第一章集合與常用邏輯用語1/41第2課四種命題和充要條件2/41課前熱身3/411.(選修21P8習題1改編)命題：“若x2<1，則－1<x<1”逆否命題是______________________________________．2.(選修21P7練習改編)命題“若x<0，則x2>0”及其逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中正確命題個數為________．【解析】原命題為真，所以逆否命題為真；逆命題為“若x2>0，則x<0”為假命題，所以否命題為假．激活思維若x≥1或x≤－1，則x2≥124/413.(選修21P20習題改編)判斷以下命題真假．(填“真”或“假”)(1)命題“在△ABC中，若AB>AC，則C>B”否命題為__________命題．(2)命題“若ab＝0，則b＝0”逆否命題為________命題．4.(選修21P9習題4(2)改編)“sinα＝sinβ”是“α＝β”_____________(從“充分無須要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也無須要”中選填一個)條件．真假必要不充分5/415.(選修21P20習題改編)已知p，q都是r必要條件，s是r充分條件，q是s充分條件，那么r是q____________條件，p是q____________條件．【解析】q?s?r?q，所以r是q充要條件；q?s?r?p，所以p是q必要條件．充要必要6/411.記“若p則q”為原命題，則否命題為“_______________”，逆命題為“_________”，逆否命題為“______________”．其中互為逆否命題兩個命題同真假，即等價，原命題與___________等價，逆命題與________等價．所以，四種命題為真個數只能是偶數．知識梳理若非p則非q若q則p若非q則非p逆否命題否命題7/41充分必要非充分非必要8/41充分無須要必要不充分充要既不充分也無須要充分性必要性9/41課堂導學10/41 寫出命題“若x＝3且y＝2，則x＋y＝5”逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們真假．【思維引導】本題考查四種命題之間轉換，要抓住條件與結論進行改寫．【解答】逆命題：“若x＋y＝5，則x＝3且y＝2”；假命題．否命題：“若x≠3或y≠2，則x＋y≠5”；假命題．逆否命題：“若x＋y≠5，則x≠3或y≠2”；真命題．四種命題及其真假判斷例111/41【精關鍵點評】四種命題轉換，首先要改寫成“若p則q”形式，其次要注意常見否定轉換．注意：互為逆否命題兩個命題真假相同．12/41 給出以下四個命題：①“若x＋y＝0，則x，y互為相反數”逆命題；②“全等三角形面積相等”否命題；③“若q≤－1，則x2＋x＋q＝0有實數根”逆否命題；④若a＋b是偶數，則整數a，b都是偶數．其中真命題是________．(填序號)【解析】①顯然正確；②不全等三角形面積不相等，故②不正確；③原命題正確，所以它逆否命題也正確；④若a＋b是偶數，則整數a，b都是偶數或都是奇數，故④不正確．變式①③13/41【精關鍵點評】對命題真假判斷，真命題要加以論證；假命題要舉出反例，這是最基本數學思維方式．在判斷命題真假過程中，要注意簡單命題與復合命題之間真假關系，要注意四種命題之間真假關系，原命題等價于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價．所以，四種命題中真命題個數只能是0,2或4.14/41 從“充分無須要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也無須要”中選填一個．(1)(·泰安期末)已知a∈R，則“a2＜a”是“a＜1”______________條件；【思維引導】求出不等式a2＜a解集為(0,1)，然后依據“小范圍能推大范圍，大范圍推不出小范圍”進行判斷．【解析】因為由a2＜a，可得0＜a＜1，所以“a2＜a”是“a＜1”充分無須要條件．充要條件判定例2充分無須要15/41(2)(·保定時末)若集合A＝{0,1}，B＝{－1，a2}，則“A∩B＝{1}”是“a＝1”____________條件．【思維引導】判斷充要條件時，可先分清條件與結論，若由條件能推出結論，則充分性滿足；若由結論能推出條件，則必要性滿足．【解析】若A∩B＝{1}，則a2＝1，a＝±1，所以充分性不滿足，必要性滿足，故“A∩B＝{1}”是“a＝1”必要不充分條件．必要不充分16/41【精關鍵點評】在判斷充分條件及必要條件時，首先要分清哪個是條件，哪個是結論；其次，要從兩個方面即“充分性”與“必要性”分別考查．判定時，對于相關范圍問題也能夠從集合觀點看，如p，q對應范圍為集合A，B，若A?B，則A是B充分條件，B是A必要條件；若A＝B，則A，B互為充要條件．