專題22矩形（正方形）的性質與判定

1.（2021?寧波中考）如圖是一個由5張紙片拼成的平行四邊形/5CD相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中兩

張等腰直角三角形紙片的面積都為Si，另兩張直角三角形紙片的面積都為§2，中間一張矩形紙片的面積

為與GE相交于點。當AAEO,ABFO,ACGO,的面積相等時，下列結論一定成立的是（）

A.Sr=S2B.Sx=S3C.AB=ADD.EH=GH

解：如圖，連接。G,AH,過點。作"，。片于/

???四邊形EFG〃是矩形，

；?OH=OF,EF=GH,ZHEF=90°,

?；OJ_LDE,

：.ZOJH=ZHEF=90°,

：.OJ//EF,

,:HO=OF,

:?HJ=JE,

:?EF=GH=2OJ,

■:SADHO=LDH，OJ,S叢DHG=LDH/GH,

22

S〉DGH=2S^DHO，

同法可證SMEH=2S"EO,

■:SADHO=S“EO,

:?SADGH=S^AEH'

?；S4DGC=LCG?DH,SAADH=L?DH?AE,CG=AE,

22

SADGC=S“DH，

:叢DHC=SAADE，

=$2，

故/選項符合題意；

S3=HE，EFWS\,

故8選項不符合題意；

AB^AD,EH=GH均不成立,

故C選項，。選項不符合題意，

答案：A.

2.（2021?眉山中考）如圖，在矩形/BCD中，對角線/C,8。相交于點O,AB=6,N￡UC=60°,點尸在線段

AO上從點A至點。運動，連接DF,以DF為邊作等邊三角形。如點E和點A分別位于。尸兩側，下列結論①

ZBDE=ZEFC；②ED=EC；③NADF=NECF；④點E運動的路程是2?,其中正確結論的序號為（）

A.①④B.①②③C.②③④D.①②③④

解：(l)VZDAC=60°,OD=OA,

:.AOAD為等邊三角形，

AZDOA=ZDAO=ZODA=60°,AD=OD,

也為等邊三角形，

：./EDF=/EFD=/DEF=60°,DF=DE,

VZBDE+ZFDO=ZADF+ZFDO=60°,

ZBDE=ZADF,

VZADF+ZAFD+ZDAF=180°,

AZADF+ZAFD=1SO°-ZDAF=120°,

VZEFC+ZAFD+ZDFE=180°,

；?/EFC+/4FD=180°-/DFE=120°,

???ZADF=ZEFC,

：./BDE=/EFC,

故結論①正確；

②如圖，連接OE,

在△D4F和△￡)(?￡■中，

fAD=OD

<ZADF=ZODE>

LDF=DE

ADAF會/\DOE(SAS),

：.ZDOE=ZDAF=60°,

VZCOD=180°-ZAOD^120°,

：.ZCOE=ZCOD-ZDOE=120°-60°=60°,

：.ZCOE=ZDOE,

在△OZ)￡和△OC￡中，

r0D=0C

<ZD0E=ZC0E>

LOE=OE

△ODE經△OCE{SAS),

：.ED=EC,ZOCE=ZODE,

故結論②正確；

③??NODE=ZADF,

：.ZADF=ZOCE,即NADF=ZECF,

故結論③正確；

④如圖，延長?至〃，使OE'=OD,連接DE',

■:4DAF咨4DOE,ZDOE=60°,

點廠在線段49上從點/至點。運動時，點E從點。沿線段運動到歹，

'JOE'=OD=AD=AB,tanZABD=6,tan30°

，點E運動的路程是2?,

故結論④正確；

3.（2021?河池中考）如圖，在邊長為4的正方形/BCD中，點E,尸分別在CD,NC上，BFLEF,CE=i,貝U//

的長是（

???4BCZ)是正方形，

:?/ABC=/BCD=/BNM=90°,AB=BC=CD=4,

???四邊形QVM為矩形，

；?MN=BC=4,CM=BN,

■:BF2EF,

：./EFB=/FNB=9G°,

ZFBN+ZNFB=NNFB+NEFM,

：.ZFBN=/EFM,

???四邊形4BCD是正方形，

ZACD=45°,

AZMFC=ZMCF=45°,

：.MF=MC=NB,

在LMEF與ANFB中，

<ZEFM=ZFBN

<MF=NB，

ZEMF=ZFNB

:?叢MFE”叢NBFCASA),

:?ME=FN,

沒ME=FN=x,貝ijMC=A/F=BN=1+x,

■:MN=MF+FN=4,

..]+x+x=4,

.??人x=3,

2

.?.bN=3,

2

:四邊形/BCD為正方形，MNLAB,

：.ZNAF=ZNFA=45°，

：.FN=AN,

AF=VFN2+AN2=^FN=邛

答案：B.

