專題11二次函數與單線段最值問題

方法揭秘.

1.預備知識：平面直角坐標系中的水平線段與S值線段最值問題.

A\x-yx\

Bxy2\

（）X

豎觥段：AB=y「打，縱坐標相減，上和3

水平線段：縱坐標相減，右減左?

2.拋銀戔中的豎醛段

解題方法：先由A、C左右求出直線AC的解析式，利用點P硬物段上，點Q的直線

AC上，PQ/y軸，設出點P的坐標為m,進而得到點P和Q的坐標，兩者作差即可得到

PQ籽表達式，從而得到PQ的最大值,進而也能求得nAPC和四邊形ABCP

面積的最大值.

3.螂假中踴線段最值問題：如右上圖，求PH的最大值（或點P到直線AC的最大距

離）

解題方法：利用相似E角形△PQHSAACO,得到既條k（闔S）,進而得到PH關于PQ

輟量關系，轉《為求kPQ的最大值.

或群統sinZPQH=sinZ.4CO=^

典例剖析“

【例1】(2022?襄陽)在平面直角坐標系中，直線y=s-2%與x軸，y軸分別交于A,8兩點，頂點為。

的拋物線y=-X2+2HU-m2+2與y軸交于點C.

(1)如圖，當初=2時，點尸是拋物線CD段上的一個動點.

①求A,B,C,。四點的坐標；

②當面積最大時，求點尸的坐標；

(2)在y軸上有一點M0，工加，當點C在線段MB上時，

3

①求機的取值范圍；

②求線段BC長度的最大值.

(備用圖)

【例2】(2022?湖州)如圖1,已知在平面直角坐標系尤Oy中，四邊形0ABe是邊長為3的正方形，其中頂點

A,C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上.拋物線y=-/+bx+c經過A,C兩點，與x軸交于另一個

點D.

(1)①求點A,B,C的坐標；

②求b,c的值.

(2)若點P是邊8C上的一個動點，連結AP,過點尸作交y軸于點M(如圖2所示).當點P在

8C上運動時，點M也隨之運動.設8P=機，CM=n,試用含％的代數式表示“并求出w的最大值.

【例3】(2021?青海)如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2與坐標軸交于A,2兩點，點A在無軸上，

點2在y軸上，C點的坐標為(1,0),拋物線y=a/+bx+c經過點A,B,C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)根據圖象寫出不等式a/+(6-1)x+c>2的解集；

(3)點P是拋物線上的一動點，過點尸作直線的垂線段，垂足為。點.當尸。=近時，求P點的坐

2

標.

【例4】(2022?雅安)已知二次函數y=a?+bx+c的圖象過點A(-1,。)，B(3,0),且與y軸交于點C(0,-

3).

備用圖

(1)求此二次函數的表達式及圖象頂點D的坐標；

(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在點E,使△ACE為RtZ\,若存在，試求點E的坐標，若不存在，請說

明理由；

(3)在平面直角坐標系中，存在點尸，滿足E4LPZ),求線段PB的最小值.

滿分訓練.

1.(2020?河北模擬)已知拋物線C：y=a/+b尤+c(a>0,c<0)的對稱軸為x=4,C為頂點，且A(2,0),C(4,

-2)

【問題背景】求出拋物線C的解析式.

【嘗試探索】如圖2,作點C關于x軸的對稱點C',連接8C',作直線x=上交BC'于點交拋物

線C于點N.

①連接沏，若四邊形MNDC,是平行四邊形，求出發的值.

②當線段MN在拋物線C與直線BC,圍成的封閉圖形內部或邊界上時，請直接寫出線段的長度的

最大值.

【拓展延伸】如圖4,作矩形HGOE,且E(-3,0),”(-3,4),現將其沿無軸以1個單位每秒的速度向

右平移，設運動時間為t,得到矩形H'G'O'E',連接AC',若矩形H'G'O'E'與直線AC'

和拋物線C圍成的封閉圖形有公共部分，請求出f的取值范圍.

2.(2018秋?寧城縣期末)已知，如圖，拋物線與x軸交點坐標為A(l,0),C(-3,0),

(1)如圖1,已知頂點坐標。為(-1,4)或B點(0,3),選擇適當方法求拋物線的解析式；

(2)如圖2,在拋物線的對稱軸上求作一點使的周長最小，并求出點M的坐標；

(3)如圖3,將圖2中的對稱軸向左移動，交無軸于點P(s,0)(-3＜機＜-1),與拋物線，線段8c的交

點分別為點￡、F,用含機的代數式表示線段的長度，并求出當機為何值時，線段跖最長.

