甘肅省多校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:..姓名:.班級(jí):考號(hào):

一、單選題

1.設(shè)集合”={尤匹尤＜1},B=則4門(mén)5=()

C.{x|0<x<l)D.{x|0<x<e}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)9i（8+5i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2〃

3.在A4BC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為〃，b,c,已知Q=6,4=7，則V/BC外

接圓的半徑為（）

A.273B.4百C.6D.12

4.直線(xiàn)/:3》+4了+1=0被圓。：川+了2-4》+6了+4=0截得的弦長(zhǎng)為（)

A.242B.4百C.2#)D.472

711sin2a+2

5.已知tan~~a5'則()

1326￡

A.BC.D.

14-T292

6.某學(xué)習(xí)小組研究一種如圖1所示的衛(wèi)星接收天線(xiàn)，發(fā)現(xiàn)其軸截面為如圖2所示的拋物線(xiàn),

在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星信號(hào)波束呈近似平行的狀態(tài)射入，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)廠處，已知衛(wèi)星接

收天線(xiàn)的口徑（直徑）為10m,深度為3m,則該衛(wèi)星接收天線(xiàn)軸截面所在的拋物線(xiàn)焦點(diǎn)到

頂點(diǎn)的距離為（)

圖1圖2

525「255

A.-mB.——mC.—mD.—m

31264

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

c\2ax-2,x<1,

7-已知函數(shù)/㈤=滿(mǎn)足內(nèi)，%eR且…②，(…)"(xj"(初］<。’則。

的取值范圍為()

A.(0,1)B.(1,+⑹C.(1,2］D.(0,l)u(l,+s)

8.已知正三棱錐P-43C的體積為逅,13=6,則該三棱錐外接球的表面積為()

4

，r7兀—9兀

A.7兀B.—C.9兀D.—

22

二、多選題

9.某地種植的新品種哈密瓜獲得了豐收，隨機(jī)從采摘好的哈密瓜中挑選了100個(gè)稱(chēng)重(單

位：kg),并整理數(shù)據(jù)，得到如下頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論正確的

B.估計(jì)該哈密瓜的質(zhì)量不低于1.6kg的比例為30%

C.估計(jì)有一半以上的該哈密瓜的質(zhì)量介于1.4kg至1.6kg之間

D.估計(jì)該哈密瓜的質(zhì)量的中位數(shù)介于1.5kg至1.6kg之間

10.若（2、—I）。=旬+（X+1）+?（%+1）2+，，，+%（％+I）''則（）

A.4=-39B.%+2+。3---+2—1

C.a=-7x66D.幺+烏+…+2=3T

522229

27r

11.若函數(shù)/(x)=sinx+acosx圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為x=q-,則()

A.a=—B.

3

D.“X)在1-$彳］上單調(diào)遞增

C.〃x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

三、填空題

22

12.橢圓C:2+套=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為《，耳，橢圓C上有一點(diǎn)尸，則用巴的周長(zhǎng)為.

13.已知向量值=（一1,2）,b=（3,2）,若（B-菊工&,則cos〈1,B〉=.

14.已知函數(shù)〃x）=91nx+?+2x+7,則函數(shù)〃x）的最小值為；若過(guò)原點(diǎn)可向曲

X

線(xiàn)〉=/（尤）-，-+a作兩條切線(xiàn)，則a的取值范圍是________.（注:當(dāng)x->0時(shí)，lnx+!—+oo）

2xx

四、解答題

15.已知等差數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S”=3〃2+M+K

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和配

anan+\

16.現(xiàn)在很多市民都喜歡騎“共享單車(chē)”，但也有很多市民并不喜歡.為了調(diào)查人們是否喜歡

這種交通方式，某同學(xué)從交通擁堵嚴(yán)重的A城市和交通擁堵不嚴(yán)重的B城市隨機(jī)調(diào)查了100

名市民，得到了一個(gè)市民是否喜歡騎“共享單車(chē)”的樣本，具體數(shù)據(jù)如下2x2列聯(lián)表：

AB總計(jì)

喜歡401050

不喜歡203050

總計(jì)6040100

（1）根據(jù)2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值0=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜歡騎“共享單車(chē)”

與城市的擁堵情況有關(guān)聯(lián)？

（2）為進(jìn)一步了解《城市的擁堵情況，該同學(xué)從樣本中N城市的市民中按是否喜歡利用分層

隨機(jī)抽樣的方法抽取6人，并從這6人中選出2人代表發(fā)言，記代表發(fā)言中喜歡騎“共享單

車(chē)”的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

2_n(ad-be)?

