第三章函數

重難點04二次函數存在性問題

（15種題型匯總+專題訓I練+9種解題方法）

【題型匯總】

題型01二次函數角度存在性問題

角度存在性問題的解題步驟

已知特殊角度求解已知角度關系求解

第一步讀題、畫圖、理解題意

第二步分析動點、定點，找不變特征

第三步確定分類特征，進行分類討論

第四步已知特殊角度，構造一線三垂直、一線三等將角度進行轉化:利用銳角三角函數、相似三角

角、直角三角形，再利用直角三角形、相似形或等腰三角形的性質、外角的性質等轉化為

三角形邊的比例關系去計算求解.常見的類型，再利用直角三角形、相似三角形

邊的比例關系去計算求解.

【溫馨提示】

1)角相等：若無明顯條件，首選利用銳角三角函數值構造相等角(先求已知角)；

2)角度和差：可通過外角的性質、相似三角形的性質轉化為相等角；

3)倍角：可通過外角的性質、等腰三角形的性質轉化為相等角：

1)己知特殊角求解

1.(2023?四川自貢?中考真題)如圖，拋物線y=-凳2+6%+4與％軸交于4(—3,0),B兩點，與y軸交于點

(1)求拋物線解析式及B,C兩點坐標；

(2)以4B,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D坐標；

(3)該拋物線對稱軸上是否存在點E,使得乙4CE=45。，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

2.(2024?山東臨沂?二模)如圖，已知拋物線y=a久2—：ax—g的圖象經過點O,OE=?OC,C是ED的

中點，尸是拋物線上的一個動點，連接PD,設點P的橫坐標為

(1)求拋物線的表達式;

(2)若點P在x軸上方的拋物線上運動，連接0P,當四邊形。CDP面積最大時，求w的值；

(3)如圖，若點。在坐標軸上，是否存在點。，使NEDQ=75。，若存在，直接寫出所有符合條件的點。的

坐標；若不存在，請說明理由.

3.(2024.山西大同.一模)綜合與探究

如圖，拋物線y=—2%—6與x軸交于點A和2,點A在點B的左側，交y軸于點C,作直線BC.

(1)求點B的坐標及直線BC的表達式;

(2)當點。在直線BC下方的拋物線上運動時，連接。。交8C于點E,若黑=*求點。的坐標；

(3)拋物線上是否存在點?使得N8CF=15。?若存在，直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

2)已知角度關系求解

4.(2024?四川資陽?中考真題)已知平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=-科久2久+c與天軸交

于A,8兩點，與y軸的正半軸交于C點，且B(4,0),BC=4近.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點尸是拋物線在第一象限內的一點，連接PB,PC,過點P作PD1x軸于點。，交BC于點K.記小PBC,

△BDK的面積分別為S「S2,求Si—Sz的最大值；

(3)如圖2,連接4C,點E為線段4C的中點，過點E作EF1AC交x軸于點尸.拋物線上是否存在點。，使

乙QFE=24OCA?若存在，求出點。的坐標；若不存在，說明理由.

5.(2023?遼寧營口?中考真題)如圖，拋物線y=a久2+城一i(a40)與％軸交于點4(1,0)和點B,與y軸交于

點C,拋物線的對稱軸交工軸于點D(3,0),過點B作直線11x軸，過點。作DE1CD,交直線/于點E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，點P為第三象限內拋物線上的點，連接CE和BP交于點Q,當算=步寸.求點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，連接4C,在直線8P上是否存在點F,使得乙DEF=4ACD+4BED?若存在，請直接

寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由.

6.(2024.重慶.模擬預測)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丫=。/+6%+3與％軸交于點4(—1,0),點

(2)如圖1,點P是直線BC上方拋物線上的一動點，過點P作y軸的平行線PE交直線BC于點E,過點P作x軸的

平行線PF交直線BC于點F,求4PEF面積的最大值及此時點P的坐標；

(3)如圖2,連接4C,BC,拋物線上是否存在點Q,使“8Q+乙4co=45°?若存在，請直接寫出點Q的坐標；

若不存在，請說明理由.

