導數與函數的極值、最值（十一大題型+模擬精練）

題型歸納

目錄：

?題型01函數極值的辨析

?題型02求已知函數的極值

?題型03根據極值求參數

?題型04函數（導函數）圖像與極值的關系

?題型05由導數求函數的最值

?題型06已知函數最值求參數

?題型07根據極值點求參數

?題型08由導數求函數的最大值（含參）

?題型09恒成立問題

?題型10零點問題

?題型U導數的綜合應用

?題型01函數極值的辨析

1.（2024高三?全國?專題練習）下列函數中，存在極值的函數為（）

,,2,

A.y=eB.y=inxC.y=—D.y=x-2x

x

2.（2024高三?全國?專題練習）下列結論中，正確的是（）

A.若/（x）在團6］上有極大值，則極大值一定是［。力］上的最大值.

B.若/（尤）在［凡句上有極小值，則極小值一定是"上的最小值.

C.若“X）在［。回上有極大值，則極大值一定是在和x=l，處取得.

D.若/(x)在［凡6］上連續，則/(x)在［a,6］上存在最大值和最小值.

3.(2024高三?全國?專題練習)如圖是加)的導函數/(X)的圖象，則於)的極小值點的個數為()

4.(22-23高二上?河南許昌?期末)函數/(x)的導函數/'(X)的圖象如圖所示，則()

A.x=l為函數“X)的零點

B.〃-3)是函數的最小值

C.函數/(x)在(1,3)上單調遞減

D.x=3為函數/(x)的極大值點

?題型02求已知函數的極值

5.(2024?黑龍江?模擬預測)已知函數〃x)=仔一°)”eR).

⑴當a=3時，求/(無)在點(2,〃2))處的切線方程;

(2)討論/(無)的單調性，并求出/(x)的極小值.

6.(23-24高二下?湖南?期中)已知函數/(x)=(x+a)ln|x|(aeR)為奇函數.

⑴求。的值；

(2)當x>0時，求的單調區間和極值.

?題型03根據極值求參數

7.(22-23高二下?北京?期中)若函數/(》)="3-3f+x+l恰好有兩個極值，則實數。的取值范圍是()

A.(一甩3)B.(一甩3]C.(f,0)50,3]D.0)U(0,3)

1nX

8.(2023?貴州遵義?三模)已知函數/(x)=a無+7+1在x=l處取得極值0,貝!|a+6=()

A.-1B.0C.1D.2

9.(21-22高三下?廣西?階段練習)已知函數/'(x)=也^在其定義域的一個子區間(e,e?)上有極值，則實

數。的取值范圍是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(0,2)

?題型04函數(導函數)圖像與極值的關系

10.(23-24高二下?江西贛州?階段練習)已知函數/'(x)的導函數r(x)的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的

A.函數/'(x)在(6,c)上單調遞增B.函數/(x)至少有2個極值點

C.函數/(x)在(a,e)上單調遞減D.函數/'(x)在x=c處取得極大值

11.(23-24高二下?四川廣元?期中)函數V=/(x)(xZ-3)的導函數/'(無)的圖象如圖所示，則下列判斷中正

確的是()

