圓的方程

目錄

01模擬基礎練..................................................................2

題型一：求圓多種方程的形式.....................................................2

題型二：直線系方程和圓系方程...................................................3

題型三：與圓有關的軌跡問題.....................................................4

題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件...............................7

題型五：點與圓的位置關系判斷...................................................8

題型六：數形結合思想的應用.....................................................9

題型七：與圓有關的對稱問題....................................................11

題型八：圓過定點問題..........................................................13

02重難創新練.................................................................14

03真題實戰練.................................................................24

題型一：求圓多種方程的形式

1.（2024?陜西榆林?二模）圓心在x軸的正半軸上，半徑為8,且與直線4x-3y=0相切的圓的方程為.

【答案】（x-lOf+V=64

【解析】根據題意，設圓心為坐標為（。⑼（。＞0）

因為圓的半徑為8,且與直線4x-3y=0相切，

則圓心到直線4x-3y=0的距離=8n|4a|=40，

V42+32

解得a=10或。=-10（舍），則圓的坐標為（10,0）,

所求圓的方程為卜-10）2+/=64

故答案為：（x-10）2+/=64

2.（2024?全國?模擬預測）與直線x-y-l=0相切于點（2,1）的圓的方程為.（寫出一個即可）

【答案】（x-l）2+（y-2）2=2（答案不唯一，只要滿足（工-工。）2+5+/-3）2=2（%-2）2即可，其中％為圓

心的橫坐標，且5工2）

【解析】設所求圓的圓心坐標為（尤0，%）國工2）,

則^4=T,即為=一與+3,

所以滿足條件的圓的方程為（X-X。）2+（y+/-3）2=2&-2）,

故只要滿足（x-+（y+x。-3）=2樂-2）樂片2）即可，

?。?1,可得圓的方程為（x-l）2+（y-2）2=2.

故答案為：（x-1尸+3-2）2=2（答案不唯一）

3.（2024?北京西城?二模）已知圓C經過點（-1,0）和（3,0）,且與直線了=2相切，則圓C的方程為.

【答案】+/=4

【解析】設圓C的方程為（工一4+5-6）2=/（廠＞0）,

2

(-1-(2)+(O—bj=Ya—\

則由題意可得(3-好+(0-6)2=/,解得vb=0,

\2-b\=rr=2

所以圓C的方程為(x-l)2+y=4

故答案為：(x-iy+y2=4

4.(2024?四川成都?高三成都七中?？奸_學考試)已知/(-/0),3(劣,0),。(0,3),則外接圓的方程

為()

A.(x-l)2+/=2B.(x-l)2+y2=4C.x2+(y-l)2=2D.x2+(y-l)2=4

【答案】D

【解析】設~4BC外接圓的方程為(xip+(j-bp=戶

222

(-V3-a)+(O-Z>)=ra=0

=r2,解之得b=\

(0-a)2+(3-6)I2=r2r=2

貝1JAABC外接圓的方程為x2+(y-l)2=4

故選:D

題型二：直線系方程和圓系方程

5.圓心在直線x-y-4=0上，且經過兩圓，+/+6彳-4=0和/+/+6尸28=0的交點的圓的方程為()

A.x2+y2-x+7y-32=0B.x2+y2-x+1y-16=0

C.x2+v2-4x+4j-9=0D.x2+y2-4x+4y-8=0

【答案】A

【解析】由題可先設出圓系方程：x2+j2+6x-4+2(x2+y2+6j-28)=0,

332

則圓心坐標為;i+I,-T+I

又圓心在直線…-…上，可得-17r1Tle。，解得人-7,

所以圓的方程為：x2+y2-x+7y-32=0,故A正確.

故選：A.

6.過圓/+/一2>-4=0與/+/-4》+2>=0的交點，且圓心在直線，：2x+4y-l=0上的圓的方程

是

【答案】x2+y2-3x+y-1=0

【解析】設圓的方程為一+產―4%+2y+4（%2+/—2y—4）=0（4w—1）,

則++O+_—,

即x2+y2~T—TX+~:~~-7-7-7—-r=0,所以圓心坐標為I22-n

1+251+2r

把圓心坐標（二代入2x+4y-l=0,可得2=:，

所以所求圓的方程為一+/一3%+歹_1=0.

