第8章?認(rèn)識(shí)概率

本章知識(shí)綜合運(yùn)用

?二內(nèi)容預(yù)覽

f、

四個(gè)概念

??1、必然事件：在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生，這樣的事情是必然事件.

??2、不可能事件：在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生，這樣的事情是不可能事件.

?確定事件：必然事件和不可能事件都是確定事件.

?判斷方法：判斷一個(gè)事件是不是不可能事件或必然事件，關(guān)鍵在于這個(gè)事情的結(jié)果事先能否確定，與這個(gè)

事情是否進(jìn)行無(wú)關(guān).

??3、隨機(jī)事件：在一定條件下，很多事情我們事先無(wú)法確定它會(huì)不會(huì)發(fā)生，這樣的事情是隨機(jī)事件.

?判斷方法：判斷一個(gè)事件是不是隨機(jī)事件，主要看事先能否確定這個(gè)事件會(huì)不會(huì)發(fā)生，如果確定一定發(fā)生

或一定不發(fā)生，那么這個(gè)事件就是確定事件，如果可能發(fā)生的情況不唯一，即有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)

生，那么這個(gè)事件就是隨機(jī)事件.

?注意：有些隨機(jī)事件發(fā)生的機(jī)會(huì)很大，但不是必然事件；有些隨機(jī)事件發(fā)生的機(jī)會(huì)很小，但依然有可能發(fā)

生，并非不可能事件

??4、概率：隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小.一個(gè)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱(chēng)為這個(gè)事件的概率.如

果用字母A表示一個(gè)事件，那么P(A)表示事件A發(fā)生的概率.

?事件的概率：通常規(guī)定，必然事件A發(fā)生的概率是1,記作P(A)=1；不可能事件A發(fā)生的概率為0,記

作P(A)=0；隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是0和1之間的一個(gè)數(shù)，即gP(A)Wl.

用線段圖表示如下：

不可能事件隨機(jī)事件必然事件

II

°可能性越來(lái)越大*1

一個(gè)結(jié)論

可能性的大小：一般地，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小，它是由發(fā)生事件的條件決定的.

?注意：1.事件發(fā)生的可能性的大小常用以下幾種語(yǔ)言描述：一定、很可能、可能、不太可能、

不可能.用線段圖描述事件發(fā)生的可能性的大小如下:

不可能不太可能可能很可能一定

II

°可能性越來(lái)越大*1

2.必然事件一定發(fā)生，發(fā)生的可能性通常用1(100%)表示；不可能事件一定不會(huì)發(fā)生，發(fā)生的可能性用0

表示；隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小介于0和1之間(不含0與1).

一個(gè)方法

??用頻率估計(jì)概率：一般地，在一定條件下大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)

常數(shù)附近擺動(dòng).在實(shí)際生活中，人們常把這個(gè)常數(shù)作為該隨機(jī)事件發(fā)生的概率的估計(jì)值.

?頻率試驗(yàn)的特點(diǎn)：①每一次試驗(yàn)的結(jié)果都是有限個(gè)；②事件發(fā)生的結(jié)果數(shù)越多，這個(gè)事件發(fā)生的概率就越大.

?頻率的穩(wěn)定性：通常，在多次重復(fù)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，并且趨于

穩(wěn)定，這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為頻率的穩(wěn)定性.

?概率的估計(jì)值：一般地，在一定條件下大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附

近擺動(dòng).在實(shí)際生活中，人們常把這個(gè)常數(shù)作為該隨機(jī)事件發(fā)生的概率的估計(jì)值.

?頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)另IJ:

系

名稱(chēng)^\頻率概率

試驗(yàn)值或使用時(shí)的統(tǒng)計(jì)值，是隨機(jī)的，

事件發(fā)生可能性大小的理論值，是客觀存在的，

在試驗(yàn)前不能確定，是試驗(yàn)中事件發(fā)生

是隨機(jī)事件自身的屬性

區(qū)別的次數(shù)與總次數(shù)的比

頻率值可隨著試驗(yàn)人、時(shí)間、地點(diǎn)以及與試驗(yàn)的時(shí)間、地點(diǎn)、次數(shù)等因素?zé)o關(guān)，是一個(gè)

試驗(yàn)次數(shù)等因素的變化而有所改變固定不變的常數(shù)

頻率是概率的近似值.隨著試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越來(lái)越穩(wěn)定在概率值附近.它們都是反映隨機(jī)事

聯(lián)系

件發(fā)生的可能性大小的特征量

?注意：一般地，當(dāng)試驗(yàn)的可能結(jié)果有很多且各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性相等時(shí)，我們既可以用過(guò)列舉法得

出概率，也可以利用頻率估計(jì)概率；當(dāng)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不

相等時(shí)，常常是通過(guò)統(tǒng)計(jì)頻率來(lái)估計(jì)概率，即在同樣條件下，大量重復(fù)試驗(yàn)所得到的隨機(jī)事件發(fā)生的頻率

的穩(wěn)定值來(lái)估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率.

題型歸納

題型六概率的意義

題型一判斷事件的類(lèi)型題型七頻率與概率的關(guān)系

題型二設(shè)計(jì)符合要求的方案題型八用頻率估計(jì)概率

---判斷事件的類(lèi)型

題型一

【例題】①任意買(mǎi)一張電影票，所買(mǎi)到票的座位號(hào)恰好是偶數(shù)；

②任意三角形的內(nèi)角和為180。；

③拋出的籃球會(huì)下落；

④擲1枚硬幣，有國(guó)徽的一面朝上.

