第三章函數

第13講二次函數的圖像與性質

（思維導圖+4考點+3命題點19種題型（含3種解題技巧））

01考情透視?目標導航??題型08根據二次函數的對稱性求參數取值范圍

02知識導圖?思維引航??題型09二次函數的最值問題

03考點突破?考法探究＞題型10根據二次函數的最值求參數/取值范圍

考點一二次函數的相關概念＞題型11根據二次函數的增減性求參數的取值范

考點二二次函數的圖像與性質圍

考點三二次函數與各項系數之間的關系＞題型12根據二次函數自變量/函數值的取值范圍

考點四二次函數與方程,不等式求函數值/自變量的取值范圍

04題型精研?考向洞悉命題點二二次函數的圖像與各項系數之間

命題點一二次函數的圖像與性質的關系

??題型01根據二次函數解析式判斷其性質?題型01二次函數的圖像與各項系數符號

??題型02根據二次函數的圖像與性質求解＞題型02根據二次函數的圖像判斷式子符號

?題型03求二次函數解析式＞題型03函數圖像綜合

?題型04畫二次函數v=ax1+bx+c的圖像命題點三二次函數與方程、不等式

??題型05以開放性試題的形式考直二次函數的圖??題型01已知一元二次方程根的分布情況求參數

像與性質?題型02二次函數與坐標系交點問題

＞題型06二次函數的平移變換問題??題型03二次函數與方程、不等式

＞題型07二次函數的對稱變換問題＞題型04二次函數與三角形相結合的應用方法

考情透視?目標導航

中考考點考老頻率新課標要求

二次函數的圖像對稱性與增減性★★

二次函數圖像的有關判斷★★能畫二次函數的圖像，通過圖像了解二次函數的性質，

知道二次函數系數與圖像形狀和對稱軸的關系；

二次函數的圖像變換★★

會求二次函數的最大值或最小值，并能確定相應自變量

二次函數的圖像與系數★★★的值

二次函數解析式的確定★★★

二次函數與方程結合★

知道二次函數和一元二次方程之間的關系，會利用二次

函數的圖像求一元二次方程的近似解.

二次函數與不等式結合★

【考情分析1］二次函數是初中階段的重點內容、難點內容，也是中考的必考內容，對于二次函數圖像和性

質的簡單考查常以非解答題的形式出現，經常考查二次函數的對稱性、增減性與其解析式中的二次項系數、

一次項系數及常數項之間的關系.

【考情分析2］二次函數與方程，不等式主要考查二次函數與一次函數結合，考查圖像交點個數與函數各項

系數間的關系，試題形式多樣，難度一般，單獨命題較少，一般都是問題中的某一部分，，其中函數圖像與

X軸的交點個數與對應的一元二次方程有關，相應不等式也可依靠函數圖像求解.

【備考建議】二次函數作為初中三大函數中考點最多，出題最多，難度最大的函數，一直都是各地中考數

學中最重要的考點，年年都會考查，總分值為15-20分，預計2025年各地中考還會考.出題形式多樣，考

生復習時需要熟練掌握相關知識，熟悉相關題型，認真對待該考點的復習.

知識導圖?思維引航

二^項系數

強形如y=ax-+bx+c一次項系數

礪頂點式y=a(x-/Q/方頂點坐標(h,k)

理解問題，確定變量與常量

交點式片。(xl)(x?c)b,c是拋物線與港交點的橫頰

用緘關系式表示它們之間的關系

強方法

利用二次函數的性質進行求弊

檢驗結果的合理性應用

利潤最值問題

最值問題

圖形最值問題開口向上

解決賣樂問題

對稱軸左側隨的大而減小

拋物線型問題二a>0yxig

增減性

次對稱軸右側y隨x的增大而增大

b=ab函最值有最小值

匕跳，開口迪人

［左同右異中間0b>02a數

在斕右側ab<0的

學海§導

圖

平移前后的解析式，a的值不變

-----------------------------------------1圖像特征像開口向下

平移前后的圖像，其形狀大4曲同，只是位置不同|------------

圖像平移

與a<0對稱軸左側y隨x的增大而增大

百口右減目涯，tb口下減常蜩平移后弼式的版增減性-----------------------------

性對稱軸右側y隨x的增大而減下

質

最值有最大值

遺漏“二次項系數不為0"這個隱含條件

易將y=a(x-〃),左1|歷的付號弄錯

學習誤區待定系數法

舉的對稱軸左、右兩側的增減性相反求函數解折式?

