解三角形（周長（邊長）問題

（含定值，最值，范圍問題））（典型題型歸類訓練）

目錄

一、必備秘籍..............................................1

二、典型題型.............................................2

題型一：定值問題（周長）..............................2

題型二：定值問題（邊長代數和）........................3

題型三：最值問題（周長）..............................4

題型四：最值問題（邊長代數和）........................5

題型五：范圍問題（周長）..............................6

題型六：范圍問題（邊長代數和）........................8

題型七：范圍問題（銳角三角形問題）...................10

三、專項訓練............................................11

一、必備秘籍

核心技巧1：基本不等式（無約束條件的三角形）

利用基本不等式J益＜土也，在結合余弦定理求周長取值范圍；

2

核心技巧2：利用正弦定理化角（受約束的三角形，如：銳角三角形）

利用正弦定理a=2Rsin/,b=2RsinB,代入周長（邊長）公式，化角，再結合輔助角

公式，根據角的取值范圍，求周長（邊長）的取值范圍.

二、典型題型

題型一：定值問題(周長)

1.(23-24高一下?河北石家莊?階段練習)已知a,b,c分別為AABC三個內角/,8,。的

對邊，且2Z?=C+2QCOSC.

⑴求4;

(2)若“8。的面積為38,°=3，求。8C的周長.

2

2.(23-24高一下?河北滄州?期中)的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

2tanAasinB

1+tan2Ab

(1)求角A的大小;

(2)若6+c=ga,"BC的面積為純，求AA8C的周長.

3

3.(2024?全國?模擬預測)在AABC中，內角4,3,C的對邊分別為。，6,c,、氏cos3+2sin4=0,

b=2.

⑴若。=1,求q；

(2)若AA8C的面積為"，求。3c的周長.

題型二：定值問題（邊長代數和）

1.（23-24高一下?福建廈門?階段練習）-3C的內角B,C所對的邊分別為a,b,c,

且6sin（B+巴］=O

⑴求5的值；

⑵若”3,打…竽，助為"3C的平分線，取為中線，求器的值.

2.（2024?四川成都?模擬預測）在中，內角4,5,C的對邊分別為a,b,c,已知

,sin5sinC

的面積S=------------

cosA

(1)求tan/；

(2)^sin5sinC=，a=2,求〃+。2.

5

3.（23-24高三下?重慶?階段練習）在中，角A,B,。所對的邊分別為。，b,

A243c的面積為S,且4S+A/5（Z）2—〃2—02）=0.

⑴求角8的大?。?/p>

⑵若“5。外接圓的半徑為1,邊力C上的高為BE=1,求"+C的值.

題型三：最值問題（周長）

1.（23-24高一下?江蘇南京?期中）在以下三個條件中任選一個補充到下面的橫線上，并給

出解答.（注：如果選擇多個條件分別進行解答，則按第一個解答計分）

②sin[C+弓)=cosC+)；③向量比=(a+c,b-Q),

①2。-6=2ccosB；n=(a—c,6),

mLn-

在中，內角A,B,。的對邊分別為。，b,。，且

⑴求C;

（2）若c=VL求周長的最大值.

2.（23-24高一下?江蘇南通?期中）已知在445c中，乙4,/5/。所對的邊分別為a,b,c,

m=(a+c,a-b\n=(sin5,sin/—sinC),且玩〃萬.

⑴求角。的大小；

（2）。為中點，若△3C的面積等于求小8。的周長的最小值.

2

3.(2024高三下?全國?專題練習)在“3C中，內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,

sin2B+(cosA+cosC)(cosA-cosC)=sinQ+B)sin(Z+C).

⑴求4;

(2)設a=4x/§，求“BC周長的最大值.

4.（23-24高一下?貴州貴陽?階段練習）在“5C中，內角。所對的邊分別是6,。，已

(sinC)2c

知________1_________L_________——

(sin5)2+(sinC)2-(sin/jb'

⑴求角A；

(2)若〃=療，求”3C周長的最大值.