4.（2021?重慶中考）如圖，正方形/BCD的對角線/C,AD交于點。，M是邊4D上一點，連接OM,過點。作

ONA.OM,交CD于點N.若四邊形MONO的面積是1,則的長為（）

A.1B.V2C.2D.2圾

解：：四邊形/8CD是正方形，

:./MDO=ZNCO=45°,OD=OC,〃。。=90°,

AZDON+ZCON=90°,

'：ONLOM,

:./MON=90°,

:.NDON+NDOM=90°,

ZDOM=ACON,

在和△CON中，

，ZD0M=ZC0N

<OD=OC，

LZMDO=ZNCO

△OOAfg△CON(ASA),

:四邊形MOND的面積是1,四邊形MOND的面積=Z\D(W的面積+/ADON的面積,

/.四邊形MOND的面積=△CON的面積+ZXOON的面積=ZiZ)OC的面積，

...△DOC的面積是1,

二正方形ABCD的面積是4,

：.AB2^4,

.\AB=2f

答案：c.

5.（2021?紹興中考）圖1是一種矩形時鐘，圖2是時鐘示意圖，時鐘數字2的刻度在矩形48。的對角線2。上,

時鐘中心在矩形4BCD對角線的交點。上.若4B=30c〃?，則2C長為_3Ch/^_c加（結果保留根號）.

解：過。點作OELCD,OFLAD,垂足分別為E,F,

由題意知

:./DOE=30°,/尸00=60°,

在矩形N5CD中，/C=90°,CD=AB=30cm,

J.OE//BC,

：.ZDBC=ZDOE=30°,

：.BC=^/3CD=3O/3cw-

答案：3073.

6.（2021?銅仁中考）如圖，將邊長為1的正方形48co繞點N順時針旋轉30°到/以小）的位置，則陰影部分的

面積是2-也.

解：如圖,

連接4E1,根據題意可知4Bi=4D=l,N切81=30°,

在RtA4BiE和RtAADE中，

，AE=AE

<ABi=AD'

RtAAB^RtAADE（HL）,

,?ZBrAE=ZDAE=XzBiAD=30°,

2_

ADE=1解得。￡=返，

AD733

返

:?S四邊影4DEBI=2S“DE=2X工XADXDE=

23_

2X（1-返）

；?S陰影部分=2（S正方形4BCD-S四邊形4DE81）=

3

答案：2-

3

7.（2021?南充中考）如圖，點￡是矩形N8CD邊上一點，點尸，G,〃分別是BE,BC,CE的中點，AF=3,

則GH的長為3.

：廠為3E的中點，4F=3,

:.BE=2AF=6.

：G,H分別為BC,EC的中點,

:.GH=LE=3,

2

答案：3.

8.（2021?揚州中考）如圖，在△4BC中，AC=BC,矩形DEFG的頂點。、E在4B上，點F、G分別在2C、AC

上，若CF=4,BF=3,且DE=2EF,則斯的長為

?.?四邊形DEPG是矩形,

C.GF//AB,

:.△CGFsMAB,

?GFCF44pn2x4

AB-CB_4+3"7AB"7

;.4B=包,

2

；.AD+BE=AB-DE=-y-2x=yr

?：AC=BC,

/A=/B,

在△4DG和△5EF中，

2A=NB

-/ADG=/BEF，

DG=EF

:.AADG<LBEF(AAS),

.'.AD=BE=—V,

4

在RtZXAEF中，BE1+EF1=BF1,

即(-1X)2+X2=32-

解得:彳=也或-絲(舍)，

55

；衣=絲，

5

答案：

5

9.(2021?威海中考)如圖，在正方形/BCD中，AB=2,￡為邊上一點，尸為邊8C上一點.連接。E和/尸交

于點G,連接3G.若AE=BF,則8G的最小值為、芯-1

解：如圖，取4D的中點T,連接37,GT,

?.?四邊形/8CD是正方形，

；.4D=4B=2,NDAE=NABF=9Q°,

在和尸中，

，DA=AB

-ZDAE=ZABF-

,AE=BF

:ADAE咨AABF(SAS),

：.ZADE=ZBAF,

,：ZBAF+ZDAF=90°,

:./EDA+/DAF=9Q°,

AZAGD^90°,

'：DT=AT,

;.G7=y=l,BT=在再新用的=近,

C.BG^BT-GT,

:.BG，娓-1,

的最小值為迷-1.

