專題2.1函數的解析式與定義域、值域【七大題型】

【新高考專用】

?熱點題型梳理

【題型1具體函數的定義域的求解】............................................................9

【題型2抽象函數的定義域的求解】...........................................................10

【題型3已知函數定義域求參數】..............................................................11

【題型4已知函數類型求解析式】.............................................................13

【題型5已知八g(x))求解析式】................................................................15

【題型6函數值域的求解】....................................................................17

【題型7根據函數的值域或最值求參數】........................................................19

?命題規律

1、函數的解析式與定義域、值域

函數的解析式與定義域、值域問題是高考數學的必考內容。函數問題定義域優先，在解答函數問題時

首先要考慮定義域；函數的解析式在高考中較少單獨考查，多在解答題中出現；函數的值域在整個高考范

疇應用的非常廣泛，例如恒成立問題、有解問題、數形結合問題、實際應用問題；基本不等式問題；數列

的最大項、最小項；向量與復數的四則運算及模的最值；解析幾何的函數性研究問題等；常常需要轉化為

求最值問題。在二輪復習過程中，在熟練掌握基本的解題方法的同時，也要多訓練綜合性較強的題目.

?知識梳理

【知識點1函數的定義域的求法】

1.求給定解析式的函數定義域的方法

求給定解析式的函數的定義域，其實質就是以函數解析式中所含式子(運算)有意義為準則，列出不等式

或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.

2.求抽象函數定義域的方法

(1)若已知函數兀r)的定義域為團,切，則復合函數小g(x)］的定義域可由不等式a<g{x)<t>求出.

(2)若已知函數咒g(x)］的定義域為3,6］,則八尤)的定義域為g(x)在xG［a,6］上的值域.

【知識點2函數解析式的四種求法】

1.函數解析式的四種求法

(1)配湊法：由已知條件1Ag(x))=F(x),可將F(無)改寫成關于g(x)的表達式，然后以X替代g(x),便得八X)

的表達式.

(2)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法來求解.

(3)換元法：己知復合函數y(ga))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.

(4)方程思想：已知關于五x)與/■(5)或犬-勸等的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方

程組，通過解方程組求出八。

【知識點3求函數值域的一般方法】

1.求函數值域的一般方法

(1)分離常數法；

(2)反解法;

(3)配方法；

(4)不等式法；

(5)單調性法；

(6)換元法；

(7)數形結合法；

(8)導數法.

?舉一反三

【題型1具體函數的定義域的求解】

【例1】(2023上?江蘇南京?高一校考階段練習)函數/(乃=后的定義域為()

A.(-co,3]B.(l,+oo)C.(1,3]D.(-oo,1)u[3,+oo)

【變式1-1](2023?海南?模擬預測)函數的定義域為()

X—1

A.(-oo,l]B.(1,2]C.(-oo,2]D.(-oo,l)u(l,2]

【變式1-2](2023上?江西景德鎮?高一統考期中)函數〃乃=(久-3)。+71r+六的定義域為()

A.(-co,1)u[2,3)B.(-1,2)U(3,+oo)

C.(-00,1)u(1,3)D.(-1,2)U(2,3]

【變式1-3](2023?河北衡水?河北衡水中學校考模擬預測)已知函數y=/0)的定義域為[0,4],則函數y=

隼歲+(X—2)。的定義域是()

Vx-l

A.(1,5]B.(1,2)U(2,5)C.(1,2)U(2,3]D.(1,3]

【題型2抽象函數的定義域的求解】

【例2】(2023?江蘇鎮江?揚中市校考模擬預測)若函數y=/(2x)的定義域為[-2,4],貝b=/(久)—/(-久)的

定義域為()

A.[-2,2]B.[-2,4]

C.[-4,4]D.[-8,8]

【變式2-1](2023下?遼寧?高二校聯考階段練習)若函數f(2x-l)的定義域為[-3,1],貝的=3^的定

義域為()

A.{1}B,(I,j]C,(|,j]D,(1,1]

【變式2-21(2022上?湖南衡陽?高一校考期中)已知函數f(x+1)的定義域為[1,7],則函數/iQ)=/(2x)+

，9一萬2的定義域為()

A.[4,16]B.(-oo,l]U[3,+oo)C.[1,3]D.[3,4]