題型四：最值問題（邊長代數和）

1.（23-24高一下?湖南長沙?階段練習）記“3C的內角4民C的對邊分別為“，b,c,已

,cosAsin25

矢口——：一二---------.

1+sm/1+cos28

⑴若C=T2兀，求B；

（2）求幺?的最小值.

C

2.（23-24高三上?安徽?階段練習）記的角45。的對邊分別為。也。，且

sinC-siib4sin5

y/3c-bc+a*

⑴求A；

（2）若6=26，求］的最小值.

3.（2023?全國?模擬預測）在“中，內角4卅。所對的邊分別為。也c,且

asinC=csinA+—.

I3j

（1）求角A的大?。?/p>

⑵若。的中線/。=右，求b+c的最大值.

題型五：范圍問題（周長）

1.（2024?陜西漢中?二模）在“3C中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,請從下列條

件中選擇一個條件作答：（注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分.）

①記》8c的面積為S,且百益?就=25;②已知asinB=bcos（N-工）.

6

（1）求角A的大?。?/p>

⑵若“8C為銳角三角形，且.=&,求。8C周長的取值范圍.

2.（2024?寧夏銀川?二模）已知平面四邊形4BCD中，乙4+/C=180°,8C=3.

⑴若Ag=6,40=3。=4,求肛

⑵若/48C=120°,A/BC的面積為速，求四邊形/8CD周長的取值范圍.

2

3.(23-24高一下?陜西西安?階段練習)在中，內角/,B,C所對的邊分別為a,b,

c“已知6sinB-asin4=(b-c)sinC.

⑴求Z；

(2)若。=4,求ABC周長的取值范圍.

4.(23-24高一下?廣東東莞?階段練習)已知的內角4民C所對的邊分別是a,6,c,

(a+6)(sin/-sin5)=(a-c)sinC.

⑴求角B；

(2)若“8C外接圓的周長為2G兀，求周長的取值范圍.

5.(2024?全國?模擬預測)已知函數/(x)=4sin[x+"|Jcosx-l.

⑴求的最小正周期與圖象的對稱中心；

(2)在“3C中，/(/)=1,3C=4,求“3C周長的取值范圍.

題型六：范圍問題(邊長代數和)

1.(23-24高一下?安徽?期中)已知銳角△4BC,a,b,c分別為角48,C的對邊，若

/+c2-b2=2bc(l+cos4).

⑴求證：A=2B；

(2)求的取值范圍.

C

2.(23-24高一下?浙江麗水?階段練習)在銳角“8C中，已知角HB,C所對的邊分別為

口a2-b2_c2

Q，b,。，且./,=~r=~?

J3cosc

⑴求角。的大??；

(2)求的取值范圍.

a"+b-

3.(2024?河北衡水?一模)在“3C中，內角4民C所對的邊分別是a,b,c,三角形面積為S,

若。為4C邊上一點，滿足ABLBD,BD=2,且/=—述s+McosC

3

⑴求角B;

(2)求W21的取值范圍.

4.(23-24高一下?浙江寧波?階段練習)在銳角AASC中，已知6=2G,2"c=2bcosC.

⑴求B；

(2)求3a+2c的取值范圍.

5.(23-24高三下?河北?階段練習)記△ZBC的內角4瓦C的對邊分別為“也c,已知

V3asin5-bcosA=b-

⑴求A；

(2)若a=2,求b-2c的范圍.

6.(2023?浙江?模擬預測)已知中，內角4瓦C所對的邊分別為“，”c,且滿足

sirU_c-b

sinB+sinCb

(1)若。=三，求8；

(2)求牛的取值范圍.

b

題型七：范圍問題(銳角三角形問題)

1.(2024?全國?模擬預測)記銳角三角形/3C的內角42,C的對邊分別為.也c,已知

(a+c)[人2-(a-cP]tanB=2abc(sinA+sinC).

