高考押題預測卷01

數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合/={1,3,/},3={1,0+2},B=A,則實數0的值為（）

A.2B.-1或2C.1或2D.0或2

2

2.雙曲線X?-與=1(機＞0)的漸近線方程為〉=±2式，則加=()

m

A.1B.旦C.V2D.2

22

3.已知萬=(1,2),B=(x,—3),若打m+5),則％=()

3

A.—B.—1C.1

2

4.已知/(x)=M+cos[x—是奇函數，則a=()

A.-1B.0C.1D.2

5.某小組兩名男生和兩名女生邀請一名老師排成一排合影留念,要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰,

老師不站在兩端，則不同的排法共有（）

A.8種B.16種C.24種D.32種

6.記數列{%}的前〃項和為邑，已知［=2,{必/為等差數列，若邑+。3+&=1，貝（）

11

A.—B.-C.2D.—2

22

7.已知A/BC的內角/,B,C對邊分別為。，6,c,滿足asin/+c（sinZ+sinC）=2sin8,若6=2,則A/BC

面積的最大值為（）

V3

-4c.D.

8.在棱長為2的正方體48co-44G4中，P,Q,R分別為棱8C,CD,cq的中點，平面PQ?截正方

體45cz44G。外接球所得的截面面積為()

58-35D.亞n

A.—兀B.—兀C.—兀

3333

二'選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知i是虛數單位，下列說法正確的是()

A.已知a,b,c,c/eR,若a>c,b=d,貝!Ja+6i>c+t/i

B.復數卬Z2滿足Z]=Z2,則㈤="|

C.復數Z滿足|z-i|=|z+i|,則Z在復平面內對應的點的軌跡為一條直線

D.復數z滿足z(l+i)=|1—|,則z=V^]cosw_isinJ

10.已知函數/'(x)=sin(ox+9)+80>0,0<e<7r),]」)，為了⑴的兩個相鄰的對稱中心，則()

2兀

A.〃x)的最小正周期為學

B./(x)的最大值為1

C.直線X=?Sir是曲線>=/(尤)的一條對稱軸

18

D.將/(x)的圖象向右平移與個單位長度，所得圖象關于原點對稱

11.已知函數f(x)的定義域和值域均為付X/0,尤eR},對于任意非零實數x/,x+yK0,函數〃x)滿足：

/-(x+jF)(/(x)+/(y))=/(x)/(7),且/'(X)在(-8,0)上單調遞減，/(1)=1,則下列結論錯誤的是()

C./(X)在定義域內單調遞減D.7(x)為奇函數

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(1+3尤)(l-2x)s的展開式中的系數為.

13.已知拋物線6：/=2%。2：F=以的焦點分別為耳,《，點己。分別在(GC2上，且線段尸。平行于x軸.

若△居尸。是等腰三角形，則|尸。|=.

14.已知6為實數，若不等式|2辦2+（4。+6卜+44+6歸2卜+1|對任意xe-；』恒成立，則3a+6的最大

值是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）不透明的袋子中裝有3個黑球，2個紅球，1個白球，從中任意取出2個球，再放入1個紅球和

1個白球.

（1）求取球放球結束后袋子里白球的個數為2的概率；

（2）設取球放球結束后袋子里紅球的個數為隨機變量X,求X的分布列以及數學期望.

16.（15分）已知函數/'（x）=/-alnx+1,。eR.

Cl）當a=l時，求曲線V=/（x）在點處的切線方程;

（2）當。＞0時，若函數/（x）有最小值2,求。的值.

17.（15分）如圖，在四棱錐尸-48CD中，底面/BCD是邊長為3的正方形.

（1）若直線/是平面P4B和平面PCD的交線，證明：ABHI；

7T

⑵若四棱錐人功⑺的體積為3,二面角尸一加C和二面角尸都是,,求直線"與平面女

所成角的正弦值.

,丫22

18,（17分）已知橢圓。：斗+4=1（4〉6〉0）的左、右焦點分別為片,月，上、下頂點分別為48,且

ab

|斯-彳同=6|萬2|,的面積為百.

