專題6.6解三角形【十大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1余弦定理邊角互化的應用】 4【題型2余弦定理解三角形】 4【題型3正弦定理邊角互化的應用】 5【題型4正弦定理解三角形】 5【題型5正弦定理判定三角形解的個數】 6【題型6正、余弦定理判定三角形形狀】 6【題型7三角形面積公式的應用】 7【題型8正、余弦定理在幾何圖形中的應用】 7【題型9求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】 9【題型10距離、高度、角度測量問題】 11【知識點1余弦定理、正弦定理】1．余弦定理(1)余弦定理及其推論的表示文字表述三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.公式表述a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.推論(2)對余弦定理的理解①余弦定理對任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一個等式都包含四個量，因此已知其中三個量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題.用余弦定理的推論還可以根據角的余弦值的符號來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.

④余弦定理的另一種常見變式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC.2．正弦定理(1)正弦定理的表示在△ABC中，若角A,B,C對應的邊分別是a,b,c，則各邊和它所對角的正弦的比相等，即==.(2)正弦定理的常見變形在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，則a=kA，b=kB，c=kC，由此可得正弦定理的下列變形：①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB；

②======；

③a:b:c=A:B:C；④===2R，（R為△ABC外接圓的半徑）.(3)三角形的邊角關系

由正弦定理可推導出，在任意三角形中，有“大角對大邊，小角對小邊”的邊角關系.3．解三角形(1)解三角形的概念一般地，三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.(2)余弦定理在解三角形中的應用利用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問題：

①已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；

③已知三邊，求三角形的三個角.(3)正弦定理在解三角形中的應用公式==反映了三角形的邊角關系.

由正弦定理的推導過程知，該公式實際表示為：=，=，=.上述的每一個等式都表示了三角形的兩個角和它們的對邊的關系.從方程角度來看，正弦定理其實描述的是三組方程，對于每一個方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用來解決兩類解三角形的問題：

①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角，

③已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角.4．對三角形解的個數的研究已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定.

(1)從代數的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，下面以已知a,b和A，解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數的有界性及三角形的性質可得：

①若B=>1，則滿足條件的三角形的個數為0；

②若B==1，則滿足條件的三角形的個數為1；

③若B=<1，則滿足條件的三角形的個數為1或2.

顯然由0<B=<1可得B有兩個值，一個大于，一個小于，考慮到“大邊對大角”、“三角形內角和等于”等，此時需進行討論.(2)從幾何的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，以已知a,b和A，解三角形為例，用幾何法探究如下：圖形關系式解的個數A為銳角①a=bsinA；②a≥b一解bsinA<a<b兩解a<bsinA無解A為鈍角或直角a>b一解a≤b無解5．判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；(2)化角為邊，通過代數變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁.無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數值的限制.6．三角形的面積公式(1)常用的三角形的面積計算公式①=a=b=c(,,分別為邊a,b,c上的高).

②將=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半.(2)三角形的其他面積公式①=r(a+b+c)=rl，其中r,l分別為△ABC的內切圓半徑及△ABC的周長.

②=，=，=.【題型1余弦定理邊角互化的應用】【例1】（23-24高一下·甘肅天水·期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2acosB=c?2a，b=2a，則（

）A．2a=3c B．3a=2c C．b=2c D．2b=c【變式1-1】（23-24高一下·貴州黔西·期中）在△ABC中，已知a+b+cb+c?a=3bc，則角A等于（A．150° B．120° C．60° D．30°【變式1-2】（24-25高一下·全國·課后作業）在銳角三角形ABC中，a=1，b=2，則邊c的取值范圍是（

）A．1<c<3 B．C．3<c<5 【變式1-3】（24-25高一下·安徽滁州·階段練習）若鈍角△ABC的內角A，B，C滿足A+C=2B，且最大邊長與最小邊長的比值為m，則m的取值范圍是（

）A．1,2 B．2,+∞ C．3,+∞ 【題型2余弦定理解三角形】【例2】（23-24高一下·天津·期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a=13，b=3，c=2，則角A=（A．30° B．60° C．120° D．150°【變式2-1】（23-24高一下·河南洛陽·期中）△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cosC2=55，BC=2，AC=5A．23 B．17 C．29 D．【變式2-2】（23-24高一下·浙江·期中）已知△ABC的三條邊長分別為a，b，c，且a+b:b+c:A．π3 B．2π3 C．3【變式2-3】（23-24高一下·山西長治·期末）在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，a=2c=2，tanA+B2+tanCA．2 B．3 C．2 D．5【題型3正弦定理邊角互化的應用】【例3】（23-24高一下·青海海東·期中）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a，b，c，若B=2A，ab=22，則A．π6 B．π4 C．π3【變式3-1】（23-24高一下·北京通州·期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則“A>B”是“asinA>bsinA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式3-2】（23-24高一下·吉林長春·期末）已知△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A:B:C=1:1:4，則a:b:c等于（