7.(2024?四川達州.二模)已知拋物線y=a/+版—4與尤軸相交于點4(—1,0),8(—4,0)),與y軸相交于點

C.

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖1,點尸是拋物線的對稱軸/上的一個動點，當APac的周長最小時，求學的值；

（3）如圖2,取線段0C的中點。，在拋物線上是否存在點。，使tan“DB=?若存在，直接寫出。點坐標.

題型02二次函數與三角形存在性問題

1）等腰三角形存在性問題

解題方法：

幾何法：1）“兩圓一線”作出點；

2）利用勾股、相似、三角函數等求線段長；

3）分類討論，求出點P的坐標.

代數法：1）表示出三個點坐標A、B、P；

2）由點坐標表示出三條線段：AB、AP、BP；

3）根據題意要求（看題目有沒有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP；

4）列出方程求解.

①兩定一動

8.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，拋物線y=-/+bx+c與x軸交于點2（-3,0）和點8,與y軸交于點C（0,3）,

點D在拋物線上.

備用圖

（1）求該拋物線的解析式;

(2)當點。在第二象限內，且AACD的面積為3時，求點。的坐標;

(3)在直線8c上是否存在點P,使AOP。是以PD為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標;

若不存在，請說明理由.

9.(2024.云南怒江.一模)已知拋物線y=—/+4x+5與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側)，與y軸

(2)點。是直線BC上方拋物線上的點，連接BD、CD,求S"CD的最大值;

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點尸，使得ABCP是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在,

請說明理由.

10.(2024?陜西西安?模擬預測)如圖，在平面直角坐標系中，經過點(9,13)的拋物線C1:y=a/+bx+l(a、b

為常數，且a70)與x軸交于4、B兩點，與y軸交于點C,頂點為。，對稱軸為直線x=3.

(1)求拋物線Ci的函數表達式和點D的坐標;

(2)將拋物線G向左平移血(爪＞0)個單位長度后得到拋物線。2,拋物線Q的頂點為E連接CE、DE,請問

在平移過程中，是否存在相的值，使得△CDE是等腰三角形？若存在，請求出機的值；若不存在，請說明

理由.

②一定兩動

11.(2023?遼寧撫順?模擬預測)如圖，拋物線y=a/+.一3經過4(一2,0),B(4,0)兩點，與y軸交點為C,

連接BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)P在第四象限拋物線上，連接PB,乙PBC=1乙BCO,求點P的坐標；

(3)點M從點C出發，以每秒1個單位長度的速度沿CB方向運動，點N從點B出發，以每秒1個單位長度的速度

沿B4方向運動，M,N同時出發，運動時間為t秒，0<tW5,連接MN,CN,當△CMN為等腰三角形時，

直接寫出t的值.

12.(2022九年級?全國?專題練習)綜合與實踐：如圖，拋物線y=2久2一2久一3與x軸交于點A,8(點A

,44

在點B的左側)，交y軸于點C.點。從點A出發以每秒1個單位長度的速度向點8運動，點￡同時從點B

出發以相同的速度向點C運動，設運動的時間為f秒.

(2)求f為何值時，ABDE是等腰三角形；

(3)在點。和點E的運動過程中，是否存在直線OE將ABOC的面積分成1：4兩份，若存在，直接寫出f的

值；若不存在，請說明理由.

2)直角三角形存在性問題

解題方法：如有兩定點，在其他特定的“線”上求第三點，形成直角三角形時：

「兩垂一圖”找點

.J［以“勾股定理”為等量關系列方程

解起跖“數形結合”求點句入直線解析式，轉化成交點求解

〔由-K型相似”為等量關系列方程

1)當動點在直線上運動時，常用的方法是①匕=-1，②三角形相似，③勾股定理；

2)當動點在曲線上運動時，情況分類如下，

第一當已知點處作直角的方法：①匕?左2=-1，②三角形相似，③勾股定理；

第二是當動點處作直角的方法：尋找特殊角.

13.(2023?四川內江?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丫=￡1/+以+(:與天軸交于3(4,0),

C(—2,0)兩點.與y軸交于點4(0,-2).