A./⑴在(-3,0)上單調遞減B./⑶在(-U)上單調遞減

C.7(x)在(2,4)上存在極小值點D./(x)在[T+8)上有最大值

?題型05由導數求函數的最值

12.(23-24高二下?四川成都?期中)己知函數/(無)=ln(x-l),g(x)=x+l,若/(占)=8卜)，貝！)再一2々的

最小值為（）

A.5-2In2B.3+21n2C.e+1D.e2-4

13.（2024?江西鷹潭?二模）已知函數/（切=爐,尤e（O,+s）,則下列命題不正確的是（）

A./（x）有且只有一個極值點B./（x）在上單調遞增

存在實數（）使得〃）1

C.ae0,+co,a='D./（X）有最小值下

eee

14.（23-24高二下?北京海淀?期中）關于函數〃=下列結論錯誤的是（）

A.〃》）>0的解集是{刈0<》<2}B./（-亞）是極小值，/（0）是極大值

C.〃x）沒有最小值，也沒有最大值D.有最大值，沒有最小值

?題型06已知函數最值求參數

15.（23-24高二下?四川內江?階段練習）已知/（無）=gd-x在區間（也6-機2）上有最小值，則實數用的取值

范圍是（）

A.卜雙石）B.卜石4）C.12,6'）D.[-2,1）

16.（23-24高二下?四川遂寧?階段練習）若函數/（》）=（》-3）/+12-2芯+1在區間（2*2,3+〃。上存在最

值，則相的取值范圍是（）

A.m<-\B.m>2C.-l<m<2D.加<-1或加>2

、八/、[x-2a,x<0,、，-、

17.（23-24高二下?湖北武漢?階段練習）設函數/（x）=,若/（再）=/卜2）（再</），且2%-國

Iinx,x>u

的最小值為ln2,則。的值為（）

A.1B,比二碼c"1間D_￡

2222

?題型07根據極值點求參數

18.（23-24高二上?江蘇鹽城?期末）已知函數〃無）的導函數/'（x）=（尤T（x+lnx-a）,若x=l是函數

的極大值點，則實數。的取值范圍是（）

A.B.（1,+<?）

C.（-℃,1]D.[1,+℃）

19.(23-24高三上?河南南陽?期末)若函數f(x)=e'-加r有兩個不同的極值點，則實數。的取值范圍為

()

A.(-oo,0)U(0,+oo)B.(O,+(?)

cD.(o,i)u(i+co)

20.(22-23高三下?江西贛州?階段練習)已知函數/(無)=2e-辦2+2存在兩個極值點否,/(再<%)，則以

下結論正確的為()

A.0<〃<eB.0<^I<x2<1

C.若々=2再，貝I」a=21n2D.1nxi+々>。

?題型08由導數求函數的最大值(含參)

21.(23-24高二下?海南省直轄縣級單位?階段練習)已知函數f(x)="2-(a+2)x+lnx,其中aeR.

⑴當a=-l時，求“X)的單調區間;

⑵當a>0時,函數y=/(x)在區間［l,e］上的最小值訪⑷.

2

22.(2024?山西呂梁?二模)已知函數/'(X)=alnx-2x-幺(aW0).

⑴當a=1時，求〃尤)的單調區間和極值；

⑵求f(x)在區間(0』上的最大值.

?題型09恒成立問題

23.(2024?山東煙臺?一模)己如曲線/'(工)="2+x-21nx+b(a,beR)在x=2處的切線與直線x+2y+l=0垂

直.

⑴求。的值；

⑵若/卜)20恒成立，求6的取值范圍.

24.(2024?湖北?模擬預測)已知函數八"=質，g(x)=￡-l其中〃為常數.

(1)過原點作/(x)圖象的切線/,求直線/的方程；

(2)若*e(O,E),使/■(x)Vg(x)成立，求。的最小值.

?題型10零點問題

25.(23-24高三下?安徽蕪湖?階段練習)已知函數/(x)=e-2x-cosx.

⑴討論函數g(x)=/(x)+cosr的單調性；

⑵求函數“X)在(-全+00)上的零點個數.

26.(22-23高二下?內蒙古呼和浩特?期中)已知函數〃x)=ln(x-l)-ax+a("0).

⑴函數〃x)在(2,/(2))處的切線與x軸平行，求a的值；

(2)若函數y=/(x)有兩個零點，求。的取值范圍.

?題型U導數的綜合應用

1-1

27.(2024?江蘇?二模)已知函數〃尤)=￡--+alnx(aeR).

x

(1)當a=0時，證明：/?＞1；

(2)若/(x)在區間(1,+8)上有且只有一個極值點，求實數a的取值范圍.

28.(2024?黑龍江齊齊哈爾?三模)已知函數/(x)="sm"cos*(0vx4兀),。＞0,x=3為f(x)的極值點.

e2

(1)求a-lnb的最小值；

(2)若關于％的方程/(x)=1有且僅有兩個實數解，求。的取值范圍.

29.(2024高三?全國?專題練習)已知函數〃x)=x-e*+a恰有兩個零點玉品(為＜乙).

(1)求實數”的取值范圍；

⑵若函數g(x)=/(x)-/(-2x),求證：g(x)在(-鞏0)上單調遞減；

(3)證明：2再+%2＜。.

