2025年高考數(shù)學(xué)專項題型點撥訓(xùn)練

幾何小題-截面與球

【題型一】截面最值

【題型二】球截面

【題型三】線面垂直型求外接球

【題型四】面面垂直型

【題型五】任意二面角定球心

【題型六】內(nèi)切球

【題型七】棱切球型最值

立體幾何的考察主要會以截面、組合體外接球和內(nèi)切球以及軌跡動點求最值等的形式來考察學(xué)生對于

空間想象能力的考察，難度不小，一般會出現(xiàn)在選填的壓軸題里，也有可能出現(xiàn)在多選以多個維度去考察。

這里主要對各個題型進(jìn)行總結(jié)，需要在掌握題型的基礎(chǔ)上鍛煉自己的空間想象能力。

易錯點：線面所成角的最值

1.三余弦定理：

設(shè)A為面a上一點，過A的斜線AO在面a上的射影為AB,AC為面上的一條直線，貝!]cos，=cos4?cos%

說明：線面角是斜線與平面內(nèi)任意直線的所成角的最小值，即線面角是線線角的最小值，又稱最小角定理.

2.三正弦定理：

設(shè)二面角AB-N的度數(shù)為a,在平面上V上有一條射線AC,它和棱AS所成角

為夕，和平面N所成角為則sin/=sine?sin/?.

說明：二面角是半平面內(nèi)的一條直線與另一半平面所成線面角的最大值，即二面角是線面角的最大值.

例（23-24高三上?廣東深圳?期末）已知矩形ABC。中，AB=2,BC=1,將△CBZ）沿8。折起至,

當(dāng)C5與所成角最大時，三棱錐C-A3O的體積等于（）

A.立B.—C.—D.—

62155

變式1：（2024?全國?模擬預(yù)測）已知長方體中，AB=BC=1,CC；=30,/為CG上一

動點，當(dāng)AM與AG所成角為45。時，三棱錐A-CM?外接球的體積為（）

A.28gB,"nC,空畫兀D.空色

3242

【題型一】截面最值

求截面方法：

1.平行線法：

（1）利用兩條平行線確定一個平面，

（2）一個平面與兩個平行平面相交，交線平行

2.相交線法：

（1）兩條相交直線確定一個平面

（2）若兩個相交平面中一條直線與棱不平行，則與棱的交點，也在另一個平面內(nèi)

I—I

典例精講

【例1】（多選）（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知正方體ABC。-A4cpi的棱長為2,過棱cq,\DX,同用的

中點作正方體的截面，則（）

A.截面多邊形的周長為血+2而

B.截面多邊形的面積為:而

O

C.截面多邊形存在外接圓

D.截面所在平面與平面ABCD所成角的正弦值為姮

11

【例2】（多選）（2024?安徽蕪湖?模擬預(yù)測）已知正方體ABCD-A4GA的棱長為2,棱A3的中點為

過點M作正方體的截面且與若點N在截面a內(nèi)運(yùn)動（包含邊界），則（）

A.當(dāng)WM最大時，MN與BC所成的角為：

B.三棱錐A-BNG的體積為定值g

C.若。N|=2,則點N的軌跡長度為2兀

D.若Ne平面48c2，則忸N|+|NCj|的最小值為J+2石

【例3】（2024?河北?模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家GeminadDandelin用一平面截圓錐后，在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的

小球，使得它們分別與圓錐側(cè)面、截面相切，就可證明圖中平面截圓錐得到的截面是橢圓（如圖稱為丹德林

雙球模型）.若圓錐的軸截面為正三角形，則用與圓錐的軸成60。角的平面截圓錐所得橢圓的離心率

為.

?—?

名校模擬

【變式1］（多選）（2024?吉林?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體ABC。-4耳G"中，M,N分別是A3,

AO的中點，尸為線段GR上的動點，則下列說法正確的是（）

A.PM］。一定是異面直線

B.存在點P,使得

C.直線NP與平面BCG4所成角的正切值的最大值為45

D.過M,N,尸三點的平面截正方體所得截面面積的最大值為逋

4

【變式2】（23-24高三下.江西.開學(xué)考試）在正四面體P-ABC中，M為E4邊的中點，過點M作該正四面

體外接球的截面，記最大的截面半徑為R,最小的截面半徑為廠，則￡=_______；若記該正四面體和其外

R

接球的體積分別為匕和匕，則于=

【變式3】（2024?山東日照?一模）已知正四棱錐S-ABCD的所有棱長都為2；點E在側(cè)棱SC上，過點E

且垂直于SC的平面截該棱錐，得到截面多邊形”，則H的邊數(shù)至多為，H的面積的最大值為

【題型二】球截面

用一個平面。去截球，若平面。經(jīng)過球心，所得的截面稱為球的大圓；若平面。不經(jīng)過球心，所得的截面

稱為球的小圓。小圓圓心與球心的連線必垂直于小圓面。

?—?

