2024年秋九年級期末質量監測數學試題考試時間：120分鐘分值：150分一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1.我國古代數學的許多創新與發明都在世界上具有重要影響，下列圖標中，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（）A.劉徽的割圓術 B.中國七巧板C楊輝三角 D.趙爽弦圖2.將一元二次方程化成一般形式（）A. B.C. D.3.下列事件中的必然事件是（）A.地球繞著太陽轉 B.射擊運動員射擊一次，命中靶心C.天空出現三個太陽 D.經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈4.如圖，將繞點C逆時針旋轉（）得到，點A的對應點恰好落在AB邊上，若，則旋轉角的度數是（）A. B. C. D.5.關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則（）A.－2 B.2 C.－4 D.46.如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD⊥AB于E點，且BC＝6，∠BAC＝30°，則CD的值是（）A.4 B. C. D.9.67.若點，，在二次函數的圖象上，下列數量關系正確的是（）A. B. C. D.8.我國南宋數學家楊輝在1275年提出一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是幾步．設寬為x步，根據題意列方程正確的是（）A. B.C. D.9.如圖，在等腰中，，于點，將一直角三角尺的直角頂點放在點處，當三角尺繞點順時針旋轉時，兩條直角邊分別與交于點（點、分別在線段、上，端點除外），連接，則線段與的大小關系式為（）A. B. C. D.10.已知二次函數的圖象與軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列結論中：①；②若點，，均在該二次函數圖象上，則；③若為任意實數，則；④若且，則；⑤方程的兩實數根為，，且，則，．其中正確的結論個數是()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）11.方程是關于的一元二次方程，則___________．12.拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是______．13.為了估計暗箱里黑球的數量（箱內只有黑球），將6個白球放進去，這些球與黑球除顏色外其他都相同，攪勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回；攪勻后再從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回……多次重復后發現摸出黑球的頻率穩定在附近，那么可以估計暗箱里黑球的個數為______個．14.如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，連接，若將繞點順時針旋轉，得到，則點的坐標為__________．15.如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內，與水平橋面相交于兩點，拱橋最高點到的距離為米，米，為拱橋底部的兩點，且，若點到直線的距離為米，則的長為______米．16.如圖，正方形的頂點在原點，邊，分別在軸和軸上，點坐標為，點是的中點，點是邊上的一個動點，連接，以為圓心，為半徑作圓，設點橫坐標為，當⊙與正方形的邊相切時，的值為______．三、解答題17.按要求解下列方程：（1）（任選一種方法）（2）（配方法）18.如圖，和關于某一點中心對稱，其中點，，，．（1）對稱中心的坐標為______；（2）將繞點O順時針旋轉90°得到．①在直角坐標系中畫出；②求點A經過的路徑的長．19.已知關于的方程（為常數）．（1）請你說明，無論為何值，方程總有兩個不相等的實數根；（2）若，解這個方程．20.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．（1）以AB邊上一點O為圓心，過A、D兩點作⊙O，并標出圓心．（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由．（3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半徑．21.如圖，拋物線與軸交于點、，與軸交于點．（1）寫出、、的坐標；（2）當時，求函數值的取值范圍；（3）若點是第四象限內拋物線上一動點，連接、、，求面積的最大值．22.為了培養青少年體育興趣、體育意識，某校初中開展了“陽光體育活動”，決定開設籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項球類活動，為了了解學生對這五項活動的喜愛情況，隨機調查了一些學生（每名學生必選且只能選擇這五項活動中的一種）．根據以下統計圖提供的信息，請解答下列問題：（1）本次被調查的學生有______名，補全條形統計圖；（2）扇形統計圖中“羽毛球”對應扇形的圓心角度數是______；（3）學校準備推薦甲、乙、丙、丁四名同學中的2名參加全市中學生籃球比賽，用列表或樹狀圖法求甲和乙同學同時被選中的概率是多少？23.如圖，平分，與相切于點A，延長交于點C，過點O作，垂足為B．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為2，，求的長．