平面向量基本定理及坐標表示(3種核心題型+基礎保分練+

綜合提升練+拓展沖刺練)

m【考試提醒】

1.了解平面向量基本定理及其意義.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.

3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算

4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.

ill【知識點】

i.平面向量基本定理

如果ei,約是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任一向量a,有且只有

一”對實數九，22,使。=九￡1+%202.

若ei,e2不共線，我們把｛ei,02｝叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.

2.平面向量的正交分解

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐標運算

(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模

設a=(xi,ji),)=(x2,yi),貝U

a+f>=(xi+x2,也+了2)，a—b=(xi-必yi一了2),2a=(Axi,/yi),\a\=^/x-?+y?.

(2)向量坐標的求法

①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.

②設/(xi,71)13(x2，㈤，則/B=(X2—xi,V2~0),\AB\—yl(X2—xi)2+(y2—yi')2.

4.平面向量共線的坐標表示

設a=(xi,ji),)=(x2,yi),其中6/0,則a〃/>Ox”2一型0=0

【常用結論】

pi+%2,yi+y￡|

已知P為線段的中點，若/(?,%),3(X2,A),則點尸的坐標為〔22J；己知

△ABC的頂點A(xi,乃)，S(X2,y2),C(x3,g)，則AABC的重心G的坐標為

pl+x2+x3yi+^2+^3]

I33J.

.2【核心題型】

題型一平面向量基本定理的應用

(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的

加、減或數乘運算.

(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和

結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.

【例題1】(2024?湖南衡陽?三模)在三角形/3C中，點M在平面43C內，且滿足

而7=4函+〃元(2,〃eR),條件P:而=3嬴，條件0：2"-22=1,則尸是。的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【分析】由向量的線性運算法則可得從而可判斷充分性成立；令幾=1得

44

3

可判斷必要性不成立.

【詳解】若而=3流，由向量的線性運算法則，

-----?—?-----?—?3—?—?3—?—?1—?3—?

=BA+AM=BA+-AC=BA+-(BC-BA)=-BA+-BC,

4444

___ki3

因為痂=4⑸+〃就，所以2=:，〃=：,所以2〃-24=1,所以。是。的充分條件；

44

若2〃-22=1,令;1=1得〃=],^XBM=ABA+/JBC,得的=0+|■前，

由三點共線充要條件可知點Me/C,此時而=3流不成立，所以?不是0的必要條件.

故選：A

【變式1](2024?河北?模擬預測)在邊長為1的正三角形NBC中，AD=^AB,BE=^BC,

AE與CD交于點、尸,則函.臍=()

1V3

A.1B.0C.——D.--

22

【答案】B

__.??_—?4—>1—?

【分析】設8尸=/18/+〃3。,根據平面向量的基本定理求出8/=—氏4+—8。，再根據平面

77

向量的數量積運算即可求解.

【詳解】設麗=42+〃初，

__?3—?—?—?

因為BA=—BD,BC=3BE,

2

___34_______

所以麗=3而+〃瓦？，麗=2瓦5+3〃族.

因為尸,Q,C三點共線三點共線,

32A=-

=+〃=1,解得，7—?4—1—?

所以.所以2尸=-BA+-BC.

77

A+3〃=1

4—?1―?

所以CD-BF=^BD-^C\\^BcA1+-BC

7

41—

-^4-5C-53+-5C

377

8—2214，、一一?1—?：2

=—BA+—x-\BABC--BC

213777

^^BA2^BA.BC--BC2

21217

—xlxlx1

-xI2=0

212127

故選:B.

【變式2］（2023?陜西咸陽?模擬預測）在ABC中，點。是BC的中點，點E在/。上，且

屜=+IBC,AE=xBA+yBC,貝!I^x-y=.

【答案】J

【分析】根據平面向量共線定理的推論求出X,再根據平面向量基本定理求出X、V,即可

得解.