(1)求該拋物線的函數表達式；

(2)若點P是直線4B下方拋物線上的一動點，過點尸作無軸的平行線交48于點K,過點尸作y軸的平行線交

無軸于點D,求與|PK+PD的最大值及此時點P的坐標；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點使得AMAB是以AB為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出

點加的坐標，若不存在，請說明理由.

14.(2024?江蘇徐州?模擬預測)如圖，直線y=-百x+2百與無軸，y軸分別交于點A,點8,兩動點

E分別從點4點B同時出發向點。運動(運動到點。停止)，運動速度分別是1個單位長度/秒和百個單

位長度秒，設運動時間為/秒.以點A為頂點的拋物線經過點E,過點E作無軸的平行線與拋物線的另一個

交點為點G,與2B相交于點立

⑴求點A、點B的坐標；

(2)用含t的代數式分別表示EF和4F的長；

(3)是否存在/的值，使AAGF是直角三角形？若存在，求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由.

15.(2024?湖南?模擬預測)如圖，拋物線y=/+bx+c與無軸交于4(—3,0),B(l,0)兩點，與y軸交于點C,

連接力C.

(2)點P是拋物線上位于線段4C下方的一個動點，連接ZP,CP,求△力PC面積最大時點P的坐標；

(3)在拋物線上是否存在點Q,使得以點4C,Q為頂點的三角形是直角三角形？如果存在，請直接寫出所有

滿足條件的點Q的坐標；如果不存在，請說明理由.

3)等腰直角三角形存在性問題

解題大招：確定等腰直角三角形后構造一線三垂直，對應上下兩個三角形全等，得到對應線段相等的關系,

進而設出點的坐標，根據線段相等列出等式建立方程求解參數.

16.(2024.山東泰安?中考真題)如圖，拋物線G：y=a/+(無一4的圖象經過點。(1,—1),與％軸交于點A,

點、B.

(1)求拋物線Q的表達式；

(2)將拋物線C］向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線C2,求拋物線的表達式，并判斷點。是

否在拋物線上；

(3)在久軸上方的拋物線C2上，是否存在點P,使APB。是等腰直角三角形.若存在，請求出點P的坐標；若

不存在，請說明理由.

17.(2023?湖南婁底?中考真題)如圖，拋物線y=/+bx+c過點2(-1,0)、點B(5,0),交y軸于點C.

(1)求b,c的值.

(2)點P(x(),yo)(0<x0<5)是拋物線上的動點

①當必取何值時，APBC的面積最大？并求出AP8C面積的最大值；

②過點P作PElx軸，交BC于點、E,再過點尸作PFII尤軸，交拋物線于點R連接EF,問：是否存在點P,

使APEF為等腰直角三角形？若存在，請求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

18.(2022?山東東營.中考真題)如圖，拋物線y=a/+bx—3(a大0)與x軸交于點4(—1,0),點8(3,0),

與y軸交于點C.

（1）求拋物線的表達式；

（2）在對稱軸上找一點2，使AACQ的周長最小，求點。的坐標；

（3）點尸是拋物線對稱軸上的一點，點M是對稱軸左側拋物線上的一點，當是以PB為腰的等腰直角三

角形時，請直接寫出所有點M的坐標.

4）相似三角形存在性問題

解題大招：“相似三角形存在性問題”是中考壓軸題中一類常見的問題.為了避免討論分支太過繁雜,一般會

給出部分對應關系，最常見的就是給出一組同角（或等角），則同角（或等角）所對邊為對應邊.所以這類問題

一般從確定一組等角（或同角）人手如果兩個三角形中夾同角（或等角）的邊易于列代數式表示,則建議通過

解方程解決;反之，則需根據具體題意轉化等角關系為特殊圖形或特殊圖形關系，進而求解若出現無法確定

等角（或同角）的情況,也可以列表分析.

19.（2024.安徽?模擬預測）在平面直角坐標系中，拋物線丫=-/+2尤+。與刀軸交于點4,B（點4在點B左

側），與y軸交于點C（0,3）,連接BC.