【變式2-3](2021?高一單元測試)已知函數的定義域為(0,1),若ce(0,》，則函數g(x)=/Q+c)+

y(x-c)的定義域為()

A.(—c,1—c)B.(c,1—c)C.(1—c,c)D.(c,1+c)

【題型3已知函數定義域求參數】

【例3】(2023上?陜西西安?高一統考期中)已知函數/(*)=<mx2+(葉—3)x+1的定義域為R,則實數小

的取值范圍是()

A.[1,9]B.(1,9)

C.(-co,1]u[9,+00)D.{3}

【變式3-1](2023上?高一課時練習)若函數y=@77在區間[-2,-1]上有意義，則實數a的可能取值是

()

A.1B.2

C.3D.4

【變式3-2](2023上?遼寧鞍山?高一期中)已知函數/Xx)=J(a2-1)/+①+"乂+1的定義域為R,則

實數。的取值范圍為()

A.[_1<|]B.(-8,一1)u[|,+8)

C.[|，+°°)D.(-oo,-l]u[|,+00)

【變式3-3](2022上.江蘇蘇州.高一校考階段練習)已知函數/(乃=叱高eR)

(1)若/(2)=2,求實數m及八/(5)+1)；

(2)若zn=10,求/'(x)的定義域；

(3)若/。)的定義域為(1,+8),求實數m的取值范圍.

【題型4已知函數類型求解析式】

【例4】(2023上?高一課時練習)圖象是以(1,3)為頂點且過原點的二次函數f(x)的解析式為()

A./(%)=-3久2+6xB./(%)=-2久2+4x

C.f(x)=3x2—6xD.f(x)—2x2—4x

【變式4-1X2023上?浙江嘉興?高一校考階段練習)已知函數/(久)是一次函數，且-2幻=3,則f(5)=

()

A.11B.9C.7D.5

【變式4-2](2023上?河北石家莊?高一校考期中)已知f(x)是二次函數，若/(0)=0,且/(久+1)=f(x)+

x+1.

(1)求二次函數的解析式；

(2)當-1WxW1時，求二次函數的最大值與最小值.

【變式4-3](2023上?安徽?高一校聯考期中)已知一次函數f(久)滿足f(〃久))=久+3.

(1)求/'(%)的解析式;

(2)若g(x)=七,求g(l)+g(2)+.??+g(2023)+g(短)+g(短)+…+gg)的值.

j(X)——ZUZZZ

【題型5已知如⑺)求解析式】

【例5】(2023?重慶.統考模擬預測)已知函數/(I—切=要(％力0),則/O)=()

144

A-力-2°)B'(x-i)2一l(x□1)C.(xR-1(%H0)D.d)2一

l(x豐1)

【變式5-1](2023上?天津南開?高一南開中學校考期中)已知/(%，)=/+專，則函數/(比+1)的表達

式為()

B./(x+1)=(x+i)2+-2-7

A./(x+1)=(%+I)2+

(%)

C.f(x+1)=%2+2%+3D./(%+1)=/+2%+1

【變式5-2](2023上?河南?高一校聯考期中)已知函數f(x)滿足八久)=二(乂中1).

x—1

⑴求f(2-行的解析式；

⑵求f(?+f(?+f(?+“,+/(1)+「(粉+/(粉的值?

【變式5-3](2023上?安徽蚌埠?高一校考期中)求下列函數的解析式：

(1)已知/(%+2)=2%+3,求/(%)；

(2)已知+1)=%+2y[x,求/(%)；

(3)已知/(%)是一次函數，且/(/(%))=16%-25,求/(%)；

(4)定義在區間(一1,1)上的函數/(%)滿足2/(%)-/(一%)=x2,求/(%)的解析式.

【題型6函數值域的求解】

[例6](2023上?福建廈門?高一校考期中)已知函數/(%)=/_2X-2,xe[—2,2],函數/(%)的值域為()

A.[-3,6]B.[-2,6]C.[2,10]D.[1,10]

【變式6-1](2023上?江蘇蘇州?高一蘇州中學校考期中)函數y=1—%+dF^的值域為()

A.(-co,|]B.[0,+oo)C.[|,+°°)D.&+8)

【變式6-2](2023上?河南鄭州?高一統考期中)下列函數中與函數產值值域相同的是()

A.y=xB.C.y=—x2D.y=x2—2x+1

【變式6-3](2023上?安徽蕪湖?高一校考階段練習)在實數集R中定義一種運算“產，具有下列性質：

①對任意〃，bER,a*b=b*a；

②對任意aGR,a*0=a；

③對任意a,bER,(a*h)*c=c*(ah)+(a*c)+(b*c)—2c.