（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．24.在2024國際射聯射擊世界杯總決賽上，中國射擊運動員謝瑜以環的優異成績摘得男子10米氣手槍金牌，激勵著千千萬萬的青少年堅定理想、奮力拼搏．謝瑜的家鄉貴州省某地盛產核桃，某農戶2022年種植核桃80公頃，他逐年擴大規模，到2024年，核桃種植面積達到了公頃．（1）求該農戶這兩年種植核桃公頃數的年均增長率；（2）某銷售核桃的干果店經市場調查發現，當核桃售價為20元/時，每天能售出，售價每降低1元、每天可多售出，為了盡快減少庫存，該店決定降價促銷，已知核桃的平均成本價為12元/，若要使該店銷售核桃每天獲利1750元，則售價應降低多少元？25.【模型感知】手拉手模型是初中數學里三角形全等知識點考察的重要模型．兩個有公共頂點且頂角相等的等腰三角形組成的圖形叫手拉手模型．（1）如圖1，已知和都是等邊三角形，連接，．求證：；【模型應用】（2）如圖2，已知和都是等邊三角形，將繞點旋轉一定的角度，當點在的延長線上時，請直接寫出線段、、之間存在的數量關系為______；【類比探究】（3）如圖3，已知和都是等邊三角形．①當點在線段上時，過點作于點．求證：②當點在線段的延長線上時，請直接寫出線段，與之間存在的數量關系為______．26.如圖，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點，其頂點為D．（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；（2）在y軸上是否存在一點M，使得的周長最小．若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點E在以點為圓心，1為半徑的上，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．求的取值范圍．

2024年秋九年級期末質量監測數學試題考試時間：120分鐘分值：150分一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1.我國古代數學的許多創新與發明都在世界上具有重要影響，下列圖標中，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（）A.劉徽的割圓術 B.中國七巧板C.楊輝三角 D.趙爽弦圖【答案】D【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形的定義；在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．據此進行逐項分析，即可作答．【詳解】解：A、該圖形不是中心對稱圖形，故該選項是錯誤的；B、該圖形不是中心對稱圖形，故該選項是錯誤的；C、該圖形不是中心對稱圖形，故該選項是錯誤的；D、該圖形是中心對稱圖形，故該選項是正確的；故選：D2.將一元二次方程化成一般形式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查一元二次方程的一般式，移項，將方程化為的形式即可．【詳解】解：，∴；故選D．3.下列事件中的必然事件是（）A.地球繞著太陽轉 B.射擊運動員射擊一次，命中靶心C.天空出現三個太陽 D.經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈【答案】A【解析】【分析】根據必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，可得答案．【詳解】解∶A、地球繞著太陽轉是必然事件，故A正確；B、射擊運動員射擊一次，命中靶心是隨機事件，故B錯誤；C、天空出現三個太陽是不可能事件，故C錯誤；D、經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈是隨機事件，故D錯誤；故選∶A．【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．4.如圖，將繞點C逆時針旋轉（）得到，點A的對應點恰好落在AB邊上，若，則旋轉角的度數是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查旋轉的性質，等邊對等角及三角形內角和定理．熟練掌握旋轉的性質，是解題的關鍵．根據旋轉的性質，得到，進而得到，根據三角形內和定理求出即可．【詳解】解：∵將繞點C逆時針旋轉（）得到，∴，，∴，∵．故選：C．5.關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則（）A.－2 B.2 C.－4 D.4【答案】A【解析】【分析】由一元二次方程根的情況可得，再代入式子即可求解．【詳解】∵關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根∴∴，故選：A.【點睛】本題考查一元二次方程根判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．6.如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD⊥AB于E點，且BC＝6，∠BAC＝30°，則CD的值是（）A.4 B. C. D.9.6【答案】B【解析】【分析】AB是圓O的直徑，AB⊥CD，得到∠ACB=90°，∠AEC=90°，，再由含30度角的直角三角形的性質得到AB=2BC=12，，然后利用勾股定理求出即可得到答案．