江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)

試卷

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題

1.直線(xiàn)X+by—l=o的傾斜角為()

A.-B.-C.—D.—

3636

2.等差數(shù)列｛｝中，右％+。3=4，。3+4=5，則。9+"10等于（）

A.9B.10C.llD.12

3.已知圓G：(X—1)2+/=],圓。2：(%—4)2+丁=16，則圓G與圓的位置關(guān)系

為()

A.相離B.相交C.外切D.內(nèi)切

4.已知直線(xiàn)/1:x+(a-4)y+l=0，鄉(xiāng)：ax+5y+5=0且/J/"則實(shí)數(shù)a的值為()

A.5B.lC.5或-1D.-1

5.已知直線(xiàn)/:x—2y—1=0是圓C：X?+J—6x+ay+1=0（aeR）的對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)點(diǎn)

P（-4,a）作圓1的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A,貝1)歸4|=()

A.2A/10B.7C.4GD.2

6.若a,b,c,d/或等比數(shù)列，則下列三個(gè)數(shù)列：

⑴〃方""2；Q)ab,bc,cd；(3)a-b,b-c,c-d，必成等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()

A.OB.lC.2D.3

7.設(shè)點(diǎn)4(-2,3)，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)/關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)/，與圓(x—3『+(y-2『=1

有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)/的斜率的取值范圍是()

、],

-、3「）

-4「刊4

A.-18?|BO1

-3-u

-313J

]/一

11

4334

11||

C.|3D.1

134143

_24

a-

8.已知在數(shù)列｛%｝中，q=2,n+l，b二=(-1)"(2〃+1)%%，數(shù)列也｝的前

2Q+%

〃項(xiàng)和為S.，則Sioo=()

A400口400廠(chǎng)408C408

101101101101

二、多項(xiàng)選擇題

9.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知圓+_/一4%-2世+〃=0（aeR）,則下列說(shuō)

法正確的是（）

A.若a/o，則點(diǎn)。在圓C外

B.圓C與x軸相切

C.若圓C截x軸所得弦長(zhǎng)為2百，則。=1

D.點(diǎn)。到圓C上一點(diǎn)的最大距離和最小距離的乘積為小

10.已知等比數(shù)列m｝的前〃項(xiàng)和為S.，％=2且52=44，數(shù)列也｝滿(mǎn)足

2=二號(hào)，數(shù)列也）的前〃項(xiàng)和為7；,則下列命題正確的是（）

A.數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為=2X3"T

B.S“=3"-1

C.數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式為2=（3-1”一）

D.1<T<1

86

11.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A乃的距離之比為定值

的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱(chēng)為“阿波羅尼斯圓”在平面直角坐標(biāo)系中，已知

4（-4,2）,8（2,2）點(diǎn)P滿(mǎn)足髭=2,設(shè)點(diǎn)尸的軌跡為圓C,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.圓C的方程是（％—4>+《—2）2=16

B.過(guò)點(diǎn)A向圓C引切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)的夾角為巴

3

C.過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)/,若圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)/的距離為2,則該直線(xiàn)的斜率為

+走

D.過(guò)直線(xiàn)3x+4y=60上的一點(diǎn)P向圓C引切線(xiàn)PM，PN，則四邊形PMCN的面積的最

小值為16月

三、填空題

12.已知點(diǎn)4(2,0),0(0,0),5(0,-4),則△495的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

13.已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足q=1,也“+1—5+1”“=1+2+3++〃，則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式

為—.

14.已知實(shí)數(shù)X],x2)%,為滿(mǎn)足x；+才=16，考+y；=16,xrx2+yry2-0>則

I%,+%21+1+y2|的取值范圍是.

四、解答題

15.在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的邊AB所在直線(xiàn)方程為2尤+y=0，邊AC所

在直線(xiàn)方程為x-y+3=0,點(diǎn)以(2,0)在邊5c上.