故答案為：X2+/-3X+J/-1=0.

7.過兩圓x2+y2-x-y-2=0x2+y2+4x—4y—8=0的交點和點（3,1）的圓的方程是.

1a

［答案］尤2+/_?+>+2=0

【解析】設所求圓的方程為：（/+/-》->-2）+4卜2+必+4X-4y-8）=0

7

將（3,1）代入得：2=-j

1a

，所求圓的方程為：x2+/-yx+y+2=0

13

本題正確結果：x2+y2-—x+j+2=0

題型三：與圓有關的軌跡問題

8.（2024?湖南長沙一模）已知圓M:（X-4）2+/=16,過點N（2,0）的直線/與圓〃交于兩點，D是4B

的中點，則D點的軌跡方程為.

【答案】@一3丫+「=1

【解析】圓/:（x-4）2+y2=16,

所以圓心為M（4,0）,半徑為4,設。（尤/）,

由線段48的中點為D,可得MD_LDN,

即有MD-ND=（x—4,y）?（尤-2/）=（x—4）（x—2）+廣y=0,

即（―丫+/=1,

所以點。的軌跡是以（3,0）為圓心，1為半徑的圓；

故答案為：（X-3）2+/=I.

9.長為2a的線段的兩個端點分別在x軸、y軸上滑動，則的中點P的軌跡方程為.

【答案】f+v

【解析】由題意，可知尸為力B的中點，

得O尸為定值“，則點尸的軌跡方程為

故答案為：x2+y2=a2.

10.已知等腰三角形NBC的底邊8C對應的頂點是/（4,2）,底邊的一個端點是3（3,5）,則底邊另一個端點C

的軌跡方程是

【答案】（x-4『+5-2）2=10（去掉（3,5）,（5,-1）兩點）

【解析】設C（x/）,由題意知，|明=而-葉+（5-2）2=麗,

因V/8C是以8c為底邊的等腰三角形，于是有|CN|=|A8|=JiU,即點。的軌跡是以/為圓心，比6為半

徑的圓，

又點4RC構成三角形，即三點不可共線，則軌跡中需去掉點8（3,5）及點8關于點N對稱的點（5,-1）,

所以點C的軌跡方程為（XT）?+（y-2『=10（去掉（3,5）,（5,-1）兩點）.

故答案為：（苫-4）2+（廣2）2=10（去掉（3,5）,（5,-1）兩點）

11.由圓9外一點尸（5,12）引圓的割線交圓于48兩點，求弦的中點M的軌跡方程.

【解析】［方法一］:【通性通法】【最優解】直接法

設弦AB的中點/的坐標為M（x,y），連接OP、OM，則OMA.AB.

在AOMP中,由勾股定理有^+下+心力尸+^--了二：^,而M（x,y）在圓內,

所以弦AB的中點M的軌跡方程為/+/一5尤-12y=0（-3<x<3）.

［方法2］：定義法

因為“是的中點，所以0AH，所以點"的軌跡是以OP為直徑的圓，圓心為唳,6）,半徑為竽=y

所以該圓的方程為:［x-g］+”_6）2=［￡］，化簡得一+y-5尤-12夕=0（-3<》<3）

［方法3］：交軌法

易知過P點的割線的斜率必然存在，設過尸點的割線的斜率為人,

則過戶點的割線方程為:V-12=A（X-5）.

???3/_1/8且過原點,二。河的方程為歹=x

k

這兩條直線的交點就是又點的軌跡.兩方程相乘消去左，化簡，得:/+3?一5芯-12了=0,

其中一3〈無<3.

［方法4］：參數法

設過P點的割線方程為:了-12=左。-5）,它與圓/+/=9的兩個交點為A、B,

AB的中點為M,設Af（x,y）,為再,必）,鞏工2，%）.

由［I：：：］；）”？可得，（1+左2卜2+2人（12-5左）x+（12-5左/一9=0,所以，%+%=-當左的，即有

左（12-5左）12-5k酒土，

x=一----1，y=-->,消去左，

1+/\+k-

可求得出點的軌跡方程為：X2+/-5X-12J=0,-3<x<3.