則函數/(%)=%*^(%6[一2,2])的值域是()

A.(—8,5)B.[一,同C.t1+8)D.[—5,5]

【題型7根據函數的值域或最值求參數】

2

[例7](2023上?吉林長春?高一校考階段練習)若函數f(%)=(2a+5a+3)/+(a+l)x-1的定義域、

值域都為R,則實數a滿足

A.CL=-=—B.-----Va<—1

29

C.(1W—1且QW—D.CL=—

22

【變式7-1](2023?全國?統考一模)函數/(%)=/一4%-6的定義域為值域為[一10,-6],則m的

取值范圍是

A.[0,4]B.[4,6]C.[2,6]D.[2,4]

【變式7-2】(2022上?浙江嘉興?高一校考階段練習)已知f(x)=%皆著匕.

⑴若a=4時，求/(久)的值域；

⑵函數g(%)=(/+l)/(x)+|,若函數①的值域為[。,+8),求。的取值范圍.

【變式7-3](2023上?廣東廣州?高一校考期中)已知函數/(%)滿足/(%+1)=/+工+1.

(1)求f(l)的值，并求出/(久)的解析式；

(2)若函數g(%)=/(%)-(2t-1)%,且g(%)在[4,5]的最大值與最小值的差值恒小于4,求實數/的取值范圍.

?直擊真題

1.（2015?山東?統考高考真題）函數y=+的定義域為（）

A.{x\x>—1且％W0}B.{x\x>—1}

C.{x\x>—1且%。0}D.{x\x>—1}

2.（2022?北京?統考高考真題）函數/（%）=3+一%的定義域是_____.

已知函數/（久）={|久:：：若丹/（歷）］=，貝1

3.（2021?浙江?統考高考真題）aeR,I'23Ja=_____.

4.（2022?浙江?統考高考真題）已知函數/Xx）=則=_______；若當％e口切時，

1</（%）<3,貝防-a的最大值是.

5.（2022.北京?統考高考真題）設函數/⑴={屋禁若〃久）存在最小值,則a的一個取值為

a的最大值為.

6.（2020?山東?統考高考真題）已知函數〃久）={^2%%<0-

（1）求的值;

（2）求/（|a—1|）<3,求實數a的取值范圍.

專題2.1函數的解析式與定義域、值域【七大題型】

【新高考專用】

?熱點題型梳理

【題型1具體函數的定義域的求解】............................................................9

【題型2抽象函數的定義域的求解】...........................................................10

【題型3已知函數定義域求參數】..............................................................11

【題型4已知函數類型求解析式】.............................................................13

【題型5已知犬g(x))求解析式】................................................................15

【題型6函數值域的求解】....................................................................17

【題型7根據函數的值域或最值求參數】........................................................19

?命題規律

1、函數的解析式與定義域、值域

函數的解析式與定義域、值域問題是高考數學的必考內容。函數問題定義域優先，在解答函數問題時

首先要考慮定義域；函數的解析式在高考中較少單獨考查，多在解答題中出現；函數的值域在整個高考范

疇應用的非常廣泛，例如恒成立問題、有解問題、數形結合問題、實際應用問題；基本不等式問題；數列

的最大項、最小項；向量與復數的四則運算及模的最值；解析幾何的函數性研究問題等；常常需要轉化為

求最值問題。在二輪復習過程中，在熟練掌握基本的解題方法的同時，也要多訓練綜合性較強的題目.

?知識梳理

【知識點1函數的定義域的求法】

L求給定解析式的函數定義域的方法

求給定解析式的函數的定義域，其實質就是以函數解析式中所含式子(運算)有意義為準則，列出不等式

或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.

2.求抽象函數定義域的方法

(1)若已知函數/(x)的定義域為則復合函數咒g(x)］的定義域可由不等式a<g(x)<b求出.