在這些事件中，屬于隨機(jī)事件的有;屬于必然事件的有.（只填序號(hào)）

【解析】解：①任意買(mǎi)一張電影票，所買(mǎi)到票的座位號(hào)恰好是偶數(shù)；是隨機(jī)事件；

②任意三角形的內(nèi)角和為180。，是必然事件；

③拋出的籃球會(huì)下落；是必然事件；

④擲1枚硬幣，有國(guó)徽的一面朝上，是隨機(jī)事件.

故答案為：①④，②③.

【變式1】下列事件中屬于不可能事件的是（）

A.守株待兔B.甕中捉鱉C.水中撈月D.百步穿楊

【答案】C

【解析】解：A、守株待兔是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)不合題意；

B、甕中捉鱉是必然事件，故此選項(xiàng)不合題意；

C、水中撈月是不可能事件，故此選項(xiàng)符合題意；

D、百步穿楊是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：C.

【變式2】下列事件中發(fā)生的可能性為100%的是()

A.經(jīng)過(guò)路口，恰好遇到紅燈

B.四個(gè)人分成三組，這三組中有一組必有2人

C.任意拋一枚圖釘，釘尖著地

D.拋一枚硬幣，正面朝上

【答案】B

【解析】解：A.經(jīng)過(guò)路口，恰好遇到紅燈是隨機(jī)事件，選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.四個(gè)人分成三組，其中一組必有2人，是必然事件，選項(xiàng)正確；

C.任意拋一枚圖釘，釘尖著地是隨機(jī)事件，選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.拋一枚硬幣，正面朝上是隨機(jī)事件，選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選B.

【變式3】下列事件：

(1)兩個(gè)正數(shù)的和仍是正數(shù)；

(2)明天太陽(yáng)從西邊升起；

(3)小明在下屆科技節(jié)的航模比賽中一定能得一等獎(jiǎng)；

(4)擲一枚硬幣，落地后正面朝上；

(5)打開(kāi)電視，正在播放體育節(jié)目.其中是確定事件的有個(gè).

【解析】解：(3)(4)(5)是隨機(jī)事件；(1)是必然事件；(2)是不可能事件，故(1)和(2)都是確定事件.

故答案為2個(gè).

【變式4］已知，有六個(gè)面分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6的普通的正方體骰子兩個(gè)，隨機(jī)任意拋擲這兩個(gè)骰

子，把這兩個(gè)骰子朝上的點(diǎn)數(shù)相加,對(duì)于事件①：和為1;事件②：和為5；事件③：和為12；事件④：和

為15；事件⑤：和小于13；事件⑥：和為奇數(shù)或偶數(shù)：

請(qǐng)問(wèn)：以上哪些事件是必然事件？哪些事件是不可能事件？哪些事件是隨機(jī)事件？

【解析】解：必然事件：事件⑤：和小于13；事件⑥：和為奇數(shù)或偶；

不可能事件：事件①：和為1;事件④：和為15；

隨機(jī)事件：事件②：和為5；事件③：和為12.

設(shè)計(jì)符合要求的方案

【例題】在一個(gè)不透明的口袋中，裝有大小、形狀一模一樣的9個(gè)紅球、58個(gè)白球和7個(gè)黑球，它們已在口

袋中充分?jǐn)噭?請(qǐng)結(jié)合上述條件，設(shè)計(jì)滿足下列條件的事件：(本題具有開(kāi)放性，只要設(shè)計(jì)出一種符合要求

的事件即可)

(1)可能發(fā)生的事件；

(2)必然發(fā)生的事件；

(3)不可能發(fā)生的事件.

【解析】(1)答案不唯一，如：從口袋中任意摸出一個(gè)球，是紅球.

(2)從口袋中任意摸出20個(gè)球，一定有白球.

(3)從口袋中任意摸出一個(gè)球，是藍(lán)球.

【變式1】盒中裝有紅球、黃球共100個(gè)，每個(gè)球除顏色以外都相同，每次從盒中摸一個(gè)球，摸三次，請(qǐng)

你設(shè)計(jì)下面幾種情況的摸球方案.

(1)摸到紅球是不可能的；

(2)摸到紅球是必然的；

(3)摸到紅球情況有三種：很可能，可能，不太可能.

【解析】(1)解：盒中只有100個(gè)黃球，摸出1個(gè)紅球；

(2)解：盒中只有100個(gè)紅球，摸出1個(gè)紅球；

(3)解：盒中有99個(gè)紅球、1個(gè)黃球，摸到紅球；盒中有50個(gè)紅球，50個(gè)黃球，摸出1個(gè)紅球；

盒中有99個(gè)黃球，1個(gè)紅球，摸出1個(gè)紅球(答案不唯一).

【變式2】現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)完全相同的空紙盒，還有除顏色外完全相同的10個(gè)白色乒乓球和10個(gè)黃色乒乓

球，設(shè)計(jì)操作使之滿足下列條件：

(1)從甲盒中拿到黃球?yàn)楸厝皇录?/p>

(2)從乙盒中拿到白球?yàn)殡S機(jī)事件；

(3)20個(gè)球均要用到，但每個(gè)盒中乒乓球的數(shù)量可以不等.

看誰(shuí)設(shè)計(jì)得又快又對(duì)，并寫(xiě)出一件不可能事件.