02模擬精練

一、單選題

1.(2024?陜西西安?模擬預測)函數/(切=卜2-8卜、的極小值點為()

A.2B.-4e2C.-4D.Se-4

2.(2023?河南洛陽?模擬預測)已知/(x)=siiu-acosx的一個極值點為在，若tanx<=3,則實數a的值為

()

11

A.-3B.——C.3D.-

33

3.(2024?陜西渭南?模擬預測)已知函數/(x)=xe'+a在區間[0,1]上的最小值為1,則實數。的值為()

A.-2B.2C.-1D.1

4.(2024?云南昆明?一模)已知函數f(x)=e*+e2T,則下列說法正確的是()

A./(x)為增函數B.1(X)有兩個零點

C.7(x)的最大值為2eD.y=〃x)的圖象關于x=l對稱

5.(2024?山東荷澤?模擬預測)若實數x/，z滿足必=應2=1!1。+了)-尤-y,則下列不等式錯誤的是()

A.ln(x+y)<x+yB.x>0C.>0D.z<x<y

6.(2023?浙江金華?模擬預測)在半徑為百的實心球。中挖掉一個圓柱，再將該圓柱重新熔成一個球。2,

則球。2的表面積的最大值為()

XQXX(0

7.(2024?黑龍江?模擬預測)已知函數〃x)=U1nx口>0,若關于x的方程/@)+4(》)+。-1=0的不同

實數根的個數為6,則a的取值范圍為().

A-[if]B."，-1]C卜+3D.

8.(2024?福建莆田?二模)對于函數了=/(x)和y=g(x),及區間。，若存在實數上,6,使得

/(x”^+bNg(x)對任意恒成立,則稱y=〃x)在區間。上“優于”了=g(x).有以下四個結論：

①/(x)=COSX在區間R上“優于"g(x)=1-；f；

②/(%)=tanx在區間1-楙,工上“優于"g(x)=sinx；

③/(x)=e*-1在區間(-1,+℃)上“優于"g(x)=ln(x+l)；

④若/(x)=ax(x-l)在區間(0,+司上“優于"g(x)=lnx,則a=l.

其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、多選題

4

r尸n2

9.（2024?貴州安順一模）設函數〃尤）=次，則（）

A./（x）有1個極大值點

B./（x）有2個極小值點

C.x=-l是“X）的極大值點

D.x=6是〃x）的極小值點

10.（2024?黑龍江哈爾濱?三模）已知函數/（x）=sinO+夕）（。＞0,網吟，則下列結論正確的是（

A.若0=2,9=：,則“X）在:/一胃上遞增

B.若〃x）為奇函數，則夕=0

C.若0=；,x=-g是的極值點，則/［-3=—1

D.若x=g和-都是/⑴的零點，/⑴在匕,鼻上具有單調性，則0的取值集合為［川

1TlX

11.（2024?廣東廣州?模擬預測）設函數〃x）=?，貝I］（）

A.函數“X）的單調遞增區間為（0,五）

B.函數/（x）有極小值且極小值為工

e

C.若方程/（x）=加有兩個不等實根，則實數加的取值范圍為

D.經過坐標原點的曲線了=/（x）的切線方程為x-3ey=0

三、填空題

12.（2023?廣東汕頭一模）函數/（X）="L6X的一個極值點為1,則/（x）的極大值是.

13.（2024?全國?模擬預測）方程（T+lnx）x+A=0有兩個不相等的實數根，則實數左的取值范圍為.

14.(2024?重慶?模擬預測)若函數/(x)=a+M的圖象與函數g(x)=上-的圖象有三個不同的公共點，則

ex+er

實數。的取值范圍為.

四、解答題

15.(2024?湖南衡陽?二模)已知函數/■(無)="3+加+1("2，當x=2時，/(x)取得極值-3.

⑴求〃x)的解析式；

(2)求在區間［T3］上的最值.

16.(2024?河南?三模)已知函數/'(x)=ax-lnx,且/(x)在x=1處的切線方程是x-y+6=0.

(1)求實數“，6的值；

⑵求函數〃x)的單調區間和極值.

17.(2024?江蘇南京?二模)已知函數y(x)="一一十°,其中aeR.

⑴當a=0時,求曲線＞=/(x)在(1J⑴)處的切線方程；

⑵當。＞0時，若/(X)在區間［0,a］上的最小值為1,求a的值.

e

18.(2024?寧夏石嘴山?三模)已知函數/(x)=e'-e'sinx,(e為自然對數的底數).

⑴求曲線＞=/(x)在x=0處的切線方程；

⑵若不等式a＜/(x)＜b對任意xe［o,3恒成立，求實數a的最大值.

