導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（九大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）

?題型02用導數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性

?題型03含參分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

?題型04由函數(shù)的在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)

?題型05函數(shù)與導數(shù)圖像之間的關系

?題型06利用導數(shù)比較大小（含構造函數(shù)）

?題型07利用導數(shù)解不等式

?題型08抽象函數(shù)與導數(shù)

?題型09用導數(shù)解決實際問題

?題型01利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）

1.（2024高三?全國?專題練習）求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（1）/（x）=x2-Inx；

（2）;'（尤）=三；

x-2

⑶/（x）=-x3+3x2.

2.（2024高三?全國?專題練習）函數(shù)/（x）=V-Inx單調(diào)遞減區(qū)間是（）

3.(2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=ln(x-2)+ln(4-x),則〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(2,3)B.(3,4)C.(-%3)D.(3,。)

?題型02用導數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性

4.(23-24高三下?河南鄭州?階段練習)已知函數(shù)/(x)=5+ax-(G+l)lnx在x=l處的切線方程為

y=bx+^(a,beR).

(1)求。，b的值；

(2)證明：〃x)在(l,+8)上單調(diào)遞增.

5.(23-24高二上?江蘇鹽城?期末)已知函數(shù)/(x)=e*+cosx,xN0.

⑴求曲線V=/(x)在點(0,7(0))處的切線方程；

⑵求證：“X)在［0,+oo)上單調(diào)遞增.

6.(23-24高二下?河北石家莊?階段練習)已知函數(shù)/(》)=1+2/<0亦-00$工.

(1)求/(x)的解析式；

(2)判斷〃x)在(-甩0］上的單調(diào)性.

?題型03含參分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

7.(23-24高三上,湖北?期中)已知函數(shù)/(x)=gx、+■I'/+(a-l)x+1.

(1)若曲線V=/(無)在點(2,”2))處的切線與直線6+〉+1=0平行，求出這條切線的方程；

⑵討論函數(shù)“X)的單調(diào)性.

8.(23-24高二下?山東濰坊?期中)已知函數(shù)f(x)=x-alnx(a€R).

⑴當a=2時，求曲線”X)在點(1J。))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性.

9.(23-24高三上?內(nèi)蒙古赤峰?期中)已知函數(shù)/'(x)=e*ln(x+e).

(1)求曲線了=/(無)在點(0J⑼)處的切線方程；

(2)設g(x)=/(x),討論函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性.

?題型04由函數(shù)的在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)

10.（23-24高二下?黑龍江哈爾濱?階段練習）若函數(shù)/（X）=x3+6x2+cx+d的單調(diào)遞減區(qū)間為（-2,4）,則

b+c=()

A.-27B.-16C.16D.27

IL（23-24高三上.廣東汕頭?期中）設ae（O,l）,若函數(shù)〃尤）=優(yōu)+（1+”>在（0,+s）遞增,則。的取值范圍

D.

12.（2023?貴州遵義?模擬預測）若函數(shù)=在區(qū)間（1,3）上單調(diào)遞增，貝的可能取值為（）

A.2B.3C.4D.5

13.（2023高三?全國?專題練習）若函數(shù)/（%）=爾—3/+%+1恰有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)〃的取值范圍為

（）

A.［3,+8）B.（—8,3）C.（―co,0）u（0,3）D.（―鞏0）

14.（2023?廣西玉林?二模）若函數(shù)/（X）=（辦+1）3在［L2］上為增函數(shù)，則。的取值范圍是（）

A.一上+0°1

B.

c?-卜8D.[0,+功

?題型05函數(shù)與導數(shù)圖像之間的關系

15.（2024?重慶?模擬預測）已知函數(shù)/（幻=/（%>0）,。為實數(shù)，/⑴的導函數(shù)為/（x）,在同一直角坐標

16.（23-24高二下?安徽合肥?期中）已知函數(shù)了=#'（尤）的大致圖象如圖所示（其中/'（X）是函數(shù)/（X）的導

函數(shù)），則y=/（x）的圖象可能是（)

17.（2013?廣東廣州?一模）已知函數(shù)＞==/'（x）的圖像可能是（）

?題型06利用導數(shù)比較大小（含構造函數(shù)）

3

18.（23-24高二下?安徽?階段練習）已知"4tan[4=7,7c=12,則（）

O

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

19.（2024?山東泰安?模擬預測）已知定義域為R的偶函數(shù)在（-。⑼上單調(diào)遞減，則下列結論正確的是

()