【詳解】解：∵AB是圓O的直徑，AB⊥CD，∴∠ACB=90°，∠AEC=90°，，又∵∠BAC=30°，∴AB=2BC=12，，∴，∴，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，直角所對的圓周角是直角，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握垂徑定理．7.若點，，在二次函數的圖象上，下列數量關系正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征以及二次函數的性質，解題的關鍵是先求出二次函數的對稱軸，再根據對稱軸及函數的單調性判斷函數值的大小關系．先將二次函數化為頂點式，求出對稱軸，再分別計算各點到對稱軸的距離，最后根據二次函數的性質比較函數值大小．【詳解】將二次函數化為頂點式：所以該二次函數的對稱軸為直線，點到對稱軸的距離為，點到對稱軸的距離為，點到對稱軸的距離為，因為二次項系數，當時，，二次函數圖象開口向下，在對稱軸左側隨的增大而增大，在對稱軸右側隨的增大而減小，且點到對稱軸的距離越遠，函數值越小，比較距離大小，所以，故答案為：C．8.我國南宋數學家楊輝在1275年提出的一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是幾步．設寬為x步，根據題意列方程正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設寬為x步，則長為步，根據題意列方程即可．【詳解】解：設寬為x步，則長為步，由題意得：，故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用，正確理解題意是關鍵．9.如圖，在等腰中，，于點，將一直角三角尺的直角頂點放在點處，當三角尺繞點順時針旋轉時，兩條直角邊分別與交于點（點、分別在線段、上，端點除外），連接，則線段與的大小關系式為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，余角性質，由等腰直角三角形的性質可得，，，進而由余角性質得，最后證明即可求解，掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵等腰中，，于點，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，故選：．10.已知二次函數的圖象與軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列結論中：①；②若點，，均在該二次函數圖象上，則；③若為任意實數，則；④若且，則；⑤方程的兩實數根為，，且，則，．其中正確的結論個數是()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】由該拋物線經過點即可判斷結論①；由各點到拋物線對稱軸的距離大小即可判斷結論②；由當時函數值取最大值，即可判斷結論③；由對稱軸為直線，即可判斷結論④；由拋物線的對稱軸可得該拋物線與軸的交點坐標，即可判斷結論⑤．【詳解】解：如下圖，∵二次函數的圖象與軸的一個交點坐標為∴當時，可有，故結論①正確；∵，∴該二次函數的圖象開口向下，∴函數圖象上的點距離對稱軸越遠，函數值越小，∵對稱軸為，∵，，，又∵，∴，故結論②錯誤；∵該函數圖像的對稱軸，∴，∵，即，∴，∵該二次函數的圖象開口向下，∴當時，該函數取最大值，∴為任意實數，可有，即，故結論③正確；∵若且，即有，∵函數圖象的對稱軸為，∴，即，故結論④錯誤；∵方程的兩實數根為，，∴拋物線與直線的交點的橫坐標為，，由拋物線的對稱性可知該拋物線與軸的另一交點為，即該拋物線與軸的交點為，，∵該拋物線開口向下，，∴，，故結論⑤正確．綜上所述，結論正確的有①③⑤，共計3個．故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象與性質、二次函數圖象與系數的關系、二次函數與方程和不等式的關系、利用不等式求自變量或函數值的范圍等知識，解題關鍵是運用數形結合的思想分析問題．二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）11.方程是關于的一元二次方程，則___________．【答案】【解析】【分析】根據一元二次方程的定義知，，且，據此可以求得的值．【詳解】解：方程是關于的一元二次方程，，且，解得；故答案是：．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數，熟練掌握其性質是解決此題的關鍵．12.拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了拋物線的平移規律，熟練掌握“左加右減，上加下減”的平移規律是解題的關鍵．根據平移規律計算即可．【詳解】拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是．故答案為：．13.為了估計暗箱里黑球的數量（箱內只有黑球），將6個白球放進去，這些球與黑球除顏色外其他都相同，攪勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回；攪勻后再從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回……多次重復后發現摸出黑球的頻率穩定在附近，那么可以估計暗箱里黑球的個數為______個．【答案】9【解析】【分析】本題主要考查了分式方程的應用、頻率等知識，結合頻率的概念建立關于的分式方程是解題關鍵．