【解析】解：???要滿足條件①?gòu)募缀兄心玫近S球?yàn)楸厝皇录?/p>

②從乙盒中拿到白球?yàn)殡S機(jī)事件；

③20個(gè)球均要用到，但每個(gè)盒中乒乓球的數(shù)量可以不等；

二可設(shè)計(jì)方案為：方案為甲盒中放置8個(gè)黃球，乙盒中放置10個(gè)白球和2個(gè)黃球，則從甲盒中摸出白球是不

可能事件或從乙盒中一次摸出3個(gè)黃球也是不可能事件；

答：方案為甲盒中放置8個(gè)黃球，乙盒中放置10個(gè)白球和2個(gè)黃球，則從甲盒中摸出白球是不可能事件或從

乙盒中一次摸出3個(gè)黃球也是不可能事件.

-比較事件發(fā)生的可能性大小

題型三

【例題】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子(各面上的點(diǎn)數(shù)分別為1?6)一次，落地后：

(1)朝上的點(diǎn)數(shù)有哪幾種不同的結(jié)果？它們發(fā)生的可能性一樣嗎？

(2)朝上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)與朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，這兩個(gè)事件發(fā)生的可能性一樣嗎？

(3)朝上的點(diǎn)數(shù)大于4與朝上的點(diǎn)數(shù)不大于4,這兩個(gè)事件發(fā)生的可能性一樣嗎？如果不一樣，那么哪一個(gè)可

能性大一些？

【解析】(1)朝上的點(diǎn)數(shù)有1，2,3,4,5,6這6種不同的結(jié)果，它們發(fā)生的可能性一樣.

(2)一樣.

(3)不一樣，朝上的點(diǎn)數(shù)不大于4的可能性大一些.

【變式1】從一副撲克牌中任意抽取1張，下列事件：

①抽到“K”；

②抽到“黑桃”；

③抽到“大王”；

④抽到“黑色的”.

將這些事件按發(fā)生的可能性從小到大的順序排列是()

A.④①③②B.④②①③C.①②③④D.③①②④

【答案】D

【解析】解：一副撲克牌，有四張K,十三張黑桃，一張大王，黑色的有二十七張(包括小王)，所以這些事

件按發(fā)生的可能性從小到大的順序排列是③、①、②、④，

故選D.

【變式2】在下列事件中，發(fā)生的可能性最小的是（

A.用長(zhǎng)為10cm,10cm,20cm三根木棒做成一個(gè)三角形

B.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中10環(huán)

C.東臺(tái)五一節(jié)當(dāng)天的最高溫度為30^

D.在地面上拋一顆骰子，骰子終將落下

【答案】A

【解析】解：A、用長(zhǎng)為10cm,10cm,20cm三根木棒做成一個(gè)三角形，是不可能事件，符合題意.

B、射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中10環(huán)，是隨機(jī)事件，不符合題意；

C、東臺(tái)五一節(jié)當(dāng)天的最高溫度為30。。是隨機(jī)事件，不符合題意；

D、在地面上拋一顆骰子，骰子終將落下，是必然事件，不符合題意；

故選：A.

【變式3】抽獎(jiǎng)啦！現(xiàn)有3個(gè)不透明箱子，箱子內(nèi)放有若干小球（除顏色外其余均相同）.規(guī)定：每次只能

摸一個(gè)小球，摸出紅球獎(jiǎng)勵(lì)一杯奶茶，摸出黃球獎(jiǎng)勵(lì)一支雪糕，若小麗想得到一杯奶茶，應(yīng)選擇從

號(hào)箱子里摸球，如愿的可能性最大.

【解析】解：依題意:

從①號(hào)箱子摸到紅球的可能性為急=~

從②號(hào)箱子摸到紅色球的可能性為盤(pán)=2；

從③號(hào)箱子摸到紅球的可能性為心=

813

五

???應(yīng)選擇從②號(hào)箱子里摸球，如愿的可能性大.

故答案為：②.

【變式4】用一副撲克牌中的10張?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)翻牌游戲，要求同時(shí)滿足以下三個(gè)條件;

（1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同；

（2）翻出“方塊”的可能性比翻出“梅花”的可能性小；

（3）翻出黑顏色的牌的可能性比翻出紅顏色牌的可能性小；

解：我設(shè)計(jì)的方案如下：

“紅桃”一張，“黑桃”一張，“方塊”一張，“梅花”一張

【解析】解：一共有10張撲克牌，

滿足（1）,說(shuō)明“黑桃”和“梅花”的張數(shù)相同，

滿足（2）說(shuō)明“方塊”的張數(shù)比“梅花”的少，

滿足（3）說(shuō)明黑顏色的牌（黑桃、梅花）的張數(shù)比紅顏色牌（紅桃、方塊）的張數(shù)要少，

因此黑色的牌要少于5張，黑色的兩種牌張數(shù)相同，

于是：①黑色的為4張，可以得到“黑桃”和“梅花”各2張，“方塊”1張，剩下的為“紅桃”5張.

:“紅桃”5張，“黑桃”2張，“方塊”1張，“梅花”2張，

②黑色的為4張，可以得到“黑桃”和“梅花”各2張，“方塊”0張，剩下的為“紅桃”6張.

“紅桃”6張，“黑桃”2張，“方塊”0張，“梅花”2張，

③黑色的為2張，可以得到“黑桃”和“梅花”各1張，“方塊”0張，剩下的為“紅桃”8張.

二“紅桃”8張,“黑桃”1張，“方塊”0張，“梅花”1張,

因此可能為：5,2,1,2或6,2,0,2或8,1,0,1（不唯一），

故答案為：5；2；1；2.