20.（2024?河北滄州.模擬預測）已知/'（x）=3f2-2cosx,設°=2-。J,b=^-,。=唾，，則/⑷，f?,

1（c）的大小關系為（）

A./(c)>/(tz)>/(Z?)B./(Z))>/(a)>/(c)

C./3)>/(c)>/(“)D./(C)>/(/))>/(G)

21.(23-24高二下?四川成都?期中)已知0〈占〈％〈1，則下列選項正確的是()

XiXlX2

A.>x2eB.x{e>x2e

C.Inx2>x2InxxD.x{Inx1<x2Inx2

x—x1

22.(2024?安徽?三模)已知實數(shù)國,％生滿足;^=e2-1=則()

2-x1Jl+x3+120

A.Xj<x2<x3B.<x3<x2

C.x2<x3<x1D.x2<x{<x3

23.（2024?山西?三模）已知函數(shù)/（》）=1。8;卜2-2》+3）-歸一1|,若°=/（log23）,6=4sin=/屋

則a,b,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

?題型07利用導數(shù)解不等式

24.(23-24高二下?四川成都?期中)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x2)+e,則不等式〃2尤+1)</(尤-1)的解集

為()

A.(-oo,0)u(l,+oo)B.(-oo,-2)

C.(-oo,-2)u(0,+co)D.(-2,0)

25.(2024?湖南永州?三模)已知函數(shù)/(x)=e「er+sinx-x+2,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若

7'[log』1+/(3)>4,則實數(shù)，的取值范圍是()

A.C.(0,8)D.(8,+co)

26.(23-24高二下?天津?期中)天知定義在R上的奇函數(shù)〃x)滿足，/(-2)=0,當x>0時，#，(x)-/(x)<0,

貝的解集為()

A.(-00,-2)U(0,2)B.(一8,-2)。(2,+8)

C.(-2,0)0(0,2)D.(―2,0)U(2,+8)

27.(23-24高二下?河南?期中)已知定義在(。,+紇)上的單調(diào)遞增函數(shù)〃x)滿足，>x恒成立，其中/'(x)

是函數(shù)的導函數(shù).若2/(%-2022)<(〃?-2022)/0),則實數(shù)加的取值范圍為()

A.(0,2022)B.(2022,2024)C.(2022,+?)D.(2024,+oo)

?題型08抽象函數(shù)與導數(shù)

28.(2024?陜西西安?模擬預測)定義在R上的函數(shù)〃尤)的導函數(shù)為f(x),且有

/(-3)=-12,/(-x)+/(r)=0,且對任意xeR都有/'(無)>3,則使得-3e*-3N0成立的x的取值范

圍是.

29.(2023高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(x)及其導函數(shù)/'(X)的定義域均為R,滿足/'(%)=/'(4-x),

/■(2)=0,/(1)=-1,當x>2時，(x-2)r(x)+2/(x)>0,則不等式(x-2『N1的解集為.

?題型09用導數(shù)解決實際問題

30.（23-24高三下?上海松江?階段練習）采礦、采石或取土時，常用炸藥包進行爆破，部分爆破呈圓錐漏斗

形狀（如圖），已知圓錐的母線長是炸藥包的爆破半徑R,若要使爆破體積最大，則炸藥包埋的深度為

31.（23-24高三上?上海嘉定,期中）據(jù)環(huán)保部門測定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正比，與到污

染源距離的平方成反比，比例常數(shù)為左化>0）.現(xiàn)已知相距18km的A,8兩家化工廠（污染源）的污染強度

分別為。，b,它們連線段上任意一點C處的污染指數(shù)V等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和.設

NC=x（km）（O<x<18）.若0=1,且x=6時，V取得最小值，則6的值為.

32.（2024?上海徐匯?二模）如圖，兩條足夠長且互相垂直的軌道34相交于點。，一根長度為8的直桿的

兩端點42分別在4,4上滑動（43兩點不與。點重合，軌道與直桿的寬度等因素均可忽略不計），直桿上

的點尸滿足OP，AB,則AOAP面積的取值范圍是.