____k?1____,____?1____k_

【詳解】依題意詼=方+而=方+—就，又點石在40上，^BE=-BA+ABC,

23

—?1—?—?1—?—，11

所以BE=—B4+2BC=—BA+22BD,所以一+24=1,解得；1=—,

3333

—?1—、2—?

即BE=-BA+-BD,

33

所以近=萬+班=Z§+—麗+—分。=——BA+-BD=——BA+-JC,

333333

__k___21

又AE=xBA+yBC,所以尤=-],y=~>

1(2)15

j5frU,Ax-y=-xl

_5

故答案為：9

【變式3](2023?廣東佛山?模擬預測)在“3C中，48=2,8c=2近，M點為3C的中

點，N點在線段NC上且MV=；/C,BN=2.

⑴求NC；

(2)若點P為與3N的交點，求的余弦值.

【答案】⑴6

(2)巫

13

【分析】(1)利用兩次余弦定理建立方程求解即可；

(2)把的余弦值轉化為求cos萬7,麗，向量分解表示萬7,麗，利用數量積夾角

公式求解即可.

【詳解】(1)在。8C中，AB=2,BC=2A/7,

/牙+心-8c2-24+AC2

由余弦定理得cos/=

2AB-AC4AC

在A4BN中，48=2,AN=-AC,BN=2,

3

-AC2.

AB^+AN?-BN?

由余弦定理得cosN=J=-AC，

2AB-AN-AC12

3

所以—24+/C2J/。,即2/C2=24,解得/C=6；

4AC123

1兀

（2）由（1）知COSZ=3，又Z￡（0,7T）,所以4=4,

所以酢?就=2x6xg=6,又M點為5c的中點，所以而=（（方+就）,

因為/N=』/C,所以麗=萬一方=」就一方，

33

.，1------?------?1------?，1------?21?21-------?------?

所以4M.BN=—（4B+/C）?（一ZC—45）=——AB+-AC——ABAC=2,

23263

X|ZA7|=17（^5+^C）2=^\AB2+AC2+2AB-AC=y/i3,且|麗卜2,

cosAMPN=cosAM,BN=AM'^N=—

所以河口叫2而13

題型二平面向量的坐標運算

（1）利用向量的坐標運算解題，主要是利用加法、減法、數乘運算法則，然后根據“兩個向

量相等當且僅當它們的坐標對應相等”這一原則，化歸為方程（組）進行求解.

（2）向量的坐標表示使向量運算代數化，成為數與形結合的載體，可以使很多幾何問題的解

答轉化為我們熟知的數量運算.

【例題2］（2023?廣東佛山?二模）已知Y/BCD的頂點”（-1,-2）,S（3,-l）,C（5,6）,則頂

點。的坐標為（）

A.（1,4）B.（1,5）C.（2,4）D.（2,5）

【答案】B

【分析】由平行四邊形可得友=前進而即得.

【詳解】因為4（—1,一2）,8（3,-1）,C（5,6）,由平行四邊形可得比=在=（4,1）,

設。（X/）,貝！］（5-x,6-y）=（4,l）,

所以x=l,y=5,即。的坐標為（1,5）.

故選：B.

【變式1］（2024?全國?模擬預測）在平面直角坐標系xOy內，已知點赤=（1,-2）,

則麗=（）

A.（2,-3）B.（0,—ljC.（-2,3）D.（0,1）

【答案】B

【分析】根據題意，結合向量的坐標表示與運算，即可求解.

【詳解】因為點火一1,1）,罰=（1,-2）,則次=（-1,1）,

可得醞=況+存=（-1,1）+（1,-2）=（0,-1）.

故選：B.

【變式2］（多選）（2022?海南?模擬預測）用下列反，［能表示向量2=（3,2）的是（）

A.q=（6,4）,e2=（9,6）B.ex=（-1,2）,e2=（5,-2）

C.g］=（3,5）,e2=（6,10）D.ex=（2,-3）,e2=（-2,3）

【答案】AB

【分析】根據題意，設Z=+利用向量的坐標運算，得到關于x，＞的方程組，結合

方程組的解，即可求解.