----------------------1步驟設、列、解、代、寫

b~~4ac

友1忌寫成一—

表。產公+bx+c

函數-有兩個交點\與魂相交

與崛交點』二°有一佗點與崛相切

函數與方程

考點突破?考法探究

考點一二次函數的相關概念

二次函數的定義：一般地，形如)=加+法+。(aWO,其中a,b,c是常數)的函數叫做二次函數.其中,

X是自變量，a,b,c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項.

二次函數的一般式：y^ax2+bx+c(a=0,其中a,b,c是常數).

二次函數的3種特殊形式：1)當b=0時，y=cuC+c(a^Q)

2)當c=0時，y=cuC+/?x(a^O)

3)當b=0且c=0時，y=ax2(a0)

二次函數的常見表達式:

名稱解析式前提條件相互聯系

一般y=ax1+Zzx+c（aw0）當已知拋物線上的無規律的三個點的坐標1)以上三種表達式是二

式時,常用一般式求其表達式.次函數的常見表達式，

它們之間可以互相轉

頂點y=+左當已知拋物線的頂點坐標(h,k)或對稱軸

化.

式或最值等有關條件時，常用頂點式求其表達

（awO,a,h,女為常數）一般式化為頂點式，

式.2)

交點式，主要運用配方

交點當已知拋物線與X軸的兩個交點坐標

y=w。）法，因式分解等方法.

式(%,0),(42,0)時，常用交點式求其表達式.

針對訓練

1.(2024?上海寶山?三模)下列函數中是二次函數的是()

A.y—B.y—(x+3)2—x2

C.y—Vx2+2x—1D.y=x(x—1)

【答案】D

【分析】本題考查二次函數的概念和解析式的形式，知識點簡單，比較容易掌握.整理后根據二次函數的

定義和條件判斷即可.

【詳解】A.y=2是反比例函數，不符合題意；

JX2

B.y=(%+3)2-%2=6%+9,是一次函數，不符合題意；

C.y=Vx2+2x-l,右邊不是整式，不是二次函數，不符合題意；

D.y=%(%-1)=x2-%是二次函數，符合題意

故選：D.

2.(2023?北京?模擬預測)線段力B=5,動點尸以每秒1個單位長度的速度從點A出發，沿線段AB運動至

點B,以線段4P為邊作正方形2PCD,線段PB長為半徑作圓，設點P的運動時間為3正方形4PCD周長為y,

OB的面積為S,則y與3S與/滿足的函數關系分別是()

A.正比例函數關系，反比例函數關系B.一次函數關系，二次函數關系

C.正比例函數關系，二次函數關系D.一次函數關系，反比例函數關系

【答案】C

【分析】根據題意列出函數關系式，即可判斷函數的類型.

【詳解】解：由題意，得

y=4t,屬于正比例函數關系，

S=?r(5-t)2,屬于二次函數關系，

故選：C.

【點睛】本題考查了函數關系式，根據題意列出函數關系式是解題的關鍵.

3.(2024?山東荷澤?一模)若二次函數y=(m+2)/—my+爪2-27n—8經過原點，則m的值為()

A.-2B.4C.一2或4D.無法確定

【答案】B

【分析】此題考查二次函數的定義，二次函數圖象上點的坐標特征，注意二次函數的二次項系數不能為0,

這是容易出錯的地方.

由題意二次函數的解析式為：y=(m+2)x2—mx+m2—2m-8知m+2彳0,則m豐—2,再根據二次函

數y=(m+2)/一Tn%+爪2-27n一8的圖象經過原點，把(0,0)代入二次函數，解出m的值.

22

【詳解】解：T二次函數的解析式為：y=(m+2)x-mx+m-2m-8,

■?■m+2力0,

771H—2,

??,二次函數y—(jn+2)x2—mx+m2—2m—8的圖象經過原點,

m2—2m—8=0,

m-4或-2,

■■m豐—2,

.?.m=4.

故選：B.

4.(2023?四川南充?一模)點P(a,9)在函數y=4x2-3的圖象上，則代數式(2a+3)(2a-3)的值等于.

【答案】3

【分析】利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出4a2=12,將其代入(2a+3)(2a—3)=4a2-9中即可

求出結論.