（1）求C的方程；

（2）已知M為直線了=-2上任一點，設直線M4,八四與C的另一個公共點分別為尸,。.問：直線P。是否過

一定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，試說明理由.

19.（17分）已知數列4：%g,L,%為有窮正整數數列.若數列/滿足如下兩個性質，則稱數列N為加的人減

數列：

①％+02■!---0“=機；

②對于\<i<j<n,使得為>叫的正整數對&/）有后個.

（1）寫出所有4的1減數列；

（2）若存在加的6減數列，證明：，">6；

（3）若存在2024的左減數列，求人的最大值.

高考押題預測卷01

數學?全解全析

一、單選題

1.已知集合/={1,3,"},3={l,a+2},BcA,則實數0的值為（）

A.2B.—1或2C.1或2D.0或2

【答案】A

【解析】由4={1,3,叫，得即aw±l,此時a+2wl,a+2w3,

由5g力，得Q2=Q+2,而QW-1,所以Q=2.故選：A

2

2.雙曲線尤2-與=1（機＞0）的漸近線方程為了=±2不貝卜〃=（）

m

1B

A.-B.—C.V2D.2

22

【答案】D

【解析】由題意可得圓=2,又小＞0,故機=2.故選：D.

1

3.已知3=（1,2）,3=（%一3）,若貝”=（）

31

A.—B.—1C.1D.—

22

【答案】C

【解析】a+B=（x+i,—I）,由3L,+彼）得展,+行）=及3+1）+2乂（-1）=0,解得x=i.故選：c.

4.已知/（司=蕓+8$［一是奇函數，則0=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】易知/（x）=5^+sim,且定義域為R,若其為奇函數，

貝1/（0）=￡+0=0,故。=0,經檢驗成立.故選：B

5.某小組兩名男生和兩名女生邀請一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰,

老師不站在兩端，則不同的排法共有（）

A.8種B.16種C.24種D.32種

【答案】D

【解析】當老師從左到右排在第二或第四位時，共有C；C-A；=16種排法，

當老師從左到右排在第三位時，共有C}C）A；=16種排法，

于是共有16+16=32種排法.故選：D.

6.記數列｛%｝的前〃項和為%已知為=2,｛碼｝為等差數列，若其+%+4=1,則詈=（）

A.--B.vC.2D.-2

22

【答案】B

【解析】'+田+為二邑+'-邑=1，故4s廠2邑=2,

所以數列｛〃'｝是首項為2,公差為1的等差數列，

所以碼=2+〃-1=〃+1,故S〃=l+L

n

所以當〃22時，4=S〃—S1=—所以工=/=:，故選：B.

n（n-1）a3_￡2

-6

7.已知“5C的內角4,B,。對邊分別為“，6,。，滿足asin/+c（sinZ+sinC）=2sin8,若6=2,貝I」

面積的最大值為（）

AV3V3n百

A.----D.----Cr.----U.----

4632

【答案】C

【解析】由〃sinZ+c⑸nZ+sinC）=2sinB,

由正弦定理得sirU=—,sin5=—,sinC,

2R2R2R

又QsinZ+c⑸n4+sinC）=2sin8,且6=2,

所以a2+c?=/—a。，故cosB=@十"——=——>

lac2

又340,兀），所以/8=與，

4

由/+C2N2“C，BP+c2=b2-ac=4-ac>lac>^ac<—,

A248c面積的最大值為」〃csin四=3^zc=,故選：C.

2343

8.在棱長為2的正方體45co-4片中，尸，。，火分別為棱BC,CD,CG的中點，平面。。穴截正方

體9⑺-44GA外接球所得的截面面積為（）

5D8c35n2A/15

AA.—7iB.一兀C.—兀D.--------兀

3333

【答案】A

【解析】取正方體的中心為。，連接。尸,00。及,

AD

由于正方體的棱長為2,所以正方體的面對角線長為2啦，體對角線長為2e,

正方體外接球球心為點O,半徑R=」x26=g,

2

又易得OP=OQ=OR=；x2C，=①,且PQ=PR=QR=gx2?=?,

所以三棱錐。-尸。尺為正四面體，如圖所示，取底面正三角形尸。尺的中心為“，

即點O到平面PQ?的距離為,又正三角形PQ?的外接圓半徑為M0,

2W,PQ_42246r-

由正弦定理可得》一屆而一耳一亍，即攻=?，

所以（W=^OQ2-MQ2=[（可_坐=孚,

即正方體外接球的球心。到截面f的距離為叱絡

所以截面PQR被球。所截圓的半徑r=^R2-OM2=

則截面圓的面積為加2=：兀.故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知i是虛數單位，下列說法正確的是（）

