空間幾何體的外接球與內切球問題

（典型題型歸類訓練）

目錄

一、必備秘籍.............................................1

二、典型題型.............................................3

題型一：內切球等體積法................................3

題型二：內切球獨立截面法..............................3

題型三：外接球公式法..................................4

題型四：外接球補型法..................................4

題型五：外接球單面定球心法............................4

題型六：外接球雙面定球心法............................5

三、專項訓練.............................................5

一、必備秘籍

i.球與多面體的接、切

定義1；若一個多面體的各頂點都在一個球面上，則稱這個多面體是這個球的內接多面體，

這個球是多面體的外接球。

定義2；若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面

體，這個球是多面體的內切球。

類型一球的內切問題（等體積法）

例如：在四棱錐P-/BCD中，內切球為球。，求球半徑廠.方法如下：

VP.ABCD=VO_ABCD+VO_PBC+%-PCD+^O-PAD+%-PAB

即：Vp-ABCD~，ABCD''+§PBC.'+3PCD"十§PAD*r+JPAB，尸，可求出尸.

B

類型二球的外接問題

1、公式法

正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點

2、補形法（補長方體或正方體）

①墻角模型（三條線兩個垂直）

題設：三條棱兩兩垂直（重點考察三視圖）

②對棱相等模型（補形為長方體）代工

題設：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（48=CD

AD=BC,AC=BD）

3、單面定球心法（定+算）

步驟：①定一個面外接圓圓心：選中一個面如圖：在三棱錐P-45C中，選中底面AA5C,

確定其外接圓圓心Q（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點上，普通三角

a

形用正弦定理定外心2r=1一）；

②過外心已做（找）底面AA8C的垂線，如圖中尸。1，面45C,則球心一定在直線（注意

不一定在線段尸。1上）尸。1上；

③計算求半徑R：在直線尸。1上任取一點。如圖：則0P=。4=&,利用公式

2

0A=0/2+002可計算出球半徑R.

4、雙面定球心法（兩次單面定球心）

如圖：在三棱錐P—48C中：

①選定底面AABC,定AABC外接圓圓心

②選定面"AB,定"AB外接圓圓心Q

③分別過已做面45C的垂線，和Q做面尸48的垂線，兩垂線交點即為外接球球心0.

二、典型題型

題型一：內切球等體積法

1.（2024?全國?模擬預測）將菱形NBCD沿對角線NC折起，當四面體8-/CD體積最大時,

它的內切球和外接球表面積之比為.

2.（23-24高三下?山東濟寧?開學考試）三棱錐尸-43C中，08c是邊長為血的正三角形,

頂點尸在底面48c上的射影是AABC的中心，且尸N=l.三棱錐尸-4BC的內切球為球。?,

外接球為球儀，若球。i的半徑為,，球Q的半徑為尺，貝。+尺=;若/為球。?上

任意一點，N為球儀上任意一點，則線段九W的最小值為

3.（23-24高二上?江西景德鎮?期中）我國古典數學著作《九章算術》中記載，四個面都為

直角三角形的四面體稱之為鱉IT現有一個“鱉席"，尸/，底面NBC,AC1BC,且

PA=3,AC=4,BC=3,則該四面體的外接球的表面積為,該四面體內切球表面積

為.

題型二：內切球獨立截面法

1.（23-24高一下?河南三門峽?期中）已知三棱錐尸-48C的棱長均為4,先在三棱錐尸-4BC

內放入一個內切球。一然后再放入一個球利，使得球。2與球。?及三棱錐尸-4BC的三個

側面都相切，則球的表面積為（）

2兀4兀兀71

A.—B.—C.-D.一

3334

2.（2024?廣東深圳?二模）已知圓錐的內切球半徑為1,底面半徑為及，則該圓錐的表面

積為.

注：在圓錐內部，且與底面和各母線均有且只有一個公共點的球，稱為圓錐的內切球.

3.（2024高三?全國?專題練習）圓臺內有一個內切球，球的表面積和圓臺的側面積的比為3:4,

求球和圓臺的體積之比.

題型三：外接球公式法

1.（2024?天津?二模）已知正方體力BCD-4sleA的外接球的體積為36兀，點E為棱45的

中點，則三棱錐G-/E。的體積為（）.