02模擬精練

一、單選題

1.（2024遼寧沈陽三模）已知函數(shù)〃力=以+：/一"+1,則"0<2"是"〃目在（0,+e）上單調(diào)遞增"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?湖北武漢?模擬預測）函數(shù)=+（）

A.是偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,+司上單調(diào)遞增B,是偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞源

C.是奇函數(shù)，且在區(qū)間（o,+e）上單調(diào)遞增D.既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

3.（2024?天津紅橋?二模）函數(shù)/（無）=（--2x）e'的圖象大致是（）

4.（2024?山東濰坊?三模）已知函數(shù)”X）的導函數(shù)為了'（X）,且/⑴=e,當x>0時，/（x）<J+e1則不

等式/3一血>1的解集為（）

e

A.（0,1）B.（0,+e）C.（l,+8）D.（O,l）u（l,+（x））

5.（2024?江西宜春?三模）已知。=在，方=墨，c=（，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

6.（2024?山東濟南?一模）若不等式lnx43+64e%a,6eR）對任意的xe1,|恒成立，則。的最小值為（）

35-

2

A._3e2B.--e

333

C.-In-D.3e-31n-

222

7.（2024?重慶?二模）設函數(shù)/（x）=ln（x—2）,點,/（芯））,川%2J（%）），其中2<再<12,且,+'=；，

則直線斜率的取值范圍是（）

f（x）

8.(2023,四川達州■一模)已知/(x)=aln(x-l)-J?+4x?,g(x)=xex-lux-x-,若不等式—>0的解

集中只含有2個正整數(shù)，則。的取值范圍為（）

二、多選題

9.（2024?山東?模擬預測）已知/（尤）,g（x）分別是定義域為R的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且/（x）+g（x）=e"，設函

數(shù)。（上腎

則G(x)()

A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.在R上單調(diào)遞減D.在R上單調(diào)遞增

10.（2023?全國?模擬預測）數(shù)學模型在生態(tài)學研究中具有重要作用.在研究某生物種群的數(shù)量變化時，該

種群經(jīng)過一段時間的增長后，數(shù)量趨于穩(wěn)定，增長曲線大致呈"S'形，這種類型的種群增長稱為"S"形增長,

所能維持的種群最大數(shù)量稱為環(huán)境容納量，記作K值.現(xiàn)有一生物種群符合"S"形增長，初始種群數(shù)量大于

。，現(xiàn)用x表示時間,/口）表示種群數(shù)量,已知當種群數(shù)量為S時,種群數(shù)量的增長速率最大.則下列函數(shù)

模型可用來大致刻畫該種群數(shù)量變化情況的有（)

K--

Kex

A."E訓B./(x)=<

K0y

4-Kx

(xNO)

12x+e

11.（2023?海南海口?模擬預測）已知函數(shù)/（x）的定義域為R,其導函數(shù)為f（x）,且2/（x）+r（x）=x,

/(0)=-1,貝!J()

A./(-1)>-2B./⑴>-1

C.“X)在(-刑0)上是減函數(shù)D./（X）在（0,+8）上是增函數(shù)

三、填空題

1JT

12.（2024?河北邢臺?二模）若。=丁6=tan§c=lnr則"‘6,,的大小關系是——（請用"〈"連接）.

13.（2024,四川?模擬預測）已知函數(shù)/（x）=Y+（無-2）e、-2x+5在區(qū)間（3加-1,加+2）上不單調(diào)，則機的取

值范圍是.

14.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?模擬預測）已知定義在R上的函數(shù)“X）滿足/'（無）+4/比）＞0,且/（0）=1,則下列

說法正確的是.

①/（X）是奇函數(shù)②Hxe（0,+oo）J（x）＞0

③/⑴＞4④以＞0時，

ee

四、解答題

y—1

15.（2024?黑龍江哈爾濱?三模）已知函數(shù)/（可=12-不

（1）求“X）在處的切線；

（2）比較In需2023與-焉1的大小并說明理由?

16.（2024?山東?模擬預測）已知函數(shù)/'（x）=MlTnAx）.

⑴若曲線/（x）在x=e處的切線與直線y=x垂直，求后的值；

（2）討論〃x）的單調(diào)性.

17.（2024?全國?模擬預測）己知函數(shù)=1M.

（1）討論函數(shù)/（x）的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)“X）的最小值為：，不等式小）“1）屋，-62+機在卜,2］上恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

18.（2024?海南?模擬預測）已知函數(shù)/（x）=ax（lnx-l）,aeR.