【詳解】解：：點P(a,9)在函數y=4x2-3的圖象上,

9=4a2-3,

4a2=12,

則代數式(2a+3)(2a-3)=4a2-9=12-9=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，牢記直線上任意一點的坐標都滿足函數關系式是解題

的關鍵.

考點二二次函數的圖像與性質

二次函數的圖像與性質

二次函婁i的圖像是一條關于某條直線對稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對

圖像特征

稱軸與規1物線的交點叫做拋物線的頂點.

222

基本形式二axy=ax+ky=a^x-h^y=a^x-hf+ky=ax+bx+c

y二

丫/

/h>0,k>0

a>0z

L——

AI——h<0,k<0x

圖

像y

\h<0,k>0

___>oX

h>

a<0/I7h</\0/^\hX),k<0

b

對稱軸y軸y軸x=hx=hx----

2a

2

頂點坐標(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)(b4ac-b^

2a4a

a>0開口向上，頂點是最低點，此時y有最小值；

最

a<0開口向下，頂點是最高點，此時y有最大值.

值

【小結】二次函數最小值（或最大值）為。（k或.廠）.

a>0在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊y隨x的增大而增大.

增

a<0在對稱軸的左邊y隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊y隨x的增大而減小.

減

性拋物線的增減性問題，由a的正負和對稱軸同時確定，單一的直接說，y隨x的增大而增大（或減小）是

易錯

不對的，必須附加一定的自變量X取值范圍.

二、二次函數的圖象變換

1）二次函數的平移變換

平移方式（n>0）一般式y=ax2+bx+c頂點式y=a(x-h)2+k平移口訣

左加

向左平移n個單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k

向右平移n個單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減

向上平移n個單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加

向下平移n個單位y=ax2+bx+c~ny=a(x-h)2+k-n下減

補充：

①二次函數圖像平移的實質：點的坐標整體平移，在此過程中a的值不發生變化，變化的只是頂點的位置，

且與平移方向有關.

②根據平移規律，左右平移是給x加減平移單位，上下平移是給常數項加減平移單位.

③涉及拋物線的平移時，首先將表達式轉化為頂點式y=a（x-/?）2+Z的形式，因為二次函數平移遵循“上

加下減，左加右減”的原則，因此可以直接由解析式中常數的加或減求出變化后的解析式.

④求函數圖像上某點平移后的坐標口訣與圖像平移口訣相同.

⑤對二次函數上下平移，不改變增減性，改變最值；對二次函數左右平移，改變增減性，不改變最值.

2）二次函數圖象的對稱變換

變換方式變換后口訣

關于X軸對稱-y=ax2+/zx+cny=-ax2-bx-cx不變，y變-y

關于y軸對稱y=a[—x^+b(-x)+cny=ax2-bx+cy不變，x變-x

關于原點對稱2x變-x,y變-y

=a(-x)2+._%)+0=>y__ax

針對訓練

1.（2024.廣東.中考真題）若點（0,yJ（1,乃），（2,乃）都在二次函數y的圖象上，貝U（）

A.y3>y2>7iB.y2>yr>y3C.yi>y3>y2D.y3>yi>y2

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質、二次函數圖象上點的坐標特征等知識點，根據二次函數的解

析式得出函數圖象的對稱軸是y軸（直線久=0）,圖象的開口向上，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，

再比較即可.

【詳解】解：二次函數丫=/的對稱軸為y軸，開口向上，

.?.當x>0時，y隨x的增大而增大，

???點（0,%）,（1,及）,（2,。3）都在二次函數丫='的圖象上,且0<1<2,

；.乃>y2>yi>

故選:A.

2.（2024.內蒙古包頭.中考真題）將拋物線y=/+2%向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（）

A.y=（%+I）2—3B.y=（x+I）2—2C.y—[x—l）2—3D.y=（x—l）2—2

【答案】A

【分析】本題主要考查了二次函數的平移以及頂點式，根據平移的規律“上加下減.左加右減”可得出平移后

的拋物線為y=x2+2%-2,再把y=%2+2x-2化為頂點式即可.

【詳解】解：拋物線y=/+2x向下平移2個單位后，

則拋物線變為y=%2+2%-2,

■■-y-x2+2x-2化成頂點式則為y-（x+I）2-3,

故選：A.