A.1B.273C.逑D.1673

33

2.（23-24高一下?浙江寧波,期中）已知S,4民C是球。表面上不同的點，“，平面/3C,

47r

AB1BC,AB=1,8c=夜，若球。的體積為不，則“=（）

、萬L

A.—B.1C.V2D..后

2

題型四：外接球補型法

1.（2024,河南信陽,模擬預測）把AAA。,沿三條中位線折疊成四面體/BCD,其中A3=12,

。也=10，22=8,則四面體/BCD的外接球表面積為（）

rr77兀77兀77兀

A.77兀B.-----C.-----D.-----

482

2.（2024?黑龍江?二模）已知三棱錐尸-/BC的四個面是全等的等腰三角形，且尸/=2,

PB=AB=3,則三棱錐尸-48C的外接球半徑為；點。為三棱錐尸-48C的外接球

球面上一動點，尸。=叵時，動點。的軌跡長度為.

2

題型五：外接球單面定球心法

1.（2024?全國?模擬預測）在正三棱錐中，BC=CD=DB=2,AB=AC=AD=5

則三棱錐/-8a）的外接球表面積為（）

八27兀-八—27兀r27Tt

A.----B.97rC.-----D.----

254

2.（2024?四川涼山?二模）已知在三棱錐尸-4BC中，PA=6,PB=PC=2,底面/8C是

邊長為1的正三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（）

13K,,

A.3KB.C.4兀D.6兀

3

3.（2024?浙江嘉興?二模）在四面體中，BC=2,NABC=NBCD=9（J,且45與C7）

所成的角為60。.若四面體ABCD的體積為46，則它的外接球半徑的最小值為.

題型六：外接球雙面定球心法

1.（2024?四川綿陽?模擬預測）已知長方體/BCD-44GA中，側面8CG4的面積為2,

若在棱/D上存在一點使得為等邊三角形，則四棱錐耳外接球表面積

的最小值為.

2.（23-24高二上?江西九江?期中）如圖，DE是邊長為84的正三角形4BC的一條中位線，

將V/DE沿OE翻折至△NQE,當三棱錐C-48E的體積最大時，四棱錐外接

球。的表面積為；過EC靠近點E的三等分點M作球。的截面，則所得截面圓面

積的最小值是

三、專項訓練

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預測）已知三棱柱NBC-48c的側棱垂直于底面，且/B=3,AC=5,

BC=7,AA、=2#,若該三棱柱的各頂點都在同一球面上，則此球的表面積等于（）.

.256128128Gn256百

A.---兀B.——71C.....-71D....-7L

3333

2.（2024高三?全國?專題練習）在三棱錐尸-4BC中，ABAC=9（）,PA=PB=PC=BC=2,

則三棱錐尸-外接球的表面積為（）

481116

A.—71B.-JiC.二■兀D.—71

3333

3.（2024?四川瀘州?三模）已知圓錐的體積為24萬，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的

內切球的表面積為（）

A.4?B.84C.12〃D.16〃

4.（2024?黑龍江雙鴨山?模擬預測）已知四面體的各頂點均在球。的球面上，平面

/3。1平面8。。,/8=3。=/。=。。=2,3。_1。，則球。的表面積為（）

B.8%D.12〃

5.（23-24高二下?湖南衡陽?階段練習）將一個母線長為3cm,底面半徑為1cm的圓錐木頭

加工打磨成一個球狀零件，則能制作的最大零件的表面積為（）

3兀

A.2兀cmB.71cmD.——cm

2

3

6.（2024?廣西?二模）已知軸截面為正方形的圓柱W的體積與球。的體積之比為不，則

2

圓柱MW'的表面積與。球的表面積之比為（）

7.（2024?廣東?二模）已知球。與圓臺的上、下底面和側面均相切，且球。與圓臺。。2

的體積之比為則球O與圓臺的表面積之比為（）

1111

A.—B.一C.—D.--

6432

8.（2024?陜西安康?模擬預測）在四棱錐尸-4BCD中，底面四邊形/3CD為等腰梯形，

ADHBC,AABC=60°,以/。是邊長為2的正三角形，BC=2AB=2AD,PB=M,則四

棱錐尸-4BC。外接球的表面積為（）

1.52兀8071

A.12兀B.16兀C.-----D.-----

33

9.（23-24高一下?浙江金華?期中）已知三棱錐P-45。的三條側棱尸4,PB,PC兩兩互

相垂直，且PA=PC=拒,PB=e，則此三棱錐外接球的體積為（）

二、填空題

10.（2024?全國?模擬預測）已知圓錐的底面半徑為3,母線長為5,則該圓錐內半徑最大

的球的體積為.