3.(2021?橋西區模擬)如圖1,拋物線y=a?+bx+3與龍軸交于A(-1,0),2兩點，與y軸交于點C,且C。

=BO,連接8C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,拋物線的頂點為。，其對稱軸與線段BC交于點E,求線段OE的長度；

(3)如圖3,垂直于x軸的動直線/分別交拋物線和線段BC于點P和點R連接CP,CD,拋物線上是否

存在點P，使△CDEs△PCF,如果存在，求出點P的坐標，如果不存在，請說明理

4.(2022?和平區二模)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線頂點A的坐標為(-2,4),且經過坐標原點，

與x軸負半軸交于點8.

(1)求拋物線的函數表達式并直接寫出點B的坐標；

(2)過點A作ACLx軸于點C,若點。是y軸左側的拋物線上一個動點(點。與點A不重合)，過點。作

軸于點E,連接A。，DO,當以A,O,C為頂點的三角形與以。，O,E為頂點的三角形相似時，

求點D的坐標；

(3)在(2)的條件下，當點D在第二象限時，在平面內存在一條直線，這條直線與拋物線在第二象限交于點

F,在第三象限交于點G,且點A,點8,點。，到直線FG的距離都相等，請直接寫出線段FG的長.

5.(2022?鹿城區校級二模)如圖，拋物線y=/+bx+c與無軸交于點A(-1,0),2(5,0),與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式和頂點D的坐標.

(2)連結A。，點E是對稱軸與無軸的交點，過E作所〃4。交拋物線于點網廠在￡的右側)，過點尸作

尸G〃x軸交ED于點H交于點G,求取的長.

(2)點尸為第一象限拋物線上一點，過點尸作x軸的平行線，與拋物線的另一個交點為點G,連接CG交

無軸于點M設點尸的橫坐標為才，ON的長為力求d與r之間的函數解析式(不要求寫出自變量f的取值

范圍);

(3)在(2)的條件下，連接尸8,將線段PB繞著點尸順時針旋轉90°得到線段PD,點D恰好落在y軸上，

點E在線段OB上，連接PE,點Q在EB的延長線上，且EQ=PE,連接DQ交于點F,若PE=3PF,

求QN的長.

7.(2021?涼山州模擬)如圖1,在平面直角坐標系中，已知8點坐標為(1,0),MOA=OC=3OB,拋物線y

=ov2+6x+c(aW0)圖象經過A,B,C三點，其中。點是該拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)判斷△ADC的形狀并且求AAOC的面積；

(3)如圖2,點尸是該拋物線第三象限部分上的一個動點，過尸點作PELAC于E點，當PE的值最大時，

求此時尸點的坐標及PE的最大值.

8.(2022?無錫二模)已知拋物線>=m?-2根什35<0)與x軸交于A、8兩點(點A在點8的左側)，與y軸

交于點C,且08=304.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)若Af、N是第一象限的拋物線上不同的兩點，且aBCN的面積總小于的面積，求點M的坐標；

(3)若。為拋物線的頂點，P為第二象限的拋物線上的一點，連接8尸、DP,分別交y軸于點E、F,若

EF=1OC,求點P的坐標.

3

fy

9.(2021?乳源縣三模)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線>=。/+云+。與x軸交于4(5,0),B(-1,

0)兩點，與y軸交于點C(0,B).

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點〃是拋物線的頂點，連接AM,CM,求△AMC的面積；

(3)若點P是拋物線上的一個動點，過點尸作PE垂直y軸于點E,交直線AC于點。，過點。作x軸的

垂線，垂足為點R連接EF,當線段跖的長度最短時，求出點P的坐標.

10.(2021?河池)在平面直角坐標系中，拋物線y=-(尤-1)2+4與無軸交于A,8兩點(A在8的右側)，與y

軸交于點C.

(1)求直線CA的解析式；

(2)如圖，直線尤=機與拋物線在第一象限交于點交CA于點E,交x軸于點ROGLCA于點G,若

E為GA的中點，求機的值.