附表格及參考公式:,(a+b)(c+d)(〃+c)(6+d)其中n=a+b+c+d.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.已知函數(shù)/'(x)=(x+a)e'.

⑴若/(x)在x=2處取得極值，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若/(x)<e2,恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

18.如圖，在四棱錐尸-4BCD中，底面48co為直角梯形，側(cè)面PC。為正三角形，且平

面尸CD_L平面48。，ADUBC,AD1AB,AD=AB=1,BC=2.

⑵已知。為側(cè)棱PB上一點(diǎn),PDU平面QAC.

①求胃的值；

②求直線(xiàn)DQ與平面QAC所成角的正弦值.

22

19.已知雙曲線(xiàn)「:3-==1(0>0,6>0)的左,右頂點(diǎn)分別為4，4,左焦點(diǎn)為M(-C,O)

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，4是線(xiàn)段的中點(diǎn).

⑴求雙曲線(xiàn)r的離心率.

(2)過(guò)點(diǎn)"且斜率不為o的直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)r的左，右兩支的交點(diǎn)分別為。，P.

①若直線(xiàn)/的斜率為1.|。尸|=6,求雙曲線(xiàn)「的方程；

②連接。。并延長(zhǎng)，交雙曲線(xiàn)r于點(diǎn)尺，證明：ARLA.P.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《甘肅省多校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案CBADCBCDBCDABD

題號(hào)11

答案BC

1.C

【分析】解不等式lnx＜l,化簡(jiǎn)集合A,根據(jù)交集的定義求結(jié)論.

【詳解】因?yàn)椤?{刈!1》＜1}={乂0＜工＜6},

所以/c8={x[0＜x41}.

故選：C.

2.B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則計(jì)算9i(8+5i),再由復(fù)數(shù)幾何意義確定其所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的象限.

【詳解】因?yàn)?i(8+5i)=-45+72i,

所以復(fù)數(shù)9i(8+5i)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-45,72),

所以其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.

故選：B.

3.A

【分析】根據(jù)正弦定理n三='h=——c=2及(尺為的外接圓半徑)求解即可.

sinAsinBsinC

【詳解】設(shè)A/BC外接圓的半徑為R,

則?“=加二-^=4e,即尺=26.

sm——

3

故選：A.

4.D

【分析】利用弦長(zhǎng)公式/=2產(chǎn)方即可求得結(jié)果.

|3x2+4x(-3)+l|

【詳解】圓C的圓心為(2,-3),半徑為3,圓心到直線(xiàn)/的距離4=^——/,,匕1,

所以直線(xiàn)/被圓C截得的弦長(zhǎng)為2"F=472.

故選：D

答案第1頁(yè)，共11頁(yè)

5.C

【分析】由條件，結(jié)合兩角差正切公式求tana,結(jié)合二倍角公式，平方關(guān)系將所求式子轉(zhuǎn)

化為齊次式，利用齊次式的方法求結(jié)論.

l-tana1

-:一：---，

H1+tana2

所以tancr=3.

sin2a+22sinacosa+2sir?a+2co^a2tana+2tarfa+Z

因?yàn)?/p>

3-cos2a3sin2a+2cos2a3tan2a+2

7sin2a+22x3+2x9+226

所以-----5—=----------------------二一

3-cos2a3x9+229

故選：C.

6.B

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)方程為/=2.(夕〉0),結(jié)合條件列方程求)，結(jié)

合拋物線(xiàn)性質(zhì)可求結(jié)論.

【詳解】由題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線(xiàn)的方程為/=2力(p>0).

由題意可得4(3,5),將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的方程可得25=62,

75?S

解得。=U，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為

63

焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(],0),即(11,0),

25

所以?huà)佄锞€(xiàn)焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為.

12

故選：B.

7.C

【分析】根據(jù)給定條件可得函數(shù)的單調(diào)性，再利用分段函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性列

式求解.

答案第2頁(yè)，共11頁(yè)

【詳解】依題意，函數(shù)/（X）滿(mǎn)足%,%eR且X產(chǎn)乙，（占一馬）［〃不）一〃工2）］>0,則/（X）

是R上的增函數(shù)，

Q>0

因此<Q>1,解得1<〃42,

2a-2<a

所以。的取值范圍為（1,2］.