7T

11.（2024?全國?模擬預測）在菱形48CD中，AB=2,=將△48。沿2。翻折,

使二面角/--C的余弦值為:，則四面體/8CD的外接球的表面積為.

12.（23-24高三下?河南?階段練習）直三棱柱A8C-48G的各頂點都在同一球面上，若

2兀

AB=l4C=/4=2,NBAC=——，則此球的表面積等于

f3

空間幾何體的外接球與內切球問題

（典型題型歸類訓練）

目錄

一、必備秘籍.............................................1

二、典型題型.............................................3

題型一：內切球等體積法................................3

題型二：內切球獨立截面法..............................3

題型三：外接球公式法..................................4

題型四：外接球補型法..................................4

題型五：外接球單面定球心法............................4

題型六：外接球雙面定球心法............................5

三、專項訓練.............................................5

一、必備秘籍

i.球與多面體的接、切

定義1；若一個多面體的各頂點都在一個球面上，則稱這個多面體是這個球的內接多面體，

這個球是多面體的外接球。

定義2；若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面

體，這個球是多面體的內切球。

類型一球的內切問題（等體積法）

例如：在四棱錐P-/BCD中，內切球為球。，求球半徑廠.方法如下：

VP.ABCD=VO_ABCD+VO_PBC+%-PCD+^O-PAD+%-PAB

即：Vp-ABCD~，ABCD''+§PBC.'+3PCD"十§PAD*r+JPAB，尸，可求出尸.

B

類型二球的外接問題

1、公式法

正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點

2、補形法（補長方體或正方體）

①墻角模型（三條線兩個垂直）

題設：三條棱兩兩垂直（重點考察三視圖）

②對棱相等模型（補形為長方體）代工

題設：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（48=CD

AD=BC,AC=BD）

3、單面定球心法（定+算）

步驟：①定一個面外接圓圓心：選中一個面如圖：在三棱錐P-45C中，選中底面AA5C,

確定其外接圓圓心Q（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點上，普通三角

a

形用正弦定理定外心2r=1一）；

②過外心已做（找）底面AA8C的垂線，如圖中尸。1，面45C,則球心一定在直線（注意

不一定在線段尸。1上）尸。1上；

③計算求半徑R：在直線尸。1上任取一點。如圖：則0P=。4=&,利用公式

2

0A=0/2+002可計算出球半徑R.

4、雙面定球心法（兩次單面定球心）

如圖：在三棱錐P—48C中：

①選定底面AABC,定AABC外接圓圓心

②選定面AP48,定AP4g外接圓圓心Q

③分別過Q做面48。的垂線，和&做面P4S的垂線，兩垂線交點即為外接球球心0.

二、典型題型

題型一：內切球等體積法

1.(2024?全國?模擬預測)將菱形/BCD沿對角線NC折起，當四面體8-/CD體積最大時,

它的內切球和外接球表面積之比為.

【答案】^/0.1

【分析】

當平面mC，平面。/C時，四面體5-ZCD的高最大，并利用導函數討論體積的最大值，

構造長方體求外接球的半徑，利用等體積法求內切球的半徑，進而可求解.