(3)直線y=n%+〃與拋物線交于〃(無1,yi),N(xi,y2)兩點，其中xi<%2.若無2-xi>3且”-yi>0,結合

函數圖象，探究”的取值范圍.

11.(2021?桂林)如圖，已知拋物線y=a(x-3)(x+6)過點4(-1,5)和點2(-5,m),與x軸的正半軸交于點

C.

(1)求a,m的值和點C的坐標；

(2)若點P是x軸上的點，連接PB,PA,當里=2時，求點尸的坐標；

PA5

(3)在拋物線上是否存在點使A,B兩點到直線MC的距離相等？若存在，求出滿足條件的點M的橫

坐標；若不存在，請說明理由.

12.(2021?吉林)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=/+fcv+c的圖象經過點A(0,-1),點2(1,1).

(1)求此二次函數的解析式；

⑵當-2<xW2時，求二次函數y=/+bx+c的最大值和最小值；

(3)點尸為此函數圖象上任意一點，其橫坐標為山，過點尸作尸。〃尤軸，點。的橫坐標為-2〃z+L已知

點P與點。不重合，且線段PQ的長度隨m的增大而減小.

①求m的取值范圍；

②當PQW1時，直接寫出線段PQ與二次函數y=/+bx+c(-2Wx<2)的圖象交點個數及對應的m的取

3

13.(2020?武漢模擬)己知：在平面直角坐標系中，拋物線y=o?-2冰-3a交x軸于A、2兩點(點A在點B

的左邊)，交y軸負半軸于點C.

(1)則點A的坐標為，點B的坐標為.

(2)如圖1,過點A的直線y=ax+a交y軸正半軸于點F,交拋物線于點D,過點B作BE//y軸交AD于E,

求證：AF=DE.

(3)如圖2,直線。E：>=丘+6與拋物線只有一個交點。，與對稱軸交于點E,對稱軸上存在點F滿足

DF=FE.若a=l,求點尸坐標.

14.(2020?哈爾濱模擬)如圖，拋物線》=0?+法+5經過坐標軸上A、8和C三點，連接AC,tanC=2,5OA

5

=30B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點Q在第四象限的拋物線上且橫坐標為t,連接8。交y軸于點E,連接CQ、CB,ABCQ的面積為S,

求S與/的函數解析式；

(3)已知點。是拋物線的頂點，連接C。，。“所在直線是拋物線的對稱軸，連接QH,若/BQC=45°

HR〃尤軸交拋物線于點R,HQ=HR,求點R的坐標.

15.(2019?衡陽)如圖，二次函數y=/+6x+c的圖象與x軸交于點A(-1,0)和點8(3,0),與y軸交于點M

以A8為邊在無軸上方作正方形A8C。，點尸是x軸上一動點，連接CP,過點P作CP的垂線與y軸交

于點E.

(1)求該拋物線的函數關系表達式；

(2)當點P在線段OB(點P不與0、8重合)上運動至何處時，線段OE的長有最大值？并求出這個最大值;

(3)在第四象限的拋物線上任取一點M,連接MN、MB.請問：的面積是否存在最大值？若存在,

求出此時點"的坐標；若不存在，請說明理由.

16.(2020?天津)已知點A(l,0)是拋物線;y=a/+bx+M(a,b,機為常數，aWO,機＜0)與x軸的一個交點.

(I)當＜2=1,7"=-3時，求該拋物線的頂點坐標；

(II)若拋物線與x軸的另一個交點為0),與y軸的交點為C,過點C作直線/平行于x軸，E是直

線/上的動點，尸是y軸上的動點，EF=2?

①當點E落在拋物線上(不與點C重合)，且AE=EF時，求點尸的坐標；

②取EF的中點N,當,"為何值時，的最小值是亞？

2

17.(2020?涼山州)如圖，二次函數y=a/+/zx+c的圖象過0(0,0)、A(l,0)、B(l,近)三點.

22

(1)求二次函數的解析式；

(2)若線段OB的垂直平分線與y軸交于點C,與二次函數的圖象在x軸上方的部分相交于點D,求直線

CD的解析式；

(3)在直線O)下方的二次函數的圖象上有一動點P,過點尸作尸。，尤軸，交直線CZ)于。，當線段P0

的長最大時，求點尸的坐標.

18.(2020?濱州)如圖，拋物線的頂點為A(/z,-1),與y軸交于點8(0,-工)