【詳解】對于A中，設』[+逅,可得（3,2）=于6,4）+武9,6）,

[6x+9y=3一一一

則“/C，方程組有無數組解，例如x=-l,y=l時，a=-q+e2,所以A成立;

[4x+6y=2

對于B中，設"=W+遍，可得（3,2）=武-1,2）+武5,-2）,

-x+5y=3

則解得x=2/=l時，。=2,+/，所以B成立;

2x-2y=2

對于C中，設￡=以+諼，可得（3,2）=W3,5）+了（6,10）,

則?=3此時方程組無解，所以晟晟不能表示工，所以C不成立；

[5x+10y=2

對于D中，^a-xe,+ye2,可得（3,2）=x（2,-3）+y（—2,3）,

（2x—2y—3—一

則、，此時方程組無解，所以0,02不能表示所以D不成立.

[_3x+3y=2

故選：AB.

【變式3]（2023?全國?模擬預測）在平行四邊形MCD中，點4（0,0）,川-4,4）,。（2,6）.若

NC與8。的交點為M,則。M的中點E的坐標為,

【答案】

【分析】利用平行四邊形法則表示出向量衣，利用坐標運算計算出向量近的坐標，由A為

坐標原點，所以即可得￡的坐標

【詳解】在平行四邊形中，

因為/C與8。的交點為〃，且E為。”的中點，

所以次■（而+而）

~2

q（2,6）+；（T4）cs，

由A為坐標原點，所以向量運的坐標即為E的坐標，

故點E的坐標為

US

故答案為：122人

題型三向量共線的坐標表示

平面向量共線的坐標表示問題的解題策略

（1）若0=（X1,力），6=（X2,y2）,其中則。〃分的充要條件是Xl、2=X2yi.

（2）在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為相（/ICR）.

命題點1利用向量共線求參數

【例題3】（2024?陜西渭南?三模）已知向量而=（2"）,尢=（2-4T）,若應與方共線且反向，

則實數2的值為（）

A.4B.2C.-2D.-2或4

【答案】A

【分析】利用向量共線的坐標表示求出2,再結合反向共線即可得解.

【詳解】由向量麗=（2"）,拓=（2-4一4）共線，得“2-1）=-8,解得力=-2或4=4,

當彳=-2時，成=（2,-2）,萬=（4,-4）,比與方同向，不符合題意，

當2=4時，而=（2,4）,?=（-2,-4）,玩與萬反向，符合題意，

所以實數4的值為4.

故選：A

【變式1】（2024?浙江?模擬預測）已知向量2=（4,加），b=（m\2）,若"〃g,則〃?=（）

A.4或2B.-2C.2D.2或-2

【答案】C

【分析】根據向量平行的坐標表示，即可求解.

【詳解】由3/區，則4x2-加3=o，得m=2.

故選：C

【變式2］（2024?四川綿陽?模擬預測）已知向量工=（3,4）,b=（2,k）,且（2+可/石，則實數

k=.

【答案】g

【分析】由向量線性運算的坐標表示和向量共線的坐標運算，求上的值.

【詳解】a+b=（5,4+k）,由。+B）〃公得3（4+左）=5x4,解得上=§.

故答案為：

【變式3](2023?四川成都?一模)已知向量3=(situ,1),ft=(V3co&x-2),函數

/(x)=(a+5)?萬.

⑴若萬/區，求cos2x的值；

(2)a,b,c為AABC的內角A,B,。的對邊，。=2,且/(/)=：,求08c面積的最大

值.

【答案】⑴；

(2)73

【分析】(1)根據向量共線定理可得tanx=-且，再利用二倍角的余弦公式，結合齊次式

2

的應用可得解；

(2)根據向量數量積公式可得/(x),進而可得A,再利用余弦定理和基本不等式求6c的

最大值，最后用三角形面積公式即可得解.