(1)求8的大小.

⑵若“3C的面積為2月，求b的取值范圍.

2.(2024?陜西安康?模擬預測)已知銳角”3C中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,

,,asin。/-sin2c口

其中a=8,-=1+-----------------,且arc.

csin5

(1)求證：B=2C；

(2)已知點M在線段ZC上，S.ZABM=ZCBM,求W的取值范圍.

3.(2024?陜西安康?模擬預測)記銳角的內角A,B,C的對邊分別為“，b,c,

己知2sin8sinC+cos2C=1+cos2J-cos2S.

⑴證明：B+C=2A；

(2)求:的取值范圍.

b

4.（23-24高一下?河南洛陽?階段練習）在“8。中，角的對邊分別為。也c,且

sinBa

=1.

sirU+sinC---b+c

⑴求角C的大??；

⑵若“3C為銳角三角形，且6=4,求"3C周長的取值范圍.

5.（23-24高三下?黑龍江?階段練習）己知在銳角三角形"2C中，邊。，6,。對應角48,C,

向量加二（2COS4A/^）,n=sinM-y,cos24|,且碗與:垂直，c=2.

⑴求角A；

⑵求〃+6的取值范圍.

三、專項訓練

1.（23-24高一下?山東?階段練習）”3C的內角4SC的對邊分別為a,b,c,

（sin4+sinC）2=sin25+sirL4sinC,則5=；若b=20，則a+gc的取值范圍

是

2.（23-24高一下?福建莆田?階段練習）己知。8C的外接圓。的半徑為2叵，ZC的長為

3

7,AN8C周長的最大值為.

3.（2024?四川綿陽?一模）”8C中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若

25

sinCsin（4-B）=sin8sin（C-A）a=5,cosA=—,則^ABC的周長為.

1+COSY

4.（23-24高一下?湖南衡陽?階段練習）設函數/（x）=「一，在448c中，

sinx

BC=2,f（A）=f（B）+2,則“3C周長的最大值為.

5.（23-24高一下?廣東廣州?階段練習）在A/8C中，//BC的平分線交/C于點。，

27r

ZABC=—,BD=4,則A48C周長的最小值為.

6.（2024高三?全國?專題練習）已知^ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、6、c,若a+b=6

且C=；,則。8c的周長的取值范圍為.

7.（22-23高一下?江蘇連云港?期中）設銳角”BC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,

若C=2/,則至效的取值范圍是.

a

8.（2024高三?江蘇?專題練習）已知的內角/,B,。的對應邊分別為a,b,c,且

c=GasinC-ccos/,若AABC為銳角三角形，a=6,則“BC周長的取值范圍

為.

9.（2024高三?全國?專題練習）已知。力,c分別為A/8C三個內角4尻C的對邊，0=2百，

且/=1，則AABC周長的取值范圍為.

10.（23-24高三上?江蘇淮安?階段練習）在。8c中，角48,C的對邊分別為a,b,c,O為

邊中點，若=2,"=24,則AABC面積S的最大值為.

11.（23-24高一下■湖北武漢?期中）在①GsinZsinC+sin4cosc=sin8+sinC,

6sin5+csinC-asinA2.,、、一人八,〃」，一

②sin25+sinC+cosA=1+sin5sinC,③----------嬴6----------=耳s1il4這二個條件中任

選一個，補充在下面問題中，并作答.問題：在23c中，內角4民C所對的邊分別為a,6,c,

已知a=4,且選擇條件.

⑴求角A；

（2）若NM為/8/C的平分線，且與8C交于點=求的周長.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

12.(23-24高一下?廣東茂名?期中)設。8c內角4瓦。的對邊分別為。，“c,已知方=26,

2a-c=2bcosC.

(1)求角8;

(2)若a+c=4,求。8C的面積；

⑶求AA8C的周長的取值范圍.