⑴若A"是5c邊上的高，求直線(xiàn)的方程；

⑵若AM是邊上的中線(xiàn)，求直線(xiàn)5c的方程.

16.等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和記為S“，已知$3=-15,且%,%，-%成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，并求S”取到最小值時(shí)的n值；

(2)求數(shù)列｛卜小的前16項(xiàng)的和幾.

17.已知meR，直線(xiàn)/：x+(m-l)y+3帆一6=0與圓C：f+,?一8%+2丁-3=0交于

A,3兩點(diǎn).

⑴求證：直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)P；

⑵若直線(xiàn)/將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為工的兩段圓弧，求直線(xiàn)/的方程；

2

(3)求△ABC面積的最大值.

18.數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和記為S,，a,=|s,+L

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)電區(qū)&,求數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和I；；

an

⑶對(duì)于⑵中的數(shù)歹!]｛4｝,問(wèn)是否存在正整數(shù)左，使得4、2b2、左4成等差數(shù)列？若存

在，請(qǐng)求出所有符合條件的正整數(shù)左；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓。的半徑為2,圓心在y軸的正半軸上，直線(xiàn)

4%+3y+4=0與圓C相切.

⑴求圓C的方程；

⑵設(shè)。（0,1），過(guò)點(diǎn)。作斜率為左的直線(xiàn)/,交圓C于尸、Q兩點(diǎn).

①點(diǎn)加（1,0）總在以線(xiàn)段P。為直徑的圓內(nèi)，求左的取值范圍；

②設(shè)A,3是圓C與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)（A在3的上方），證明：AP與6。的交點(diǎn)在定

直線(xiàn)上.

參考答案

1.答案：D

解析：由直線(xiàn)x+^y—1=0得其斜率為左=—#，

設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為。（0e[0,兀）），則tan*-無(wú)，

3

所以。=2,所以直線(xiàn)的傾斜角為史，

66

故選：D

2.答案：C

解析：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

由。2+%=4，/+%=5，得'2d=5—4=1，

所以的+%（；-a3+6d+a4+6d-（a3+4）+12d=5+6=11.

故選：C

3.答案：D

解析：由題意知，。]（1，。），4=1，。2（4,0）g=4,

所以CGI=3，G-13,則|GGI=G—「

所以?xún)蓤A內(nèi)切.

故選：D

4.答案：D

解析：直線(xiàn)4:x+（a-4）y+l=0,/2:ax+5y+5=0,由a（a-4）-5=0解得a=5或

Q——1，

當(dāng)a=5時(shí)，直線(xiàn)k:x+y+l=0與4:5x+5y+5=0重合,不符合題意，

當(dāng)。=一1時(shí)，直線(xiàn)（：x-5y+l=0與/?:x-5_y-5=0平行，

所以實(shí)數(shù)a的值為-L

故選：D.

5.答案：B

解析：由題意可知：直線(xiàn)/：x-2y-1=0過(guò)圓心C13,-

貝1)3—2x1—TJT=O，解得a=-2，

故圓c：f+y2—6x—2y+i=o的圓心為。(3,1),半徑r=3，且點(diǎn)p(T—2),

\PC\=J(-4—3)2+(-2_=758，

.-.|PA|=yj\PCf-r2=7.

故選：B.

6.答案：C

解析：a,仇c,d成等比數(shù)列，設(shè)公比為q，

則a,b,c,d均不為0,且2=￡=&=q,

abc

?=(=4=/,故/力2,02,儲(chǔ)成等比數(shù)列，且公比為“2,

abc

生=￡=/包=4=/,因此仍,加,加成等比數(shù)列，且公比為q2,

ababeb

a-b=a(l-q),b-c=b(l-q)=aq(l-q),c-d-aq2(1-^)>

當(dāng)qwl時(shí)，成等比數(shù)列，且公比為q,但當(dāng)4=1時(shí)，不是等比數(shù)列，

故選：C

7.答案：C

解析：設(shè)直線(xiàn)/的斜率為左，傾斜角為。，則左=tan。，

由題意知，直線(xiàn)r的斜率為tan(-e)=-tanO=-左.