答案：Vs-1.

10.（2021?哈爾濱中考）如圖，矩形4BCD的對角線NC,AD相交于點。，過點。作0EL2C,垂足為點￡,過點

/作/尸，。3,垂足為點?若BC=2AF,OD=6,則5E的長為.

BC

解：??,四邊形/BCD是矩形,

：.OA=OB=OC=OD,

?；OE2BC,

:.BE=CE,ZBOE=ZCOE,

又?.,BC=2AF,

?：AF=BE,

在RtAAFO和RtA^O中，

[AF=BE,

lA0=B0,

ARtA^FO^RtA5EO(HL),

：.ZAOF=/BOE,

：.ZAOF=ZBOE=/COE,

又..?N4。方+N5OE+NCO￡=180°,

AZBOE=60°,

?：OB=OD=6,

???5E=OB?sin60°=6X

答案：35/3.

11.（2021?深圳中考）如圖，矩形。15c的邊0c在y軸上，邊。/在x軸上，C點坐標為（0,3）,點。是線段

CM上的一個動點，連接CD以CD為邊作矩形CDEF,使邊￡尸過點8.連接OF當點。與點/重合時，所

作矩形CD即的面積為12.在點。的運動過程中，當線段。尸有最大值時，則點尸的坐標為（里亙+2,

—一13

6a^+3）.

13

0DAX

解：當點。與點/重合時，如圖：

■:S坦彩CDEF=2SACBD=12，S矩形O/BC=2SACBD，

?'?S矩形CMBC=12，

：C點坐標為（0,3）,

：.OC=3,

.".OA=4,

VZCFB=90°,C,2均為定點，

尸可以看作是在以8C為直徑的圓上，取8C的中點”，

則A/F=_^SC=2,（W=1oc2mM

廠的最大值=（WK^BC=JH2,即。、M、尸三點共線,

設點尸的橫坐標為2x,則縱坐標為3x,

（2x）2+（3x）2=（71^-2）2,

解得：x=^（V13+2）（負值舍去）

_13_

.,.2x=生口1+2,3x=.gy13+3

1313

，點F坐標（隹+2,遂+3）

1313

12.（2021?福建中考）如圖，在矩形4BCD中，48=4,AD=5,點、E,尸分別是邊/及3c上的動點，點E不與

A,8重合，且所=48,G是五邊形NEFCD內滿足G￡=Gk且NEG尸=90°的點.現給出以下結論：

①/GEB與NGFB一定互補；

②點G到邊N8,BC的距離一定相等；

③點G到邊/D,DC的距離可能相等；

④點G到邊48的距離的最大值為2血.

其中正確的是①②⑷.（寫出所有正確結論的序號）

解：：四邊形48co是矩形，

AZ5=90°,

又,：/EGF=90°,四邊形內角和是360°,

:.NGEB+NGFB=180°,

故①正確；

過G作GMLAB,GN1BC,分別交于交.BC于N,

：.ZGEF=ZGFE=45°,

又，

:./BEF+NEFB=9Q°,即N3EF=90°-ZEFB,

\'ZGEM=1^0°-ZBEF-ZGEF=18O°-45°-(90°-ZEFB)=45°+ZEFB,

NGFN=NEFB+/GFE=NEFB+45。,

ZGEM=ZGFN,

在△GEM■和△GKV中，

'NGME=NGNF=9O°

-ZGEM=ZGFN，

,GE=GF

:.叢GEM94GFNCAAS),

：.GM=GN,

故②正確；

'：AB=4,AD=5,并由②知,

點G到邊ND,DC的距離不相等，

故③錯誤：

在直角三角形EMG中，MGWEG,當點E、“重合時EG最大,

；EF=AB=4,

夸=2料,

GE=EB=BF=FG=4X

故④正確.