A.已知a,b,c,d^R,若。＞c,b=d,貝!ja+6i〉c+di

B.復數Z1,Z2滿足2]=Z2,則|zj="|

C.復數z滿足|z-i|=|z+i|,則z在復平面內對應的點的軌跡為一條直線

D.復數z滿足z(l+i)=|l-6|,則z=V^cos：-isine]

【答案】BCD

【解析】對A,虛數不能比較大小，可知A錯誤；

對B,根據共輾復數的定義知，當[=Z2時，句=[,則=故B正確；

對C,因為復數z滿足|z-iRz+”,

則復數z在復平面上對應的點到(0,1),(0,-1)兩點間的距離相等，

則復數z在復平面上對應的點為兩點構成線段的中垂線，

即z在復平面內對應的點的軌跡為一條直線，故C正確；

L22(l-i)

因為z(l+i)=|l-/|=2,則zn=(-=j，

又z=V^[cos￡-isin：]=V^^一,曰=l-i,故D正確，故選：BCD.

10.已知函數/(x)=sin(ox+0)+8(0＞0,0＜夕＜兀)，H，為/(x)的兩個相鄰的對稱中心，則()

2兀

A./(x)的最小正周期為千

B./(x)的最大值為1

C.直線》=弓是曲線7=〃X)的一條對稱軸

18

D.將/(x)的圖象向右平移移個單位長度，所得圖象關于原點對稱

【答案】AC

【解析】依題意，[=工=￥-1=^，所以T==，。=3,A選項正確；

2G9933

由3x^+9=左兀(左EZ),即夕二左兀一](左EZ),又0＜夕＜兀，得夕二三,

所以/(x)=sin(3x+g]+8的對稱中心為(余可，所以2=1,

/(x)的最大值為2,B選項錯誤；

兀兀

當x=2Sir時，3X+2?7r=3X5|J+2?7r=3￥7r，%=3q是正弦曲線的一條對稱軸,

18318322

所以直線工=蕓5兀是曲線歹=/(x)的一條對稱軸，C選項正確；

271

將“對的圖象向右平移引個單位長度所得函數為V=sin3x+—+1=sin3x+1,

3

圖象關于（0,1）對稱，D選項錯誤.故選：AC.

11.已知函數/（x）的定義域和值域均為卜|x*0,xeR｝,對于任意非零實數x,y,x+y/0,函數/（x）滿足:

/■（X+/〃龍）+/（M=/（與/（3,且在（-%。）上單調遞減，/（i）=i,則下列結論錯誤的是（）

=22。23_2

A.fI=2B.

C./（x）在定義域內單調遞減D.7（x）為奇函數

【答案】BC

【解析】對于A,令》=了=1,貝IJ2〃1"(；)="(》了，

因/(；)片0,故得/(；)=2/(1)=2,故A正確;

對于B,由/(x+y)(/(x)+/(y))=/(4/(力，

令y=》，則/(2x)=^^=〈/(x),

2/(%)2

；/（擊），即〃擊）=2/（5）

故｛/（5）｝是以/（》=2為首項，2為公比的等比數列,

2023坐I，一2,故B錯誤;

于是￡/

Z=17

對于D,由題意，函數［（無）的定義域為（-8,0"（0,用），關于原點對稱,

令尸3,則〃-加2*?）①,

_/(-x)

把X/都取成T,可得/（-2x）=②,

2/(-%)2

將②式代入①式，可得〃-力=上

2

/(-%)'

〃x)+

2

化簡可得/（-X）=-/（X）,即/（X）為奇函數，故D正確；

對于C,???/（尤）在（-8,0）上單調遞減，函數為奇函數，可得/（尤）在（0,+司上單調遞減,

但是不能判斷了（力在定義域上的單調性，例如/（x）=：,故C錯誤.故選：BC.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(l+3x)(l-2x)s的展開式中/的系數為.