【詳解】(1)a!lb>V3cosx=-2sinx,則tanx=-也；

2

,r"

1---------

222

c2.cosx-sinx1-tanxI2J1

cos2x=cosx-sin2x=——?--------?—=——?----一一

sinx+cosxtanx+1V3、27

+1

2

7

故cos2x=—.

7

(2)/(x)=(G+=^sinx+V3COSxjsinx+(l-2)X1=sin2x+V3sinxcosx-l

=sin2xcos2x—=sin^即/(x)=sin^2x---

又/(/)=1，所以由11(2/_二]=1,得2/_g=g+2左兀#eZ,又Ze(0,兀)，即/=

2I6J623

因為Q=2,且由余弦定理/=/+/_2bccosA可知，

4=b2+c2—2bccos—,所以〃+0?=4+be,

由基本不等式可得〃+H=4+A22bc,

所以慶44,(當且僅當b=c=2時取等)，

（5.,^）=—Z>csinA=—x4x-=^3「

故222即面積最大值為百

命題點2利用向量共線求向量或點的坐標

【例題4】（2024?全國?模擬預測）已知M（4,-2）,N（-6,-4）,且礪=-;何，則點尸的

坐標為（）

A.（1,1）B.（9,-1）C.（-2,2）D.（2,-1）

【答案】B

【分析】由的坐標得出加，設點P（x,y）,得出礪，根據礪=而列出方

程組求解即可.

【詳解】因為河（4,-2）,^（-6,-4）,

1____1

所以—5〃^=—5（—10,—2）=（5』），

設尸（xj）,則〃？=（》一4,〉+2）,

—?1——?

又MP=——MN,

2

x—4二5八,x=9

所以一，解得

）=—1'

所以點尸的坐標為（9,-1）.

故選：B.

【變式1］（2024?江蘇南京,二模）已知向量G=（1,2）,B=（X,X+3）.^a//b,貝口=（）

A.-6B.-2C.3D.6

【答案】C

【分析】利用向量平行的判定方法得到b（x+3）=2-x,再解方程即可.

【詳解】由）〃不，知l-（x+3）=2-x,解得x=3.

故選：C

【變式2】（2023?山東青島?一模）已知。（0,0）,A（l,2）,5（3,-1）,若向量而〃刀，且玩與

礪的夾角為鈍角，寫出一個滿足條件的玩的坐標為.

【答案】（-1,-2）

【分析】根據向量的共線和向量乘法的坐標計算公式即可求解.

【詳解】根據題意可得：04-(1,2),03=(3,-1),

設加=(x,y),

因為向量灰〃且玩與礪的夾角為鈍角,

Ly=2-x

所以<3-x+(-l)-y<0

3-y^(-l)-x

所以x<0,

不妨令x=T,

所以y=-2,

行=(-1,-2),

故答案為：(-L-2)

【變式3](2024?河南信陽?模擬預測)拋物線E：j?=4x的焦點為尸，直線⑷?，CD過尸

分別交拋物線E于點A,B,C,D,且直線ND,3c交x軸于N,M,其中N(2,0),

則M點坐標為.

【答案】&,。]/(0.5,0)

【分析】設出直線N5的方程，與拋物線方程聯立，用點B的坐標表示點A的坐標，同理用

點C的坐標表示點D的坐標，再利用共線向量的坐標表示求解即得.

【詳解】依題意，尸(1,0),顯然直線不垂直于y軸，設直線的方程為x=)+l,

\x=ty+\.224

由。2_以消去工得：y-4(y-4=o,設4(方v學v,％),貝!j必為=-4,即必=一了，

于是點“(，■，-(),設點。(?,乃)，同理得。(j,一；)，

NA=^-2,--),ND=(^-2,—),

%%%%

4444212

顯然而//福，則---(--2)=----(二一2),整理得為=----，即點---),

歹2%%歹2%%%

設M>,0),則礪=(除-加,孔),就=(士-加,-馬，而礪//就，

4%為

因止匕-7（牛=,整理得-￡+2%=1-叼；，即（2+y；）勿=1+半,

解得切=；，所以M點坐標為（g,0）

故答案為：（g,0）

1【課后強化】

【基礎保分練】

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預測）如圖所示，在邊長為2的等邊“3C中，點E為中線AD的三等

分點（靠近點8）,點/為8C的中點，則礪.麗=（）

【分析】由平面向量數量積公式以及平面向量基本定理求解結果.