答案：①②④.

13.(2021?貴陽中考)如圖，在矩形/BCD中，點”在DC上，AM^AB,5.BNLAM,垂足為N.

(1)求證：aABN經八MAD；

(2)若40=2,AN=4,求四邊形2cMy的面積.

(1)證明：在矩形/BCD中，ZZ)=90°,DC//AB,

：.ZBAN=AAMD,

:BNLAM,

：./BNA=9Q°,

在△/氐￥和中，

，ZBAN=ZAMD

-ZBNA=ZD=90°，

LAB=AM

:.AABN%AMAD(AAS)；

(2)解：?:AABN沿AMAD,

：.BN=AD,

?.10=2,

:.BN=2,

又,：AN=4,

在RtZi/BN中，”=〃N2+BM="2+22=2泥,

1?S矩形Z5CQ=2義2^/"^=4>/^，△牯。=/義2X4=4,

?'?S四邊形BCMN=S矩形/BCD-S“BN~S/^MAD=^^[5-8.

14.(2021?荊門中考)如圖，點E是正方形/5CD的邊2C上的動點，/AEF=90°,且斯=/E,FHLBH.

(1)求證：BE=CH；

(2)連接DR若/8=3,BE=x,用含x的代數式表示。尸的長.

(1)證明：?.?正方形/8cO,

AZS=90°,AB=BC,

'：FHLBH,

：.Z/7=90°=/B,ZEFH=90°-ZFEH,

VZAEF=90°,

；.N4EB=90°-ZFEH,

：./AEB=ZF,

在△/AE?和△EHF中，

2B=NH

-NAEB=/F，

,AE=EF

:.△ABEQ△EHF(AAS),

：.EH=AB=BC,BE=FH,

：.EH-EC=BC-EC,即CH=BE-,

(2)過尸作BP_LCD于尸，如圖，

：/H=NDCH=/FPC=90°,

四邊形尸CA尸是矩形，

由(1)知：BE=FH=CH,

四邊形尸SF是正方形，

PF=CP=CH=BE=x,

,：DC=AB=3,

：.DP=DC-CP=3-x,

/中，￡>F=JDp2+pF2,

：DF=

'V（3-X）2+X2=V2X2-6X+9-

15.（2021?西寧中考）如圖，四邊形/BCD是菱形，對角線/C,2。相交于點O,△BOC"ACEB.

（1）求證：四邊形OBEC是矩形；

（2）若N/2C=120°,48=6,求矩形03EC的周長.

(1)證明：,:叢BOCmACEB,

：.OB=EC,OC=EB,

四邊形O8EC是平行四邊形，

,四邊形N5CD是菱形，

：.AC±BD,

:.NBOC=90°,

,平行四邊形O8EC是矩形；

(2)解::四邊形/BCD是菱形，AB=6,ZABC=nO°,

：.AC±BD,BC=AB=6,ZDBC=^-ZABC=60Q,

2

AZ5OC=90°,

.-.Z0C5=30°,

:.OB=^LBC=3,

2

m=VBC2-0B2=VS2-32=3?'

矩形。3￡C的周長=2(3后3)=6后6.

16.(2021?梧州中考)如圖，在正方形48co中，點E,廠分別為邊2C,CD上的點，且于點尸，G為4D

的中點，連接GP,過點尸作P7/LG尸交于點凡連接G4.

(1)求證：BE=CF；

(2)若4B=6,BE=LBC,求G〃的長.

3

:.NEAB+/ABF=90°,NABF+NCBF=90°,

：.NEAB=NCBF,

在△/BE?與△8CF中，

，ZEAB=ZCBF

'AB=BC，

kZABC=ZC

:.AABE咨ABCF(ASA),

：.BE=CF；

(2)VZEAB=ZCBF,

：.ZGAE=ZPBH,

■:PHLGP,

：.ZGPH=9Q°,

；NAPB=9T,

ZGPA+ZAPH=ZAPH+ZHPB,

：.ZGPA=ZHPB,

：./\GPA^AHPB,

???-G-A-~-A-P-,

HBBP

,.'tanZEAB=^-=^-,

ABAP

;BE=LBC,

3

.?.空=3,

HB

：G為/￡＞的中點,

：.AG=3,

.\AH=5,

???GH=VAG2+AH2=^34-

17.(2021?雅安中考