點(diǎn)A(-2,3)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為4(-2,-3),

所以/':y+3=—Z(x+2),即依+y+2左+3=0,

由(x—3)2+(y—2)2=1知,圓心坐標(biāo)為(3,2),半徑為r=1，

所以圓心(3,2)到直線(xiàn)r的距離為d=囤43+2刈=\5k+^,

又直線(xiàn)r與圓有公共點(diǎn)，所以］=單坦<1,

ViTF

整理得1242+25k+1240，解得-左K-=，

34

即直線(xiàn)/的斜率的取值范圍為[—.

34

故選：C

8.答案：A

解析：由a“x=a，得」一即」——-

2+4%%?),2

又一，所以

則｛'｝是以L(fǎng)為首項(xiàng)，以L(fǎng)為公差的等差數(shù)歹U,

an22

得1）小故%],得%=高，

411

所以d=(一D"(2〃+1)4%=(-1)"(2?+1)——-=4(-l)"(-+—-)，

n(n+1)nn+1

所以Si。。=2+%+-+”100

111111

---1--1----------F±-xxn

12233499100+100+101)

、

=4…(-1-\----1-)=---4-0--0--

101101

故選：A

9.答案：AD

解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（尤―2）?+6-a?=4,

圓心為C（2,a）,半徑為2，

對(duì)于A選項(xiàng)，若。w0,

則有（0—2丫+（0—4="+4>4，即點(diǎn)。在圓C外，A對(duì);

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)閳A心C到x軸的距離為何，

而向與2的大小關(guān)系不確定，

所以，圓C與X軸不一定相切，B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，若圓C截x軸所得弦長(zhǎng)為23，

則（括『+團(tuán)=22,解得a=±l，C錯(cuò);

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)。=0時(shí)，點(diǎn)。在圓C上，

點(diǎn)。到圓C上一點(diǎn)的最大距離為4,

點(diǎn)。到圓C上一點(diǎn)的最小距離為0,則4*0=。2；

當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)。在圓C外，且|OC|=萬(wàn)方=77百，

所以點(diǎn)。到圓C上一點(diǎn)的最大距離為J/+4+2,最小距離為JQ2+4—2,

則點(diǎn)。到圓C上一點(diǎn)的最大距離和最小距離的乘積

為+4+2)('42+4-2)=/+4一4="2.

綜上所述，點(diǎn)。到圓C上一點(diǎn)的最大距離和最小距離的乘積為/,D對(duì).

故選：AD.

10.答案：ABD

解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為a則S2=4%=a1+/=%，解得q=3,

所以a“=qq"T=2x3"T,故A項(xiàng)正確;

所以S=■(7)=2x(1—3")故B項(xiàng)正確;

"1-q1-3

由2_2X3"T

故C項(xiàng)錯(cuò)誤;

“一(3"-1""-1)

因?yàn)椋ヒ?3"—0(3'+i—1)-3[3"—]—3向—]

11A111

所以^!一日+系)一亨二II-----------I----------

3"-13n+l-lJ633n+1-1

由〃eN*，-x—J—〉0，WT<-)

33n+1-ln6

又因?yàn)?；單調(diào)遞增，所以所以7；取值范圍為故D項(xiàng)正確.

故選：ABD.

11.答案：ABD

解析：對(duì)于A,因?yàn)锳(-4,2),B(2,2),點(diǎn)P滿(mǎn)足^^=2,設(shè)P(x,y),

則卜+4)2+(尸2)2=>

^(x-2)-+(y-2)2

化簡(jiǎn)得必+丁2—8x—4y+4=0，,即(％—4)?+(y—2)2=16，故A正確;

對(duì)于B,因?yàn)閍c=8，r=4，設(shè)兩條切線(xiàn)的夾角為a，

所以sinqr--解得烏=巴，則［=殳，故B正確;