［方法5］：點差法

設（再，必則%+%=2尤,必+,2=2?.

???x；+了；=9芯+其=9.兩式相減，整理，得（馬-西）（々+再）-（%-%）（必+%）=0.

所以上21=一±±&=一'即為ng的斜率，

工2-再必+%V

而AB的斜率又可表示為字上,，=2=--，化簡并整理，得X2+/-5X-12J；=0.

5-x5-尤y

其中-3<x<3.

12.已知RM45c的斜邊為,且4-1,0）,8（3,0）.求：

（1）直角頂點C的軌跡方程；

（2）直角邊3C的中點M的軌跡方程.

【解析】（1）設C（尤/）,因為43,C三點不共線，所以了*0,

因為/C/3C,所以3C%BC=T，

又因為心c="7，&)c=上7，所以工7."7:一］，

x+1x-3x+1x-3

整理得X2+/_2X_3=0,BP(x-l)2+y=4,

所以直角頂點C的軌跡方程為(x-I)2+y2=4(y*0).

(2)設M(x,y),Cao，yo),

因為B(3,0),河是線段BC的中點，

由中點坐標公式得》=經/=之乎，所以x°=2x-3,%=2y,

由(1)知，點C的軌跡方程為(x-l)2+『=4(y*0),

將％=2x-3,%=2y代入得(2x-4y+(2y>=4,即(x-2)2+y2=1

所以動點M的軌跡方程為(》-2)2+必=1(尸0).

題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件

13.(2024?高三?福建龍巖?期中)“方程/+/-以+6了+。=0表示的圖形是圓”是“萬一14440”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】由方程/+/-4x+6y+a=0表示的圖形是圓，

可得16+36-4。>0,

即a<13；

由.2-144V0，

得-12VaV12,

顯然[-12,12](-8,13),

所以“方程f+/-4x+6y+a=0表示的圖形是圓”是“a2-144<0"的必要不充分條件.

故選：B.

、

14.(2024?廣東廣州?三模)設甲：實數a<3；乙：方程x?+/r+3y+a=0是圓，則甲是乙的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

5

【解析】若方程—+>2_%+3>+。=o表示圓，則(_])9+3?—4〃=10—4?！?,解得：。<5；

'：a<3ca<—,a<—=>a<3,,「?甲是乙的必要不充分條件.

22

故選：B.

15.已知“冽V是“/+/+瓜_晝+次=o”表示圓的必要不充分條件，則實數方的取值范圍是（）

A.（一1,+8）B.[1,+8）C.（-00,1）D.（一",一1）

【答案】B

【解析】若表示圓，貝！J（百>+（-詬）2—4加>0,

解得m<l.

“Wf”是“/+/+瓜-而了+機=0”表示圓的必要不充分條件，

所以實數/的取值范圍是[1,+?）.

故選：B

題型五：點與圓的位置關系判斷

16.若點/（0』）在圓。：/+/一2工+4吵+2加2-1=0外，則實數旭的取值范圍為（）

B.(-2,0)

D.(-oo,-2)u(0,+co)

【答案】D

【解析】圓?；蓸藴史匠虨椋▁-17+Q+2加f=2加？+2,

點/（0,1）在圓。外，貝1]有（0—1）2+（1+2加）2>2加2+2,

即力/+4〃?>0,解得加<—2或加>0.

故選：D.

17.（2024?甘肅定西?統考模擬預測）若點（2,1）在圓尤2+/-x+y+“=0的外部，則。的取值范圍是（）

A.5+s]B.C.（-4,1]D.（-%-4"；收）

【答案】c

【解析】依題意，方程%+》+。=0可以表示圓，貝I]（—1）2+12—4。>0,得

由點（2,1）在圓一+/一%+歹+。=0的外部可知：22+12-2+1+?>0,得a〉—4.

M/1

故一4＜。＜一.

2

故選：c

18.若點(。+1,”1)在圓/+/一2町-4=0的內部，則。的取值范圍是().

A.Cl>\B.0<6Z<1C.-1<CL<—D.<3<1

5

【答案】D

【解析】由題可知，半徑所以aeR，把點(。+1,“-1)代入方程，

貝！|(a+l『+(a-l)2—2a(a—l)-4<0,解得a<1,所以故°的取值范圍是a<1.