比校轉(zhuǎn)盤(pán)中的可能性大小

題型四

【例題】有一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)（如圖所示），被分成6個(gè)相等的扇形，顏色分為紅、綠、黃三種，指針的位置固定,

轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)后任其自由停止，其中的某個(gè)扇形會(huì)恰好停在指針?biāo)傅奈恢茫ㄖ羔樦赶騼蓚€(gè)扇形的交線時(shí)，重新

轉(zhuǎn)動(dòng)）.下列事件：①指針指向紅色；②指針指向綠色；③指針指向黃色；④指針不指向黃色.

思考各事件的可能性大小，然后回答下列問(wèn)題:

⑴可能性最大和最小的事件分別是哪個(gè)？（用序號(hào)表示）

（2）將這些事件的序號(hào)按發(fā)生的可能性從小到大的順序排列.

【解析】解：（1）可能性最大的事件是④，可能性最小的事件是②.

(2)將這些事件的序號(hào)按發(fā)生的可能性從小到大的順序排列為②③①④.

【變式1】轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的這些可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，估計(jì)“指針落在白色區(qū)域內(nèi)

的可能性的大小，并將轉(zhuǎn)盤(pán)的序號(hào)按事件發(fā)生的可能性從小到大排列.

(I)(2)0)

【解析】解：指針落在白色區(qū)域內(nèi)”的可能性主要由白色區(qū)域的面積決定，

⑴中的白色區(qū)域占轉(zhuǎn)盤(pán)總區(qū)域的"，

(2)中的白色區(qū)域占1,

⑶中的白色區(qū)域占|,

因?yàn)楣玖粒九c所以按事件發(fā)生的可能性從小到大排列為⑴⑶⑵.

41oZ

指針落在白色區(qū)域內(nèi)的可能性從小到大的順序?yàn)椋?1)、(3)、(2).

【變式2】如圖，一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)被平均分成12份，每份寫(xiě)上不同的數(shù)，游戲方法如下：先猜數(shù)，后轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán),

轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，若指針指向的數(shù)與所猜的數(shù)一致，則猜數(shù)者獲勝(指針指向分界線時(shí)重轉(zhuǎn)).

現(xiàn)提供三種猜數(shù)方法：

①猜"是奇數(shù)？或“是偶數(shù)”；

②猜“是大于10的數(shù)”或“是不大于10的數(shù)”；

③猜“是3的倍數(shù)”或“不是3的倍數(shù)”.

如果你是猜數(shù)者，為使獲勝的可能性最大，你會(huì)選擇哪一種猜數(shù)方法？怎樣猜？并說(shuō)明理由.

【解析】選擇方法③，猜“是3的倍數(shù)”.理由如下：

因?yàn)檗D(zhuǎn)盤(pán)上的12個(gè)數(shù)中，奇數(shù)和偶數(shù)各有6個(gè)，大于10的數(shù)和不大于10的數(shù)各有6個(gè)，是3的倍數(shù)的數(shù)有7個(gè),

不是3的倍數(shù)的數(shù)有5個(gè)，所以猜“是3的倍數(shù)”獲勝的可能性最大.

比較幾何圖形中的可能性大小

ci題型五

【例題】如圖，一張正方形紙片被分成了/、B、C三塊區(qū)域，任意拋擲一粒米到紙片上，落在區(qū)域

（填“/”、“8”或“。）的可能性最小.

【解析】由圖可以看出，正方形紙片被分成的三塊區(qū)域，N面積＞C面積＞8面積，

根據(jù)圖形的面積越大，米粒落在該區(qū)域的可能性越大，

則任意拋擲一粒米落到區(qū)域8的可能性最小，

故答案為：B.

【變式1】如圖，為測(cè)量平地上一塊不規(guī)則區(qū)域（陰影部分）的面積，畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為2爪的正方形，使不規(guī)則

區(qū)域落在正方形內(nèi).現(xiàn)向正方形內(nèi)任意投擲小石子（假設(shè)小石子落在正方形內(nèi)每一點(diǎn)都是等可能的），經(jīng)過(guò)大

量重復(fù)投擲試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)小石子落在不規(guī)則區(qū)域內(nèi)的頻率穩(wěn)定在0.25附近，由此可估計(jì)不規(guī)則區(qū)域的面積為

【解析】因?yàn)榻?jīng)過(guò)大量重復(fù)投擲試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)小石子落在不規(guī)則區(qū)域的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.25附近，所以估計(jì)

小石子落在不規(guī)則區(qū)域的概率為0.25.

因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為2m,所以其面積為4m4

設(shè)不規(guī)則部分的面積為sm2,貝吐=0.25,解得s=l.

故答案為1.

【變式2】分別向下列四個(gè)區(qū)域內(nèi)隨機(jī)擲一枚石子，石子落在陰影部分的可能性最小的是.

①②④

解：“石子落在陰影部分”的可能性主要由陰影部分的面積決定的，

①中的陰影部分占總面積的②中的陰影部分占總面積的③中的陰影部分占總面積的上

4,Zo

④中的陰影部分占總面積的處，

工（生1411

S^2>9>3>4,

所以石子落在陰影部分的可能性最小的是①.

故答案為①.

【變式3］［概率中的方案設(shè)計(jì)］小紅和小明在操場(chǎng)上做游戲，他們先在地上畫(huà)了半徑分別為2m和3m的同

心圓（如圖），然后蒙上眼睛，并在一定距離外向圈內(nèi)擲小石子，擲中陰影部分時(shí)小紅勝，否則小明勝，未

擲入圈內(nèi)（半徑為3m的圓內(nèi)）或擲在邊界上重?cái)S.