2AC2263

對(duì)于C,易知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)/的方程為y-2=左(*+4),

即Ax-y+4左+2=0,

因?yàn)閳AC上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)/的距離為2,

所以圓心到直線(xiàn)的距離』=國(guó)二二竺+a=j磐=2,

解得女=土正，故C錯(cuò)誤；

15

對(duì)于D,由題意可得金9=2X；X4XJPC2—42=4占。2—42，

故只需求PC的最小值即可，

PC的最小值為點(diǎn)c到直線(xiàn)3x+4y=60的距離，

|3X4+4X2-60|

即4=?——,~:8,

"+42

所以四邊形PMCN的面積的最小值為4782-42=16A/3，故D正確?

故選：ABD.

12.答案：(尤―iy+(y+2)2=5

解析：對(duì)于4(2,0)和3(0,-4),中點(diǎn)坐標(biāo)為(212,"1)=(1,_2).

22

再求線(xiàn)段AB的斜率如=上區(qū)=1^=2.

.XB-XA0-2

那么AB垂直平分線(xiàn)的斜率為(因?yàn)閮蓷l垂直直線(xiàn)的斜率乘積為-1).

2

利用點(diǎn)斜式，可得線(xiàn)段A5垂直平分線(xiàn)方程為y+2=-；(x-1)，

即x+2y+3=0.

線(xiàn)段AO的中點(diǎn)坐標(biāo)為(?2,2±2)=(i,o).

線(xiàn)段AO在X軸上，其垂直平分線(xiàn)為X=l.

Cx=1

聯(lián)立，把％=1代入x+2y+3=0,

x+2y+3=0

得l+2y+3=0,解得y=-2.

所以圓心坐標(biāo)為(1,-2).

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，圓心(1,-2)到A(2,0)的距離就是半徑兀

r=’(2-1)2+(0+2)2=&7Z=6

2

根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r,可得(x—1)2+(y+2>=5.

則△AO5的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-1)2+(y+2)2=5.

故答案為:(%-l)2+(y+2)2=5.

13.答案：4="(7)

角星析：因?yàn)椤╝“+]+=1+2+3++九=九(；1),

所以％產(chǎn)15+1)%%+1怎=1,

〃(a+1)+n+1n2

數(shù)列[44是首項(xiàng)為色=i,公差為工的等差數(shù)列，

bJ12

%=1+5-1)=3，

n2V72

所以《="(；+1).

故答案為：a"“,).

14.答案：[40,8]

解析：因?yàn)閷?shí)數(shù)/、/、％、為滿(mǎn)足％；+y；=16,%；+y；=16,

可知5(%2，%)在圓G：尤之+)?=16,,

設(shè)OA=（玉，乂），O月=（%2，%），玉9+X%=。，

所以O(shè)4QB=0，所以。4，。8，

所以不妨設(shè)％=4cos8,%=4sin。,

x=4cosf6^+-|-j=-4sin^,y=4sin[9+]兀)=4cos6,

220e[0,2兀),

2

所以歸+X2I+E+%|=|4cos6-4sinq+|4cose+4sine|

8cos夕0G0,^-j

8sina年

3兀5兀

-8cosa0G

T5T

5兀7兀

-8sin0,0e

_44

-7兀、

8cos6,0e—,2兀

4，

0,；),8cos。￡

OE

:，,卜sinde[4倉(cāng)8]

0E

y,y^-8cos^e[472,8],

又Oe

亨T1—8sinde[40,8]

OE

3EE

所以歸+%2|+|%+%］的取值范圍是［40,8］,

故答案為：「40,81

15.答案：⑴3%-2丁一6二0;

(2)14x+y-28=0.

.[2x+y=0/口fx=-l

解析：⑴由1”得1

x—y+3=0[y=2

所以A(-l,2),直線(xiàn)4W的斜率為宇g=—|

因?yàn)?c，所以，直線(xiàn)5C的斜率為3,

2

則直線(xiàn)6c的方程為y=|(x-2)，即3x-2y-6=0.