）A．1:1:3 B．2:2:3 C．1:1:2 【變式3-3】（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習）在△ABC中，若A=30°,a=1,則b+2csinB+2sinA．2 B．12 C．32 【題型4正弦定理解三角形】【例4】（23-24高一下·江蘇常州·期末）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A=π3，tanB=32，a=A．2 B．5 C．3 D．7【變式4-1】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知acosC=3ccosA，且tanC=A．π6 B．π4 C．π3【變式4-2】（23-24高一下·山東聊城·期中）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinA=45，cosC=1213，A．3326 B．6365 C．2113 D．【變式4-3】（23-24高一下·山西大同·期中）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c=3，b=6，C=60°，則A=（

A．45° B．75° C．105° D．135°【題型5正弦定理判定三角形解的個數】【例5】（23-24高一下·天津西青·期末）由下列條件解△ABC，其中有兩解的是（

）A．b=20,A=45°,C=C．a=11,b=6,A=45° 【變式5-1】（23-24高一下·江蘇揚州·期中）在△ABC中，若a=1，cosA=154，b=2A．0個 B．1個 C．2個 D．不確定【變式5-2】（23-24高一下·河北張家口·期末）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sinB=33,c=3，若△ABC有兩解，則A．3,3 B．3,3 C．【變式5-3】（23-24高一下·湖北·期中）根據下列條件，判斷三角形解的情況，其中有兩解的是（

）A．b=1,A=45°,C=C．a=3,b=1,B=120° 【題型6正、余弦定理判定三角形形狀】【例6】（23-24高一下·福建龍巖·期中）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，cosB=?12，aA．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【變式6-1】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若bcosA+acosB=csinA．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【變式6-2】（23-24高一下·天津·階段練習）在△ABC中，已知asinAa2+A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．等邊三角形【變式6-3】（23-24高一下·江蘇鎮江·期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a?ccosB=b?ccosA，則A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角【題型7三角形面積公式的應用】【例7】（23-24高一下·內蒙古赤峰·階段練習）已知在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若b=2,c=23，且2sinB+CcosC=1?2A．23 B．32 C．34或32 【變式7-1】（23-24高一下·山西呂梁·期末）在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a+b?ca+b+c=3ab,a=4,b=2，則△ABC的面積是（A．2 B．4 C．23 【變式7-2】（23-24高一下·山東聊城·期末）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，c=2，a2+b2=A．32 B．1 C．3 D．【變式7-3】（23-24高一下·海南海口·期末）△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sin2B+sin2C?sin2A=sinBsinA．3 B．23 C．3 【題型8正、余弦定理在幾何圖形中的應用】【例8】（23-24高一下·北京·期中）如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=26(1)求cos∠ABD(2)求BC的長．【變式8-1】（23-24高一下·廣東佛山·期中）在四邊形ABCD中，AB//CD，記∠ACD=α，AD?sinD=3AC?cosα，∠BAC的角平分線與BC相交于點(1)求cosα(2)求BC的值.【變式8-2】（23-24高一下·內蒙古·期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，BC=2,∠BCD=π6,△BCD

(1)求BD；(2)若AD=22,∠ABD=π【變式8-3】（23-24高一下·河南·階段練習）如圖，D為△ABC所在平面內一點且點B，D位于直線AC的兩側，在△ADC中，2AD?DC=A

(1)求∠ADC的大小；(2)若∠BAD=π3，∠ABC=5π6，AB=1【題型9\o"求三角形中的邊長或周長的最值或范圍"\t"/gzsx/zj168411/_blank"求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】【例9】（23-24高一下·湖北武漢·期中）在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積，a=4，且2S=a2?b?c2A．8,45+4 B．12,25+2 C．【變式9-1】（23-24高一下·寧夏石嘴山·期末）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若b2+c2?a2A．3，2 B．3,2 C．3【變式9-2】（23-24高一下·湖北武漢·期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，433S=b2(1)求角A；(2)若a=3，求△ABC【變式9-3】（23-24高一下·重慶·期末）在銳角△ABC中，a,b,c分別為內角A,B,C的對邊，已知2a?c=2bcos(1)求B的大小；(2)求a+bc【知識點2測量問題】1．測量問題(1)測量距離問題的基本類型和解決方案

當AB的長度不可直接測量時，求AB的距離有以下三種類型：類型簡圖計算方法A,B間不可達也不可視測得AC=b，BC=a，C的大小，則由余弦定理得B,C與點A可視但不可達測得BC=a，B，C的大小，則A=π-(B+C)，由正弦定理得C,D與點A,B均可視不可達測得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度數.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.(2)測量高度問題的基本類型和解決方案

當AB的高度不可直接測量時，求AB的高度有以下三種類型：類型簡圖計算方法底部

可達測得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.底部不可達點B與C,D共線測得CD=a及∠ACB與∠ADB的度數.

先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.點B與C,D不共線測得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度數.

在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.(3)測量角度問題測量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時問題涉及方向角、方位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關鍵是根據題意、圖形及有關概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.【題型10距離、高度、角度測量問題】【例10】（24-25高一下·全國·隨堂練習）如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側，在所在的河岸邊先確定一點C，測出A，C的距離為50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，可以計算出A，B兩點的距離為（

）A．502m B．503m C．【變式10-1】（24-25高