（1）當。=1時，求曲線了=/（無）在點（e,/（e））處的切線方程；

⑵若函數(shù)g（x）=/（尤）-2尤+3（/'⑶為/⑴的導函數(shù)），討論g（x）的單調(diào)性.

19.（2024?山東泰安?模擬預測）在數(shù)學中，由加X“個數(shù)為（:1,2,…，機;/=1,2,…排列成的機行〃列的數(shù)

Qu%2a\n

表?“：稱為機x"矩陣，其中與稱為矩陣/的第z?行第7列的元素.矩陣乘法是指對于兩個矩陣N

a,m(2%”

和8,如果4的列數(shù)等于8的行數(shù)，則可以把/和8相乘，具體來說：若/=

,則C==

Cy=a/+%%+…+ambnjj=1,2，…〃,j=1,2,■■■/I,已知,函數(shù)/(x)=q+C2.

⑴討論〃x)的單調(diào)性;

(2)若再,々(再<々)是〃x)的兩個極值點,證明：Vx0e(xj,x2),f(x0)+f(x2)+6xl+xllnl6<0.

導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（九大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）

?題型02用導數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性

?題型03含參分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

?題型04由函數(shù)的在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)

?題型05函數(shù)與導數(shù)圖像之間的關系

?題型06利用導數(shù)比較大小（含構造函數(shù)）

?題型07利用導數(shù)解不等式

?題型08抽象函數(shù)與導數(shù)

?題型09用導數(shù)解決實際問題

?題型01利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）

1.（2024高三?全國?專題練習）求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（1）/（x）=x2-Inx；

（2）;'（尤）=三；

x-2

⑶/（x）=-x3+3x2.

【答案】（I）單調(diào)遞增區(qū)間為三,+8,單調(diào)遞減區(qū)間為o，T

（2）單調(diào)遞增區(qū)間為（3,內(nèi)），單調(diào)遞減區(qū)間為（一*2）和（2,3）.

⑶單調(diào)遞增區(qū)間為（0,2）,單調(diào)遞減區(qū)間為（-雙0）和（2,+8）.

【分析】根據(jù)導數(shù)公式以及導數(shù)運算法則進行求導，令導數(shù)大于零，求得函數(shù)的增區(qū)間，令導數(shù)小于零,

求得函數(shù)的減區(qū)間，逐一計算即可.

【解析】（1）函數(shù)/（X）的定義域為（0,+8）,廣。）=2%-工="二

XX

令/'（無）>0,得x>走，令/'（x）<o,得0<x<也,

22

.??/（X）在上單調(diào)遞增，在0,--上單調(diào)遞減，

（五、（亞'

.??函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為3,+8,單調(diào)遞減區(qū)間為|0,三

vJV

（2）函數(shù)"X）的定義域為（-8,2）。（2,+8）,

ex(x-3)

(x-2『’

令/'(x)>0,得x>3；令/''(尤)<0,得x<3或2Vx<3.

.?.函數(shù)/（》）單調(diào)遞增區(qū)間為（3,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,2）和（2,3）.

（3）函數(shù)/（x）的定義域為R,

f\x)--3x2+6x=-3x(x-2),

令f\x)>0,得0<x<2；令/'(x)<0,得x<0或x>2.

...函數(shù)〃x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,2）,單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,0）和（2,+8）.

2.（2024高三?全國?專題練習）函數(shù)/（x）=x2-lnx單調(diào)遞減區(qū)間是（）

【答案】A

【分析】求導后，令/'（x）W0,解出即可.

2

【解析】/'（x）=2尤一1;=^?Y^,-1x>0,

令T（x）40,解得gw學，

所以單調(diào)遞減區(qū)間為|0,學,

故選：A.

3.（2023?全國?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=ln（x-2）+ln（4-x）,則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.（2,3）B.（3,4）C.（一93）D.（3,收）

【答案】A

【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于零可構造不等式組求得函數(shù)定義域；利用導數(shù)可求得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間.

fx—2>0

【解析】由4r>0得：2<X<4,即〃x）的定義域為（2,4）；

?.f（x\=□_____!_=_2（3T）_

7I尸x-24-x~（x-2）（4-x）,

.?.當x?2,3）時，#（x）〉0；當xe（3,4）時，f'（x）<0；

\/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2,3）.