19.(2024?山東?模擬預測)法國數學家弗朗索瓦?韋達發現了一元二次方程的根與系數之間的關系，將其推

廣到高次方程，并在其著作《論方程的識別與訂正》中正式發表，后來人們把這個關系稱為韋達定理，即

如果再戶2出…,是關于X的實系數一元力次方程。尤…+°透+°0=0(%20)在復數集c

-1

X]+/+X3+,,,+%〃—9

一,an

a—2

再々+玉工3+…+“一，

內的"個根，貝卜Q〃一3

西為2%+XX+---+X

lX24奇?4x

an

XF2X3…-x“=(1)?0.

an

試運用韋達定理解決下列問題:

（1）已知a,6,c￡R,a+b+c=l,ab+bc+ca=O,求/+/+d的最小值；

（2）已知Q/ER,關于x的方程d+（2-〃）％2+反-Q=O（Q〉O）有三個實數根，其中至少有一個實效根在區

間（0,〃）內，求2〃一6的最大值.

導數與函數的極值、最值（十一大題型+模擬精練）

題型歸納

目錄：

?題型01函數極值的辨析

?題型02求已知函數的極值

?題型03根據極值求參數

?題型04函數（導函數）圖像與極值的關系

?題型05由導數求函數的最值

?題型06已知函數最值求參數

?題型07根據極值點求參數

?題型08由導數求函數的最大值（含參）

?題型09恒成立問題

?題型10零點問題

?題型U導數的綜合應用

?題型01函數極值的辨析

1.（2024高三?全國?專題練習）下列函數中，存在極值的函數為（）

,,2,

A.y=eB.y=inxC.y=—D.y=x-2x

x

【答案】D

【分析】根據極值的定義進行求解即可.

【解析】A：因為函數y=e工是實數集上的增函數，所以函數＞=/沒有極值；

B：因為函數y=lnx是正實數集上的增函數，所以函數y=lnx沒有極值；

2?

C：因為函數y=—在區間(0,+s)、(-*0)上是減函數，所以函數＞=—沒有極值；

XX

D：因為＞-2x=(x-l)2-1,所以該函數在(1,+向上是增函數，在(-8,1)上是減函數，因此x=l是函數

的極小值點，符合題意，

故選：D

2.(2024高三?全國?專題練習)下列結論中，正確的是()

A.若/(x)在［a,6］上有極大值，則極大值一定是目上的最大值.

B.若〃x)在［。回上有極小值，則極小值一定是［。回上的最小值.

C.若/(x)在句上有極大值，則極大值一定是在x=a和x=b處取得.

D.若在［凡可上連續，則在［a回上存在最大值和最小值.

【答案】D

【分析】根據極值和最值的定義逐一分析判斷即可.

【解析】函數在團句上的極值不一定是最值，最值也不一定是極值，故AB錯誤；

函數/(x)在［應句上的極值一定不會在端點處取得，故C錯誤；

若在［a,可上連續，則“X)在6］上存在最大值和最小值，故D正確.

故選：D.

3.(2024高三?全國?專題練習)如圖是加)的導函數了(x)的圖象，則於)的極小值點的個數為()

【答案】A

【分析】根據極值點的定義，結合導函數的圖象判斷即可.

【解析】由導函數〃x)的圖象知

在x=-2處/(-2)=0,且其兩側導數符號為左正右負，》=-2是極大值;

在x=-1處/(—1)=0,且其兩側導數符號為左負右正，x=-1是極小值;

在X=—3處/(2)=0,且其兩側導數符號為左正右負，x=2是極大值;

所以於)的極小值點的個數為1,

故選：A

【點睛】本題主要考查極值點的定義以及數形結合思想的應用，屬于基礎題.

4.(22-23高二上?河南許昌?期末)函數/(x)的導函數/'(X)的圖象如圖所示，貝I]()

A.x=l為函數/(無)的零點

B.3)是函數的最小值

C.函數/(尤)在(1,3)上單調遞減

D.x=3為函數/(x)的極大值點

【答案】C

【分析】根據尸(x)的圖象，得到函數〃x)的單調區間，結合函數的單調性，極值點和極值，以及零點的

概念，逐項判定，即可求解.

【解析】由/'(x)的圖象，可得:

當xe(-s,-3)時，r(x)<0,〃x)單調遞減；

當xe(-3,1)時，H(x)〉0,/(x)單調遞增；

當xe(1,3)時，r(x)<0,/(x)單調遞減；

當xe(3,+⑹時，f^x)>0,/(x)單調遞增，

A中，x=l是函數/(X)的一個極大值點，不一定是函數的零點，所以A不正確；

B中，/(-3)是函數/(x)一個極小值，不一定是函數/(無)的最小值，所以B錯誤;

C中，函數/（尤）在（1,3）上單調遞減，所以C正確；

D中，x=3為函數“X）的極小值點，所以D錯誤.

故選：C.