【詳解】

不妨設菱形的邊長為百，AC=2x,0<x<6，

外接球半徑為五，內切球半徑為「，

取/C中點為O,連接OB,OD,BD,

因為B4=BC,所以80_LZC,80=,3-12,

當平面A4C_L平面Z>/C時，平面胡Cc平面Z>/C=/C,

8Ou平面3/C,所以3。7,平面￡)/。，

此時四面體8-/CD的高最大為30=出工了，

因為ZM=OC,所以DO_LAC,DO=)3-x?,

S人0“=-AC-DO=x-yl3-x2

11I-

所以-B-ACD——XS^DACXBO=—(—x+3x),0<x<J3,

%"(-3/+3)=一,一1),

令外用=-(--1)>0解得0<x<1,

令V'B-ACD=一(一一1)<0解得1<x<6，

3

所以VB-ACD=1(-x+4x)在(0,1)單調遞增，(1,6)單調遞減，

19

所以當尤=1時/TCO最大，最大體積為嚷m=§(-1+3)=§，

此時+BG=2,

以四面體的頂點構造長方體，長寬高為。,6,C,

a2+b2=3a2=1

則有/+/=3解得，b2=2,所以4R2=/+/+C2=5,

b2+c2=4c2=2

所以外接球的表面積為4無尺2=5兀，

SABAC=SADAC=X-0"=行，

又因為BA=DA=?BD=2,

所以S府=］處,一］呵=也,

BC=DC=y/3,BD=2,

所以S.B8=XJ出一勺可=收,

_12

明以§(S3DAC+S-BAC+S-BAD+S-BCD)X，=VB_ACD=—,

77i

所以r=注，及內切球的表面積為4%/=；兀，

42

1

所以內切球和外接球表面積之比為區二=工.

5兀10

故答案為：—

2.(23-24高三下?山東濟寧?開學考試)三棱錐尸-/BC中，春8c是邊長為亞的正三角形,

頂點P在底面4BC上的射影是AABC的中心，且P4=l.三棱錐尸-/3C的內切球為球。「

外接球為球儀，若球。i的半徑為「，球Q的半徑為n，貝Ur+R=;若M為球。?上

任意一點，N為球儀上任意一點，則線段兒W的最小值為

61

【答案】——+—

32

【分析】將三棱錐放入正方體中，利用等體積法可得內切球半徑，根據正方體的外接球求解

R邛，進而可求解空1,根據兩球的關系，結合半徑的關系即可求解空2.

【詳解】由題易知，三棱錐尸為棱長為1的立方體的一部分，如圖

B

11o_/T

由等體積法求產，--SABCPAP=--(5ASCP+S^ACP+SAABP+SAABC)-r,即/=--一?

336

又由2R=6，HPR=^-,所以r+——；

223

_1丘_V6rr

^ABC的外接圓半徑為T=T，故點P到平面ABC的距離為同方=與,

Sm33

由于尺=9＞程，所以a在三棱錐的外部，

故球。［內含于球。2，S.OtO2=R-r0+r=--——+^^=-

2362

所以叫nWfQ旦」LLW

122623

故答案為：且+1，空一1

323

【點睛】方法點睛：解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化

為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：

（1）定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心

到接點的距離相等且為半徑；

（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元

素以及體現這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的；

（3）求半徑下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.

3.（23-24高二上?江西景德鎮?期中）我國古典數學著作《九章算術》中記載，四個面都為

直角三角形的四面體稱之為鱉IT現有一個“鱉席"，尸/，底面/3C,AC1BC,且

PA=3,AC=4,BC=3,則該四面體的外接球的表面積為,該四面體內切球表面積

為

164,16

【答案】34兀71

99

【分析】由題意確定四面體外接球的球心，進而求得外接球半徑，即可求得四面體的外接球

的表面積；利用等體積法求得四面體內切球的半徑，即可求得四面體內切球的表面積.

【詳解】由題意可知尸N_L底面48C,/C,8c,48u底面48C,

故PN,又AC上BC,

P/c/C=/,P/,NCu平面融C,故3cl平面上4C,

尸Cu平面R1C,故BC_LPC,

取尸2的中點為O,則O/=OC=。尸=08,

即。為四面體的外接球的球心，

又尸/=3,/C=4,8C=3,貝I]AB=A/32+42=5,PC=732+42=5>

則四面體外接球半徑為7?=’總=~^PA2+AB2=巫,

222

故該四面體的外接球的表面積為4兀滅2=34兀；

設四面體的內切球球心為。，半徑為尸，則%.=%，..+%如。+%一,+七生5,

BP—X—x4x3x3=—xrx（―x4x3+、4x3+」5x3+1—5x3）.