故選：D

19.(多選題)(2024?廣西?模擬預測)若點尸(1,0)在圓C:x2+y2+2x-4y+〃?=0的外部，則機的取值可

能為()

A.-3B.1C.4D.7

【答案】BC

【解析】由題設C:(x+l)2+(y-2)2=5-m,P(LO)在圓外，

?(l+l)2+(O-2)2>5-m\'

則nr)\)，解得-3<機<5.

5-m>0

故選：BC

題型六：數形結合思想的應用

20.若直線/：米-了+2-2左=0與曲線C：yVl有兩個不同的交點,則實數上的取值范圍是.

【答案】［4

【解析】由題意可得直線/：米-歹+2-2左=0即了=左(》-2)+2,所以直線/恒過定點/(2,2),曲線C：

了=7?二7圖象為以(0,0)為圓心，2為半徑的上半圓(包含x軸部分)，

它們的圖象如圖所示:

當直線/過點(-2,0)時，它們有兩個交點，此時,=2_(_2)=5；

當直線/與上半部分圓相切時，有一個交點，此時左=0,

由圖象可知，若直線/與曲線C有兩個不同的交點，則0＜左4:，

即實數上的取值范圍是.

故答案為：

21.直線y=x+6與曲線＞有兩個不同的交點，則實數b的取值范圍是()

A.(1-1+2A/5")B.(1—2V2,—1J

C.[-1,1+272)D.[3,1+272)

【答案】B

【解析】由y=l-可得＞一1=一早或，整理可得/+。一以=4,其中＞41,

所以，曲線了=1-，4-/表不圓奈+(了-1)2=4的下半圓,如下圖所不:

當直線y=x+6與曲線y=l相切時，由圖可知，b＜Q,

且有■—=2,解得b=l-2^2，

當直線V=x+b過點（0,-1）時，則有6=-1,

由圖可知，當1-2后＜bW-1時，直線V=x+6與曲線＞=1一”有兩個公共點,

故選：B.

22.（2024?吉林白山?統考二模）若過點R2,4）且斜率為左的直線/與曲線＞=而？有且只有一個交點，

則實數左的值不可能是（）

34

A.-B.一D.2

45

【答案】B

【解析】如圖,

曲線y="^即一+必=4。20）表示以。為圓心，2為半徑的上半圓,

I—2k+413

因為直線1：y=k（x-2）+4即日一了一2左+4=0與半圓相切，所以力^=2,解得左=：.

,4-0,

因為P（2,4）,A（-2,0）,所以"口=5Td=1,

_____a

又直線/與曲線丁=”37有且只有一個交點，所以左＞左口或左=:，

4

所以實數上的取值范圍是（1,+功口］;1

故選:B

題型七：與圓有關的對稱問題

23.若曲線（工-1）2+3-2）2=4上相異兩點尸、。關于直線區-＞-2=0對稱，則左的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】若曲線（》-1）2+5-2）2=4上相異兩點2、。關于直線丘-了-2=0對稱，

則圓心（1,2）在直線區-＞-2=0上，故代入解得k=4,

故選：D.

24.已知圓M：尤2+(y+l)2=l與圓N：卜-2)2+(廠3)2=1關于直線/對稱，貝1"的方程為()

A.x-2v-1=0B.x—2y+1=0

C.x+2y—3=0D.2x+y-3=0

【答案】C

【解析】由題意得M(0,-l),N(2,3),則MN的中點的坐標為(U),

3+1

直線MM的斜率G2^0=2.

-11

由圓〃與圓N關于/對稱，得/的斜率左=「

2,

因為MV的中點在/上，所以＞-1=-；(尤-1),即尤+2y-3=0.

故選：C.

25.已知圓，+_/+2X-4、+1=0關于直線x—y+f=0對稱，則實數/=()

A.-3B.1C.-1D.3

【答案】D

【解析】由/+/+21>+1=0得@+1)2+3-2)2=4,

則圓心坐標為(-1,2),又因為圓尤2+/+2X-4了=0關于直線x-y+f=0對稱,

故由圓的對稱性可知：圓心(-1,2)在直線x-y+f=0上，

貝Ijf=y_x=2-(-l)=3.