(2)若已知函數/［g(x)］的定義域為必力］,則人尤)的定義域為gCr)在xG［a,句上的值域.

【知識點2函數解析式的四種求法】

1.函數解析式的四種求法

(1)配湊法：由己知條件y(g(x))=F(X),可將尸(無)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x),便得火幻

的表達式.

(2)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法來求解.

(3)換元法：已知復合函數Kg(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.

(4)方程思想：已知關于八龍)與或八㈤等的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方

程組，通過解方程組求出7U).

【知識點3求函數值域的一般方法】

1.求函數值域的一般方法

(1)分離常數法；

(2)反解法；

(3)配方法；

(4)不等式法；

(5)單調性法;

(6)換元法；

(7)數形結合法；

(8)導數法.

?舉一反三

【題型1具體函數的定義域的求解】

【例1】(2023上?江蘇南京?高一校考階段練習)函數/(x)=后的定義域為()

A.(—8,3]B.(1,+oo)C.(1,3]D.(-8,1)U[3,+8)

【解題思路】由函數形式得到不等式組，解出即可.

【解答過程】由題意得｛(3解得則定義域為(1,3],

故選：C.

【變式1-1](2023?海南?模擬預測)函數f(x)=V^+W的定義域為()

A.(-oo,l]B.(1,2]C.(-oo,2]D.(-oo,l)u(l,2]

【解題思路】根據表達式有意義列出不等式組求解即可

【解答過程】由題知｛'鬻，解得x42且“1

即函數f(x)=VT%+=的定義域為(-8,l)u(l,2]

故選：D.

【變式1-2】(2023上?江西景德鎮?高一統考期中)函數f(x)=(x-3)。+71=1+看的定義域為()

A.(-co,1)u[2,3)B.(—1,2)U(3,+oo)

c.(-8,1)U(1,3)D.(-1,2)U(2,3]

安—3片0

【解題思路】根據題意可得，3-x20,求解即可.

—10

x—3W0

【解答過程】根據題意可得，3-X20,解得久<3且萬力1,

、%—1W0

所以函數/(x)=(x-3)°+VI=三+二7的定義域為(—8,1)u(1,3).

X-1

故選：C.

【變式1-3](2023?河北衡水?河北衡水中學校考模擬預測)已知函數y=f(x)的定義域為[0,4],則函數y=

需+(久一2)。的定義域是()

A.(1,5]B.(1,2)U(2,5)C.(1,2)U(2,3]D.(1,3]

【解題思路】根據給定條件，利用函數有意義并結合復合函數的意義列出不等式組，求解不等式組作答.

【解答過程】因為函數y=/(x)的定義域為[0,4],又函數y=隼4+0—2)。有意義，

yX—1

0<x+1<4

則有x-l>0,解得1<x<2或2V%43,

%—2W0

所以函數y=§署+(%-2)。的定義域是(1,2)u(2,3].

故選：C.

【題型2抽象函數的定義域的求解】

【例21(2023?江蘇鎮江?揚中市校考模擬預測)若函數y=/(2%)的定義域為[一2,4],敗v=f(x)-f(—x)的

定義域為()

A.[-2,2]B.[-2,4]

C.[-4,4]D.[-8,8]

【解題思路】利用抽象函數定義域的求解原則可求出函數7"(>)的定義域，對于函數y="x)-f(-x),可列

出關于x的不等式組，由此可得出函數y=f(x)-/(-為的定義域.

【解答過程】因為函數3/=『(2乃的定義域為[-2,4],則-2W%W4,可得一4W2久W8,

所以，函數丫=/。)的定義域為[—4,8],

對于函數y=/(*)—/(—%),則有｛二解得一4w*w4,

因此，函數y=/(%)-f(r)的定義域為[―4,4].

故選：c.

【變式2-1](2023下?遼寧?高二校聯考階段練習)若函數f(2x-l)的定義域為[-3,1],貝ijy=個答的定

義域為()

A.{1}B.(1,|]

【解題思路】根據題意先求得函數/(%)的定義域為[-7,1],然后結合抽象函數定義域與GI求解即可；

【解答過程】由題意可知—3WXW1,所以一7W2X—1W1,要使函數y=有意義，貝I

m藍]，解得

故選：D.