典例精講

【例1】（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）已知一平面截球。所得截面圓的半徑為2,且球心。到截面圓所在平面的

距離為1,則該球的體積為.

【例2】（2024?陜西西安三模）如圖，已知球。的半徑為R,43在球。的表面上，AB=2,連接球心。與

A,B,沿半徑。4旋轉(zhuǎn)AOR使得點8旋轉(zhuǎn)到球面上的點C處，若此時NB4c=120。，且球心。到AABC所在

截面圓的距離為四，則球。的表面積為.

2

I—1

名校模擬

【變式1］（2024.貴州畢節(jié)?一模）如圖所示，圓。?和圓Q是球。的兩個截面圓，且兩個截面互相平行，球

心。在兩個截面之間，記圓。1，圓。2的半徑分別為4,4,若4=3/=3,。02=4,則球。的表面積為（）

【變式2］（2024?內(nèi)蒙古包頭?一模）已知兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在該球面上，若兩

個圓錐的高之比為1:3,它們的體積之和為4n,則該球的表面積為（）

A.18兀B.16兀C.12兀D.9兀

【變式3］（2024.四川成都.模擬預(yù)測）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如圖）.球冠是曲面，是球面

的一部分.截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《論球

與圓柱》中記錄了一個被后人稱作“Archimedes'Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面積=2兀汽〃（如上圖，

這里的表面積不含底面的圓的面積）.某同學(xué)制作了一個工藝品，如下圖所示.該工藝品可以看成是一個球被

一個棱長為4的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），即一個球去掉了6個球

冠后剩下的部分.若其中一個截面圓的周長為2無，則該工藝品的表面積為（）

【題型三】線面垂直型求外接球

線面垂直型：

存在一條棱垂直一個底面（底面是任意多邊形，實際是三角形或者四邊形（少），它的外接圓半徑是r,滿

足正弦定理）

1.模板圖形原理

I—I

典例精講

【例1】（2024?湖南.二模）如圖，在四面體尸―ABC中，ABC,ACLCB,PA=AC^2BC^2,則

此四面體的外接球表面積為（）

A.3兀B.9兀C.3671D.48兀

【例2】（23-24高三下?山西?階段練習(xí)）在棱長為4的正方體A8CD-A4CA中，E是CO的中點，F(xiàn)是CC,

上的動點，則三棱錐A-DEF外接球半徑的最小值為（）

A.3B.2.73C.V13D.

【例3】（多選）（2024.廣東廣州?模擬預(yù)測）如圖所示，四面體ABCD的底面是以8。為斜邊的直角三角

形，其體積為X，平面BCD,AB=BD,P為線段AC上一動點，為AD中點，則下列說法正確的

A.尸與C重合時，三棱錐P-BOQ體積最大

B.若BP工PD,則BP_LZM

C.當(dāng)尸OI_L3C時，PQ|_LA8

D.四面體ABCD的外接球球心是。?,且其體積％24夜亞

名校模擬

【變式1】（23-24高三上?浙江寧波?期末）在四面體A3co中，AB=^3,AD=BC=l,CD=y[6,且

TV

ZBAD=ZABC=-則該四面體的外接球表面積為（）

2f

A.-7iB.77iC.8兀D.IChr

2

【變式2】（多選）（23-24高三上?江蘇?期末）在四棱錐尸-ABCD中，即，平面A3CD,ADLCD,

AD=CD=2,四棱錐P—ABCD的外接球為球。，貝U（）

A.ABJ_BCB?VP-ABCD>2Vp_Acz）

C.Vp_ABCD=2%一ABCDD.點。不可能在平面PBC內(nèi)

【變式3】（多選）（23-24高三上?湖南長沙?階段練習(xí)）四棱錐P-ABCD的底面為正方形，叢與底面垂

直，|即=2,|ABk1,動點M在線段PC上，則（）

P

A.不存在點使得AC,5MB.+的最小值為叵

3

C.四棱錐尸-ABC。的外接球表面積為6兀D.點M到直線A3的距離的最小值為平

【題型四】面面垂直型

包含了面面垂直

一般情況下，倆面是特殊三角形。垂面型，隱藏很深的線面垂直型，可以對兩平面都用正弦定理來定球心。

I—I

典例精講

【例1】（2024?廣東.模擬預(yù)測）將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，使得折疊后的立體圖形有外接球，

則當(dāng)此立體圖形體積最大時，其外接球表面積為（）

..68-16百?11C52-16>/3

A.4兀BD.-----------7iC.一兀D.-----------7i

929

【例2】（2024?福建福州?模擬預(yù)測）在矩形A3CD中，AB=3,AD=4,將△ABD沿對角線3。翻折至AABD

的位置，使得平面平面3co，則在三棱錐A'-BCD的外接球中，以AC為直徑的截面到球心的距

離為（）

AV435B.逑A/2397113

1051010

I—I

名校模擬

【變式1】（2024?湖北恩施.模擬預(yù)測）如圖，矩形A2C。中，E、尸分別為8C、A。的中點，＞BC=2AB=2,

現(xiàn)將△ABE沿AE向上翻折，使B點移到P點，則在翻折過程中，下列結(jié)論不正確的是（）

B.存在點P,使得PELED

C.三棱錐尸-血＞的體積最大值為變

6

D.當(dāng)三棱錐尸-AED的體積達(dá)到最大值時，三棱錐P-AED外接球表面積為4兀

【變式2]（2024.全國.模擬預(yù)測）將菱形45co沿對角線AC折起，當(dāng)四面體3-ACD體積最大時，它的

內(nèi)切球和外接球表面積之比為.