故選：D.

26.圓“：(尤-2)2+(y-l)2=1與圓N關于直線x-y=0對稱，則圓N的方程為()

A.(x+l)2+(y+2)2=1B.(x-2>+(y+l)2=1

C.(x+2)2+&+1)~=1D.(x-1)~+(y-2)2=1

【答案】D

【解析】圓W:(x-2)2+(尸1)2=1的圓心為(2,1),半徑為1,

(2,1)關于直線x7=0的對稱點是(1,2),

所以圓N的圓心是(1,2),半徑是1，

所以圓N的方程為(x-l)2+(y-2)2=1.

故選：D

題型八：圓過定點問題

27.對任意實數加，圓/+/-3%》-6%了+9"7-2=0恒過定點，則定點坐標為

【答案】（1月或m

【解析】x2+y2-3mx-6my+9m-2=0,x2+y2-2-(3x+6y-9)m=0,

:解得或

令x=l,y=l,x=g,y=^~

3x+6y-9=055

所以定點的坐標是。,1）或

故答案為：。,1）或m

28.點尸（尤））是直線2x+y-5=0上任意一點，。是坐標原點，則以OP為直徑的圓經過定點（)

A.（0,0）和（1,1）B.（0,0）和（2,2）C.（0,0）和（1,2）D.（0,0）和（2,1）

【答案】D

【解析】設點尸&5-24則線段0尸的中點為"弓,空

「+（5-2￡）2

圓M的半徑為=

4

所以，以。尸為直徑為圓的方程為口--子;=5"+25,

即廠+夕2—fx+（2f—5）y=0,即（x?+y~—5y）+2y—x）=0,

[2y-x=0[x=0fx-2

由；2<n，解得八或?，

yx+y-5j=0[y=0[v=1

因此，以OP為直徑的圓經過定點坐標為（0,0）、（2,1）.

故選：D.

29.已知二次函數/（x）=x2+2x+6（xe&的圖像與坐標軸有三個不同的交點，經過這三個交點的圓記為C,

則圓C經過定點的坐標為（其坐標與6無關）

【答案】（0,1）和（-2,1）

【解析】二次函數/（x）=x2+2x+/xeR）的圖像與坐標軸有三個不同的交點，記為陽九0）,陽%0）,8（0向,

2

易知bwO,滿足加+〃=-2,m^n,m+2m+b^0,*+2〃+/,=o,設圓C方程為/+F+/）x+Ey+尸=0,

則

m2+Dm+F=0①

<n2+Dn+F=0②,

b2+Eb+F=0?

①一②得加之_〃2+。(加—〃)=0,Z)=—(m+H)=2,n2+2n+F=0從而F=b,

代入③得￡=—6—1,

??.圓C方程為爐+歹2+2]一(6+1/+6=0,

整理得—+j/2+2x-y+b(-y+l)=0,

[一)+1=0['=1一['=]

二圓C過定點(0,1)和(-2,1).

1.(2024?廣東珠海?一模)已知點』(-1,0),即0,3),點尸是圓卜一丫+y=1上任意一點，則AP4B面積

的最小值為()

A.6

【答案】D

【解析】兩點/(-1,0),8(0,3),則|/牙=，(一1)2+32=麗,直線N5方程為y=3x+3,

AO

圓(X-3)2+丁=1的圓心C(3,0),半徑r=1,

6>/10

點C到直線*8:3尤-了+3=0的距離d=

5

6710

因此點P到直線AB距離的最小值為d-r=

5

所以^PAB面積的最小值是:x而x(粵-1)=6-萼.

故選：D

2.(2024?山東濟南?三模)圓(x-l)2+(y+l)2=4上的點到直線3x+4y-14=0的距離的最大值為()

A.3B.4C.5D.9

【答案】C

【解析】圓(x-l>+(y+l)2=4的圓心為C(1,T),半徑，=2,

|3-4-14|_

貝!!圓心C(l,-1)至IJ直線3x+4了-14=0的距離為〃=2

A/32+42

所以圓(x-l)2+(y+l)2=4上的點到直線3x+4y-14=0的距離的最大值為3+2=5.