【變式2-2](2022上.湖南衡陽?高一校考期中)已知函數/O+1)的定義域為[1,7],則函數九。)=/(2x)+

79一4的定義域為()

A.[4,16]B.(-oo,l]U[3,+oo)C.[1,3]D.[3,4]

【解題思路】根據給定條件，結合抽象函數定義域的意義，列出不等式求解作答.

【解答過程】函數f(x+1)的定義域為[1,7],貝眨WX+1W8,因此在f(2x)中，2<2久48,

函數h(x)=f(2x)+年淳有意義，必有{藍?梵，解得1GW3,

所以函數h(x)的定義域為[1,3].

故選：C.

【變式2-3](2021?高一單元測試)已知函數/'(X)的定義域為(0,1),若ce(0,},則函數g(x)=/(x+c)+

/(%-c)的定義域為()

A.(—c,1—c)B.(c,1—c)C.(1—c,c)D.(c,1+c)

【解題思路】由已知函數的定義域有史即可求復合函數的定義域.

0<x—c<1

【解答過程】由題意得：史:"+C：：,即xcG(01),

0<%—C<1c<x<l+c2,

.\c<x<1—c.

故選：B.

【題型3已知函數定義域求參數】

【例3】(2023上?陜西西安?高一統考期中)已知函數/(乃=加2+—3)x+1的定義域為R,則實數小

的取值范圍是()

A.[1,9]B.(1,9)

C.(-00,1]U[9,+00)D.{3}

【解題思路】利用題給條件列出關于小的不等式，解之即可求得實數小的取值范圍.

【解答過程】由題意得?ri/+(m-3)x+1>0對任意xeR恒成立，

當爪=0時，不等式可化為-3久+120,其解集不是R,不符合題意；

當小#0時，由該不等式恒成立可得

{(m-3"-4m<0-解之得1口式9，

綜上，實數m的取值范圍是1W爪W9

故選：A.

【變式3-1](2023上?高一課時練習)若函數y=#77在區間[-2,-1]上有意義，則實數a的可能取值是

()

A.1B.2

C.3D.4

【解題思路】分a<0,a=0,a>0,求出不等式±+120的解，即可得出答案.

X

【解答過程】當Q<0時，

由7+120可得，%之一0或工〈0,在區間[一2,-1]上有意義，滿足；

當a=0時，

函數y=l(%W0),顯然在區間[一2,-1]上有意義，滿足題意；

當a>0時，

由2+1之0可得，x<-a或%>0,

X

要使函數在區間[-2,-1]上有意義，則應有一a>-1,

所以，aW1,所以0<aW1.

綜上所述，a<1.

故選：A.

【變式3-2](2023上?遼寧鞍山?高一期中)已知函數f(x)=J(a2-1/2+(0+1依+1的定義域為R,則

實數a的取值范圍為()

A.[-1,|]B.(-8,-l)u[|,+8)

c.[I)+00)D.(-00,-1]u

【解題思路】分a=L。=一1、a*±l三種情況，結合二次函數的性質即可求解.

【解答過程】當a=l時，/(%)=V27T1,貝口x+120,得萬2-5即定義域為卜發+8),不符合題意;

當。=-1時，/(x)=1,定義域為R,符合題意；

當QW±1時，由題意得關于x的不等式(a2-I)%2+(a+l)x+1>0恒成立，

故[A=(a+l)2J-1)<0,解得a<T或a~?

綜上，實數。的取值范圍是(-8,-1]u[|,+8).

故選：D.

【變式3-3](2022上?江蘇蘇州?高一校考階段練習)已知函數f(x)=""葛團⑺eR)

⑴若f(2)=2,求實數m及以f(5)+1)；

(2)若m=10,求/(x)的定義域；

(3)若/(乃的定義域為(1,+8),求實數m的取值范圍.

【解題思路】(1)根據〃2)=2求出機的值，然后即可求出f(f(5)+1)的值；

(2)根據爪=10可得出/(X)的解析式，讓解析式有意義即可求出f(x)的定義域；

(3)根據/(X)的定義域可得出y=/-3x-的最小值Vmin=-：一小？0，從而得出機的范圍.