?題型02求已知函數的極值

5.（2024?黑龍江?模擬預測）已知函數="eR）.

⑴當。=3時，求/⑺在點（2,〃2））處的切線方程；

（2）討論「（X）的單調性，并求出/（x）的極小值.

【答案】（1?=0

⑵/（X）在［答2段單調遞減，在卜叫誓^和停+8）單調遞增；o.

【分析】（1）欲求曲線在點（2）（2））處的切線方程，只需求出斜率上=/'（2）和/（2）的值，利用直線的點斜

式方程求解切線的方程；

（2）利用函數/（x）的導數，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可.

【解析】（1）當。=3時，e\

貝屋）=1*一］卜，

所以左=,（2）=0,

又知"2）=0,

所以/⑺在點（2/（2））處的切線方程為y=0.

（2）因為/''（x）=~x2+3a^x+a2-3ae*=:（次-2a-的+6,

令/'（x）=0,

貝-g或x=

所以當，e<x<g時，rw<o,

當x<言'或時，r(x)>o.

綜上，在(即上單調遞減，在[-鞏出和上單調遞增;

所以“X)極小值=/&]=(|、+一。)於=0.

6.(23-24高二下?湖南?期中)已知函數/(x)=(x+a)ln|x|(aeR)為奇函數.

⑴求。的值；

(2)當x>0時，求〃x)的單調區間和極值.

【答案】(1)。=0

(2)答案見解析

【分析】(1)由已知結合奇函數的定義即可求解；

(2)先化簡/(x)的解析式，對其求導，結合導函數與單調性及極值的關系即可求解.

【解析】(1)定義域：(一8,0)U(0,+s).

由已知：函數/(x)為奇函數,所以/(-x)=-/(x),

即(-x+a)ln卜=-(x+a)ln|jc|,解得“=0.

(2)由⑴得：=

[xlnx,x>0

當%>0時，因為/(x)=xlnx,所以/[x)=lnx+l.

令八x)=0,解得x=g.

f'(x)J(x)變化情況如下表：

X

H)e

/‘(X)-0+

單調遞減極小值-！單調遞增

小)e

所以/⑺在(0，：)上單調遞減，在g,+j上單調遞增.

因此/(X)的單調遞增區間為，,+。，單調遞減區間為1o,j,

當T時，“X)有極小值，并且極小值為O=T，無極大值.

?題型03根據極值求參數

7.(22-23高二下?北京?期中)若函數/(無)="3-3f+尤+1恰好有兩個極值，則實數0的取值范圍是()

A.(-(?,3)B.(-℃,3]C.(-?>,0)u(0,3]D.(-℃,0)U(0,3)

【答案】D

【分析】求出函數的導函數，利用函數/(幻恰好有兩個極值，說明導函數有兩個不同的零點，從而求出a

的取值范圍.

【解析】因為/(x)=ax3-3x2+x+l,所以/,(x)=3ax2-6x+l,

由函數/(x)恰好有兩個極值，得/V)=3^2-6x+l有兩個不相等的零點，

故方程3ax2-6x+l=0有兩個不相等的實根，

貝哈0,l.A=(-6)2-4x3axl=36-12a>0,解得a<0或0<a<3,

所以實數。的取值范圍是(-叫0)U(0,3).

故選：D.

8.(2023?貴州遵義?三模)已知函數/(x)=a尤+丁+1在x=l處取得極值0,貝()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】根據極值點的意義，列式求解.

【解析】r(尤)="+；,

bx

有L/八1八，得“=-1,6=1,

r(1)=〃+廠0

所以。+6=0.

故選：B

9.(21-22高三下?廣西?階段練習)己知函數/("=處/■在其定義域的一個子區間(e,e?)上有極值，則實

數。的取值范圍是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(0,2)

【答案】A

【分析】求導函數，分析導函數的符號，得出原函數的單調性和極值，由已知建立不等式，求解即可.

【解析】解：/卜)=1-1?-。,令H(x)=O,即l-lni=0,解得X=e~,且0<x<e~,#(x)〉0；

x>e~,

：.f(x)在(0,e?)上單調遞增，在(e~,+8)上單調遞減，

??"(x)有極大值/(/")=土：:+。=尸,

???八e,<八e1一。,<八e2，

??—1<a<0,

故選：A.

?題型04函數(導函數)圖像與極值的關系

10.(23-24高二下?江西贛州?階段練習)已知函數/'(x)的導函數r(x)的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的

是()

A.函數/'(x)在(6,c)上單調遞增B.函數/(x)至少有2個極值點

C.函數/(x)在(a,e)上單調遞減D.函數/'(x)在x=c處取得極大值

【答案】D

【分析】根據/'(X)的圖象判斷其符號，進而可知的單調性和極值，結合選項分析判斷即可.