13.(23-24高一下?黑龍江哈爾濱?階段練習)在中，角4優。的對邊分別為“，"c,

且*=(

(1)證明：為直角三角形；

(2)當c=l時，求AA8C周長的最大值.

14.(23-24高一下?吉林白山?階段練習)在中，內角4及。所對的邊分別為。,

口sin2/-V3sin4sin5.

FL~~Y?

cosB-cosC

(1)求角C的大??；

(2)若為銳角三角形，點尸為。的垂心，CF=6,求4F+BF的取值范圍.

15.（23-24高一下?四川成都?階段練習）已知5=（小2,-8%}6=60河,8斜）/k）=1?6.

⑴求函數/（x）圖象的對稱軸方程;

（2）設“8C的內角48,C所對的邊分別為。,6,c,若/（8）=；且6=百，求”3C周長的取

值范圍.

16.（23-24高一下?廣東湛江?階段練習）已知/,B,C為“8C的三內角，且其對邊分別

為1a,b,c.若應=（a,cos/）,力=（sin8,-百6）且inLn.

⑴求角力的大??；

（2）若a=2V^,求“BC的周長的取值范圍.

17.（23-24高一下?河南商丘.階段練習）設銳角三角形ZBC的內角/,5,C的對邊分別為

b,c,已知2ccosB=a（2-b）,且。=5.

⑴求。的值；

⑵若。為BC的延長線上一點，且求三角形ZCD周長的取值范圍.

O

18.(2011高一?全國?競賽)在。3C中，角4B、C所對的邊分別為。、氏c,且

〃+(26c+2c,卜嗚=/.

⑴判斷“3C的形狀，并加以證明；

(2)當c=l時，求“BC周長的最大值.

19.(22-23高二上?湖南岳陽?期末)在①百(a-Z?cosC)=csin2,(2)S^ABC=BABC-sinS,

③cos2^-COS25=sin2C-siix4sinC三個條件中任選一個補充在下列問題中，并解決該問題.

在“8c中，角42,C所對的邊分別為。也c,,且6=2.求：

(1)5;

(2)“3c周長的取值范圍.

20.(2023?四川成都■一模)已知函數［(x)=2gsinxco&r+2cos2尤-1.在銳角2BC中，角力,

B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足〃/)=L

(1)求/的值；

(2)若6=1,求q+C的取值范圍.

解三角形（周長（邊長）問題

（含定值，最值，范圍問題））（典型題型歸類訓練）

目錄

一、必備秘籍..............................................1

二、典型題型.............................................2

題型一：定值問題（周長）..............................2

題型二：定值問題（邊長代數和）........................3

題型三：最值問題（周長）..............................4

題型四：最值問題（邊長代數和）........................5

題型五：范圍問題（周長）..............................6

題型六：范圍問題（邊長代數和）........................8

題型七：范圍問題（銳角三角形問題）...................10

三、專項訓練............................................11

一、必備秘籍

核心技巧1：基本不等式（無約束條件的三角形）

利用基本不等式J益＜土也，在結合余弦定理求周長取值范圍；

2

核心技巧2：利用正弦定理化角（受約束的三角形，如：銳角三角形）

利用正弦定理a=2Rsin/,b=2RsinB,代入周長（邊長）公式，化角，再結合輔助角

公式，根據角的取值范圍，求周長（邊長）的取值范圍.

二、典型題型

題型一：定值問題（周長）

1.（23-24高一下?河北石家莊?階段練習）已知a,b,c分別為AABC三個內角/,8,。的

對邊，且2Z?=C+2QCOSC.

⑴求4;

（2）若“8。的面積為38,°=3，求。8C的周長.

2

【答案】（嗚

（2）3+3^

【分析】（1）根據給定條件，利用正弦定理邊化角，再借助和角的正弦公式求解作答.

（2）由（1）的結論，利用三角形面積公式、余弦定理求出6+c即可作答.