3232222

74]67r

解得r=：,則四面體內切球表面積為4兀/=4兀x'=旨，

故答案為：34兀；

題型二：內切球獨立截面法

1.（23-24高一下?河南三門峽?期中）已知三棱錐尸-/3C的棱長均為4,先在三棱錐尸-4BC

內放入一個內切球,然后再放入一個球。2,使得球。2與球。I及三棱錐尸-A8C的三個

側面都相切，則球a的表面積為（）

【答案】A

【分析】利用等體積可求得內切球。1半徑，再取截面并根據比例求得球。2的半徑，則可求

得球。2的表面積.

【詳解】取三棱錐尸-過內切球球心。1的截面，如圖所示:

依題意得S"cWx4x4sm60-4G,

2丫=-=±=空4、萬

底面Z8C的外接圓半徑為“一sin60。一百一3，解得q=任;

2

點尸到平面/8C的距離為d=手'=手，

所以%-”c=gx4百X乎=32，

所以邑網。=邑"8=^c=1x4x4sin600=4V3,

設球。?的半徑為五,

所以Vp-ABC=^OX-PAB+%—PAC+Vo「PBC+匕）-ABC，

貝!]?I=_LX4X4S7?,得及=逅，

333

設球。2的半徑為廠，則。=二一/一。又R王,得r衛,

RV636

所以球。2的表面積為S=4兀xg|.

故選：A.

2.（2024?廣東深圳?二模）已知圓錐的內切球半徑為1,底面半徑為及，則該圓錐的表面

積為.

注：在圓錐內部，且與底面和各母線均有且只有一個公共點的球，稱為圓錐的內切球.

【答案】83t

【分析】借助過圓錐的軸以及內切球球心的截面圖求出圓錐的母線長，即可求出圓錐表面積.

【詳解】由題過圓錐的軸以及內切球球心的截面圖如下:

設圓錐高為/，，母線長為/,

則在三角形SQ3中有h2+r2=l2,即小+2=/①，

又由ASDO~ASO產得￡=1，即；板("_[)②，

rI

所以由①②得/=3\/2,/z=4,

所以圓錐的表面積為S=S底+S=Ttr^+Ttrl=2K+671=871.

故答案為：8兀.

3.(2024高三?全國?專題練習)圓臺內有一個內切球，球的表面積和圓臺的側面積的比為3:4,

求球和圓臺的體積之比.

【答案】上

【分析】

法一、利用圓臺及球體的特征先作出軸截面，由勾股定理及直線與圓的位置關系結合幾何體

的表面積、側面積、體積公式計算即可；法二、通過設角解三角形，利用三角函數表示線段

長，根據幾何體的表面積、側面積、體積公式計算即可.

【詳解】如圖，作軸截面，其中E、G、尸都是切點.

2

由圓的切線的性質可知，ZDOC=90°,OG.LDC,DG=r,GC=Rf：.OG=Rr.

,：S球=4TIOG2=4兀7?r，8臺側=兀（氏+/）2,

AuRr3_

-------7=—nR2+

兀（R+/）43

32

=\<9<7,^=yx2OG(A+r2+Rr),

4R

-TIXOG3

.紐=3_2Rr_6

.%一1x20G(公+/+財(￥五廠+五，13

法二、設。F=R/FCO=e,貝！J/￡OZ)=e,

R

DC=R\

：.ED=Rtan3,FC=----tan6>+—1―

tan。Itan。

4兀及2310

tan2^+———：

4tai?。T.

TIR2tan0d-------

Itan。

4成3

6

因此,3

y7?3ftan26i+13-

tan￥+1

題型三：外接球公式法

1.（2024?天津?二模）已知正方體/8C。-48CQ的外接球的體積為36兀，點￡為棱的

中點，則三棱錐G-4即的體積為（）.

A.|B.2月C.晅D.16^/3

33

【答案】B

【分析】由正方體的特征及球的體積公式可計算正方體棱長，再根據三棱錐的體積公式計算

即可.

【詳解】由題意可知正方體的外接球直徑為正方體的體對角線，

所以憶ng兀x[浮巨）=36冗今AB=26,

所以％「AED=卜C[C*g*ADXAE=；*26x26xm.