故選：A.

?題型02用導數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性

4.（23-24高三下?河南鄭州?階段練習）已知函數(shù)/（x）=5+ax-（ax+l）lnx在尤=1處的切線方程為

>=Zzx+g（Q,6￡R）.

⑴求a,6的值；

⑵證明：/（x）在（1,+8）上單調(diào)遞增.

【答案】（l）a=2,b=0

⑵證明見解析

/⑴=6

【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得，，、5.即可得到方程組，解得即可；

/（1）=^+2

(2)令g(x)=x—-21nx,xe(l,+"),利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到當xe(1,+8)時g(x)>0,

即當無e(l,+e)時/'(x)>0,即可得證.

*Y

【解析】(1)因為/(x)=5+QX-(QX+l)lnX,

所以f\x)=x+a-a\nx-""I=x---a\nx,

xx

川)=61—1—。In1=6(1八

/?=0

依題意可得</(1)=^|，弧1/,,5,解得土,

—Fu—(〃+l)lnl=bd—[Q—2

、22

所以4=2,6=0.

r21

(2)證明：由(1)/(%)=—+2x-(2x+l)lnx,貝l」/'(x)=x——21nx,

2x

令g(x)=/(x)=x」_21nx,xe(l,+8),貝ijg，⑺=]+與二>0,

xXXX

所以g(x)在(l,+8)上單調(diào)遞增，又g⑴=0,

所以當X€(l,+8)時g(X)>0,即當X€(l,+8)時/'(X)>O,

所以/(無)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

5.(23-24高二上■江蘇鹽城■期末)已知函數(shù)/(x)=e*+cosx,xN0.

⑴求曲線V=在點(0J(0))處的切線方程；

(2)求證：/⑶在［0,+oo)上單調(diào)遞增.

［答案］(門—>+2=0

⑵證明見解析

【分析】(1)由題意求導函數(shù)，求出切線的斜率和切點坐標，即可得出切線方程;

(2)證出導函數(shù)恒大于等于0即可.

【解析】(1)因為/'(x)=e*-sinx,x^0,

所以八0)=1,〃0)=2,

所以曲線V=/(x)在點(0,7(0))處的切線方程為廣2=x,

即x-y+2=0.

(2)由(1)知,f'(x)=eA-sinx,x>0,

因為x20所以e'Nl,X-l<sinx<l,

所以f\x)=ex-sinx>1-sinx>0,

所以/(x)在［0,E)上單調(diào)遞增.

6.(23-24高二下?河北石家莊?階段練習)已知函數(shù)/(x)=e*+2/(O)x-cosx.

⑴求/(x)的解析式；

(2)判斷/(x)在(一甩0］上的單調(diào)性.

【答案】⑴〃x)=e-2x—cosx

(2)/?在(-8,0］上的單調(diào)遞減.

【分析】(1)先對/0)求導，再將x=0代入到函數(shù)可求出了'(0)=-1,進而求出〃x)的解析式；

(2)先對/(x)求導，當x40時，0<e，Vl,sinx<l,所以/'(無)V0恒成立，即可得出答案.

【解析】(1)因為/(x)=e*+2尸(0)x-cosx,所以/'(x)=e*+2/'(0)+sinx,

則40)=e°+2八0)+sin0=l+2八0),所以/'(0)=7,

所以/(x)=ex-2x-cosx.

(2)/'(x)=e*-2+sinx,

當x40時，0<e*V1,sinx<1,

所以f(x)=ex-2+sinx<0恒成立，

所以“X)在(T?,0］上的單調(diào)遞減.

?題型03含參分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

7.(23-24局三上?湖北?期中)已知函數(shù)/(x)=］/+萬X2+(a-1)x+1.

⑴若曲線了=/(無)在點(2,”2))處的切線與直線8+〉+1=0平行，求出這條切線的方程；

(2)討論函數(shù)“X)的單調(diào)性.

【答案】(1)答x+3"5=0

⑵答案見解析

【分析】(1)求導，根據(jù)導函數(shù)幾何意義和平行關系得到方程，求出“=-3,從而得到/(2)=-弓31，求出

切線方程；

(2)求定義域，求導，對導函數(shù)因式分解，分1-0=-1和三種情況，討論得到函數(shù)的

單調(diào)性.