【解析】由/'(X)的圖象可知：當x<"或x>e時，/,(x)>0；當”<x〈e時，/'(x)40；

可知/(尤)在(-雙a),(e,+8)上單調遞增，在(a,e)上單調遞減，

則函數/(x)有且僅有兩個極值點。逐,

結合選項可知：ABC正確；D錯誤；

故選：D.

11.(23-24高二下?四川廣元?期中)函數y=/(x)(xN-3)的導函數/'(無)的圖象如圖所示，則下列判斷中正

確的是()

A./(x)在(-3,0)上單調遞減B./(x)在(-1,1)上單調遞減

C./(x)在(2,4)上存在極小值點D./(x)在[-3,+00)上有最大值

【答案】B

【分析】結合導數的符號與函數單調性、極值的關系，以及題圖即可得解.

【解析】xe(-3,-l)時，f'(x)>0,無€(-1,0)時，/'(x)<0,故“X)在(-3,0)上不單調，A選項錯誤；

xe(-M)時，r(x)<0,故/(無)在上單調遞減，B選項正確；

xe(2,4)時，r(x)<0,故/(x)在(2,4)上單調遞減，無極值點，C選項不正確；

xe(4,+e)時，r(x)>0,〃x)在(4,+8)上單調遞增，雖然確定了/(x)的單調性，但沒有“X)的解析式,

故無法確定;'(X)在卜3,+8)上是否有最大值，D選項不正確.

故選：B.

?題型05由導數求函數的最值

12.(23-24高二下?四川成都?期中)己知函數/(尤)=ln(無一1),g(x)=x+l,若/(占卜8伍)，則占一2%的

最小值為()

A.5-21n2B.3+21n2C.e+1D.e2-4

【答案】A

【分析】由題意，設/(Xi)=g(3)=/,貝h-2z=eJ2?+3=/3,利用導數討論函數力⑺的性質求出如濡即

可.

【解析】設/(Xi)=g(X2)=f,則西=1+1,%=-1,

以為-2%2=e'+l-2t+2=e'-2f+3,

令咐)=e'-2f+3,貝!]〃?)=e'一2,

令"⑺<0n/<ln2,函數〃(7)單調遞減，

令"⑺>0nf>山2,函數h(t)單調遞增，

所以〃⑺mi”=以為2)=em-21n2+3=5-21n2,

即X]-2X2的最小值為5-21n2.

故選：A

13.（2024?江西鷹潭?二模）已知函數/'（x）=尤工,尤e（O,+s）,則下列命題不正確的是（）

A./（x）有且只有一個極值點B./（x）在上單調遞增

存在實數使得/（?）='1

C.D./（X）有最小值F

eee

【答案】C

【分析】由條件可得函數Z=xlnx可以看作為函數Z=lny與函數y=r的復合函數，然后求導判斷其單調

性與極值，即可得到結果.

【解析】由了=尤，得Iny=xlnx,令z=xlnx,

則函數z=xlnx可以看作為函數z=lny與函數＞=/的復合函數,

因為z=lny為增函數，所以2=封!1》與了=亡單調性、圖象變換等基本一致，z'=lnx+l,

由2'=0得X=L,列表如下:

e

■

X

e

Z—0+

Z

e/

由表知，z=xlnx在上單調遞減，在g,+8）上單調遞增，

在x=L時，取得極小值（最小值）-L

ee

所以=/在上單調遞增，即B正確；

111

在》=上時，取得唯一極值（極小值，也是最小值）ee＞-,即A、D都正確，C錯誤.

ee

故選：C

14.（23-24高二下?北京海淀?期中）關于函數〃x）=（2x-x2）e*,下列結論錯誤的是（）

A.〃x）＞0的解集是任|0＜尤＜2}B./（-收）是極小值，〃逝）是極大值

C.沒有最小值，也沒有最大值D.有最大值，沒有最小值

【答案】C

【分析】解不等式判斷A；利用導數探討函數/。)的極值、最值判斷BCD.