故選：C

8.D

【分析】取正三棱錐尸-45C的底面中心為設(shè)外接球的球心為。，先由三棱錐的體積

求出正三棱錐尸-N8C的高為正，再由勾股定理求出球的半徑，最后求出表面積即可.

【詳解】設(shè)正三棱錐尸-/3C的底面中心為外接球的球心為。，顯然球心。在直線(xiàn)尸河

上.

設(shè)正三棱錐P-4BC的高為〃，外接球的半徑為R,

由/8=百，可得正三角形/8C的面積為@x（君產(chǎn)二述

44

所以卜乎〃邛,解得人"

2

球心O到底面48c的距離為OM=|〃一a，/W=§4D=l,

由及2=OM?+NAf2,得R2=(6-Rf,R=,

QJT

所以外接球的表面積為砂=萬(wàn)

故選：D.

9.BCD

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖有所有頻率之和為1即可求得〃?，根據(jù)質(zhì)量不低于1.6kg的頻

率之和即可判斷B,

答案第3頁(yè)，共11頁(yè)

求出哈密瓜的質(zhì)量介于1.4kg至1.6kg之間的頻率即可判斷C,計(jì)算中位數(shù)即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A：0.1(0.5+2m+2+2.5+3)=l,解得加=1,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：估計(jì)該哈密瓜的質(zhì)量不低于1.6kg的比例為(2+1)x0.1x100%=30%,B正確；

對(duì)于C:因?yàn)?3+2.5)X0.1=0.55>0.5,所以估計(jì)有一半以上的該哈密瓜的質(zhì)量介于1.4kg至

1.6kg之間，C正確；

對(duì)于D:設(shè)該哈密瓜的質(zhì)量的中位數(shù)為x,則有

(x-L5)x2.5=0.5-(0.5+l+3)x0.1=0.05nx=L52,

所以估計(jì)該哈密瓜的質(zhì)量的中位數(shù)介于1.5kg至1.6kg之間，D正確.

故選：BCD.

10.ABD

【分析】由二項(xiàng)式令x=-1可求4,取x=0可求所有系數(shù)和，由此判斷AB；取x+l=/,

結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求。5，判斷C,取x=g,結(jié)合%的值判斷D.

【詳解】令》=-1,得％=(-3)9=-39,

令1=0,得%+〃]+%+%+=—1，

月f以外+&+，，，%=3。—1,

所以A正確；B正確；

29

令x+1=％,貝!J%=%-1,所以(2/-3)9=%+axt+a2t+???+a9t,

因?yàn)槎?xiàng)式(2-3)9的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為⑵(一3)"/=01,2,…,9,

所以生=《25(-3)4=7x66,故C不正確；

令T，得。。+爭(zhēng)爭(zhēng)…+號(hào)=-2"

所以g+冬1----卜魯=3'-29,故D正確.

22226

故選：ABD.

11.BC

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的性質(zhì)有條件列方程可求。，由此判斷AB,再根據(jù)正弦型

函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸的求法及單調(diào)區(qū)間的求法判斷CD.

答案第4頁(yè)，共11頁(yè)

【詳解】函數(shù)/'(%)=sinx+“cosx=

設(shè)一/?二cosJ,/:=sing,

vtz+1yju+1

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=sinx+acosx圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為1=與-,

由J/+1=f(~~)，即sin與+acos與=y/a2+l,

化簡(jiǎn)可得(品+1)2=0,

所以。=-理，所以A不正確，B正確；

令x-'=巴+左兀(左eZ),=—+kn^keZ),

623

TT

當(dāng)左=-1時(shí)，得％=-§，所以C正確;

令一工+2E<%--<—+2k7i{kGZ),

262

jr2冗

-y+2kn<x<—+2kn{kGZ),

jr27r

當(dāng)后=0時(shí)，一N<x<三，所以D不正確.

33

故選：BC.

12.16

【分析】由橢圓方程可得參數(shù)6的值，進(jìn)而求出。的值，根據(jù)橢圓的定義，可得答案.

【詳解】由題意可得。=5,b=4,所以故片工的周長(zhǎng)為2a+2c=16.

故答案為：16.