（2）如圖2,點。為直線BC上方拋物線上一動點，連接AC,AD,CD,設直線BC交線段力。于點E.當沁=工

SLACE2

時，求點。的坐標；

⑶在（2）的條件下，且點。的橫坐標小于2,在坐標軸上是否存在一點P,使得以4C,尸為頂點的三角形

與△BCD相似，如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由.

20.(2024?內蒙古包頭.模擬預測)拋物線y=ax2+bx+2交x軸于2(1,0)、B(3,0)兩點，交y軸于點C,點P為

線段BC下方拋物線上一動點，連接BP,CP.

(2)在點P移動過程中，ABPC的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積及點P的坐標，若不存在，請

說明理由；

(3)設點。為CB上不與端點重合的一動點，過點。作線段的垂線，交拋物線于點E,若小DCE^LBOC相似，

請直接寫出點E的坐標.

21.(2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數丫=a/+6x+c(a力0)的圖

像經過原點和點2(4,0).經過點4的直線與該二次函數圖象交于點B(l,3),與y軸交于點C.

(1)求二次函數的解析式及點C的坐標；

(2)點P是二次函數圖象上的一個動點，當點P在直線4B上方時，過點P作PElx軸于點E,與直線4B交于點

D,設點P的橫坐標為小.

①加為何值時線段PD的長度最大，并求出最大值；

②是否存在點P,使得ABPD與A40C相似.若存在，請求出點P坐標；若不存在，請說明理由.

22.(2023?四川資陽?中考真題)如圖，直線y=3%+3與x軸、y軸分別交于A、8兩點，拋物線丫=一［/+

bx+c經過A、3兩點.

(1)求拋物線的表達式；

(2)點。是拋物線在第二象限內的點，過點。作無軸的平行線與直線4B交于點C,求DC的長的最大值；

(3)點。是線段力。上的動點，點尸是拋物線在第一象限內的動點，連結PQ交y軸于點M是否存在點尸，使

△力BQ與ABQN相似，若存在，求出點尸的坐標；若不存在，說明理由.

題型03特殊四邊形存在性問題

【總結】平行四邊形存在性問題經常呈現為:一個動點在拋物線上，另一個動點在X軸(y軸)或對稱軸或某

一定直線上.設出拋物線上的動點坐標，另一個動點若在x軸上，縱坐標為0,則用平行四邊形頂點縱坐標

公式;若在y軸上，坐標為0,則用平行四邊形頂點橫坐標公式.動點哪個坐標已知就用與該坐標有關的公式.

另外，把在定直線上的動點看成一個定點，這樣就轉化為三定一動了，分別以三個定點構成的三條線

段為對角線分類，分三種情況討論.這種題型，關鍵是合理有序分類:無論是三定一動，還是兩定兩動，統

統把拋物線上的動點作為第四個動點，其余三個作為定點，分別以這三個定點構成的三條線段為對角線分

類，分三種情況討論，然后運用平行四邊形頂點坐標公式轉化為方程(組).這種解法，不必畫出平行四邊形

草圖，只要合理分類，有序組合，從對角線入手不會漏解，條理清楚，而且適用范圍廣.其本質是用代數的

方法解決幾何問題，體現的是分類討論思想、數形結合思想.

①三定一動

23.(2024?廣東梅州?模擬預測)如圖，拋物線y=a比2-25—3與天軸交于A,8兩點，其中4(—1,0),與

y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,平面內是否存在一點。，使以A、B、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫

出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)如圖2,若點P是線段(不與端點重合)上一動點，過點尸作x軸的垂線交拋物線于M點，連接CM.

①如圖3,將APCM沿CM對折，如果點P的對應點N恰好落在y軸上，求證：四邊形PCNM為菱形；

②當△PCM和△ABC相似時，求點尸的坐標.

24.(23-24九年級上?黑龍江佳木斯?階段練習)如圖，拋物線y=-/+欣+(:與天軸交于4B(2,0)兩點(點

A在點8的左側)，與y軸交于點C(0,8).