【答案】40

【解析】因為(1+3x)(1-2x)'=(1-2x)+3x(1-2x),

又(l-2x)s展開式的通項為&j=q(-2x)’=C；(-2)'/(0VY5且reN),

所以(1+3x)(1-2x)5的展開式中含/的項為c；(-2)3d+3x.C；(-2)2/=40x3,

故展開式中/的系數為40.

13.已知拋物線￡：/=2》6：/=41的焦點分別為耳，匕，點尸，。分別在(G，G上，且線段尸。平行于x軸.

若△為尸。是等腰三角形，則|尸。|=.

【答案】I9

八2、(2\

【解析】設瑪(LO),

不妨設t>0,然后分三種情況討論：

若|招尸|=內0|,則有5+%,,解得/上此時|尸0|=；=|；

一1

2

若優尸|=|尸0],則],一j+產=〔'解彳

導〃=*，這不可能;

f2f2

若1尸。1=1瑪。則|=戶0]=|與。|=?+1,這同樣不可能.

7

綜上，\PQ\=j.

14.已知。,6為實數，若不等式2a/+(4a+b)x+4,7+44[x+l對任意xe恒成立，則30+6的最大

值是

【答案】6

13

【解析】因為xe--,1,所以x+le-,2,

4J|_4_

貝［］不等式12ax2+(4a+6)x+4a+4<2|x+］等價于12a(x+l)~+b(x+l)+2a|V2忖+1|,

等價于2a(x+1)H-------+b<2,令/=x+l,貝！—,2,

'x+114_

從而2m+—+642,令/(/)=2a/+"b,由對勾函數的性質知f+2,j

-2<4a+b<2

因為|/?)歸2,即一241(心2,所以

-2<5a+b<2

3=4加+5〃m=2

令3〃+b=冽(4a+6)+〃(5a+b),則,,解得

\=m+nn=-\'

所以3〃+Z)=2(4〃+6)-(5Q+Z))?2X2-(-2)=6,

［4。+6=2Ia=—4

當且僅當<八c即八時取等號,

5a+b=-2b=18

故3a+6的最大值是6.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)不透明的袋子中裝有3個黑球，2個紅球，1個白球，從中任意取出2個球，再放入1個紅球和

1個白球.

(1)求取球放球結束后袋子里白球的個數為2的概率；

(2)設取球放球結束后袋子里紅球的個數為隨機變量X,求X的分布列以及數學期望.

【答案】(1)f2;(2)分布列見解析，E(x)=-7

【解析】(1)設事件/為“取球放球結束后袋子里白球的個數為2”，

設事件B為“取出2個黑球”，則尸⑶咯=]=1,

C21

事件C為“取出2個紅球”，則玫C)=7^=77，

2

事件。為“取出1個紅球1個黑球”，則玖。)=中=三，

,,2

因為事件8,C,D互斥，且/=8+C+。，則尸(/)=尸(8)+尸(C)+P(O)=§,

所以取球放球結束后袋子里白球的個數為2的概率為(

(2)由題意可知：隨機變量X的可能取值為I,2,3,則有:

C21C?+C：C；=gP(X=3)=C；+C；C；_2

P(X=1)T=—,P(X=2)=

C；15或-c|-=5

所以X的分布列為:

X123

182

P

15155

io27

J5ffy,￡，m=lx—+2x—+3x-=-

151553

16.（15分）己知函數/'（x）=--alnx+l,aeR.

（1）當°=i時，求曲線〉=/■（”在點（1J（1））處的切線方程;

（2）當a>0時，若函數/（“有最小值2,求。的值.

【答案】（1）y=x+l；（2）。=2

【解析】（1）當a=l時，〃可=/—&+1）=/（無）的定義域為（0,+司,

貝I]/'(x)=2x-1,貝I]r(l)=2-j=1,/(1)=l-lnl+l=2,

由于函數〃x)在點(1J⑴)處切線方程為y-2=x-l,即y=x+l.