【詳解】由已知有|拓|=2,|芯|=2,乙48c=60。，

所以麗?而=|說||就1〔cos418C=2x2x1=2.

己知。是NC的中點，則麗,說+灰?），BE=-B15=-（BA+BC）^F=FC=]^C,

2362

所以詼=麗-而=:兩+前）-界=〃-押,

則麗.麗=（［說-）而）（-押〉-挪?元+/2=_9隼;-.

故選：D.

2.（2024?河北承德?二模）在“3C中，。為3C中點，連接/。，設￡為4。中點，且

BA=x,BE=y,則就=（）

A.4x+2yB.-4x+y

C.-4x-2yD.4y-2x

【答案】D

【分析】利用平面向量基本定理將屜用族,而表示出來，再用向量的線性運算把就用

赤，瓦5表示即可.

【詳解】由于礪=；（疹+麗）=；拓+；反，所以瑟=4礪一2或=4/一2亍，

故選：D

3.（2024?河北秦皇島■二模）已知向量a=（私2加+3）,6=（1,4m+l）,則"加=-：'是"々與B

共線”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【分析】根據向量共線的坐標關系運算求出加的值，判斷得解.

【詳解】向量。=（加,2加+3）,6=（l,4m+l）,

若Z與B共線，則機（4m+1）-（2機+3）=0.解得加=-1或%=1,

3

所以"%=—J"是紜與石共線”的充分不必要條件，

4

故選：A.

J-_?J__￡

4.（2024?四川模擬預測）已知向量。=（2,1）,b=（x,2）,若°〃人貝口=（）

A.4B.2C.1D.-1

【答案】A

【分析】利用共線向量的坐標表示計算得解.

【詳解】向量。=（2,1）,b=（x,2）,由工//3，得2x2-x=0,所以x=4.

故選：A

二、多選題

5.（2024?全國?模擬預測）已知向量萬=（%,1）花二（4,2）,則（）

A.若海，貝!U=2

B.若之_1,3，則X=7

2

C.若尤=3,則向量3與向量石的夾角的余弦值為逆

10

D.若h-1,則向量B在向量3上的投影向量為（亞,行）

【答案】AC

【分析】利用向量共線的充要條件的坐標表示判斷A；利用向量垂直的充要條件的坐標表示

判斷B；利用向量夾角的坐標表示判斷C;利用向量投影的坐標表示判斷D

【詳解】若￡〃九則2x-4=0,解得x=2,故A正確.

若a_kg,貝!j4x+2=0,解得》=一5,故B錯誤.

若x=3,則@=（3,1）,又5=（4,2）,所以向量￡與向量g的夾角的余弦值為

a-b_12+2_7逝

麗=正義2下=='故,正確.

若x=-l,則G=（-1,1）,又5=（4,2）,所以向量B在向量￡上的投影向量為

—2（—1,1）/、

a-ba直寸=（1，一1），故D錯誤.

向同

故選：AC.

6.（23-24高三上?山東棗莊?期末）設行=（-1,3）,行=（1,2）,則（）

A.忻-2司=10

B.（m—2n）±m

C.若（四一2萬）〃（國+五），則左=一;

1r

D.萬在玩上的投影向量為；;

2

【答案】BCD

【分析】根據向量的坐標運算計算驗證各選項是否正確.

【詳解】因為：而一2后=（-1,3）-2（1,2）=（-3,-1）,所以同一2司=|（一3,-1）|=可，故A錯誤;

因為：（而一2初成=（-3,-1）?（-1,3）=3-3=0,所以（成一2為口比，故B正確;

因為（萬一2萬）||（痂+/j）=lxl—（一2）左=0=左=一），故C正確;

「1ALm-n5VlOVlOmVlOm1_

因為：故D正確.