13.^/1V5

55

【分析】由向量垂直的性質(zhì)列方程求彳，利用向量的模的坐標(biāo)表示求同,W，再由向量夾角

公式求結(jié)論.

【詳解】因?yàn)?

所以@-砂心=小不一回2=2/1-3-5=0,得4=4.

答案第5頁(yè)，共11頁(yè)

因?yàn)橥?右，W=5,d-b=5

所以c°時(shí)冉=M=耳5

故答案為:

5

14.18-91n2(-oo,-7)

【分析】(1)求導(dǎo)數(shù)/'(%),根據(jù)單調(diào)性，即可求出/(x)的最小值；(2)設(shè)切點(diǎn)為

9999

(x0,91nx0+--+2x0+。+7)得切線(xiàn)方程》一(9In/+--+2/+。+7)=(---—^-+2)(x-x0),

2/2x0X02X0

Q

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程91nx+'+。-2=0有兩個(gè)不同的根即可.

x

【詳角星】因?yàn)閞(x)=--4+2=212+y-5=(21)'+5),

XXXX

所以〃X)在(0,；)上單調(diào)遞減，在g,+8)上單調(diào)遞增，所以/(X)的最小值為

/(1)=18-91n2.

1Q99

因?yàn)椤?/(x)---+a=9\nx+——+2%+。+7,所以＞/=------r+2.

2x2xx2x

9

設(shè)切點(diǎn)為(/，91nx°-+2/+a+7),

999

則切線(xiàn)方程為＞-(9山工0—+2/+〃+7)=(---—^+2)(%-%0),將原點(diǎn)坐標(biāo)代入,

2x0xQ2x0

9Q

化簡(jiǎn)得91n/+—+。-2=0,則關(guān)于％的方程91nx+'+。-2=0有兩個(gè)不同的根.

X。X

令g(x)=91nx+‘9+a-2,則g，(x)=Q'—W9=9"(x-1l),所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

XXXX

在(1,+8)上單調(diào)遞增.因?yàn)閄f0,g(X)f+°0,Xf+8,g(X)f+8,

所以g⑴=〃+7<0,故。的取值范圍是(-8,-7).

故答案為：18-91n2,(-℃,-7)

15.(1)%=6〃-3

⑵小心

【分析】(1)利用公式q=岳，a?=S?-S?_1(〃>2)求出數(shù)列的通項(xiàng)，結(jié)合｛%｝為等差數(shù)列

列方程求無(wú)，由此可得結(jié)論;

答案第6頁(yè)，共11頁(yè)

71

⑵）由（1）2=（6〃.3）（6"+3）利用裂項(xiàng)相消法求和即可?

【詳解】(1)當(dāng)〃=1時(shí)，ax=Sx=3+2k,

當(dāng)〃22日寸，氏=S〃—S〃_]—3〃2+ku+左一13(〃一I)?+k(n—1)+左]-6〃一3+左，

因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且。3-。2=6,所以數(shù)列｛4｝的公差為6

所以。2—6=%,即6x2—3+左一6=3+2左，

所以左=0,故4=3,

所以+6（〃-1）=6〃-3.

（6〃-3；6〃+3）=2（￡-上

（2）因?yàn)?=-------

4*

所以雹=2。一；)+(；_；)+???+（」一

2〃+1）

1o|_3JJ2?-1

16.(1)認(rèn)為市民喜歡騎“共享單車(chē)”與城市的擁堵情況有關(guān)聯(lián)

4

(2)分布列見(jiàn)解析，-

【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的相關(guān)計(jì)算方法，可得答案；

(2)根據(jù)超幾何分布列以及期望的計(jì)算方法，可得答案.

【詳解】(1)零假設(shè)為“。：市民是否喜歡騎“共享單車(chē)”與城市的擁堵情況無(wú)關(guān)聯(lián).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得2=l0°x(4°x30-2()xl())2=理-ms10.828=x0001.

50x50x60x403000

根據(jù)小概率值&=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷〃。不成立，

即認(rèn)為市民是否喜歡騎“共享單車(chē)”與城市的擁堵情況有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于

0.001.

(2)根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的知識(shí)可知，隨機(jī)抽取的6人中喜歡騎“共享單車(chē)”的有4人，不喜

歡騎“共享單車(chē)”的有2人,

所以隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,

尸（X=0）=*=高尸（X=l）=U=*尸他=2卜

答案第7頁(yè)，共11頁(yè)

所以X的分布列為

X012

182

P

15155

1o24

所以￡(、)=0*正+H運(yùn)+2x1=§

17.(1)-3.