【解析】(1)/，(x)=x2+ax+a-l,f(2)=3a+3

由已知了'(2)=-6,

3。+3=-6得a=-3

又〃2)=號

曲線/(x)在點(2,/(2))處的切線方程為y+?=-6(x-2)

化簡得：18x+3y-5=0

(2)1定義域為R,

/,(x)=(x+?-l)(x+l),令/[x)=0得x=l-a或x=-[

①當1-a<-1即。>2時，

令/C(x)>0得尤>-1或令_f(x)<0得1一a<x<l,

故/(x)在單調(diào)遞減，在(e,l-a),(-1,+嗎上單調(diào)遞增；

②當l-a=-l即a=2時，/'(x)=(x+l)220恒成立，

故/(x)在R上單調(diào)遞增；

③當即a<2時，

令*x)>0得比>1-〃或》<-1,令r(x)<0得,

/(x)在(-1,1-。)上單調(diào)遞減,在(-巴-1),+8)上單調(diào)遞增；

綜上，當a>2時，〃x)在單調(diào)遞減，在(e,l—a),(T+s)上單調(diào)遞增;

當a=2時，/(x)在R上單調(diào)遞增；

當a<2時，“X)在上單調(diào)遞減，在(-%-1),(1-。,收)上單調(diào)遞增；

8.(23-24高二下?山東濰坊?期中)已知函數(shù)/(x)=x-alnx(aeR).

(1)當a=2時，求曲線”X)在點(1J。))處的切線方程；

⑵討論函數(shù)“X)的單調(diào)性.

【答案】(i)x+y-2=o

(2)答案見解析

【分析】(1)求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，再利用點斜式求出切線方程;

(2)求出函數(shù)的導函數(shù)，分兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【解析】(1)當。=2時/(x)=x-21nx,

則/(切=1二=上工，所以廣⑴=一1,

XX

因為即切點為(1,1),

所以切線方程為尸1=即尤+y-2=0.

(2)函數(shù)〃x)=x-alnx的定義域為(0,+e),

當aWO時，/'(尤)>0恒成立,函數(shù)/(x)在(0,+司上單調(diào)遞增；

當a>0時，則當％>a時f\x)>0,當0<x<〃時f\x)<0,

所以函數(shù)/(X)在內(nèi))上單調(diào)遞增，在(0,0)上單調(diào)遞減；

綜上可得：當aWO時/(x)在(0,+司上單調(diào)遞增；

當a>0時在(a,+oo)上單調(diào)遞增，在(O,a)上單調(diào)遞減.

9.(23-24高三上?內(nèi)蒙古赤峰?期中)已知函數(shù)/(無)=e*ln(尤+e).

(1)求曲線昨/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

⑵設g3=⑺，討論函數(shù)g(無)在［0,+句上的單調(diào)性.

［答案］(l)(e+l)x_ey+e=O

(2)單調(diào)遞增

【分析】(1)利用導數(shù)的幾何意義求切線的斜率，再由點斜式得切線方程；

(2)研究函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性,先求解g'(x),因不易判斷g'(x)符號,由g'(x)=e，?〃(x)構造局部

函數(shù)〃(X),再繼續(xù)求解再x),分析得出、(x)>0,由此逐步分析出g'(x)符號，從而得出g(x)的單調(diào)性.

【解析】(1)???/(x)=e'ln(x+e),

.?./(o)=i,即切點坐標為(0』),

又；l(x)=e[ln(x+e)H------J

???切線斜率左=/'(0)='1,

e

則切線方程為y-l=(：+l]x,即：(e+l)x-ey+e=0；

(2),?1g(x)=/,(x)=e%ln(x+e)+^7^J

,g，(x)=e[ln(x+e)+￡一大，

21

令/z(x)=ln(x+e)

x+e(x+e)2'

22(x+e2-2(x+e)+2(x+e—1)2+1〉0

貝"=3----------r:

(x+e)(x+e)(x+(片ej

???〃(x)在［0,+")上單調(diào)遞增,

2e-l12e—l八

/./z(x)>h(0)=lne+=l+2~~>0'

e2e

g'(x)=e*,〃(x)>0在[0,+8)上恒成立,

g(X)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

?題型04由函數(shù)的在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)

10.(23-24高二下?黑龍江哈爾濱?階段練習)若函數(shù)/(X)=x3+bx2+cx+d的單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,4),則

b+c=()

A.-27B.-16C.16D.27

【答案】A

【分析】根據(jù)導數(shù)分析單調(diào)性，結合二次不等式的解集與系數(shù)關系求解即可.