故選：BCD

三、填空題

7.（2023?河南關B州?模擬預測）已知點O為坐標原點，04=（1,1）,無=（-3,4）,點P在線

段N3上，且|萬|=1,則點P的坐標為

1O

【答案】建）

【分析】解設48點坐標，根據已知得出4（1,1）,2（-3,4）,利用直線43方程，解設P點坐

標，再根據|不|=1,得出答案即可.

【詳解】由題知，0（0,0）,設“（西,兇）,85,外）,

■.■ft4=(l,l),OB=(-3,4)..-.(xj-0,^-0)=(1,1),(x2-0,y2-0)=(-3,4),

,卜]=1（x2=-3

[%=4，

「.4（1,1）,5（-3,4）,kAB=--,則直線ZB方程為"-a"j

設夕點坐標為]x（）,—'|xo+'）,-3<x0<1,

Ap

=，-L-9+1]，二網=J（X°T）2+[_*+,]=i,

1Q1O

求解可得，%=不，..?%=],即尸點坐標為（不".

1o

故答案為：（%令

8.（2024?陜西安康?模擬預測）已知平面向量々=（3,4）,5=（私3）.若向量*23與&+B共線,

則實數加的值為

9

【答案】］

【分析】借助向量的坐標運算與共線性質計算即可得.

【詳解】由題意，知2^=(3-2〃52)*+1=(3+應?，

g

由向量G-2B與M+B共線，得7(3-2加)+2(3+冽)=0,解得加二：

_,9

故答案為：—.

4

9.(2023河南開封?模擬預測)已知兩點4T2),5(2,4),若向量5=(2,⑼與萬垂直，則

m=.

【答案】-3

【分析】求出方=(3,2),根據鼠初=0即可求解.

【詳解】因為4T2),8(2,4),所以方=(3,2).

因為向量Z=(2,M與您垂直，

所以&-與=2x3+2m=o,解答刃=-3.

故答案為：-3.

四、解答題

10.(2024?湖北?二模)如圖，。為坐標原點，尸為拋物線=2x的焦點，過下的直線交拋

物線于45兩點，直線/。交拋物線的準線于點。，設拋物線在3點處的切線為/.

⑴若直線/與y軸的交點為￡,求證：\DE\=\EF\.

(2)過點8作/的垂線與直線交于點G,求證：

【答案】⑴證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)根據拋物線方程可得焦點坐標和準線方程，設直線的方程為

X=叼+；,/（XQJ,Bd,％）,聯立直線和拋物線方程求得D6,yJ,心半］,即可得

DE=EF>得證；

（2）寫出過點3的/的垂線方程，解得交點G的縱坐標為九=%（%2+2）,再由相似比即可

得|%-M「=閔帆_川,即證得|4D舊闋

【詳解】（1）易知拋物線焦點尸［g,。］,準線方程為x=-；；

設直線的方程為x=〃9+g,/（尤］,%）,8（了2，%）,

x=my+—^0

聯立2得y-2my-1=0,

y2=2x

A=4m+4>0

可得+%=2加,所以必=一；

1%

舊%=-1

不妨設A在第一象限，B在第四象限，對于夕=-屬

可得/的斜率為一-石=

月%

xx

所以/的方程為y-%=—(-2),即為了=—工+今

y2%2

令x=0得EoA

直線。區的方程為歹=上％=2%=-2y/,

國必

令X=_g得。（［，力）.

又尸',o］,所以瓦=而

即。同=|跖I得證.

（2）方法1：

由（1）中/的斜率為:可得過點8的/的垂線斜率為-%,

/

所以過點B的/的垂線的方程為了一%=-了2卜一了2），即>=一%無+%1+

如下圖所示:

2

聯立/=-%x+%11+;-J,解得G的縱坐標為％=%（y2+2）

y=-2y2x

要證明|/。2=|/。|但司，因為40,D,G四點共線，

只需證明1%-必「=|必「尻f|（*）?