（1）你認(rèn)為游戲公平嗎?為什么？

（2）游戲結(jié)束，小明邊走邊想：能否用頻率估計(jì)概率的方法，來(lái)估算不規(guī)則圖形的面積呢?請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)

方案，解決這一問(wèn)題（要求畫(huà)出圖形，說(shuō)明設(shè)計(jì)步驟、原理，并給出計(jì)算公式）

【解析】（1）不公平.理由如下：

???P（擲中陰影部分）把=今即小紅獲勝的概率為1則小明獲勝的概率為（，

97r99999

???游戲不公平

（2）能利用頻率估計(jì)概率的方法估算不規(guī)則圖形的面積設(shè)計(jì)方案：①設(shè)計(jì)一個(gè)可測(cè)量面積的規(guī)則圖形將不

規(guī)則圖形圍起來(lái)（如正方形，其面積為S）,如圖所示；

②往圖形中擲點(diǎn)（如蒙上眼睛往圖形中隨意擲小石子，擲在正方形外或邊界上不作記錄）;

③當(dāng)所擲次數(shù)充分大時(shí)，記錄并統(tǒng)計(jì)結(jié)果，設(shè)擲入正方形內(nèi)小次，其中n次擲入不規(guī)則圖形內(nèi)；

④設(shè)不規(guī)則圖形的面積為Si，用頻率估計(jì)概率，即擲入不規(guī)則圖形內(nèi)的頻率煮=。（擲入不規(guī)則圖形內(nèi)），

而P（擲入不規(guī)則圖形內(nèi)）=苓故公也即

M期劑、概率的意義

題型K

【例題】下列說(shuō)法正確的是（）

A.不可能事件發(fā)生的概率為0

B.隨機(jī)事件發(fā)生的概率為1

C.概率很小的事件不可能發(fā)生

D.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1000次，正面朝上的次數(shù)一定是500

【答案】A

【解析】解：A.不可能事件也就是一定條件下不可能發(fā)生的事件，其發(fā)生的概率為0,故A正確；

B.隨機(jī)事件發(fā)生的概率在。到1之間，故B錯(cuò)誤；

C.概率很小的事件，只要概率不為0就有可能發(fā)生，故C錯(cuò)誤；

D.投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率為0.5,指進(jìn)行大量投擲試驗(yàn)，正面朝上的頻率會(huì)比較接近于0.5,

但并不是說(shuō)投擲1000次，正面朝上的次數(shù)一定是500,故D錯(cuò)誤.

故選A.

【變式1】下列說(shuō)法正確的是.（）

A.“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的時(shí)間都在降雨

B.“拋一枚硬幣正面朝上的概率為表示每拋2次就有一次正面朝上

C.“彩票中獎(jiǎng)的概率為1%”表示買(mǎi)100張彩票肯定會(huì)中獎(jiǎng)

D.”拋一枚正方體骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)為2的概率為:”表示隨著拋擲次數(shù)的增加，“拋出朝上的點(diǎn)數(shù)為2”這

一事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在;附近

O

【答案】D

【解析】解：A.“明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性較大，故A不符合題意；

B.“拋一枚硬幣正面朝上的概率為察表示每次拋擲，正面朝上的可能性都是"，故B不符合題意：

C.“彩票中獎(jiǎng)的概率為1%”表示平均每100張彩票有I張中獎(jiǎng).故C不符合題意；

D.“拋一枚正方體骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)為2的概率為表示隨著拋擲次數(shù)的增加，”拋出朝上的點(diǎn)數(shù)為2”這

一事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在《附近，故D符合題意.

故選D.

【變式2】事件A：打開(kāi)電視，它正在播廣告；事件B：拋擲一個(gè)均勻的骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)小于7；事件C：

江陰市的夏天下雪.3個(gè)事件的概率分別記為P(A)、P(B)、P(C),則事件概率的大小關(guān)系正確的是()

A.P(C)<P(A)=P(B)B,P(C)<P(A)<P(B)

C.P(C)<P(B)=P(A)D.P(A)<P(B)=P(C)

【答案】B

【解析】解：事件A：打開(kāi)電視，它正在播廣告是隨機(jī)事件，

.--0<P(A)<1；

事件B：拋擲一個(gè)均勻的骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)小于7是必然事件，

，P(B)=1；

事件C：江陰市的夏天下雪是不可能事件，

P(C)=0,

所以，P(C)<P(A)<P(B).

故選B.

【變式3】擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，前9次都是反面朝上，則擲第10次時(shí)反面朝上的概率是.

【解析】解：無(wú)論哪一次拋擲硬幣，都有2種情況，擲得的正面向上是其中1種情況，

故擲得的正面向上的概率為今

故答案為發(fā)

【變式4】從背面相同的同一副撲克牌中取出紅桃9張，黑桃10張，方塊11張，現(xiàn)將這些牌洗勻背面朝上

放桌面上.

(1)求從中抽出一張是紅桃的概率；

(2)現(xiàn)從桌面上先抽掉若干張黑桃，再放入與抽掉的黑桃張數(shù)相同的紅桃，并洗勻且背面都朝上排開(kāi)后，隨

機(jī)抽一張是紅桃的概率不小于|,問(wèn)至少抽掉了多少?gòu)埡谔遥?/p>

(3)若先從桌面上抽掉9張紅桃和m(m>6)張黑桃后，再在桌面上抽出一張牌，當(dāng)m為何值時(shí)，事件“再抽

出的這張牌是方塊”為必然事件？當(dāng)m為何值時(shí)，事件“再抽出的這張牌是方塊”為隨機(jī)事件？并求出這個(gè)

事件的概率的最小值.