【解析】函數/(%)=(2X-尤2"的定義域為區，

對于A,/(%)>0<^>2x-x2>0,解得0cx<2,即/(x)>0的解集是{x10<x<2},A正確；

對于BCD,/V)=(2-x2)e\當工<-后或x>加時，f'(x)<0,當一百<尤<也時，f\x)>0,

則函數/⑴在s,-亞),(6,口)上單調遞減，在(S上單調遞增，

因此/(-血)是極小值，〃血)是極大值，B正確；

顯然當x<0時，/(x)<0恒成立，當x>3時，2x-/<-3,(2x-x2)eJ<-3e\

而當x>3時，函數y=-3e，的值域為(-s,-3e3),而外/)=2(五-1卜尤>0,因此/⑴有最大值/(夜)，

沒有最小值，C錯誤，D正確.

故選：C

?題型06已知函數最值求參數

15.(23-24高二下?四川內江?階段練習)已知/(x)=；x3-x在區間(?6-小)上有最小值，則實數機的取值

范圍是()

A.OO?A/5jB.(^―A/5,1^C.|^—2，V5jD.[-2,1)

【答案】D

m<]<6—m

【分析】求得/得出函數/(x)的單調性，結合題意，得到，/、、，/,、，即可求解.

【解析】由函數〃x)=gx、x,可得_f(x)=Y-l=(x+l)(x-l),

當x<-l時，/%)>0,〃x)單調遞增；

當時，r(x)<o,/■(工)單調遞減;

當x>l時，〃(尤)〉0,f(x)單調遞增，

要使得函數了=/(x)在區間(見6-療)上有最小值,

m<1<6—m2-Vs<m<1

則滿足<即，132-

—m-m>——

133

i2

因為二可得加3-3〃z+220,即(m—l)~(x+2)N0,解得加2-2,

所以-24機<1,即實數，”的取值為『2,1).

故選：D.

16.(23-24高二下?四川遂寧?階段練習)若函數/(切=(尤-3卜，+92-2式+1在區間(2加-2,3+切)上存在最

值，則加的取值范圍是()

A.m<—1B.m>2C.-1<m<2D.加<-1或加>2

【答案】C

【分析】借助導數研究函數單調性即可得其在何處取得最值，即可得解.

【解析】/，(x)=(x-2)eI+x-2=(x-2)(eI+l),

則當x>2時，當x<2時，r(x)<0,

即/(x)在2)上單調遞減，在(2,+“)上單調遞增，

即/(x)在x=2處取得最值，貝|有2加-2<2<3+加，

解得一1<m<2.

故選：C.

、八/、[x-2a,x<0/、/、/、

17.(23-24高二下?湖北武漢?階段練習)設函數/(x)=,若/(再)=/卜2)(再</)，且2%-國

IIILV,JvU

的最小值為ln2,則。的值為()

A.1B.m二碼c,D_￡

2222

【答案】B

【分析】作出/(x)的大致圖象，令/(%)=/■(%)=/,結合圖象得到f的范圍，再將所求轉化為關于，的表

達式，構造函數g?)=2e'T-2a,利用導數即可得解.

八/、fx-2?,x<0/、

【解析】因為〃x)=1n，作出〃x)的大致圖象，如圖，

I47U

令f(xJ=/(X2)=f，由圖象可得「?-8,-2旬,

因為玉<工2，所以七一2。=/111》2=/，即匹=7+2。/2=e'，

l

貝!J2X2一為=2e-t-2a,

令g?)=2e‘一￡一2a,

則g'(f)=2e'7,令g'?)=0,解得y-ln2,

當一2°V-ln2,即竽時，?<-ln2,貝Ijg'(/)WO,g(f)單調遞減，

則g⑺mi?=g(一2a)=2e3=ln2,解得°=一山>—),符合；

2

、“口廠In2rl

當—2a>—In2,即4<---時，

2

當,<-ln2時，g'(%)<0；當一ln2</<-2。時，g'(/)>0；

故g⑺在(-。，-ln2)單調遞減，在(-ln2,-2。)單調遞增，

貝iJgO*Mg(一In2)=l+ln2-2a=ln2,解得a=g,不符合；

綜上，1#應).

2

故選：B.

【點睛】方法點睛：本題考查雙變量問題的函數與方程的應用，解決這種題的常見方法是利用換元法將變

量轉化為只有1個變量，注意利用數形結合考慮變量的取值范圍.

?題型07根據極值點求參數

18.(23-24高二上?江蘇鹽城?期末)已知函數〃x)的導函數/'(x)=(xT(x+lnx-a),若x=l是函數〃x)

的極大值點，則實數。的取值范圍是()

A.(-℃,1)B.(1,+℃)

C.(-00,1]D.[1,+00)

【答案】B

【分析】分析得導函數必有2個零點，并且1必為小的零點，據此列不等式求解.