17/41 從“充分無須要條件”“必要不充分條件”“充要條件”或“既不充分也無須要條件”中選填一個．變式充分無須要條件18/41充分無須要條件19/41必要不充分條件20/41(4)(·南京學情調研)已知直線l，m，平面α，若m?α，則“l⊥m”是“l⊥α”______________；【解析】由直線與平面垂直定義知“l⊥m”推不出“l⊥α”，不過由定義知“l⊥α”能推出“l⊥m”，所以是必要不充分條件．必要不充分條件21/41充要條件22/41【精關鍵點評】在判斷時注意反例應用；在判斷“若p則q”較繁瑣時，能夠利用它逆否命題“若非q則非p”，判斷其是否正確；有時將一些條件轉化為與它等價條件再與另一條件進行判斷會更簡單．23/41 已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)(x－8)≤0}．(1)求實數a取值范圍，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}充要條件；【思維引導】求a取值范圍使它成為M∩P不一樣條件，可借助集合觀點，依據要求，求出成立時a取值范圍．【解答】由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，所以M∩P＝{x|5<x≤8}充要條件是－3≤a≤5.結合充要條件求參數例324/41(2)求實數a一個值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}一個充分無須要條件；【解答】在集合{a|－3≤a≤5}中取一個值即可，如取a＝0，此時必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是所求一個充分無須要條件．25/41(3)求實數a取值范圍，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}一個必要不充分條件．【解答】即求一個集合Q，使{a|－3≤a≤5}是集合Q一個真子集．假如{a|a≤5}，那么未必有M∩P＝{x|5<x≤8}，不過M∩P＝{x|5<x≤8}時，必有a≤5，故a≤5是所求一個必要不充分條件．26/41【精關鍵點評】處理這類問題普通是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間關系，然后依據集合之間關系列出關于參數不等式求解．27/41變式[1，＋∞)28/41 已知a，b，c都是實數，求證：方程ax2＋bx＋c＝0有一個正根和一個負根充要條件是ac<0.【思維引導】證實充分性，由“ac＜0”推出“方程ax2＋bx＋c＝0有一個正根和一個負根”，證實必要性是由“方程ax2＋bx＋c＝0有一個正根和一個負根”推出“ac＜0”，主要依據判別式、一元二次方程根與系數關系進行論證．充要條件證實例429/4130/4131/41【精關鍵點評】充要條件證實應注意：(1)普通地，條件已知，證實結論成立是充分性，結論已知，推出條件成立是必要性．(2)相關充要條件證實問題，要分清哪個是條件，哪個是結論．32/41 已知函數f(x)是R上增函數，a，b∈R，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)充要條件是a＋b≥0.【解答】充分性，即已知a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．因為a＋b≥0,所以a≥－b，b≥－a，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．必要性，即已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，求證：a＋b≥0.變式33/41假設a＋b<0，所以a<－b，b<－a，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，與已知矛盾，所以必要性成立．綜上，可得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)充要條件是a＋b≥0.34/41課堂評價35/411.命題：“若a>1，則a2>1”逆否命題是________________．【解析】由原命題與逆否命題關系知，其逆否命題為“若a2≤1，則a≤1”．若a2≤1，則a≤136/412.(·安徽卷)若p：1＜x＜2，q：2x＞1，則p是q____________(從“充分無須要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也無須要”中選填一個)條件．【解析】由q：2x＞1＝20，解得x＞0，所以p?q，但q?/p，所以p是q充