QQ

【解析】解：（1）抽出一張是紅桃的概率是9+.+U=］；

（2）設(shè)至少抽掉了萬(wàn)張黑桃，放入萬(wàn)張的紅桃，

根據(jù)題意得，市霏五解得：

答：至少抽掉了3張黑桃；

（3）當(dāng)小為10時(shí)，事件“再抽出的這張牌是方塊”為必然事件，

當(dāng)小為9,8,7時(shí)，事件”再抽出的這張牌是方塊”為隨機(jī)事件事件，

1111

P（取小）=（10-7）+11=14'

y--------頻率與概率的關(guān)系

題型七

【例題】在相同條件下的多次重復(fù)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率為力該事件的概率為P下列說(shuō)法

正確的是（）

A.試驗(yàn)次數(shù)越多，/越大

B./與尸都可能發(fā)生變化

c.試驗(yàn)次數(shù)越多，/"越接近于尸

D.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，/在P附近擺動(dòng)，并趨于穩(wěn)定

【答案】D

【解析】解：在多次重復(fù)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，并且趨于穩(wěn)定這個(gè)

性質(zhì)稱(chēng)為頻率的穩(wěn)定性.

故選：D.

【變式1】擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣”次，正面向上〃次，貝哈的值（）

1

A.一定是5

B.一定不是:

C.隨著加的增大，越來(lái)越接近!

D.隨著加的增大，在￡附近擺動(dòng)，呈現(xiàn)一定的穩(wěn)定性

【答案】D

【解析】解：投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面向上的概率是看而投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面向上是隨機(jī)事

件，'是它的頻率，隨著加的增加，《的值會(huì)在:附近擺動(dòng)，呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性.

故選：D.

【變式2】下列說(shuō)法：①頻率是反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率反映事件發(fā)生的可能性大小；②做n次隨

機(jī)試驗(yàn)，事件A發(fā)生m次，則事件A發(fā)生的概率一定等于三③頻率是不能脫離具體的n次試驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)值,

而概率是具有確定性的不依賴(lài)于試驗(yàn)次數(shù)的理論值；④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值.其中

正確的是（填序號(hào)）.

【答案】①③④

【解析】解：①頻率反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率反映事件發(fā)生的可能性大小，正確；

②做n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A發(fā)生加次，則事件A發(fā)生的頻率為?不是事件的概率，因?yàn)轭l率是可以改變的，

而概率是一定的，故不正確；

③頻率是不能脫離〃次試驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)值，而概率是具有確定性的不依賴(lài)于試驗(yàn)次數(shù)的理論值，正確；

④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值，正確；

故答案為①③④

【變式3】農(nóng)科院新培育出/、8兩種新麥種，為了了解它們的發(fā)芽情況，在推廣前做了五次發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，

每次隨機(jī)各自取相同種子數(shù)，在相同的培育環(huán)境中分別實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)情況記錄如下：

種子數(shù)量10020050010002000

出芽種子數(shù)961654919841965

A

發(fā)芽率0.960.830.980.980.98

出芽種子數(shù)961924869771946

B

發(fā)芽率0.960.960.970.980.97

下面有三個(gè)推斷：

①當(dāng)實(shí)驗(yàn)種子數(shù)量為100時(shí)，兩種種子的發(fā)芽率均為0.96,所以他們發(fā)芽的概率一樣；

②隨著實(shí)驗(yàn)種子數(shù)量的增加，/種子出芽率在0.98附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)/種子出芽

的概率是0.98；

③在同樣的地質(zhì)環(huán)境下播種，/種子的出芽率可能會(huì)高于5種子.其中合理的是（只填序號(hào)）.

【解析】（1）由表中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)實(shí)驗(yàn)種子數(shù)量為100時(shí)，兩種種子的發(fā)芽率雖然都是96%,但結(jié)合后

續(xù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，此時(shí)的發(fā)芽率并不穩(wěn)定，故不能確定兩種種子發(fā)芽的概率就是96%,所以①中的說(shuō)法不

合理；

（2）由表中數(shù)據(jù)可知，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，A種種子發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定在98%左右，故可以估計(jì)A種

種子發(fā)芽的概率是98%,所以②中的說(shuō)法是合理的；

（3）由表中數(shù)據(jù)可知，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，A種種子發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定在98%左右，而B(niǎo)種種子發(fā)芽

的頻率穩(wěn)定在97%左右，故可以估計(jì)在相同條件下，A種種子發(fā)芽率大于B種種子發(fā)芽率，所以③中的說(shuō)

法是合理的.

故答案為：②③.

--------用頻率估計(jì)概率

題型八

【例題】如圖顯示了用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌?shí)驗(yàn)的結(jié)果.（注：頻率=釘黑［腎數(shù)）

下面有四個(gè)推斷：

①當(dāng)投擲次數(shù)是600時(shí)，計(jì)算機(jī)記錄“釘尖向上”的次數(shù)是400,所以“釘尖向上”的概率是0.667；

②隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“釘尖向

上''的概率是0.618；

③若再次用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時(shí)，“釘尖向上”的概率一定是0.620；

④若再次用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時(shí)，“釘尖向上”的情況一定高于500次.