(1)求該拋物線的解析式;

(2)若。為拋物線的頂點，求△ac。的面積;

(3)若尸是平面直角坐標系內一點，是否存在以A、8、C、尸為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫

出點尸的坐標，若不存在，請說明理由.

②兩定兩動

25.(2023?山東棗莊?中考真題)如圖，拋物線y=——久+c經過4(一1,0),。(0,3)兩點，并交x軸于另一

點、B,點M是拋物線的頂點,

(1)求該拋物線的表達式;

(2)若點反是x軸上一動點，分別連接MH,DH,求+的最小值;

(3)若點尸是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點°,使得以。，M,P,。為頂點的四邊形是平行四

邊形？若存在，請直談寫出所有滿足條件的點。的坐標；若不存在，請說明理由.

26.(2023?西藏?中考真題)在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+bx+c^x71(-3,0),B(l,0)兩點,

與y軸交于點C.

(2)如圖甲，在y軸上找一點O,使AACD為等腰三角形，請直接寫出點。的坐標；

(3)如圖乙，點尸為拋物線對稱軸上一點，是否存在P、。兩點使以點A,C,P,。為頂點的四邊形是菱形?

若存在，求出P、。兩點的坐標，若不存在，請說明理由.

27.(2024?甘肅張掖?三模)已知二次函數圖象頂點為C(l,0),直線y=久+爪與該二次函數交于A,8兩點，

(2)尸為線段42上一動點(不與A,B重合)，過點P作y軸的平行線與二次函數交于點E.設線段PE長為/?,

點尸橫坐標為x,求/I與尤之間的函數關系式；

(3)。為線段48與二次函數對稱軸的交點，在上是否存在一點尸，使四邊形。CEP為平行四邊形？若存在，

請求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

2)矩形存在性問題

解題思路：

1)先直角，再矩形.在構成矩形的4個點中任取3個點，必構成直角三角形，以此為出發點，可先確定其

中3個點構造直角三角形(方法：“兩線一圓”)，再確定第4個點.對“2定+1半動+1全動”尤其適用.

【小結】這種解決矩形存在性問題的方法相當于在直角三角形存在性問題上再加一步求D點坐標，也是因

為這兩個圖形之間的密切關系方能如此.

2)先平四，再矩形.當AC為對角線時，A、B、C、D滿足以下3個等式，則為矩形：

玉+&=x2+勺

'M+J'H’4

其中第1、2個式子是平行四邊形的要求，再加上式

3可為矩形.表示出點坐標后，代入點坐標解方程即可.無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對于我

們列方程來解都沒什么區別，能得到的都是三元一次方程組.

【小結】這個方法是在平行四邊形基礎上多加一個等式，剩下的都是計算的事.

3)構造“三垂直”直角得矩形

28.(2022?貴州黔西中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，經過點力(4,0)的直線A8與y軸交于點B(0,4).經

過原點。的拋物線y=-/+bx+c交直線A3于點A,C,拋物線的頂點為D

(2)M是線段A2上一點，N是拋物線上一點，當MN||y軸且MN=2時，求點M的坐標；

(3)P是拋物線上一動點，。是平面直角坐標系內一點.是否存在以點A,C,P,。為頂點的四邊形是矩形？

若存在，直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

29.(2023海南?中考真題)如圖1,拋物線，=/+收+(;交；1軸于4B(3,0)兩點，交y軸于點C(0,-3).點

(1)求該拋物線的函數表達式;

(2)當點P的坐標為(1,-4)時，求四邊形B4CP的面積；

(3)當動點尸在直線BC上方時，在平面直角坐標系是否存在點。，使得以2,C,P,。為頂點的四邊形是矩

形？若存在，請求出點。的坐標；若不存在，請說明理由；

(4)如圖2,點。是拋物線的頂點，過點。作直線DH||y軸，交x軸于點X,當點尸在第二象限時，作直線P4,

PB分別與直線交于點G和點/,求證：點。是線段/G的中點.

30.(2024?青海西寧?一模)綜合與探究

如圖，拋物線y=一%一4與x軸交于A,8兩點(點A在點8的左側)，與y軸交于點C,拋物線的對

稱軸與x軸于點D,過點。作DEIIBC交y軸于點E.