【解析］令/'(x)=(x-l)(x+lnr-a)=O,貝！］尤=］或x+lnx—a=0,

明顯函數>=x+lnx在(0,+8)上單調遞增，且值域為R,

所以方程x+lwc-a=O必有根，設為//>0,

即/,(x)=(x-l)(x+lnx-a)=O&tltS^Jx=l=?,

又x=l是函數/(x)的極大值點，

則函數/(可在(0,1)上單調遞增，(11)上單調遞減，&+S)上單調遞增，

即”1,所以1+1口1一4<0,得Q>1.

故選：B.

19.(23?24高三上?河南南陽?期末)若函數/(x)=e、-"2_、有兩個不同的極值點，則實數〃的取值范圍為

()

A.(—8,0)U(0,+8)B.(0,+動

C.(0,￡|ug+oo］D.(0,l)U(l+=o)

【答案】C

【分析】轉化為/'(x)=e-2辦-1有兩個變號零點，令"x)=e工-2辦-1,求導,分aW0和a>0兩種情況,

得到其單調性，極值和最值情況，從而得到不等式2a-2aln2a-l<0,再構造函數g(a)=2a-2aln2a-l,

求導得到其單調性，極值最值情況，求出答案.

【解析】由題意得/''(無)=e'-2"-1有兩個變號零點，

令"x)=e，-2"-1,定義域為R,

則h'^x)=QX-2a,

當a?0時，〃(x)>0恒成立，〃(x)在R上單調遞增，不會有兩個零點，舍去，

當a〉0時，令"(x)>0得，x〉ln2a,令〃'(x)<0得，x<\n2a,

所以〃(x)在(-00,In2a)上單調遞減，在(in2a,+00)上單調遞增,

故〃(x)在x=l112a處取得極小值，也是最小值，

則〃(ln2〃)<0,BP2df-In-1<0,

令g(Q)=2〃一2〃ln2〃一l,q>0,則g'(Q)=2-21n2Q-2=-21n2Q,

令g'(a)>0得令g'(a)<0得

g(a)在上單調遞增，在1,+[單調遞減，

故g(a)=2a-2aIn2a-1在。=；處取得極大值,也是最大值，

又=0,故2<2-201112.-1<0的解集為(0，3111(!，+8],

此時當x趨向于負無窮時，〃(x)趨向于正無窮，

當x趨向于正無窮時，〃(無)趨向于正無窮，

滿足〃(x)=e*-2辦-1有2個變號零點.

故選：C

【點睛】結論點睛：導函數處理零點個數問題，由于涉及多類問題特征(包括單調性，特殊位置的函數值

符號，隱零點的探索、參數的分類討論等)，需要學生對多種基本方法，基本思想，基本既能進行整合，注

意思路是通過極值的正負和函數的單調性判斷函數的走勢，從而判斷零點個數，較為復雜和綜合的函數零

點個數問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進行分類討論，分類的標準，及分類是否全面，

都是需要思考的地方

20.(22-23高三下?江西贛州?階段練習)已知函數/(x)=2e=ax2+2存在兩個極值點再,馬(再<尤2),則以

下結論正確的為()

A.0<〃<eB.0<<x2<1

C.若々=2玉，貝Ija=21n2D.liUj+x2>0

【答案】D

【分析】由題可得方程a=更有兩個不相等的實數根國,馬(西<馬)，構造函數g(x)=f,利用導數研究函數

的性質畫出函數的大致圖象，然后結合條件逐項分析即得.

【解析】函數"X)的定義域為R,求導得T(x)=2e=2",由/'(x)=0,得e-ax=0,顯然尤20,

由函數=2e'2+2存在兩個極值點玉,馬(玉〈尤2)，得方程e'-"=0,即a=厘兩個不相等的實數根

于是函數g(x)=0的圖象與直線>有兩個交點，且橫坐標分別為玉用(再<%)，

X

求導得由g'(x)<0得xe(-s,O)U(O,l),由g'(x)>0得xe(l,+s),

因此函數g(x)在(-00),(0,1)上單調遞減，在(1,+s)上單調遞增，且當x<0時，g(x)<0,當x>0時,

g(x)>0,

對于A,要使函數/'(x)=2e*-辦②+2存在兩個極值點為三,馬(再<馬)，貝!Ja>g6=e,A錯誤;

對于B,當a>e時，由函數g(x)的圖象知，0<%<1<%，B錯誤；

演x2X1In2,

對于C,若x,