項工程的滎4--=—

2b352

1137

③甲、乙、丙合作完工需要的時間為1+(―+—+—)=5-(天)

1326529

7

答：甲、乙、丙合作要5g天完工。

練習5：

1、有一項工程，由三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序輪做，恰好用整數天

完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用g天；如果按丙、甲、乙次序做，比

原計劃多用;天。已知甲單獨做7天完成。且3個工程隊的工效各不相同。這項工程由甲、

乙、丙合作要多少天完工？

2、有一項工程，由三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序輪做，恰好整數天完

成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用;天；如果按丙、甲、乙次序做，比原

計劃多用g天。已知甲單獨做10天完成。且3個工程隊的工效各不相同。這項工程由甲、乙、

丙合作要多少天完工?

3、有一項工程，由甲、乙、丙三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序輪做，恰

好整數天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用《天；如果按丙、甲、乙次

序做，比原計劃多用七天。已知這項工程由甲、乙、丙三個工程隊同時合作，需13^天可以

完成，且3個工程隊的工效各不相同。這項工程由甲獨做需要多少天才能完成？

4、蓄水池裝有甲、丙兩根進水管和乙、丁兩根排水管。要注滿一池水，單開甲管需要3

小時，單開丙管需要5小時。要排光一池水，單開乙管要4小時，單開丁管要6小時。現知

池內有春池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁……的順序輪流各開1小時，多長

時間后水開始溢出水池？

答案：

練1

1、（1）需循環的次數

1115

--x）=彳>3

（2）3個循環后剩下的工作量

—3+上）

（3）最后由乙做的時間

11、11一

9一1）.正=3小時

（4）需要的總時間

11

2X3+l+§=7-小時

2、（1）需循環的次數

140

—>8

（2）3個循環后剩下的工作量

1一（*上）X8=4

140

（3）最后由乙做的時間

412,」

-------=一小時

140145」」

（4）需要的總時間

22

2X8+7=16-小時

55

3、（1）需循環的次數

21124

L（§+詁）=7>3

（2）3個循環后剩下的工作量

211、1

§—（§+適）X3=-

（3）最后由乙做的時間

1.13-

-1-2丁一9=一4小］時」

（4）需要的總時間

33

2X3+-=6-小時

練2

1、提示：甲的效率是乙的2倍

204-2=10天

2

2、提示：乙的效率是甲的可

O

.1，1,1,3T

1.[6X（1-3）+6f天

9

3、提示：乙的效率是甲的可

O

1+(1+12|X—)=21小時

53—1+3

4、(1)需幾個周期

111x15

"(§—M)X3=T>3

(2)3個周期后剩下的水

1111

~--)X3=-

23510

(3)需要的時間

1119,工

2X3+1+(-+M),=7-小時

練3

1.、.師傅：844-(7-4)X7=196個

徒弟：844-(7-4)X4=112個

93

2、提示：乙的效率是甲的(1--)=-

55

X

1.(I*京5-2+5)=7天

3

3、3小時36分=3三小時

5

3

師、徒效率和：10804-37=300個

5

師傅每小時的個數：（300+60）+2=180個

徒弟每小時的個數：（300—60）+2=120個

練4

1、提示：把6分鐘看作一個循環

(1)每循環一次的工作量

117

%+歷)*(1+2)二區

7

(2)總工作量里面有幾個丁

73

1.嗝二方

(3)3個循環后剩下的工作量

71

L藥X3=i

(4)一共需要的時間

11、11…

6X3+1+(-——)4--=20-分鐘

oZ4loZ

2、提示：把6分鐘看作一個循環

(1)1個循環的工作量

11、9

(-+-)X(1+2)=—

121520

Q

(2)總工作量里面有幾個正

乙u

92

1丁麗=29

(3)3個循環后剩下的工作量

91

1—而X2=w

(4)一共需要的時間

111一

6X2+13+調=%小時

說明：2個循環后，是由甲接著干2小時，所以直接用上

3、提示：把12天看作一個循環

12天中甲的工作量

19

X(3+3+3)

5050

12天中乙的工作量

1(5+5)=|

X

60

總共需要的天數

52.91、

———(.—+一)^2

75506

(12天減去最后休息的1天)

12X2-1=23天

52

完成全部任務的共為3月24日。

75

4、提示：把7天看作一個周期

22

14-(-X5+-X6)=15

OO

7X15—1=104天

練5

1、提示：按甲、乙、丙的順序輪流做，所用的整數天數為3的倍數余2,否則與