故選：C.

3.(2024?廣東佛山?模擬預測)已知點P在圓C:(x-2)2+O-3)2=1上運動，點/(-2,0),則配.不的取

值范圍為()

A.[20,30]B.(20,30)C.[20,25]D.(20,25)

【答案】A

【解析】由圓C:(x-2)2+(y-3)2=1,可得圓心C(2,3),半徑r=l,

又4(一2,0),所以|/C|=J(2+2r+(3-0)2=5,

所以衣.萬=衣?(/+函=就+ACCP^25+5A>cosACCI>

因為-IVcosX?屈VI，所以就?於e[20,30].

故選：A.

4.(2024?陜西商洛三模)已知尸(無是圓C:/+y2-2x-2y+l=0上任意一點，則"1的最大值為()

1-4-V7-4+J7

A.-2B.——C.7D."

233

【答案】D

【解析】設左=7,變形可得上(%—3)—%—1=0,

則”的幾何意義為直線Nx-3)-y-l=0的斜率，

%—3

圓C:x2+r-2x-2y+l=(HMC:(x-iy+(y-l)2=1,

所以圓C的圓心為(1,1),半徑為1.

因為P(久o，yo)是圓C：x2+y2-2尤-2y+l=O上任意一點，

所以圓C與直線乂》-3)-了-1=0有公共點，即圓的圓心C(l,l)到直線左(x-3)-y-l=0的距離不大于圓C

的半徑，

所以生竺』VI,解得士"、心士"，

4k^+l33

即J的最大為士立.

尤0-33

故選:D.

5.(2024?四川雅安?三模)已知過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通

徑，清代數學家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.己知圓(x-2)2+3+仔=4的一條直徑

與拋物線/=2加(0>0)的通徑恰好構成一個正方形的一組鄰邊，則P=()

1

A.-B.1C.2D.4

2

【答案】C

【解析】因為圓(x-2>+(y+l)2=4的一條直徑與拋物線x、2加5>0)的通徑恰好構成一個正方形的一組

鄰邊，

而拋物線f=2py(p>0)的通徑與y軸垂直，

所以圓(x-2)2+(y+1)2=4的這條直徑與無軸垂直，

且圓的直徑的上端點就是拋物線通徑的右端點，

因為圓(X-2)2+0+1)2=4的圓心為(2,-1),半徑為2,

所以該圓與x軸垂直的直徑的上端點為(2,1),

即拋物線3=2⑷5>0)經過點(2,1),則4=2。,即。=2.

故選：C

6.(2024?陜西榆林?模擬預測)已知/(T-1),5(-2,0),。(6,-2),點尸是圓氏/+/=1上的一點，則

|尸/『+|尸比+|尸。2的最小值為（）

A.372+37B.49-673

C.373+37D.49-6后

【答案】D

【解析】點，(T,T)，8(—2,0),C(6,-2),設尸(a,6),

則

\PA^+\PB^+\PC|2=(a+1)2+(b+1)2+(a+2)2+b2+(a-6)2+(b+2)2

=3a2+3b2-6a+66+46=3[("l『+(b-l)1+40,

因為點尸在圓￡:/+/=1上運動，

所以+伍-咪表示圓￡:/+/=1上的點到點。(1,1)的距離的平方,

所以（a-+伍-丁的最小值為（|6>￡>|-r）2=（百-=3-2夜,

即戶/『+|尸目2+|尸甲的最小值為3@_2亞）+40=49-6夜.

故選：D.