其中合理的是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】B

【解析】當(dāng)投擲次數(shù)是600時(shí)，計(jì)算機(jī)記錄“釘尖向上”的次數(shù)是400,所以此時(shí)“釘尖向上”的頻率是：

400-600?0.667,但“釘尖向上”的概率不一定是0.667,故①錯(cuò)誤；

隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“釘尖向上”

的概率是0.618.故②正確；

若再次用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時(shí)，“釘尖向上”的概率可能是0.620,但不一定是0.620,

故③錯(cuò)誤；

由圖可知，用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，當(dāng)投擲次數(shù)為1000時(shí)，貝「釘尖向上”的頻率是0.620,由此可得當(dāng)投擲次數(shù)

為1000時(shí)，則“釘尖向上”的頻率在0.620左右，但不代表還是0.620,貝心釘尖向上”的情況不一定高于500

次，故④錯(cuò)誤，不符合題意.

合理的有②.

故選：B.

【變式1】某小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí)，繪出的某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率折線圖，則符合這一結(jié)果的

試驗(yàn)可能是（）

A.拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上

B.擲一個(gè)正六面體的骰子，出現(xiàn)3點(diǎn)朝上

C.一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃

D.從一個(gè)裝有2個(gè)紅球1個(gè)黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球

頻率

0100200‘300’嫂

【答案】D

【解析】解：A.拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為0.5,不符合這一結(jié)果，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.擲一個(gè)正六面體的骰子，出現(xiàn)3點(diǎn)朝上為之不符合這一結(jié)果，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率為：025,不符合這一結(jié)果，故

此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.從一個(gè)裝有2個(gè)紅球1個(gè)黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率為：符合這一結(jié)果，故此選項(xiàng)正

確.

故選：D.

【變式2】在一個(gè)不透明的袋子里，裝有若干個(gè)除了顏色外均相同的小球.小明做摸球試驗(yàn)時(shí)，將球攪勻

后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù).下表是實(shí)驗(yàn)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

摸球的次數(shù)幾10015020050080012002000

摸到白球的次數(shù)小54991162854887081200

摸到白球的頻率三0.540.660.580.570.610.590.60

則摸到白球的概率為—.(結(jié)果精確到0.1)

【解析】解：由表可知：“摸到白球的”的概率的估計(jì)值是0.6.

故答案為：0.6.

【變式3】一粒木質(zhì)中國(guó)象棋子“帥”，它的正面雕刻一個(gè)“帥”字，它的反面是平滑的.將它從定高度下擲,

落地反彈后可能是“帥”字面朝上，也可能是“帥”字面朝下.由于棋子的兩面不均勻，為了估計(jì)“帥”字面朝上

的概率，某實(shí)驗(yàn)小組做了棋子下擲實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表:

試驗(yàn)次數(shù)20406080100120140160

“帥”字面朝上頻數(shù)a18384752667888

相應(yīng)頻率0.70.450.630.590.520.550.56b

(1)表中數(shù)據(jù)。=;b=

(2)畫(huà)出“帥”字面朝上的頻率分布折線圖；

(3)如圖實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)繼續(xù)進(jìn)行下去，根據(jù)上表的這個(gè)實(shí)驗(yàn)的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近，請(qǐng)你估計(jì)這

個(gè)概率是多少？

頒數(shù)

07HL------------------------------------------

0.70-------------------------------------------

0.65-------------------------------------------

0.60...........................................

0.55-------------------------------------------

0.50-------------------------------------------

0.45-------------------------------------------

0.40-------------------------------------------

0.35------------------------------------------

030一………-一一一一一-一央次數(shù)

020406080100120140160

【解析】(1)a=20x0.7=14；

故答案為：14,0.55；

(2)根據(jù)圖表給出的數(shù)據(jù)畫(huà)折線統(tǒng)計(jì)圖如下:

利用這個(gè)頻率來(lái)估計(jì)概率,

=

得尸(“唧"字就上)0.55.

…用頻率估計(jì)概率的實(shí)際應(yīng)用

a題型九

【例題】小張承包了一片荒山，他想把這片荒山改造成一個(gè)蘋(píng)果園，現(xiàn)在有一種蘋(píng)果樹(shù)苗，它的成活率如

下表所示:

移植棵數(shù)(n)成活數(shù)(m)成活率(m/n)移植棵數(shù)(n)成活數(shù)(m)成活率(m/n)

50470.940150013350.890

2702350.870350032030.915

4003690.923700063350.905

7506620.88314000126280.902

下面有四個(gè)推斷:

①當(dāng)移植的樹(shù)數(shù)是1500時(shí)，表格記錄成活數(shù)是1335,所以這種樹(shù)苗成活的概率是0.890；

②隨著移植棵數(shù)的增加，樹(shù)苗成活的頻率總在0.900附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)樹(shù)苗成活的

概率是0.900；

③若小張移植10000棵這種樹(shù)苗，則可能成活9000棵;

④若小張移植20000棵這種樹(shù)苗，則一定成活18000棵.

其中合理的是()

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】C

【解析】解：①當(dāng)移植的樹(shù)數(shù)是1500時(shí)，表格記錄成活數(shù)是1335,這種樹(shù)苗成活的概率不一定是0.890,

故錯(cuò)誤；

②隨著移植棵數(shù)的增加，樹(shù)苗成活的頻率總在0.900附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)樹(shù)苗成活的

概率是0.900,故正確；

③若小張移植10000棵這種樹(shù)苗，則可能成活9000棵，故正確；

④若小張移植20000棵這種樹(shù)苗，則不一定成活18000棵，故錯(cuò)誤.

故選C.