(2)點尸為拋物線上第四象限的一個動點，過點P作PF1久軸于點尸，當PF=4F時，求PE的長；

(3)在(2)的條件下，若點。是x軸上一點，使以尸，E,Q,G為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫

出點G的坐標；若不存在，請說明理由.

31.(2024.湖南婁底.三模)如圖,拋物線y=久2+.+?交刀軸于4(一1,0),B(3,0)兩點，交y軸于點C,點P是

拋物線上一個動點.

(1)求該拋物線的函數表達式；

⑵當點P的坐標為(2,-3)時，求四邊形4CPB的面積；

(3)當動點P在直線BC上方時，在平面直角坐標系內是否存在點Q,使得以B,C,P,Q為頂點的四邊形是矩

形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

3）菱形存在性問題

解題思路：

1）先等腰，再菱形.在構成菱形的4個點中任取3個點，必構成等腰三角形，根據等腰存在性方法（兩圓

一線）可先確定第3個點，再確定第4個點.

2）先平四，再菱形.當AC為對角線時，A、B、C、D滿足以下3個等式，則為菱形：

百+&=壬2+羽

'川+埼=12+丁4

.Ja-位）.+5+（,心-八）.,其中第］、2個式子是平行四邊形的要求，再加上式

3可為菱形，表示出點坐標后，代入點坐標解方程即可.

【總結】

菱形作為特殊的平行四邊形其存在性問題亦是分類討論中的一大難點.題目一般會給出兩個定點，第三

個點在某個可求的函數圖像上，在另一個函數的圖像上或直角坐標平面內，求能與之前的三個點構成菱形

的第四個點的坐標.此類題目的一大難度在于如何合理分類的問題，若題目中已知兩定點的話，可以把這兩

定點連成的線段作為菱形的一邊或者對角線進行分類討論，再利用菱形的性質確定出其他的頂點的位置.

①三定一動

32.（2023?四川雅安?中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線）/=/+力%+。過點4（0,2）,對稱軸是直

線％=2.

（1）求此拋物線的函數表達式及頂點M的坐標；

（2）若點B在拋物線上，過點8作x軸的平行線交拋物線于點C、當ABC"是等邊三角形時，求出此三角形

的邊長；

（3）已知點E在拋物線的對稱軸上，點。的坐標為是否存在點R使以點A,D,E,尸為頂點的四

邊形為菱形？若存在，請直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

33.（2024?山西長治?模擬預測）綜合與探究

如圖，拋物線y=a久2+版一2與x軸交于4(-1,0),B(4,0)兩點，與y軸交于點C,拋物線的頂點為。，對稱

軸為直線

圖1圖2備用圖

(1)求拋物線的解析式；

(2)圖2中，對稱軸直線1與x軸交于點H,連接AC,CD,BD,求四邊形4CDB的面積；

(3)點F是直線I上一點，點G是平面內一點，是否存在以3c為邊，以點8,C,F,G為頂點的菱形？若存在，

請求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

34.(2024.江蘇徐州.一模)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=a久2+bx—3的圖象交x軸于

4(-1,0)、B(3,0)兩點，交y軸于點C,點尸在線段。B上，過點尸作軸，交拋物線于點。，交直

線BC于點E.

(備用圖)

(1)a=_,b=_；

(2)在點P運動過程中，若ACDE是直角三角形，求點P的坐標；

(3)在y軸上是否存在點尸，使得以點C、。、E、F為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點尸的坐

標；若不存在，請說明理由.

②兩定兩動

35.(2024.四川瀘州?中考真題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx+3經過點4(3,0),

與y軸交于點B,且關于直線x=1對稱.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當一1<xWt時，y的取值范圍是0<y<2t-1,求f的值；

(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線4B于點在y軸上是否存在點

E,使得以8,C,D,￡為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由.

36.(2024?湖南?模擬預測)如圖，二次函數為=ax2+bx+c圖象頂點坐標為力(1,4),一次函數為=mx+n

圖象與二次函數圖象相交于y軸上一點B(0,3),同時相交于x正半軸上點C.