【詳解】（]）在“3C中，26=c+2acosC,

由正弦定理得：2sin5=sinC+2siib4cosC,

而sinB=sin（兀一力一C）=sin（4+C）=siib4cosc+sinCcosA,

于是2sia4cosC+2sinCcos4=sinC+2siib4cosC=sinC=2sinCcosA,

又。為三角形內角，有sinCwO,解得COS4=；,ZG（0,兀），所以為=],

（2）依題意，SABC=—=—be-^-=^=>bc=6,

“BC2222

由余弦定理得，/=b2+。2-2bccosZ=（b+c）2-2bc-2bccQsA,

即9=（6+C）2_3X6=6+C=3/3,

所以AABC的周長a+b+c=3+3-73

2.（23-24高一下?河北滄州?期中）的內角A,B,。的對邊分別為。，b,。，

2tanAasin5

1+tan2Ab*

⑴求角A的大?。?/p>

（2）若6+c=Ga,”3C的面積為氈，求AABC的周長.

3

【答案】⑴/=1;

（2）2A/3+2.

【分析】（1）利用同角公式切化弦，正弦定理邊化角求解即得.

(2)利用三角形面積公式求出兒，再余弦定理列方程求解即得.

2tan^4_2sinAcosA

【詳解】(1)依題意,=2sin/cos/,

1+tan2Asin2A+cos2A

在中，由正弦定理得竺”sinAsinB

=sin力，

bsin5

因此2sin/cos/=sin/,而sin/〉0,則cos4=4，又0</<兀，

2

所以

(2)由“3C的面積為氈，得1_兒$畝/=在3,解得秘=日，

3233

由余弦定理得a2=c2+b2-2bccosA=c2+b2-be=(b+c)2-3bc,

而b+c=V^Q,則/二(6口/一&,解得。=2,b+c=2-73?

所以“BC的周長為26+2.

3.(2024?全國?模擬預測)在“BC中,內角4,5,。的對邊分別為a,b,c,耳cos5+2sin4=0,

b=2.

⑴若。=1,求a；

(2)若。8c的面積為"，求的周長.

4

【答案】(1)。=^^;

2

(2)2+收

【分析】(工)利用正弦定理邊化角，即可求得8,然后由余弦定理即可求解；

(2)利用面積公式和余弦定理列方程組可解得0+c=。，然后可得周長.

【詳解】(1)由VJacosB+2sinZ=0,b=2,

可得6。cosB+bsin/=0.

由正弦定理可得CsinZeosB+sinBsinZ=0，

又sin/〉0,故tan5=—G，

由兀)可得6=莖.

由余弦定理可得〃=a1+c2-2accosB,

即4=。2+1+。，得。__I.

2

(2)由AZSC的面積為'^可得LqcsinB=,故。。=1,

4244

由余弦定理可得方=a2+c2-2accosB，

即4=a?+c?+ac=(a+c)~-ac,故a+c=。，

所以“3C的周長為a+6+c=2+若

題型二：定值問題（邊長代數和）

1.（23-24高一下?福建廈門?階段練習）”3C的內角/,B,。所對的邊分別為a,b,c,

且V^sin15+—|-sin|5|=0

（1）求2的值；

（2）若。=3,s="Yl,AD為/A8C的平分線，3E為中線，求黑的值.

△ABC4BD

【答案】（l）B=g2兀

⑵亞

15

【分析】（1）利用兩角和差的正弦公式化簡已知等式，可得sinB+百cos3=0,即可求得

tan5,可得答案；

（2）利用三角形面積公式求出c的值，再結合5?4=$4的+$46,即可求得|班利用

BE=^BA+BCy結合模的計算求出|礪即可求得答案.