⑵(一＜?,1).

【分析】(1)條件可轉(zhuǎn)化為2為/'(x)的變號(hào)零點(diǎn)，列關(guān)系式求“;

(2)條件可轉(zhuǎn)化為a<e，_x恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g(x)=e'x的最小值可得結(jié)論.

【詳解】(1)因?yàn)?(力=(》+。聲在x=2處取得極值，所以2為/'⑺的變號(hào)零點(diǎn)，

函數(shù)/(x)=(x+a)e'.的定義域?yàn)镽,導(dǎo)函數(shù)廣(x)=e*+(x+a)e*=(x+a+l)e',

所以"2)=(a+3)e2=0,得q=-3.

/'(x)=(x-2)e1所以在(-叫2)上單調(diào)遞減，在(2,內(nèi))上單調(diào)遞增,

所以“X)在x=2處取得極小值，符合題意，故實(shí)數(shù)。的值為-3.

(2)因?yàn)閑，>0,所以/(x)<e2*可轉(zhuǎn)化為x+a<e",即a<e*-x恒成立.

令g(x)=e'-x,貝!Jg'(x)=3一1,

令g'(無(wú))=0，可得x=0,

當(dāng)x<0時(shí)，g，(x)<0,函數(shù)g(x)在(e,0)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>0時(shí)，g，(x)>0,函數(shù)g(x)在(0,m)上單調(diào)遞增,

所以g(x)向,=g(°)=l，

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-8,1).

18.(1)證明見(jiàn)解析

PQ}_②但

⑵①=

PB-3155

【分析】(1)由直角梯形的幾何性質(zhì)以及勾股定理，可得線(xiàn)線(xiàn)垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)以

及線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，可得答案;

答案第8頁(yè)，共11頁(yè)

(2)①由相似三角形的性質(zhì)以及線(xiàn)面平行的性質(zhì)，可得答案；②由題意建立空間直角坐標(biāo)

系，求得直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量，利用線(xiàn)面角的向量公式，可得答案.

【詳解】(1)證明：在梯形4BCD中，因?yàn)?0=48=1,ADHBC,AD1AB,BC=2,

所以BD=CD=6,貝UACP+c。？=5C2,所以

因?yàn)槠矫鍼CD1平面ABCD且平面PCDPl平面ABCD=CD,所以AD工平面PCD,

因?yàn)槭珻u平面PC。，所以3D，尸C.

(2)①設(shè)NC與8。的交點(diǎn)為M,連接九@，

則在直角梯形易知

因?yàn)锳D=1,BC=2,所以=—.

MB2

因?yàn)槭！ㄆ矫?/C,且PDu平面尸5。，平面尸8。口平面/。。=加,

所以尸￡>〃QM,則尸D-ABQM,即些=%=工，故絲=1.

BPBD3PB3

②如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB，皮的方向分別為x,y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

貝U/(亨，一辛,0)，5(V2,0,0),C(0,V2,0),￡>(0,0,0),尸(0,等,日).

設(shè)平面QAC的法向量為萬(wàn)=Q,y,z),

逑

為

因%

-八、不，656.屈、

(-V22,0),AQ=(一--，^―,—)-

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變

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所

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正5行展令日,得…

一

。

心-X

-6------V+——2=0,

63

設(shè)直線(xiàn)D。與平面Q4c所成的角為6,

—.y,——?J2V2V6門(mén)?sin.=|c0S〈℃M〉|_=3A/465

因?yàn)椤！?(學(xué)芋拳，所以|?4亞*伊155,

答案第9頁(yè)，共11頁(yè)

所以直線(xiàn)。。與平面Q/C所成角的正弦值為彳.

19.（1）2

2

⑵①一一0=1;②證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由題意可得參數(shù)的等量關(guān)系，利用離心率的公式，可得答案；

（2）由題意作圖，聯(lián)立方程寫(xiě)出韋達(dá)定理，①由直線(xiàn)斜率與弦長(zhǎng)公式，可得答案，②利用

垂直向量的坐標(biāo)表達(dá)，代入韋達(dá)定理，可得答案.

【詳解】（1）因?yàn)?