【變式3】（2024?全國?模擬預(yù)測）在三棱錐尸-ABC中，AC=PA=gB=CBC,平面R4c，平面A3C,

24,BC,點。為三棱錐尸-ABC外接球。上一動點，且點。到平面PAC的距離的最大值為應(yīng)+內(nèi)，則

球。的體積為.

【題型五】任意二面角定球心

1.等邊或者直角：（1）等邊三角形中心（外心）做面垂線，必過球心；

2.直角三角形斜邊中點（外心）做面垂線，必過球心；

3.許多情況下，會和二面角結(jié)合。

?—I

典例精講

【例1】（2024.全國?模擬預(yù)測）已知空間四面體ABCD滿足則該四面

體外接球體積的最小值為.

【例2】（多選）（2024?全國?模擬預(yù)測）已知菱形ABCD中，ABAD=60°,AB=2,AC與相交于點

H,將△油￡＞沿33折起來，使頂點A移至點G的位置，在折起的過程中，下列結(jié)論正確的是（）

G

A.存在某個位置使得5CLOG

B.當(dāng)ACDG為等邊三角形時，VG_BCD=^

52兀

C.當(dāng)二面角G-BD-C為60。時，三棱錐G-5CD外接球表面積為方

D.設(shè)N為線段G8的中點，則三棱錐G-NCD體積的最大值為^

名校模擬

【變式1】（2024?浙江.模擬預(yù)測）在三棱錐D-ABC中，AB=BC=2,ZADC=90。，二面角O—AC-B的

平面角為30。，則三棱錐O-ABC外接球表面積的最小值為（）

A.16（2退一1）萬B.16（2君-3）萬

C.16（2力+1）萬D.16（2指+3）萬

【變式2］（2022?全國?模擬預(yù)測）已知正方形ABCD的邊長為2,把△ABD沿8。折起，使點A與點E重

合，若三棱錐E-BCD的外接球球心O到直線CE的距離為好,則異面直線BC與DE所成角的余弦值為（

2

A.-B.!C.—D.0

422

【變式3］（2022?河南信陽?模擬預(yù)測）把A。。?"沿三條中位線折疊成四面體A3CD,其中。&=12,

10,23=8,則四面體ABCD的外接球表面積為（)

rrc777rc77R77兀

A.77兀B.------C.-----D.——

482

【題型六】內(nèi)切球

椎體的內(nèi)切球，多采用體積分割法求解。可做如下對比理解

一、三角形內(nèi)切圓

11112S

S^ABC=S^D+SAOBC+SMDC=彳rC+彳ra+-rb=-r（a+b+c）nr=-

2222〃+/?+（

c

二、類比：三棱錐

^D-ABC~^O-BCD+^O-ABC+^O-ACD+^O-ABD

=§&BCD+§r*^AABC+§班徵。。+—r^AABZ)

=*S,△BCD+^AABC+^AACZ)+^AABO)

3眩一A6c

SABCD+^AABC~^~^AACD+^AABO

典例精講

【例1】（2024?浙江溫州?二模）如今中國被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程、高鐵里

程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖

是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球為正四面體A3CD的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個面

均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體ABCD棱長為2面，則模型中九個球的

表面積和為（）

A

3171

A.6兀B.9兀C.D.2U

【例2】（2024.青海海南.一模）已知球。是棱長為2的正方體ABC。-4月CQi的內(nèi)切球，叔是棱人4的中

點，。是球。的球面上的任意一點，MP±CDlf則動點尸的軌跡長度為（）

A.3兀B.痛兀C.2兀D.&兀

【例3】（2024.安徽池州?二模）已知圓錐的底面半徑為3,其內(nèi)切球表面積為12兀,則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.9&B.18nC.186兀D.277r

名校模擬

【變式1］（2024?陜西西安?一模）六氟化硫，化學(xué)式為SR,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)

定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫

原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為如

則該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為（）

Q

A.71m2B.271m2C.71m27ml2

33

【變式2］（23-24高三下.內(nèi)蒙古赤峰.開學(xué)考試）已知上底面半徑為正，下底面半徑為2a的圓臺存在內(nèi)

切球（與上，下底面及側(cè)面都相切的球），則該圓臺的體積為（）

A.14扁B.56兀C.如瓦D.學(xué)