故選：B

2.（23-24高一下?浙江寧波?期中）已知S,49C是球。表面上不同的點，山，平面/3C,

47r

AB1BC,48=1,8c=0，若球。的體積為三，則山=（）

萬_

A.—B.1C.41D.V3

2

【答案】B

【分析】由已知易得S,48,C四點均為長寬高分別為三邊長的長方體的頂點，由

長方體外接球的直徑等于長方體對角線，利用球的體積公式可得答案.

【詳解】因為&4,平面4BC,AB1BC,

所以四面體S-/8C的外接球半徑等于以&4,為長寬高的長方體的頂點的外接球，

又球。的體積為手，即3=?爐，所以R=I,

所以2H=V1+2+S42=2，

所以S/=l.

故選：B.

S

BC

題型四：外接球補型法

L（2024?河南信陽?模擬預測）把沿三條中位線折疊成四面體488,其中22=12,

92=10，22=8,則四面體Z8CO的外接球表面積為（）

rr77兀77兀77兀

A.77兀B.C.------D.-----

482

【答案】D

【分析】由條件分析四面體/BCD的結構特征，由此考慮構造長方體，結合長方體的外接球

的半徑的與長寬高的關系結合條件求出4叱，再由球的表面積公式求球的表面積即可.

【詳解】如圖，記。也，的中點分別為BCD,

D3

因為93=12,92=10，22=8，

由中位線性質可得。8=4,C。=6,8C=5,

翻折后的四面體如圖：

A

由翻折的性質可得AB=6,AC=4,AD=5,

所以四面體/BCD對棱相等，

故可以考慮將四面體/BCD補形為長方體如下;

四面體ABCD的外接球即長方體的外接球，

設其外接球半徑為R，BM=x,BN=y,BP=z,

貝lJ（2R）2=x2+/+z2,

x2+/=36

77

因為Y+Z2=25,所以X2+/+Z2=11,

y2+z2=162

77

所以4上=

2

777r

所以四面體ABCD的外接球表面積S=4江=中,

2

故選：D.

2.（2024?黑龍江?二模）已知三棱錐尸-Z8C的四個面是全等的等腰三角形，且尸/=2,

PB=AB=3,則三棱錐尸-/8C的外接球半徑為；點。為三棱錐P-/8C的外接球

球面上一動點，尸。=①時，動點。的軌跡長度為.

2

［答案］叵/,而屈兀

222

【分析】

由三棱錐的結構特征，可擴成長方體，利用長方體的外接球半徑得三棱錐的外接球半徑；由

動點。的軌跡形狀，求長度.

【詳解】三棱錐尸-48c的四個面是全等的等腰三角形，且尸4=2,PB=AB=3,如圖所

示，

則有力=3。=2,PB=AB=PC=AC=3,

把三棱錐尸-ABC擴成長方體PHCG-FBEA,

AF2+AG2=PA2=4

貝IJ有/尸2+/￡2=/82=9,解得//2=/G2=2,/E2=7,

AG2+AE2=AC2=9

則長方體外接球半徑尸=山2叱+"爐=巫,

22

所以三棱錐P-ABC的外接球半徑叵；

2

點。為三棱錐尸的外接球球面上一動點，尸。=包時,

2

由尸。=OD=OP=?,動點。的軌跡是半徑為叵的圓，

24

故答案為:孚學.

【點睛】關鍵點點睛：

三組對棱分別相等的四面體（三棱錐）一一補形為長方體（四面體的棱分別是長方體各面的對

角線）.

題型五：外接球單面定球心法

1.（2024?全國?模擬預測）在正三棱錐中，BC=CD=DB=2,AB=AC=AD=C，

則三棱錐/-8a）的外接球表面積為（）

27兀27兀27K

A.——B.9兀C.-----D，-

25

【答案】C

【分析】根據正三棱錐的結構特征可求解高的長度，進而根據勾股定理即可求解半徑，即可

由表面積公式求解，或者利用空間直角坐標系求解半徑.

【詳解】方法一：如圖，取正三角形BCD的中心為P,連接/RPC,

則三棱錐A-BCD的外接球球心。在/P上，連接OC.