M“兒一XI=」M（4+2）-耳卜0+”）-

必必

所以（*）成立，⑷『=|）。卜|/得證.

方法2：

由。（-；,力］，3（》2，%）知08與X軸平行，

.?產陰①

\AB\AD\J

又DF的斜率為-%，2G的斜率也為,所以。廠與BG平行,

AF\AD

5=所②，

……AOAD

由①②得二萬二即|/。2司/。卜［4勺得證.

~AG

y=-yx+v1+

【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是采用設點法，從而得到22

y=

-2y2x

解出點G的坐標，從而轉化為證明卜-必「=|必卜尻-必|即可-

H.（2022?北京?三模）如圖四棱錐尸-/BCD中，AP4D是以4D為斜邊的等腰直角三角形,

BC//AD,ABLAD,AD=2AB=2BC=2,PC=6,，￡為尸。的中點.

⑴求證：直線CE〃平面P4B

（2）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值.

⑶設廠是BE的中點，判斷點尸是否在平面R4C內，并證明結論.

【答案】（1）證明見解析

（2）-

3

⑶在平面為C內，證明見解析

【分析】（1）通過做輔助線證明四邊形GEC3為平行四邊形，再通過直線與平面平行的判

定公理證明

（2）通過建立空間直角坐標系，利用平面法向量與直線向量求得直線與平面所成角的正弦

值

（3）建立空間直角坐標系，根據平面向量基本定理求證結果

P

取4P中點G,連接G￡,GB,EC

因為是以為斜邊的等腰直角三角形，AD=2

所以GE=1

因為GE||4D,AD/7BC

所以GE||3C,又因為GE=BC

所以四邊形GEC2是平行四邊形，所以￡C||G8

又因為EC<Z平面為3

GBu平面PAB

所以CE〃平面尸48

取/。中點0,連接尸。，CO,由已知是以40為斜邊的等腰直角三角形

所以尸O_L40又40=2,所以P4=PD=C。PO=OD=1

ABLAD,AB=1,BC=-AD=\

2

所以四邊形NBC。為正方形，即40,CO

PC=42,PO=I,oc=i,所以尸c?=p(y+oc2

所以PO_LOC

因為/r)noc=。，所以P。」平面48CD

所以以。。為x軸，0D為y軸，。尸為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系

所以

P(O,O,1),N(O,-1,O),C(LO,O),8(1,-LO)

設平面PAC的一個法向量為力=(X],y”Z])

尸/=(0,-1,一1)

就=。』,0)

麗=(1,-1,T)

n-PA=0得I—y,—必z,=。0可取_”(

由1+=LTD

n-AC=0

設直線與平面E4c所成角為。

?一?\PB^n\11

貝ijsin6=cos<PB,n>\=,*_..*=

11M-HGx"3

⑶證：￡為功的中點，由⑵可知父。另），又尸是郎的中點，所以叫

CP=(-1,0,1)

C4=(-l,-l,0)

^CF=xCA+yCP,即

1

——=-x-y

2i

x=—

4

<-7=-x解得<

41

1y^~

I『

11—?1—?1—，

故有唯一一組實數對（二,二）使得CF=：C4+：CP

4444

因此符合向量基本定理，故C尸與C4,CP共面，即尸在平面為。內

【綜合提升練】

一、單選題

1.（2024?安徽合肥?模擬預測）已知向量1=（2,。，B=（l,2）,若當1=4時，a-b^\a\-\b\,

當％=%時，alb貝I」（）

-

A.%=4,t2=—\B.%=-4,t2=1

C.%=4,%2=-1D.%=4,%2=1

【答案】C

【分析】根據向量同向及數量積為0分別建立方程求解.

【詳解】當時，由萬名=同4|可知3與B方向相同，^|=|>0,解得6=4；

當％=%2時，a-b=0即2+21=0,解得%2=-1.