2b…

-----=—2+4

【解析】由題意/()=3/+2入+,,且13<0的解集為(-2,4),故3,

-=-2x4

13

解得6=-3,°=-24,故6+c=-27.

故選：A

11.（23-24高三上?廣東汕頭?期中）設ae（0,1）,若函數(shù)/k）=屋+（1+。）工在（0,+e）遞增，則。的取值范圍

【答案】B

【分析】把函數(shù)/（x）在（0,+"）遞增利用導數(shù)轉(zhuǎn)化為（詈］在（O，+8）上恒成立，利用指數(shù)函數(shù)單

調(diào)性得一需fL,解對數(shù)不等式即可得解?

【解析】因為函數(shù)/3=底+。+。『在（。,+司遞增,

所以［卜)=11110+(1+0),儂1+0)20在(0,+8)上恒成立，

則(l+01n(l+a)2-a，lna,BPf—>-一巴」在(0,+司上恒成立,

\a)ln(l+a)

由函數(shù)丫單調(diào)遞增得-——,

ya)\a)ln(l+a)

又〃￡(0,1),所以〃+l￡(l,2),所以ln(a+l)〉0,

ln(a+l)2-lnQ

所以'解得與<a<\

0<。<1即忱Ti

所以。的取值范圍是

故選：B

12.（2023?貴州遵義?模擬預測）若函數(shù)〃x）=e'f在區(qū)間（1,3）上單調(diào)遞增，則。的可能取值為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】由/'（x）=e，2f（2x-a）,結合題意aW2/在口,3］上恒成立求范圍，即可判斷所能取的值.

【解析】由題設〃尤）=1"在區(qū)間0,3）上單調(diào)遞增，所以尸（外=/9（2》-〃）20恒成立，

所以（1,3）上2x-aN0恒成立，即a42x恒成立，

而y=2x在(1,3)上遞增，故aW2.

所以A符合要求.

故選:A

13.(2023高三?全國?專題練習)若函數(shù)〃"="3-3/+》+1恰有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為

()

A.[3,+oo)B.(—oo,3)C.(—8,0)。(0,3)D.(―℃,0)

【答案】C

【分析】根據(jù)導函數(shù)有兩個不等根計算即可.

【解析】由題意得函數(shù)了⑺的定義域為R,r(x)=3?x2-6x+l,

要使函數(shù)/(x)=#_3/+x+1恰有三個單調(diào)區(qū)間，

/、faw0

則/'%=0有兩個不相等的實數(shù)根，?,?人八，解得。<3且〃。0,

[A=36—12Q>0

故實數(shù)a的取值范圍為(F,0)U(0,3),

故選：C.

14.(2023?廣西玉林二模)若函數(shù)/(x)=(依+1)砂在[1,2]上為增函數(shù)，則a的取值范圍是()

“「1'「1)

L2)L3)

C.D.[0,+ao)

【答案】B

【分析】對函數(shù)求導，根據(jù)題意可得/'(尤)=(如+。+1把*20對尤?1,2卜恒成立，列出不等式組，解之即可求

解.

【解析】依題意得八x)=(ax+a+l)e-0對尤中2恒成立，

即辦+.+1之0對工€[1,2卜恒成立.

因為歹="+。+1的圖象為直線,

a+a+l>0解得

所以aW-g.

2〃+a+l20

故選：B.

?題型05函數(shù)與導數(shù)圖像之間的關系

15.(2024?重慶?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=xa(x>0),夕為實數(shù)，/⑴的導函數(shù)為/(x),在同一直角坐標

【答案】C

【分析】先通過特值代入易得A項符合，對于B,C,D項，通過圖象觀察分析可得￡〉1,結合兩函數(shù)圖象交

點的位置舍去C項.

【解析】由/(無)=X。,可得f(x)=axj

對于A,當a=-l時，在第一象限上/遞減，對應/'卜戶^二二-^圖象在第四象限且遞增，故A

項符合；

對于B,C,D,在第一象限上/(X)與/'(X)的圖象在(0,+8)上都單調(diào)遞增，故a>0且則々>1.