【解答過程】(1)/(2)=V-2-m=2,解得巾=-6,所以f(X)=Vx^Zg+6,則f(5)=迤薩^=2,

所以“/(5)+1)=/(3)==V3；

V-J-1

(2)當巾=10時，"%)=立雪亞，要使人尤)有意義，則ft干:12。，

解得X25,所以f(x)的定義域為[5,+8)；

(3)因為/(X)的定義域為(1,+8),

所以y=%2—3久-771=1-|)--m>。在(1,+8)上恒成立，

所以y=x2-3x-m的最小值ymin=-j-m>0,解得小<

所以m的取值范圍為(一8,-1.

【題型4已知函數類型求解析式】

【例4】(2023上?高一課時練習)圖象是以(1,3)為頂點且過原點的二次函數f(x)的解析式為()

A./(%)=-3%24-6xB./(x)=-2x2+4%

C./(x)=3/—6%D./(%)=2x2—4x

【解題思路】由待定系數法求函數解析式問題，根據題意可以設二次函數的頂點式，然后根據函數過原點,

將(0,0)代入即可.

【解答過程】設圖象是以(L3)為頂點的二次函數/(%)=。(％-1)2+3(QHO).

因為圖象過原點，所以0=a+3,a=-3,所以/(%)=-3(%-1)2+3=-3/+6%.

故選：A.

【變式4-11(2023上?浙江嘉興?高一校考階段練習)已知函數/(%)是一次函數，且/，(%)-2對=3,則f(5)=

()

A.11B.9C.7D.5

【解題思路】設/(%)=。%+力(。60),根據/[/(%)—2制=3恒成立可得〃，b,然后可解.

【解答過程】設/(%)=ax+b(a0),

則/1/(%)—2x]=f{ax+b—2x)=a(ax+b-2%)+b=3,

整理得(彥—2a)x+ab+b-3=0,

所以1院鏟：。,解{廣彳,

vab+b-3=0=l

所以/O)=2%+1,所以/(5)=2x5+1=11.

故選：A.

【變式4-2](2023上?河北石家莊?高一校考期中)已知/(%)是二次函數，若"0)=0,且/(%+1)=/(%)+

x+1.

⑴求二次函數的解析式；

(2)當一1<%<1時，求二次函數的最大值與最小值.

【解題思路】(1)設/(%)=a/+b%+cmwo),根據系數相等得到方程組，求出的值即可；

(2)根據二次函數的性質即可得解.

【解答過程】(1)設/(%)=a/+力％+c(qw0),

由/(0)=c=得c=0,

所以/(%)=ax2+bx,

由+1)=/(x)+%+1,

得+I)2+h(x+1)=ax2+b%+%+1,

BPax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+l)x+1,即(2a+b)x+a+b=(b+l)x+1,

所以｛2a二］解得a=6=%

所以/(%)=|x2+|x；

（2）函數f（%）=[/+）的對稱軸為久=一點

所以/'(X)max=f(1)=l./Wmin=~^

【變式4-3]（2023上?安徽?高一校聯考期中）已知一次函數f（久）滿足/（〃久））=久+3.

（1）求/'（X）的解析式；

⑵若g（久）=泮,求g（l）+g（2）+…+9（2023）+g（康）+g（表）+…+g（》的值.

j（X）——ZUZ3NUZZZ

【解題思路】（1）直接由待定系數法列出方程組即可求解.

（2）所求式子為對稱結構，通過驗證發現g（x）+g（＞=l,由此通過分組求和即可求解.

【解答過程】（1）設〃＞）=ax+b（a40）.

則/(/(%))=f(ax+b)=a(ax+&)+&=a2x+ab+b=%+3,

于是有｛解得【二I???ro)=x+|.

iab+b=322

i

(2)由(1)知g(x)=喜，則9(>=幸=^，比#39(x)+g(》=L

X

5(2)+弱)=9(3)+竭)=…=9(2023)+g島)=1,g⑴=|)

???。⑴+9（2）+-+9（2023）+g（短）+-+弱）=|+2022x1=等.

【題型5已知/（g（x））求解析式】

【例5】（2023.重慶?統考模擬預測）已知函數/（I—久）=詈（久70）,則外久）=（）

144

A-^p-1(x*0)B'(x-l)2-1("*DC(x-i)2-1(%*°)D.-1)2-

l（x豐1）

【解題思路】利用換元法令t=1-X,運算求解即可.