【詳解】⑴由題意知“3C中，Gsin,+）sin,、）=O,

即道sinBcos—+cosBsin--sin5cos--cos5sin—=0

I66；I33j

即sin5+GcosB=0,即tanB=-百，

2兀

而8e（0,兀），故2=彳；

（2）由于。=3,S叢ABC=,i^—acsinB=^^-c=^^-,:.c=5,

△ABC4244

又為/4B。的平分線,且%Z8C=S4ZBO+邑8a）,

即1^1=Lc.?BD\sin^+1a-1BD\sin；=工（a+c）|BD\=2e|BD\,:\SD|=y,

又2E為中線，故而=g（E+而）,

故|礪U+2BA-~BC+BC2=-725-15+9=—

22

,,BEF4M

故一=

BD1515

8

2.（2024?四川成都?模擬預測）在AJ3C中，內角力,B,2的對邊分別為a,b,c,已知“8C

AAK工-ca2sin5sinC

的面積S=----------------

cosA

(1)求tan力；

(2)若sin8sinC=,a=2,^b2+c2-

5

【答案】（l）tanN=g；

（2）20.

【分析】（1）由三角形的面積公式和正弦定理求解即可.

（2）由同角三角函數的基本關系求出sin4cos/,再由正弦定理求出6c=4若，最后由余

弦定理求解即可.

【詳解】（［）由題意可知，S=LabsinC=心生駟C,

2cosA

由sinCW0,得6cos4=2asinB,

由正弦定理可知，sinBcosA=2smAsmB,

sjnA1

由sin5>0,得cosZ=2sinZ,BPtanA---------=—

cos^42

(或S」bcsin4="sinBsinC

2cosA

百十十士.1.sinsinBsinC

由正弦定理可知：—sin8smCsin4=---------------------

2cosA

sin/1

因為sin/sin5sinCw0,所以tan/=-------=—.)

cosA2

（2）由tan/=」，可知角A為銳角,

2

sin4_1

cosA*

所以<cosA2，得sin4=

sin2+cos2A=15

因為sinBsinC=

5

由正弦定理得一--=」^，所以6c=4石，

sin8sinCsin2^

2

由余弦定理，=心+c-2bccosA，

2"

得/+/=/+26。cos4=4+8\/5x------=20

5

3.（23-24高三下?重慶?階段練習）在中，角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,

“Be的面積為S,且4S+V5（Z?2--02）=0.

⑴求角8的大小；

⑵若外接圓的半徑為1,邊4C上的高為5E=1,求Q+C的值.

【答案】（1號

（2）3

【分析】（1）利用三角形面積公式與余弦定理的邊角變換即可得解；

（2）利用正弦定理求得6,再利用三角形面積公式求得或，從而利用整體法，結合余弦定

理即可得解.

【詳解】（1）?.?4S+6（"-a2-c2）=0,

222

BP4■—acsin5=V3(a+c-Z?)=2>/3accos5即sin8=cos8,

所以tan8=6，又0<8<無，則B=].

(2)由2BC外接圓的半徑為1,得號=-^=-^=2,b=6

sinAsinCsinB

???邊/C上的rWj為8E=1,所以一BE?=—QCsin5,

22

貝lj工x1義百=！x，所以ac=2,

222

222

h=a-^-c_2accosB,「.(〃+c/-3"c=3,即(Q+C/-6=3,

故Q+C=3.

題型三：最值問題（周長）

1.（23-24高一下?江蘇南京?期中）在以下三個條件中任選一個補充到下面的橫線上，并給

出解答.（注：如果選擇多個條件分別進行解答，則按第一個解答計分）

@2a-b=2ccosB；(2)sin[C+j=cosC+—；③向量玩=(a+c,Z?-〃)

n=(Q-C,6),

mLn-

在中，內角A,B,。的對邊分別為。，b,。，且

⑴求c；

(2)若c=VL求周長的最大值.