(2)點(diǎn)3在直線(xiàn)2x+y=0上，設(shè)雙羽-2力,

點(diǎn)3關(guān)于M(2,0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C(4-x,2x)在直線(xiàn)x-y+3=0上,

所以(4—力―2x+3=0,解得x=g，即點(diǎn)呂］,—

直線(xiàn)BM的斜率為尸-=-14，

——2

3

所以直線(xiàn)BC的方程為y=-14(%-2),即14x+y-28=0.

16.答案：⑴4=2〃-9,當(dāng)S“取得最小值時(shí)，〃=4；

(2)160.

解析：⑴設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為力

4Zj+4+%=-15

由題可得:

2a3=%+(-％)

3d,+3d=—15

即1],

2(。]+2d)=一(4+3J)

解得a】=一7,d=2,所以%=2〃-9；

,[<2<0-/口⑵2-9<0./口79

由1"，可得1，解得一<〃〈一，

a.20[2n-7>022

因?yàn)椤╡N*,所以〃=4時(shí),S”取得最小值時(shí),〃=4；

(2)由(1)可知，4,出，心，％均為負(fù)數(shù)，且從外開(kāi)始，后面每一項(xiàng)均為正數(shù)，

(6=—%一4—。3—%+。5+4++46

=(7+5+3+1)+(1+3++23)

12(1+23)

=16+—^------2=16+144=160；

2

故數(shù)列｛㈤｝的前16項(xiàng)的和九=160.

17.答案：(1)證明見(jiàn)解析；

(2)x+2y+3=0;

⑶5行

解析：⑴由/：x+(m-l)y+3m-6=0，得(x-y-6)+機(jī)(y+3)=0,

因?yàn)榧觘R，故可得尸7一6=。,解得尸=3,

y+3=0[y=-3

所以直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)尸(3,-3).

(2)假設(shè)直線(xiàn)/能否將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為工的兩段圓弧.

2

直線(xiàn)/與圓。交于A，B兩點(diǎn)，則ZAC3=120°.

圓C方程為(無(wú)一4y+(y+l『=20，

故其圓心C坐標(biāo)為(4,-1),半徑r=26，

在△ACB中，由余弦定理|AB「=r+/—2/cosl20o=3r=60，

解得|AB卜2而，

設(shè)圓心。到直線(xiàn)/的距離為力則

即2岳=2)20-儲(chǔ)，解得d=亞；

又直線(xiàn)/方程為：x+(m-l)y+3m-6=0?

|4_(tn_l)+3〃z—r—

故有?=7'=6,整理得m2-6機(jī)+9=0，解得相=3

所以，直線(xiàn)/的方程為x+2y+3=0.

(3)當(dāng)CP時(shí)，圓心。到/的距離d取得最大值，

所以d的取值范圍為［o,近］,又\AB\=2ylr2-d2=2也0-儲(chǔ),

故△AC5面積為：

S=1|A5|-d=,20-/.d=J20d2—/=J—（/―10丫+100，

其中屋［0,5］，

故當(dāng)屋=5時(shí)，，3=岳=56，

所以△ACB面積的最大值為56.

18.答案：⑴％=3"；

⑵討一，；

（3）不存在，理由見(jiàn)解析

解析：（1）因?yàn)閍"=gS"+l,所以一g,

所以當(dāng)〃=1時(shí)，4=百=|51—|，所以q=3,

當(dāng)"22時(shí),S“T=［a“_1—g'

所以4=Sf=1|4一|卜4，1-1|=1ji

整理可得2=3,

所以數(shù)列｛4｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以4=3X3"T=3".

（2）因?yàn)槲?些&=/，所以，T；=-+4+4++-^①

43""332333"

可得+匕1+；,②

332333"3"1

①—②可得2T=J_+［+I++1_2L

3332333"3""

1W

3n1n

1--

71-^--3^~23"

3

12n+3

22.3n+1

因此,沙=張-2〃+3