在正三角形BCD中，BC=2,所以PC=2x3CsinP=^

333

在RtA4PC中，AC=43,所以/尸=）/。2一尸。2=

設外接球的半徑為K,

由。。9

2=0/2,Op2+pc2=QC2=R,解得火=和，

所以三棱錐A-BCD的外接球表面積S=4成2=子

故選:C.

方法二：在正三棱錐/-BCD中，過點A作底面3co于點尸，

則F為底面正三角形BCD的中心，

因為正三角形的邊長為2,所以BF=2xBCsin'=拽.

333

因為48=百，所以AF=」AB2-BF?=叵.

3

如圖，以尸為坐標原點建立空間直角坐標系,

則/0,0,^—j,C0,3.

設三棱錐/-BCD的外接球球心為。（0,0,〃），半徑為我.

由=0/2,得g+"2=,解得h=,

所以尺2=—4+/=7一7，

320

77TT

則三棱錐A-BCD的外接球表面積S=4K7;2=—.

故選：C.

2.（2024?四川涼山?二模）己知在三棱錐尸-4BC中，PA=^,PB=PC=2,底面/3C是

邊長為1的正三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（）

13K“,

A.3兀B.-----C.4兀D.6兀

3

【答案】B

【分析】

根據給定條件，證得P/工平面N8C,再確定三棱錐外接球球心，并求出球半徑及表面積.

【詳解】在三棱錐P-/3C中，PA=C,PB=PC=2,正“3C的邊長為工，

則尸才+么外=4=依2,即有,同理PZ_L/C,而48n/C=/,48,/Cu平面48C,

于是P/_L平面4BC,令正“8C的外心為。?,三棱錐尸-48c外接球球心為。,

則。平面/3C,顯然球心O在線段尸/的中垂面上，取尸/的中點。，則ODLR4,

而OQ//P4,則四邊形N。。。1是矩形，OD=O,A=-xABsin600=―,

33

所以球半徑R=OP=^OD2+PD2=J（且丫+（且）2=算,表面積s=4必°=孚.

\3''2'2也3

故選：B

p

D

c

3.(2024?浙江嘉興?二模)在四面體48co中，BC=2,NABC=/BCD=9G,且4B與CD

所成的角為60。.若四面體ABCD的體積為4百，則它的外接球半徑的最小值為.

【答案】3

【分析】根據題意，將四面體/BCD補形為直三棱柱/BE-FCD,設CD=x,B=y,由

喙^=46求得孫=24,在RMOCO?中，勾股定理得及2=1+產，由余弦定理可得

DF2=x2+y2-xy,結合基本不等式求解.

【詳解】依題意，可將四面體4BCD補形為如圖所示的直三棱柱/3E-尸。。，因為48與CZ)

所成的角為60。，

所以〃CF=60°或120。，設CD=x,B=y,外接球半徑記為R,

外接球的球心如圖點O.

易知4F//平面BCDE,所以點A到平面BCDE的距離等于點F到平面BCDE的距離，

sin60

VA-BCD=VF-BCD=^BC-S￡DF=}〃)=46，得xy=24,

2

DF)

在RMOCO2中,R2=OC2=OO；+CO；=1+1+匕聲，

2sinZDCF)3

在ACDF中，由余弦定理得DF2=x2+y2+2xycosZDCF,

所以當4>CF=60°時，外接球的半徑會更小.

所以DF?=x2+V—xy,

所以夫2="gx1+y2-xy^>l+1(2xy-xy)=l+|xy=9,

所以見”=3.

故答案為：3.

D

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是將求四面體補形為直三棱柱ABE-FC。，轉化為

求直三棱柱外接球半徑的最小值.

題型六：外接球雙面定球心法

1.（2024?四川綿陽?模擬預測）已知長方體中，側面BCC圈的面積為2,

若在棱ND上存在一點使得為等邊三角形，則四棱錐耳外接球表面積

的最小值為.

【答案】逋兀

3

【分析】根據幾何體的特征，確定四棱錐外接球的球心，結合長度和幾何關系，基本不等式

確定半徑的最小值，即可求解.

【詳解】如圖，由對稱性可知，點M是AD的中點，設8C=x,貝CC-,

21=x

點N是8C的中點,

M

由底面矩形3CG4的對角線的交點H作底面8CG4的垂線，過等邊三角