3.(2024?四川樂山?中考真題)己知二次函數y=%?一2%(一1w%wt-1),當％=-1時，函數取得最大值；

當％=1時，函數取得最小值，貝心的取值范圍是()

A.0<t<2B.0<t<4C.2<t<4D.t>2

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，二次函數的最值等知識.熟練掌握二次函數的圖象與性質是

解題的關鍵.

由y=M-2x=(x-1尸一1,可知圖象開口向上，對稱軸為直線x=1,頂點坐標為(1,-1),當x=-1

時，y=3,即(一1,3)關于對稱軸對稱的點坐標為(3,3),由當x=-l時，函數取得最大值；當x=l時,

函數取得最小值，可得lWt-lW3,計算求解，然后作答即可.

【詳解】解：0=x2-2x=(%-I)2-1,

圖象開口向上，對稱軸為直線x=L頂點坐標為(1,-1),

當x=-1時，y=3,

???(-1,3)關于對稱軸對稱的點坐標為(3,3),

???當x=-1時，函數取得最大值；當％=1時，函數取得最小值，

???1<t-1<3,

解得，2WtW4,

故選：C.

4.(2023?湖南婁底?中考真題)如圖，拋物線y=a/+6x+c與x軸相交于點4(1,0)、點B(3,0),與y軸相

交于點C,點。在拋物線上，當CD||x軸時，CD=.

【分析】與拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點4(1,0)、點8(3,0),可得拋物線的對稱軸為直線x=詈=2,

由CDIIx軸，可得C,D關于直線x=2對稱，可得。(4,c),從而可得答案.

【詳解】解：1拋物線丫=。%2+匕％+(7與冗軸相交于點/(1,0)、點8(3,0),

???拋物線的對稱軸為直線式=詈=2,

???當％=0時，y=c,即C(0,c),

'-'CD||%軸，

???C,。關于直線％=2對稱，

?必4,c),

工CD=4-0=4；

故答案為：4

【點睛】本題考查的是利用拋物線上兩點的坐標求解對稱軸方程，熟練的利用拋物線的對稱性解題是關鍵.

6.(2024?遼寧.中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+6%+3與x與相交于點4,B,點B的

坐標為(3,0),若點C(2,3)在拋物線上，則力B的長為.

【答案】4

【分析】本題主要考查了待定系數求二次函數的解析式，二次函數的性質，熟練求解二次函數的解析式是

解題的關鍵.先利用待定系數法求得拋物線y=-x2+2x+3,再令y=0,得0=-/+2x+3,解得x=-1

或x=3,從而即可得解.

【詳解】解：把點B(3,0),點C(2,3)代入拋物線y=ax2+bx+3得，

r0=9a+3b+3

(3=4。+2b+3'

解得c,

.??拋物線y=-x2+2%+3,

令y=0,得0=—x2+2%+3,

解得％=—1或%=3,

.'.AB=3-(-1)=4；

故答案為：4.

考點三二次函數與各項系數之間的關系

①二次函數y=依?+Z?x+c（a/0）的圖像與a,b,c的關系

字母字母的符號圖像特征備注

aa>0開口向上a的正負決定開口方向，

a的大小決定開口的大小（|a|越

a<0開口向下

大，開口越小）.

b=0對稱軸是y軸，即—餐二0

2a

b左同右異中間0

a,b同號對稱軸在y軸左側，即

2a

a,b異號對稱軸在y軸右側，即-2>0

2a

c二0圖像過原點

cc>0與y軸正半軸相交c決定了拋物線與y軸交點的位

置.

c<0與y軸負半軸相交

b2-4ac>0與X軸有兩個交點

b1-4acb1—4ac的正負決定拋物線與x

b1-4〃c=0與尤軸有唯一交點

軸交點個數

1與X軸沒有交點

b-4QC<0

【補充】

1）若兩條拋物線的形狀與開口方向相同時，則它們的二次項系數a必相同；

2）由a的符號與對稱軸x=-?的位置共同確定b的符號；

【小技巧】通過給X賦值，結合圖像即可判斷特殊函數值的正負.

針對訓練

1.（2024?內蒙古?中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數y=a久一6（a40）和y=?（c40）的圖象大致

如圖所示，則函數y=ax2+bx+c（a豐0）的圖象大致為（）

【分析】本題考查了一次函數、反比例函數、二次函數的圖象，熟練掌握各函數的圖象特點是解題關鍵.先

根據一次函數與反比例函數的圖象可得Q<0,bVO,O0,再根據二次函數的圖象特點即可得.