設暗箱里黑球的個數為個，根據“頻率穩定在附近”可得，求解并檢驗，即可獲得答案．【詳解】解：設暗箱里黑球的個數為個，根據題意，可得，解得，經檢驗，是該分式方程的解，所以暗箱里黑球的個數為9個．故答案為：9．14.如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，連接，若將繞點順時針旋轉，得到，則點的坐標為__________．【答案】【解析】【分析】根據旋轉的性質可求得和的長度，進而可求得點的坐標．【詳解】解：作軸于點，由旋轉可得，軸，∴四邊形為矩形，∴，，∴點坐標為．故答案為：．【點睛】此題考查了旋轉的性質，解題的關鍵是根據旋轉找到題目中線段之間的關系．15.如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內，與水平橋面相交于兩點，拱橋最高點到的距離為米，米，為拱橋底部的兩點，且，若點到直線的距離為米，則的長為______米．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數綜合應用，以為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，設該拋物線的表達式為，代入點的坐標求出解析式，再把點的縱坐標代入解析式，進而求得點的橫坐標，即可求解，解題的關鍵是正確地建立平面直角坐標系．【詳解】解：如圖，以點為原點建立平面直角坐標系，由題意可得，點的坐標為，點的縱坐標為，設拋物線形的解析式為，把代入得，，解得，∴，把代入得，，解得，∴米，故答案為：．16.如圖，正方形的頂點在原點，邊，分別在軸和軸上，點坐標為，點是的中點，點是邊上的一個動點，連接，以為圓心，為半徑作圓，設點橫坐標為，當⊙與正方形的邊相切時，的值為______．【答案】或【解析】【分析】先求出，則，再分分與相切和與相切兩種情況考慮：利用切線的性質得到和圓的性質分別表示出的長，再在中利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】解：四邊形是正方形，點坐標為，，∵點是的中點，∴．分與相切和與相切兩種情況考慮：①當與相切時，如圖1所示．點橫坐標為，．在中，，，，，即，解得：；②當與相切時，設切點為，連接，如圖2所示．，，，四邊形為矩形，，．在中，，，，，即，解得：，（不合題意，舍去）．綜上所述：的值為或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了切線的性質，正方形的性質，矩形的性質與判定，勾股定理，坐標與圖形等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．三、解答題17.按要求解下列方程：（1）（任選一種方法）（2）（配方法）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查解一元二次方程：（1）利用因式分解法解方程即可；（2）根據一除，二移，三配，四變形，五開方的步驟，進行求解即可.【小問1詳解】解：將原方程化為一般形式，得即：∴∴∴；【小問2詳解】解：，，∴.18.如圖，和關于某一點中心對稱，其中點，，，．（1）對稱中心的坐標為______；（2）將繞點O順時針旋轉90°得到．①在直角坐標系中畫出；②求點A經過的路徑的長．【答案】（1）（2）①見解析；②【解析】【分析】本題考查了圖形的變換：中心對稱與旋轉變換，畫旋轉圖形，旋轉經過的路徑長；（1）根據A、D兩點的坐標即可確定對稱中心；（2）①確定A、B、C三個頂點旋轉的對應點，依次連接即可；②求出的長，由弧長公式即可求解．【小問1詳解】解：由中點坐標公式得：，即對稱中心的坐標為；故答案為：；【小問2詳解】解：①如圖，即為所求．②連接OA，根據勾股定理可得，∴點A經過的路徑的長為．19.已知關于的方程（為常數）．（1）請你說明，無論為何值，方程總有兩個不相等的實數根；（2）若，解這個方程．【答案】（1）見解析（2），【解析】【分析】本題主要考查了解一元二次方程、根的判別式，熟記根的判別式是解題關鍵．（1）根據根的判別式求出，再根據根的判別式求解即可；（2）把代入方程，解一元二次方程即可．【小問1詳解】解：由于是一元二次方程，，無論取何實數，總有，方程總有兩個不相等的實數根．【小問2詳解】解：當，代入方程，得：，，，，．故答案為：，．20.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．（1）以AB邊上一點O為圓心，過A、D兩點作⊙O，并標出圓心．（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由．（3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半徑．【答案】（1）作圖見解析；（2）直線BC與⊙O的位置關系為：相切；理由見解析；（3）⊙O的半徑為3．【解析】【分析】（1）以AB邊上一點O為圓心，過A、D兩點作⊙O，并標出圓心；（2）根據切線的判定即可判斷直線BC與⊙O的位置關系；（3）根據AB=8，BD=4，即可求⊙O半徑．【詳解】（1）如圖，⊙O即為所求；（2）直線BC與⊙O的位置關系為：相切，理由如下：連接OD，∴OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴AC∥OD，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD⊥BC，OD是半徑，∴直線BC與⊙O相切；（3）設⊙O的半徑為x，在Rt△OBD中，OD＝x，OB＝8﹣x，BD＝4，∴（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3．