7.（2024?山西晉中?模擬預測）已知直線/：>與圓「：（尤-2行+（了-左+1『=1,下列說法正確的是（）

A.所有圓「均不經過點（1,1）B.若r關于/對稱，則后=-2

C.若/與「相交于且|/8|=夜，則上=-2D.存在與x軸和y軸均相切的圓「

【答案】A

【解析】對于A,若圓「經過點（1,1）,則（1-2左丫+（1-左+丁=1,化簡整理得儲_趺+4=0,

因為A=64-4x5x4=64-80=-16<0,所以方程無解，

所以所有圓「均不經過點（1,1）,所以A正確，

對于B,圓「：（x-2左+（y-左+1）2=1的圓心為（2左，左一1）,

若「關于/對稱，則直線/過圓心，所以2人=左-1,得左=-1,所以B錯誤,

對于C,因為/與r相交于48且|48|=行,所以圓心到直線的距離為d=41

2

所以叱曰=走，解得左=-2或左=0,所以C錯誤,

V22

對于D,若存在與x軸和y軸均相切的圓「，則|24=|左-1|=1,此方程組無解，

所以不存在與x軸和y軸均相切的圓「，所以D錯誤，

故選：A

8.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測)已知拋物線G：V=2內(夕＞0),其焦點/到準線的距離為2,過焦點尸

且斜率大于0的直線/交拋物線于48兩點，以AB為直徑的圓與準線相切于點2(-1,2),則圓C2的標準

方程為()

A.(x-3)2+(y-2)2=16B.(x-2)2+(y-3)2=16

C.(x-3)2+(y-2)2=8D.(x-2)2+(j-3)2=8

【答案】A

【解析】拋物線G的焦點到準線距離為2,則。=2(因為。＞0),

焦點為/(1,0),準線方程是x=-l,拋物線方程是/=4x,

又Cz0//x軸，0(-1,2),所以g的縱坐標為2,

設4(匹,必),3(孫%),C2(X0,2),

卜?一：“，兩式相減得(%一%)(乂+%)=4(占-%)，

[y2=4X2

44772-0

所以心二旌亍工=1,又女”二即0?=1,%=3,

%+為%2—1

即C?(3,2),所以圓a半徑為廠=3—(-1)=4,

圓。2方程為(x-3)2+0-2)2=16.

9.(多選題)(2024?河南?模擬預測)已知復數4=4+3i,Z2=-4-3i,則下列說法正確的是()

A.Z]N=-7

B.若匕一卻=3,貝！J2W目48

C.若|z-zJ=|z-Z2|,則|"1|的最小值為《

D.若|z-z+3i|+|z-Z2-3i|=16,則復數z在復平面內所對應的點的軌跡方程為工+廣=1

6448

【答案】BCD

【解析】復數Z=4+3i,z2=-4-3i,

對于A,z「互=(4+3i)-(-4+3i)=T6-9=一25,故A錯誤；

對于B,設2=a+歷，則"4="4+(b_3)i,所以|z—zj=J("4)2+0_3)2=3，貝U(a+g—3)2=9,

所以點(。,b)的軌跡是以(4,3)為圓心，半徑為3的圓，

由于忖=yla2+b2,將問題轉化為點(0,0)與點3與距離的范圍，

22

所以目1m"=7(4-0)+(3-0)-3=2,|z|may=J(4-0)2+(3-0尸+3=8；則24月48,故B正確；

對于C,設2=4+為，貝！Jz-Z]=a-4+(b—3)i,z-z2=?+4+(Z)+3)i,

由于|z-zJ=|z-Zz|,則J(a_4)2+3_3)2=J(a+4了+(6+3了,化簡可得：4a+36=0,即6=-與，

所以|z—1|=J(aT)2+加=j("IpT了噌，

Q4

所以當a=不時，故C正確；

對于D,設z=a+bi,貝Uz-Z]+3i=a—4+6i,z-z2-3i=tz+4+Z)i,

所以|z-Z]+3i|+|z-Z2-3i|=J(a-4]+8+J(a+4f+8=1(,即點(。/)到點(-4,0)與到點(4,0)的距離之

和為定值16>8,

根據橢圓的定義可得復數z在復平面內所對應的點的軌跡是以焦點為(-4,0)與(4,0),長軸長為16的橢圓，

22

則其軌跡方程為二+匕=1，故D正確；

6448

故選：BCD

10.(多選題)(2024?江西宜春?三模)古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波羅尼

斯圓的定義：在平面內，已知兩定點4,3之間的距離為。(非零常數)，動點M到/,3的距離之比為常

數4(幾>0,且),則點M的軌跡是圓，簡稱為阿氏圓.在平面直角坐標系尤0中，己知/(-4,0),8(2,0),

點M滿足|M4|=2|M3],則下列說法正確的是()