【答案】(嗚

(2)3月

【分析】(1)選①：用正弦定理化簡求解即可；選②：用兩角和與差的正弦公式化簡求

解；選③：用向量垂直的坐標表示和余弦定理求解即可；

(2)先利用余弦定理求得3=/-岫，然后利用基本不等式求解最值即可.

【詳解】(1)若選①：2a-6=2ccos2,

由正弦定理得2sin/-sin5=2sinCeosB,又sin(3+C)=sin4,

所以2sin5cosc=sin5,又sinB>0,所以2cosc=1,即cosC=—,

2

7T

又o<c(兀，所以c=§；

(JT11jrjr1

若選②：因為sinC+—=cosC+—,所以sinCcos—+cosCsin—=cosC+—,

V6J2662

所以5m。(305里一以)5。5足色=!，所以sin(C-二］='，因為0<。<兀，

662v6J2

所以一〈等，所以c-￡=2,所以c=9；

若選③:因為向量比=(a+c,6-a),n=(a-c,b),^_L?,

所以(a++—〃)?/?=(),化簡得/+/_02=帥,

所以cosC==L又0<C<7T,所以C=一;

lab23

(2)由余弦定理得c?=1+〃-2abcosC，

=a2+b2-ab=(^a+by-3ab2+-ja+6)-=g(a+bj,

所以(4+4412,所以a+bV2G，當且僅當a=6=道時等號成立，

所以a+6+cM3g,即“3C周長的最大值為3K.

2.(23-24高一下?江蘇南通?期中)已知在中，N4N8,NC所對的邊分別為a,b,c,

m=(a+c,a-l>),n=(sinB,sinA-sinC),且玩〃力.

(1)求角C的大??；

(20為中點，若△ADC的面積等于也，求“8C的周長的最小值.

2

【答案】(i)c=1

(2)6

【分析】(1)先利用向量平行的坐標公式列式，然后利用正弦定理和余弦定理求解；

(2)先根據面積關系求出而=4,然后利用基本不等式求出a+b的最小值，再利用余弦定

理求出c的最小值，則AABC的周長的最小值可求.

【詳解】(1)-：m//n,

(a+c)(sinA-sinC)=sinB(a-b),

由正弦定理號=3=三得(a+c)(a-c)=6(6),

sinNsm6sinC

a2+b?—/=ab，

TT

VCG(0,71),-C=~；

⑵依題意g的=生皿，即學=?,二仍=4,

所以a+6224r=4,當且僅當。=6=2時取等號，

又由余弦定理得，=片+62-2〃6cosc=a2+b2-ab>ab=4

:.c>2,當且僅當a=6=2時取等號，

所以AABC的周長最小值為6.

3.(2024高三下?全國?專題練習)在中，內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,

sin2B+(cosA+cosC)(cosA-cosC)=sin(/+B)sin(4+C).

⑴求4

(2)設a=4x/§，求“BC周長的最大值.

【答案】⑴4=

(2)1273.

【分析】(1)將原等式轉化為角的正弦的齊次式，再利用正、余弦定理求出角/的余弦值

即得.

(2)利用(1)的信息，結合基本不等式求解即得.

【詳解】(1)在AABC中,由sin?8+(cosZ+cosC)(cosZ-cosC)=sin(Z+5)sin(Z+C),

得sir?5+cos2^-cos2C=sin(兀-C)sin(兀—B),即sir?B+sin2C-sin2^4=sinCsinB,

由正弦定理得62+c2-/=bc,由余弦定理得雙4=立"^=!，又/e(O,兀)，

2bc2

所以/=1.

(2)由(1)矢口，4b2+c2-a1=be又q=4\/§,

31

則4S=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc>(Z)+c)2——(b+c)2=-(Z)+c)2,

44

于是6+cV8。，當且僅當b=c=46時取等號，

所以"SC周長的最大值為4石+8百=126.

4.(23-24高一下?貴州貴陽?階段練習)在“3C中,內角4民C所對的邊分別是0,6,c,已

,(sinC)2c

222

(sinJB)+(sinC)-(sin^)b'

⑴求角A；

(2)若°=近，求A/L8C周長的最大值.