【詳解】解：,:一次函數y=ax-b（aH0）的圖象經過第一、二、四象限,

?''a<0,—b>0,即a<0,b<0,

???反比例函數y=?（c豐0）的圖象位于第二、四象限,

???—c<0,即c>0,

?,?函數y=a/+bx+c（a。0）的開口向下，與y軸的交點位于y軸的正半軸，對稱軸為直線％V0,

故選：D.

2.（2024.山東東營.中考真題）已知拋物線、=。%2+61+。（。。0）的圖像如圖所示，則下列結論正確的是

()

B.a-b=0

C.3a—c=0D.am2+bm<a—為任意實數)

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，熟知二次函數的圖象和性質及巧用數形結合的思想是解題的

關鍵；

由圖象可知：a<0,O0,根據拋物線的與工軸的交點可求對稱軸，根據對稱軸及〃與b的符號關系可得

h=2a<0,則可判斷選項A、B、C,由當％=-1時，函數有最大值，可判斷選項D.

【詳解】解：A、???拋物線開口往下，

???a<0,

??,拋物線與y軸交于正半軸，

???c>0

???拋物線的與x軸的交點是：（一3,0）和（1,0）

???對稱軸為久=-1,

b4

——1,

2a

6=2a<0,

??.abc>0,故選項A錯誤.

'-'b=2a,

??.2a—b=0,故選項B錯誤（否則可得a=0,不合題意）.

a<0,c>0,

.?-3a-c<0,故選項C錯誤.

???拋物線的對稱軸為直線%=-1,且開口向下，

.??當％=-1時，函數值最大為y=a-h+c,

???當％=zn時，y=am2+bm+c,

???am2+bm+c<a—b+c,

??.am2+bm<a—b,故選項D正確.

故選：D.

3.（2024.四川遂寧.中考真題）如圖，已知拋物線y=a/+人工+c（〃、仄。為常數，且的對稱軸

為直線X=-1,且該拋物線與久軸交于點4（1,0）,與y軸的交點B在（0,-2）,（0,-3）之間（不含端點），則下

列結論正確的有多少個（）斗

@abc>0；\v=_|；/

②9a—36+c20；\!）1/r

④若方程a/+匕％+c=%+1兩根為m,幾（771<n）,則—3<4乂?m<1<n.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題主要考查二次函數和一次函數的性質，根據題干可得a>0,b=2a〉0,-3<c<-2,即

可判斷①錯誤；根據對稱軸和一個交點求得另一個交點為(-3,0),即可判斷②錯誤；將c和6用。表示，

即可得到一3<-3。<-2,即可判斷③正確；結合拋物線丫=。/+法+。和直線37=乂+1與％軸得交點,

即可判斷④正確.

【詳解】解：由圖可知a>0,

,??拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線%=-1,且該拋物線與x軸交于點4(1,0),

???%=——=—1,a+b+c=0,

2a

則b=2a>0,

???拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點B在(0,-2),(0,—3)之間，

—3VcV—2,

則就c<0,故①錯誤；

設拋物線與久軸另一個交點(%,0),

???對稱軸為直線第=-1,且該拋物線與％軸交于點4(1,0),

?'?1—(-1)=-1-%,解得％=—3,

貝119a—3b+c=0,故②)錯誤；

,?,—3<c<-2,a+b+c=0,6=2a>0,

3V—3ciV—2,解得三VaV1,故③)正確；

根據拋物線y=ax2+bx+c與％軸交于點4(1,0)和(一3,0),直線y=%+1過點(一1,0)和(0,1),如圖，

方程a/++。=%+1兩根為加幾滿足—3<m<1<n,故④正確;

故選：B.

4.(2023?四川?中考真題)已知拋物線y=a/++。(a,4c是常數且aVO)過(-1,0)和(m,0)兩點,

且3Vzn<4,下列四個結論：@abc>0；@3a+c>0；③若拋物線過點(1,4),則一1<。<一|；④關

于％的方程以％+1)(%-m)=3有實數根，則其中正確的結論有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】由拋物線過(—1,0)和(皿0)兩點得到對稱軸為直線X=—2="匚，且3(爪<4,a<0所以得到

2a2

1<一2<進而判斷abc的符號，得到abcVO,3a+c>0；拋物線過點(一1,0)和(1,4),代入可得a-b+