故選：C

2.（2024?山西?模擬預測）已知向量2=（2,尤），A=（-1,3）,若￡〃g,貝中+可=（）

A.V6B.2A/2C.3D.Vio

【答案】D

【分析】根據向量平行，建立坐標關系，求出X.再利用模長公式求出模長.

【詳解】因為所以2X3-(-1)，=0,即X=-6.

因為1+5=(2,-6)+(-1,3)=(1,-3),所以[+q=/2+(_3)2=而.

故選：D.

3.(2024?重慶?三模)已知向量3n(2,3)模=(加-1,2加+1),若方//],則冽=()

11

A.3B.-C.——D.-5

88

【答案】D

【分析】利用平面向量共線的坐標表示計算即可.

【詳解】由題意可知2(2加+1)=3(加-1)=>加=-5.

故選：D

4.(2024?浙江溫州?三模)平面向量。=(%2),5=(-2,4),若。〃(a-3),則加=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【分析】根據向量平行滿足的坐標關系即可求解.

【詳解】a-^=(m+2,-2),由于。〃(a-9)，所以-2機=2(機+2),解得加=-1,

故選：A

5.(2024?遼寧?二模)已知平行四邊形/BCD,點尸在△BCD的內部(不含邊界)，則下列

選項中，刀可能的關系式為()

—、1—?3—?1—?3—?

A.AP=—AB+—ADB.AP=-AB+-AD

5544

—?2—?3—?2—?4—?

C.AP=-AB+-ADD.AP=—AB+—AD

3433

【答案】C

【分析】根據題意，設萬=x^+y詬，結合平面向量的基本定理，逐項判定，即可求解.

【詳解】^.AP=xAB+yAD(x,yeR),由平面向量的基本定理，可得：

當無+y=l時，此時點P在直線2。上；

當0<x+y<l時，此時點尸在點/和直線2D之間;

當l<x+”2時，此時點尸在點C和直線2D之間；

當x+y=2時，此時點P在過點C且與直線BD平行的直線上，

—?1—>3—>13

對于A中，由向量4尸=1夕+1。，滿足二+s<1,所以點尸在△力如內部，所以A錯誤;

對于B中，由=+滿足“：=1,所以點。在3。上，所以B錯誤；

4444

—?2—?3—?23

對于C中，由/尸=彳/5+:/。，滿足1<7+;<2,所以點P可能在△5CQ內部，所以C

3434

正確；

—>2—?4—?24

對于D中，由=滿足彳+；=2,此時點尸在過點。且與直線AD平行的

3333

直線上，所以D錯誤.

故選：C.

6.(2024?全國?模擬預測)在中，點0滿足而+2而=0.若|c/|=3,|。4=也，

ZACD=^,則囪=()

A.4B.2#>C.372D.273

【答案】C

【分析】首先根據已知取基0=凡函=日，然后用基底表示在，然后利用卜后7求

出即可

【詳解】如圖，在A/CD中，記0=扇麗=3,則而-萬.

■：BD+2AD=0>DB=2AD=2b-2d-

在△BCD中，CB^CD+DB=3b-2a>又同=3,忖=后，a,b=^,

.-.|CS|=A/9P+4a2-12a-^=^18+36-12x3x72=372.

故選：C.

7.(2023?全國?模擬預測)在“BC中，點。是線段上靠近3的四等分點，點E是線段

CA上靠近。的三等分點，則獲=()

2--1—.1—5―■5—?1—.1—.?—.

A.——CA+-CBB.-CA——CBC.——CA+-CBD.——CA+-CB

33266233

【答案】C

【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案；

方法二：設“BC是等腰直角三角形，且。=C3=4,建立空間直角坐標系，寫出點的坐

標，設赤=小0+〃而，從而得到方程組，求出答案.

【詳解】方法一：如圖，由題意得直、麗，AD=^AB,

^AE=AC+CE=AC+-CD=AC+-（AD-AC]=-AC+-AD

33、>33

1—?