【答案】⑴/=1

(2)3夜

【分析】(1)根據正弦定理與余弦定理即可求得結果；

(2)根據余弦定理與基本不等式即可求得結果.

(sinC)-c,

【詳解】(1)在“3C中，由正弦定理可知；——Q——「——萬=工可化為

(sin5y+(sinC)-(sin^)b

c2_c

b2+C1-a2b'

化簡得，b2+c2-a2=bc,

在“BC中，由余弦定理得，cosA=——=—,

2bc2

又因為0〈/<無，所以4=

(2)由余弦定理/=/+c?-縱1cos/，

即有7=/+c?-26ccos^=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc>(b+c)2-^b+c)2,

1,

.-.7>-(^+c)2,

所以6+cV2v7,當且僅當6=c=V7時取等號；

又a=近，所以周長的最大值為3近.

題型四：最值問題(邊長代數和)

1.(23-24高一下?湖南長沙?階段練習)記“3C的內角4民。的對邊分別為。，b,c,已

,cos/sin25

知-------=---------.

1+sin/1+cos23

⑴若。=與~,求5;

⑵求：的最小值.

C

【答案】（1）3=2

o

（2）4A/6-9

【分析】（1）根據題意利用三角恒等變換整理可得sin3=-cosC=g,即可得結果；

7TTT

（2）由（1）可知sinB=-cos。，分析可得。=彳+8,A=--2B,根據正弦定理邊化角,

22

利用三角恒等變換結合基本不等式分析求解.

,、訃HR、/、e、rcosAsin282sinBcosBsin5

【詳解】（1）因為;——----—~=-

1+sinZ1+cos282cosBcosn

可得sin5=cosAcosB-sinAsinB=cos（/+5）=-cosC=g,

且0<B<；,所以3=￡.

ITjr

（2）由（1）可知，sin^=-cosC>0,則一<。<兀，0<B<一,

22

因為sin/=-cosC=sinfC|0<C-—<—,

V2）22

jrjr

可得。=5+8,貝=兀一（5+。）=萬—25,

所以

2a2+b2_2sin2^4+sin2B_2cos225+1-cos2B

c2sin2Ccos2B

2（2cos25-1）+1-cos2B.3；—r-

=-^--------------------二8cos25+---9>2也4—9=49?

cosBcosB

當且僅當cos?8=1色時取等號，所以的最小值為49.

4c2

2.（23-24高三上?安徽,階段練習）記。8C的角4瓦C的對邊分別為a,b,c,且

sinC-sirU_sinS

43c-bc+a*

⑴求A；

（2）若b=2也,求。］的最小值.

【答案】=?

6

（2）3

【分析】（工）利用正弦定理化角為邊，再根據余弦定理即可得解；

（2）先利用正弦定理求出凄再根據二倍角公式和商數關系結合基本不等式即可得出答

案.

sinC-siM_sinBc-a_b

【詳解】（1）因為由正弦定理得:

y/3c-bc+ay/3c-bc+a

即b1+c2-a2=6bc，

由余弦定理得：cosA=+C———

2bc

因為/￡(0,兀)，所以Z=g

6

(2)由正弦定理：a_b_cq_6sin4_2e,

siik4sinBsinC'sinBsinBsinB

2A/3sin

ftsinC_2A^sinC6)_如cosB43sin5

sin5-sinBsinBsinB

miicV36cosB+3sinB3后2+cosB

則a+—=-------H----------------------------=—+V3x--------------

2sin52sin822sin5

Bin堂

2tan

BB2B.2B

又因為sinB=2sinycosy=----------4,cosB=cos-----sm一=2代入得:

1+tan2—221+tan2—

22

1-tan2—

2+J

儲n”

1+tan2—

a++___________2_

rl^-/B