(2)/(x)=x2-alnx+LacR的定義域為(0,+e),

f'(x)=2x--=^^,

XX

當a>0時,令/'(x)>0,解得：x>J|；令/'(x)<0,解得：0<x<

所以/'(X)在，行)上單調遞減，在[祗，+s]上單調遞增，

所以，/(x)min=/fj|]=j-?lnj|+l=2,Bpj-jlnj-l=O

則令：='|>0，設g（/）=f—lnf-l,g'（/）=Tn/,

令g'⑺<0,解得："1;令g'?）>0,解得：0<f<l,

所以g（。在（0,1）上單調遞增，在（1,內）上單調遞減，

所以g（f）Vg⑴=1-出1-1=0,

所以:緊1,解得：a=2.

17.(15分)如圖，在四棱錐尸-48CD中，底面43CD是邊長為3的正方形.

(1)若直線/是平面尸48和平面PCD的交線，證明：ABIII；

_.7T

(2)若四棱錐P-48CD的體積為3,二面角P-/B-C和二面角尸-ND-3都是一，求直線4尸與平面尸8C

4

所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)叵

5

【解析】(1):正方形4BCD,:.AB〃CD,

???CDu平面尸CZ),48U平面PCD,;.48〃平面尸CD,

又48u平面尸直線/是平面P/8和平面尸CD的交線，.1/B///；

(2)如圖，過點尸作平面/BCD的垂線，垂足為過點石作垂足為E,連接PE,

7T

因為二面角P-AB-C和二面角尸一4D-5都是:，

可知點H在正方形/3CD內，

四棱錐尸-的體積為3,即限小」.><尸"39=3,可得9=1,

因為平面48CD,45u平面N3CD,所以

因為EHLAB,PHcEH=H,PH,EHu平面PEH,

所以N3_L平面PM,所以N尸￡7/為二面角尸-AB-C的平面角，

jr

可得NPEH=—,可得￡8=1,同理可得點H到4。的距離為1,

4

以A為坐標原點，向量N8,4D,與平面48c。垂直的方向分別為x/,z軸

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,0),8(3,0,0),2)(0,3,0),C(3,3,0),尸(1,1,1),

LILULlULflULIL

可得/P=(1,1,1),BC=(0,3,0),BP=(-2,1,1).

設平面PBC的法向量為冽=(%/,z)

BC-m=3y=0,,一

有:—._取x=l,y=0,z=2,可得冽=(1,0,2)

BP-m=-2x+y+z=0,

所以善.玩=3,網=收同=0,

APm3_V15

所以cosAP,m=

|Zp|.|m|V3xV5-5

所以直線在與平面尸5C所成角的正弦值為正.

5

22

18.(17分)已知橢圓C:「+t=l(a>6>0)的左、右焦點分別為耳且，上、下頂點分別為4%且

ab

I福-麗卜百好的面積為G.

(1)求C的方程；

(2)已知M為直線丫=-2上任一點，設直線M4,九必與C的另一個公共點分別為尸,。.問：直線尸。是否過

一定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，試說明理由.

丫21

【答案】(1)—+/=1；(2)過定點(0,-不)

42

【解析】⑴因麗一正=兩，貝鬧麗一五同=百府2|可得|月同=百|赤2|,即2C=總，①

又片工的面積為,x2cxb=bc=6,②a1=b2+C1③

2

由①②③聯立，可解得。=2,6=1,

故C的方程為《+/=1.

4

(2)如圖，

、3

依題意，直線的斜率一定存在，不妨設屈(加,-2),加w0,則/帕：歹—1=——x,

m

將其與橢圓方程子+V=1聯立，消去工,整理得：［(加之+36)%-24冽］x=0,

24〃z

則點p的橫坐標為巧

m+36

代入直線方程，求得3Ml

同理，直線"8的斜率一定存在，則3：y+l=-^x,

m

將其與橢圓方程:+/=l聯立，消去x,整理得：[(加2+4口+8%]x=0,

則點。的橫坐標為電=言；，代入直線方程，求得人=總?

m2-36-m2+4

冽2—36加2+36-俄2+4(R24加

則直線也的方程為：股k

24加-8加m2+36

m