【解答過程】令t=l—久，則％=1—t,且％70,貝肥71,

可得〃t）=/=春—

所以/'（x）=居百一1（乂*1）.

故選：B.

【變式5-1](2023上?天津南開?高一南開中學校考期中)已知/1―￡)=/+2，則函數/O+1)的表達

式為(

A./(x+1)=(%+I)2+--B.f(x+1)=(x+2

3?十

C./(x+1)=/+2%+3D.f(x+1)=%?+2%+1

【解題思路】利用配湊法先求出函數f(%),再整體代入即可求出函數/(%+1)的表達式.

2

【解答過程】因為/[一以=/+2=卜—￡)+2

所以/(%)=X24-2

所以/(%+1)=(%+))2+2,即f(%+1)=/+2%+3.

故選：C.

【變式5-2](2023上?河南?高一校聯考期中)己知函數/0)滿足/(無)=二0豐1).

x—1

⑴求f(2-行的解析式；

⑵求/(?+f信)+f篇)+…+fO+f(粉+，O的值?

【解題思路】(1)代入求解即可；

(2)利用/(%)+/(2-%)=0求解即可.

【解答過程】(1)/(X)=三0K1),

-1

故/(2—X)=—(%H1).

(2)/(%)+/(2-%)=a+3=0,

所以+f(粉=/(9+，(2，)=。，

所以J島)+/(￡)+f(費)+…+/(繳+，闋+O=/(點)+/稿)+/稿)+…+，G-分+

42一卷)+/(2—￡)=。.

【變式5-3](2023上?安徽蚌埠?高一校考期中)求下列函數的解析式:

(1)已知f(X+2)=2%+3,求/(%)；

(2)已知，+1)=%+2yfx,求/(%);

(3)已知f(%)是一次函數，且/(/(%))=16%-25,求/(%)；

(4)定義在區間(一1,1)上的函數fO)滿足2f(x)-“一久)=%2,求f(x)的解析式.

【解題思路】(1)利用配湊法求解即可；

(1)利用配湊法或換元法求解即可；

(3)利用待定系數法求解即可；

(4)利用方程組法求解即可.

【解答過程】(1)因為f(x+2)=2x+3=2(x+2)—L

所以f(x)=2%-1.

(2)解法一(換元法)：令1=《+1,t>1,則x=Q-l)2,

所以/Xt)=(t-I)2+2(t-1)=t2-l(t>1),

所以f(x)=x2-l(x>1).

解法二(配湊法)：/(Vx+i)-X+2y=(y/x+1)2-1,

因為y+1>1,所以70)=%2-l(x>1).

(3)設/(x)—kx+b(k*0),

則/'(/(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b—16%—25,

所以，解得｛j=4碟［言，

kkb+b--25S=-5(。一石

所以/'(%)=4x—5或/'(x)=-4%+y.

(4)對任意的xe(一1,1)有一xe(-1,1),

由2/(x)-/(-x)=/,①

得2/(-無)一/■(>)=(一久)2,②

聯立①②解得，f(x)-x2(-l<X<1).

【題型6函數值域的求解】

【例61(2023上?福建廈門?高一校考期中)已知函數f(x)=/一2久一2,%€[-2,2],函數f(x)的值域為()

A.[-3,6]B.[-2,6]C.[2,10]D.[1,10]

【解題思路】根據二次函數的性質即可得到值域.

【解答過程】/(%)=%2—2x—2=(x—1)2—3,

因為xe[-2,2],所以f(x)的值域為，⑴廳(一2)],即[-3,6],

故選：A.

【變式6-1】(2023上?江蘇蘇州?高一蘇州中學校考期中)函數y=1-尤+VTF的值域為()

A.°°,1]B.[O,+8)C.[|>+°°)D.(I，+°°)

【解題思路】令小:=t,(t>0),可得y=亨，利用函數單調性求值域.

【解答過程】令VTF=t,(t>0),貝h=

所以函數y=1+與二+t=?+1+[=亨，函數在[0,+8)上單調遞增，

t=0時，y有最小值點

所以函數y=1-%+71-2%的值域為假,+8).

故選：C.

【變式6-2](2023上?河南鄭州?高一統考期中)下列函數中與函數產位值域相同的是()

A.y=xB.y=[C.y=—x2D.y=x2—2x+1

【解題思路】先得出函數產療值域，再由一次函數、二次函數、反比例函數的性質進行判斷.