答：⊙O的半徑為3．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖、角平分線性質、直線與圓的位置關系，解決本題的關鍵是準確畫圖．21.如圖，拋物線與軸交于點、，與軸交于點．（1）寫出、、的坐標；（2）當時，求函數值的取值范圍；（3）若點是第四象限內拋物線上一動點，連接、、，求的面積的最大值．【答案】（1）（2）（3）最大值為【解析】【分析】本題考查二次函數的綜合應用，二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，利用數形結合的思想進行求解，是解題的關鍵：（1）分別令，進行求解即可；（2）根據二次函數的增減性進行求解即可；（3）連接，分割法表示出的面積，利用二次函數求最值即可．【小問1詳解】解：∵，∴當時，，當時，解得：，∴；【小問2詳解】∵，∴對稱軸為直線，∴當時，函數有最小值為，∵，∴當時，，當時，，∴當時，；【小問3詳解】連接，∵，∴，設點，∴，，∵點P是第四象限內拋物線上一動點，∴，∴當時，S有最大值，最大值為．22.為了培養青少年體育興趣、體育意識，某校初中開展了“陽光體育活動”，決定開設籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項球類活動，為了了解學生對這五項活動的喜愛情況，隨機調查了一些學生（每名學生必選且只能選擇這五項活動中的一種）．根據以下統計圖提供的信息，請解答下列問題：（1）本次被調查的學生有______名，補全條形統計圖；（2）扇形統計圖中“羽毛球”對應的扇形的圓心角度數是______；（3）學校準備推薦甲、乙、丙、丁四名同學中的2名參加全市中學生籃球比賽，用列表或樹狀圖法求甲和乙同學同時被選中的概率是多少？【答案】（1）100，見解析（2）（3）【解析】【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統計圖、扇形統計圖，能夠讀懂條形統計圖和扇形統計圖，掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．（1）用選擇籃球的人數除以其所占百分比，可得本次被調查的學生總人數：求出選擇“足球”的人數，再補全條形統計圖即可；（2）用選擇羽毛球的人數除以本次被調查的學生總人數再乘以360度即可；（3）畫樹狀圖得出所有等可能的結果數，以及甲和乙同學同時被選中的結果數，再利用概率公式可得出答案．【小問1詳解】解：根據題意得本次被調查的學生人數（人），喜愛足球的人數為：（人），條形圖如圖所示，；【小問2詳解】解：“羽毛球”人數所占比例為：，所以，扇形統計圖中“羽毛球”對應的扇形的圓心角度數，【小問3詳解】解：設甲、乙、丙、丁四名同學分別用字母A，B，C，D表示，根據題意畫樹狀圖如下：

∵一共有12種可能出現的結果，它們都是等可能的，符合條件的有兩種，∴P（甲、乙兩人被選中）．23.如圖，平分，與相切于點A，延長交于點C，過點O作，垂足為B．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為2，，求的長．（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．【答案】（1）詳見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由與相切于點A，可得出，由角平分線線的性質定理即可得出，即可得出是的切線．（2）利用勾股定理得出，線段的和差得出，設，則，利用勾股定理解，即可求出x．（3）根據求解即可．【小問1詳解】證明：∵與相切于點A，∴，∵平分，，∴，∴是切線；【小問2詳解】解：∵的半徑為2，∴，∵，，∴，，∵，都是的切線，∴設，則，∴在中，即，解得，∴．【小問3詳解】在中，，，∴，，∴，∴，，，∴【點睛】本題主要考查了證明某直線是圓的切線，角平分線的性質定理，勾股定理以及求不規則圖形的面積等知識．24.在2024國際射聯射擊世界杯總決賽上，中國射擊運動員謝瑜以環的優異成績摘得男子10米氣手槍金牌，激勵著千千萬萬的青少年堅定理想、奮力拼搏．謝瑜的家鄉貴州省某地盛產核桃，某農戶2022年種植核桃80公頃，他逐年擴大規模，到2024年，核桃種植面積達到了公頃．（1）求該農戶這兩年種植核桃公頃數的年均增長率；（2）某銷售核桃的干果店經市場調查發現，當核桃售價為20元/時，每天能售出，售價每降低1元、每天可多售出，為了盡快減少庫存，該店決定降價促銷，已知核桃的平均成本價為12元/，若要使該店銷售核桃每天獲利1750元，則售價應降低多少元？【答案】（1）（2）3元【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用：（1）設該農戶這兩年種植核桃公頃數的年均增長率為x．根據兩年時間種植面積由80公頃變為公頃列出方程求解即可；（2）設售價應降低y元，則每千克的利潤為元，銷售量為，再由總利潤為1750列出方程求解即可．【小問1詳解】解：設該農戶這兩年種植核桃公頃數的年均增長率為x．由題意，得，解得（舍去）．答：該農戶這兩年種植核桃公頃數的年均增長率為．【小問2詳解】解：設售價應降低y元．由題意，得，整理得解得．∵要盡快減少庫存，∴．答：售價應降低3元．25.【模型感知】手拉手模型是初中數學里三角形全等知識點考察的重要模型．兩個有公共頂點且頂角相等的等腰三角形組成的圖形叫手拉手模型．（1）如圖1，已知和都是等邊三角形，連接，．求證：