(1)試求二次函數月=ax2+bx+c與一次函數%=mx+n的表達式.

⑵連接力B,AC,試求四邊形4B0C的面積.

(3)假設點P是二次函數y1=a/+法+c對稱軸上一動點，點。是平面直角坐標系中任意一點，是否存在

這樣的點尸及點。使得以8,C,P,。為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點。的坐標；若不存在，

請說明理由.

37.(2024?陜西渭南?一模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+m；+2(a.b為常數,且aK0)

與x軸交于點4(一4,0)和點B,與y軸交于點C,且。C=OB.

(1)求該拋物線的函數表達式；

(2)連接BC,點。是拋物線的對稱軸/上的動點，點E是平面內的點，是否存在以點B、C,D、E為頂點的四邊

形是菱形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

38.(2024?山東東營?模擬預測)如圖，拋物線y=+2%-6與x軸交于4B兩點(點2在點B的左側),

與y軸交于點C,連接AC,BC.

(1)求出直線AC,BC的函數表達式.

(2)點尸是直線4C下方拋物線上的一個動點，過點尸作BC的平行線/,交線段4C于點Z).在直線/上是否存

在點E,使得以點。，C,B,E為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點E的坐標，若不存在，請說明理

由.

4)正方形存在性問題

解題思路：

1)從判定出發，若已知菱形，則加有一個角為直角或對角線相等；若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或對

角線互相垂直.

2)構造三垂直全等.若條件并未給關于四邊形及對角線的特殊性，則考慮在構成正方形的4個頂點中任取3

個，必是等腰直角三角形，若已知兩定點，則可通過構造三垂直全等/等腰直角三角形來求得第3個點，再

求第4個點.若出現三或四動點，則通常四邊形具有一定的特殊性，從已知條件出發，分折還需滿足的其他

條件，通常列關于邊或對角線方程得解.

解題方法：正方形是菱形和矩形特征的集結，因此同時采取菱形或矩形存在性問題解決的方法去求點的坐

標.

39.(2024?江蘇無錫?中考真題)已知二次函數丫=。/+%+。的圖象經過點4(—1,—m和點3(2,1).

(1)求這個二次函數的表達式；

(2)若點C(m+1,%)，。(爪+2,%)都在該二次函數的圖象上，試比較為和的大小，并說明理由；

(3)點P,Q在直線48上，點M在該二次函數圖象上.問：在y軸上是否存在點N,使得以P,Q,M,N為頂

點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由.

40.(2023?黑龍江綏化?中考真題)如圖，拋物線y1=a/+bx+c的圖象經過a(—6,0),5(-2,0),C(0,6)三

點，且一次函數y=for+6的圖象經過點B.

(2)點E,F為平面內兩點，若以E、尸、B、C為頂點的四邊形是正方形，且點E在點尸的左側.這樣的E,尸兩

點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標：如果不存在，請說明理由.

(3)將拋物線為=ax2+bx+c的圖象向右平移8個單位長度得到拋物線內，此拋物線的圖象與％軸交于M,N

兩點(M點在N點左側).點P是拋物線乃上的一個動點且在直線NC下方.己知點P的橫坐標為小.過點P作

PD1NC于點D.求山為何值時，有最大值，最大值是多少？

41.(2024?陜西漢中.二模)如圖，拋物線y=-2產+6%+c與無軸交于4(一1,0)、B(2,0)兩點.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)點N在坐標平面內，請問在拋物線上是否存在點M,過點M作x軸的垂線交x軸于點H,使得四邊形

是正方形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

42.(2024?陜西榆林?二模)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+2(a<0)與y軸交于點C,與％軸交于4(一1,0),

8(2,0)兩點.

(2)若點。是第二象限拋物線上的動點，DEII*軸，交直線BC于點E,點G在x軸上，點尸在坐標平面內，是否

存在點D,使以D,E,F,G為頂點的四邊形是正方形？若存在，求點。的坐標；若不存在，請說明理由.

題型04其它存在性問題

43.(2024.山東濟寧.中考真題)己知二次函數y=ax2+bx+c的圖像經過(0,-