A.zUMB面積的最大值為12B.疝?麗的最大值為72

C.若0(8,8),貝1]|朋加+2|同0]的最小值為10D.當點M不在x軸上時，VO始終平分

【答案】ABD

【解析】對于A,設點河(xj),由|M4|=2|M3|,得加1赤了=2而，77，

化為(X-4)2+J?=16,所以點M的軌跡是以點(4,0)為圓心、4為半徑的圓，

所以面積的最大值為:[48|r=；x6x4=12,故A正確；

對于B,設線段的中點為N,MA-MB=(MN+NA)-(MN+NB)=\MN|2-|w|2＜(8+1)2-(-1+4)2=72,

當點M的坐標為(8,0)時取等號，故疝.礪的最大值為72,故B正確；

對于C,顯然點0(8,8)在圓外，點3(2,0)在圓內,

+2Moi=2陰+2Mo|=2(|即+2忸=2J(8-2)2+8、=20，當B,M,。三點共線且點加■在

線段8。之間時，(|九優|+2|〃0|)1nhi=20,故C錯誤；

對于D,由|。川=4,|08|=2,有等=2=$等，當點M不在x軸上時，

\OB\|MB|

由三角形內角平分線分線段成比例定理的逆定理知，M。是△4WB中乙4地的平分線，故D正確.

11.(多選題)(2024?貴州遵義?二模)已知平面內曲線C：2(/+/)=|x|+p|+i,下列結論正確的是()

A.曲線C關于原點對稱

B.曲線C所圍成圖形的面積為：兀

O

C.曲線。上任意兩點同距離的最大值為W+?

2

3?9

D.若直線尸丘-夕左＞0)與曲線C交于不同的四點，則§＜左＜乙

【答案】AC

【解析】對于A,在曲線C：2(》2+/)=1知+|川+1中，-x,-y分別換x,y方程不變，

因此曲線C關于原點對稱，A正確；

22

對于B,當x20,"0時，2(X+y)=x+y+l,即十⑷一孑=：表示以點。心為為圓心，巫為

44X444

半徑的圓在第一象限的圓弧，

圓弧端點/("3二薔?吟吟7T

則0<ZO.AB<-,

6

27r127r55JT

/AO[B=7i—2NO[AB>—,扇形ZQB的面積S^>—x—x—=—,

3123824A0B

在曲線。的方程中，用-X換X或者用-V換p方程都不變，則曲線。關于X對稱，也關于〉軸對稱，

57rSir

所以曲線C所圍成圖形的面積為B錯誤；

68

對于C,由選項B知，曲線C在第二象限、在第三象限、在第四象限內的部分

分別是以點。式-.3，。3（--3為圓心，半徑為巫的圓弧，圓心角都等于乙4。田，

由圖知，兩個點分別在兩段圓弧上時，兩點間的距離才可能最大，由圓的性質知，

當兩個點在相鄰兩個象限的圓弧上時，兩點間距離最大值等于|。021+2X平=上學，

當兩個點在相對兩個象限的圓弧上時，兩點間距離最大值等于|0031+2義平=61，

而交土畫〉W,所以曲線C上任意兩點同距離的最大值為亞土交，C正確；

222

93339

對于D,直線交y軸于點（0,-力交x軸于點（三,0）都在曲線c在第四象限的圓弧下方,

132218

91339—

點。式!，」）到直線9x-13y-%=0的距離,_[+>巫，

442初+13「一麗一

93

于是直線^=卷X-]曲線C無公共點，且在曲線C的下方，

當（2〈左9時，直線了=息一；3在曲線。的下方，與曲線。無公共點，D錯誤.

12.（2024?陜西榆林?三模）在V4BC中，BC=3,AC=2AB,則V/2C面積的最大值為

取BC中點O,以。為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系,

所以點/（X/）的軌跡是以'為圓心，2為半徑的圓（除去點

則當,弓,±2卜寸，V/8C面積取最大值,

此時S—BC=；x3x2=3.

故答案為：3.

13.（2024?內蒙古呼和浩特?二模）點P。,一。）關于直線x-y=0的對稱點在圓（尤-2）2+（y-4>=13內，則

實數。的取值范圍是.

【答案】（-4,0）