又由/3=/'(x)可得x=a>1,即“X)=X。與/(x)=axa-'的圖象交點橫坐標應大于1,顯然C項不符合,

B,D項均符合.

故選：C.

16.(23-24高二下?安徽合肥?期中)已知函數(shù)'=3'(x)的大致圖象如圖所示(其中/'(x)是函數(shù)〃x)的導

函數(shù))，則了=/(x)的圖象可能是()

【分析】由y=4(x)的圖象可知，當xey,-1)51，+8)時/'(幻>0,當xe(-l,l)時八x)<0,即可求解.

【解析】由y=M'(x)的圖象可知，

(x<-1[-1<x<0fO<x<lJx>1

[r(x)>0<0<05V(x)>0'

所以當xw(-co,-l)u(l,+8)時,f\x)>0,

當xe(-1,1)時，f'(x)<0,

則函數(shù)/(x)在(1,+s)上單調(diào)遞增，在(-U)上單調(diào)遞減.

結合選項可知：C正確，ABD錯誤.

故選:C

17.(2013?廣東廣州?一模)己知函數(shù)y=/(x)的圖像如圖所示，則其導函數(shù)y=/'(x)的圖像可能是()

yt

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性以及導數(shù)等知識確定正確答案.

【解析】由圖可知，當x＞0時，“X）單調(diào)遞減，r（x）＜0,由此排除BD選項.

當x＜0時，從左向右，“X）是遞增、遞減、遞增,

對應導數(shù)的符號為+，-，+,由此排除C選項，

所以A選項正確.

故選：A

?題型06利用導數(shù)比較大小（含構造函數(shù)）

3

18.(23-24高二下?安徽?階段練習)已知Q=4tan7,4,=7,7,=12,則()

O

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】C

33

【分析】利用放縮法可得。＞5,b.,作差可比較，力的大小.

【解析】令/'(x)=tanx-x(0<x<$,求導得/'(x)=-\----1>0,所以/'(x)>〃0),

2cosx

兀

所以tanx>x(0<x<,

333113

?=4tan->4--=—,b=log7=—log7<—log8=—,所以。>6,

882422222

In121n4-(ln7)2<Qnl2+ln4j-4Qn7(n49)-4(n7j

c-/)=log12-log7=0.所以。＜6.

74In71n441n71n441n71n4

所以C<6<Q.

故選：C.

19.(2024?山東泰安?模擬預測)已知定義域為R的偶函數(shù)/(x)在(--0)上單調(diào)遞減，則下列結論正確的是

()

>/哈>/一1.1>/11sinl-

99

D.ZUy>/sin1^>/

C.

>小叱10i?

【答案】C

1+x

【分析】對所要比較的式子適當變形，構造函數(shù)=sinx,(O<x<l),g(x)=x-In,(0<%<1)證

得Ovsin^v5<lng，結合已知即可進一步求解.

【解析】因為定義域為R的偶函數(shù)/(%)在(-汽。)上單調(diào)遞減，所以定義域為R的偶函數(shù)，(x)在(0,+。)上

單調(diào)遞增,、、

1+—

1H10+110

而/,GAJ-吟=小=/In=fIn

1010-11-—

10J)

1+X

令=x-sinx,(O<x<l),g(x)=x-ln,(0<x<l),

117-1-Y2/、

則//(x)=]_C0Sx>0,g'x)=]----------------=1-------=---------7<(在(0,1)上恒成立,

1+X1X1Ji1A-

所以〃(x)在(0,1)單調(diào)遞增，g(x)在(0,1)單調(diào)遞減,

5-sin\>"(O)=O,g=LlnLg6>0,

所以〃

1?1091廠

即0<sinLLlnU,

10109

而定義域為R的偶函數(shù)4%)在(0,+動上單調(diào)遞增,

11

綜上所述，

9i?1?

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵是構造出適當?shù)暮瘮?shù)，從而得出0<sinA<2<ln^，由此即可順利得

20.(2024?河北滄州?模擬預測)已知〃x)=3--2cosx,設“=2-味b。二四,，則〃。)，/伍),

1(c)的大小關系為()

A.f(c)>f(a)>f(b)B./(/?)>/(a)>/(c)

C./(^)>/(c)>/(?)D./(c)>/(&)>/(a)

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，以及構造函數(shù)利用導數(shù)求解單調(diào)性即可.

【解析】當xeR時，*/(%)Wf(-x)