【解答過程】函數產序=|劃20,故其值域為[0,+8).

對于A,函數產x的值域為R,故A錯誤；

對于B,函數y=：的值域為{y|y力0},故B錯誤；

對于C,函數y=—/wo,其值域為(—8,0],故C錯誤；

對于D,y=%2-2%+1=(%-I)2>0,其值域為[0,+8),故D正確；

故選：D.

【變式6-3](2023上?安徽蕪湖?高一校考階段練習)在實數集R中定義一種運算“廣，具有下列性質:

①對任意〃，bER,a*b=b*a；

②對任意aER,a*0=a；

③對任意a,bER,(a*h)*c=c*(afa)+(a*c)+(b*c)—2c.

則函數/(%)=%*式％￡[-2,2])的值域是()

A.(—8,5)B.[-^,5]C.r,+8)D.[-5,5]

【解題思路】注意新定義的運算方式即可.

【解答過程】在③中，令c=0,貝!|a*6=ab+a+b,所以f(x)=x*'=土+"=工(刀+三)-

2222\2/8

函數/(%)在％=時取最小值，最小值為一在％=2時取最大值，最大值為5,所以函數/(%)=%*

28

式xe[-2,2])的值域是[一]同.

故選：B.

【題型7根據函數的值域或最值求參數】

【例7】(2023上?吉林長春?高一校考階段練習)若函數/(久)=(2a2+5a+3)x2+(a+l)x-1的定義域、

值域都為R,則實數a滿足

A.a=-1或a=-1B.-^<a<-1

C-"-1且"-2D-a=-f

【解題思路】根據題意f(x)表示一次函數，可得出系數的特征，即可求出結論.

【解答過程】若2a2+5a+3力0,/(x)表示二次函數，值域不為R,不合題意.

所以“X)為一次函數，[2。2+5]+；=0解得口=_|.

(a+1W02

故選:D.

【變式7-1](2023.全國?統考一模)函數/(x)=/—4x—6的定義域為[0,6],值域為[—10,—6],則小的

取值范圍是

A.[0,4]B.[4,6]C.[2,6]D.[2,4]

【解題思路】因為函數fO)=/-4x—6的圖象開口朝上，由八0)=/(4)=-6"(2)=-10,結合二次

函數的圖象和性質可得小的取值范圍.

【解答過程】函數/(x)=/—4%—6的圖象是開口朝上，

且以直線x=2為對稱軸的拋物線，

故汽。)=f(4)=-6,/(2)=-10,

「函數/(x)=x2-4x-6的定義域為[0,前,值域為[一10,-6],

所以2<m<4,

即小的取值范圍是[2,4],

故選D.

【變式7-2](2022上?浙江嘉興?高一校考階段練習)已知/(%)=色韋警二.

⑴若a=4時，求/⑺的值域；

(2)函數g(x)=(x2+l)f(久)+|,若函數八(久)=^/^記的值域為[0,+8),求。的取值范圍.

【解題思路】(1)根據函數解析式，采用分離常數項的方法，結合不等式性質，可得答案;

(2)根據二次根式的定義，結合二次函數的性質，可得答案.

【解答過程】(1)由a=4,則/(久)=怎=當券=4—盤，

66

由不等式性質，則/20,1+/之1,0<2<1,0>—2>—6,4>4—2>—2,

1+X21+/1+X2

故/(%)日一2,4),即f0)的值域為［-2,4).

(2)由題意，g(x)=(x2+l)ax+^-2)X-2+1=ax2+(a—4)x+1,

由函數九(%)=7^^的值域為［0，+8),則g(%)40有解且g(%)無最大值，

當@=0時，符合題意；

當a片。時，根據二次函數的性質，可得。z柒°)、n，

(△=(a-4)—za>0

其中(a—4)2—2a20,a?—8a+16—2a20,a?—10a+1620,(a—2)(a—8)20,解得aW2或aN8,

綜上，故ae［o,故U［8,+8).

【變式7-3］(2023上?廣東廣州?高一校考期中)已知函數/⑺滿足/(比+1)=/+x+1.

(1)求/(I)的值，并求出/0)的解析式；

⑵若函數g(x)=f(x)-(2t