【變式1】某水果銷(xiāo)售網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)以2.6元/kg的成本價(jià)購(gòu)進(jìn)20000kg沃柑.如下表是平臺(tái)銷(xiāo)售部通過(guò)隨機(jī)取

樣，得到的“沃柑損壞率”統(tǒng)計(jì)表的一部分，從而可大約估計(jì)每千克沃柑的實(shí)際售價(jià)定為元時(shí)（精確到

0.1）,可獲得13000元利潤(rùn).（銷(xiāo)售總金額一損耗總金額=銷(xiāo)售總利潤(rùn)）

沃柑總質(zhì)量九/kg損壞沃柑質(zhì)量m/kg沃柑損壞的頻率?（精確到0.001）

.....................

10010.440.104

20019.630.098

30030.620.102

40039.540.099

50050.670.101

【解析】解：從表格中可以看出，沃柑損壞的頻率在常數(shù)0」左右擺動(dòng)，并且隨統(tǒng)計(jì)量的增加這種規(guī)律逐漸

明顯，所以沃柑的完好率應(yīng)為1—0.1=0.9,

設(shè)每千克沃柑的實(shí)際售價(jià)定為x元，

則有20000x0.9x-2.6X20000=13000,

解得x=1O3.6,

所以，可大約估計(jì)每千克沃柑的實(shí)際售價(jià)定為3.6元時(shí)，可獲得13000元利潤(rùn).

故答案為：3.6.

【變式2】某種油菜籽在相同條件下的發(fā)芽實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下表：

每批粒數(shù)n1001502005008001000

發(fā)芽的粒數(shù)加65111136345560700

發(fā)芽的頻率0.650.740.680.69ab

（1）a—_，b—_；

（2）這種油菜籽發(fā)芽的概率估計(jì)值是多少？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；

（3）如果該種油菜籽發(fā)芽后的成秧率為90%,則在相同條件下用10000粒該種油菜籽可得到油菜秧苗多少

棵？

【解析】（1）。=器=0.70,6=喘^=0.70；

（2）???發(fā)芽的頻率接近0.70,

???概率估計(jì)值為0.70,

理由：在相同條件下，多次實(shí)驗(yàn)，某一事件的發(fā)生頻率近似等于概率；

（3）10000x0.70x90%=6300（棵），

答：在相同條件下用10000粒該種油菜籽可得到油菜秧苗6300棵.

【變式3】某水果公司新進(jìn)一批柑橘，銷(xiāo)售人員首先從所有的柑橘中隨機(jī)抽取若干柑橘，進(jìn)行“柑橘損壞率”

統(tǒng)計(jì)，并把獲得的數(shù)據(jù)記錄在下表中.

柑橘總質(zhì)量nlkg300350400450500

損壞柑橘質(zhì)量m/kg30.9335.3240.3645.0251.05

柑橘損壞的頻率三（精確到o.ooi）0.1030.101a0.100b

(1)填空：a~,b~

（2）柑橘完好的概率約為—（精確到0.1）；

（3）柑橘的總重量為10000彷，成本價(jià)是1.8元/起，公司希望這些柑橘能夠獲得利潤(rùn)5400元，那么在出售柑

橘（去掉損壞的柑橘）時(shí)，每千克大約定價(jià)為多少元比較合適？

【解析】⑴解：0=40.36+400=0.101,6=51.05-500-0.102,

故答案為：0.101,0.102；

（2）解：柑橘完好的概率約為0.1,

故答案為：0.1：

（3）解：設(shè)每千克大約定價(jià)為x元，

根據(jù)題意得10000（1-0.1）X-10000X1.8=5400,

解得x=2.6,

答：在出售柑橘（去掉損壞的柑橘）時(shí)，每千克大約定價(jià)為2.6元比較合適.

---------用頻率確定試驗(yàn)對(duì)象的個(gè)數(shù)

2題型十

【例題】一個(gè)不透明的箱子里裝有紅球、藍(lán)球、黃球共20個(gè)，除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完全相同.通

過(guò)大量摸球試驗(yàn)，小明發(fā)現(xiàn)摸到紅球、黃球的頻率分別穩(wěn)定在10%、15%,則估計(jì)箱子里藍(lán)球有個(gè).

【解析】解：???紅球、藍(lán)球、黃球共20個(gè)，摸到紅球、黃球的頻率分別穩(wěn)定在10%、15%,

???紅球的個(gè)數(shù)為20x10%=2（個(gè)），黃球的個(gè)數(shù)為20x15%=3（個(gè)），

二籃球的個(gè)數(shù)為：20—2—3=15（個(gè)）.

估計(jì)箱子里藍(lán)球有15個(gè).

故答案為：15

【變式1】在一個(gè)不透明的口袋中裝有除顏色外其他完全相同的4個(gè)白球和幾個(gè)黃球，搖勻后，從袋中任意

摸出1個(gè)球.記錄摸球的次數(shù)與摸到白球的次數(shù)如下表：

摸球的次數(shù)1002005001000

摸到白球的次數(shù)2139102199

由此可以估計(jì)71的值為.

【解析】由題中表格可知，隨著摸球次數(shù)的增加，摸到白球的頻率穩(wěn)定在02附近，所以摸到白球的概率的

估計(jì)值為02,則（n+4）X0.2=4,解得九=16.

故答案為：16.

【變式2】社團(tuán)課上，同學(xué)們進(jìn)行了“摸球游戲”在一個(gè)不透明的盒子里裝有幾十個(gè)除顏色不同外其余均相

同的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上

述過(guò)程整理數(shù)據(jù)后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系圖如圖所示，經(jīng)分析可以估計(jì)盒子里

黑球與白球的個(gè)數(shù)比為

八摸出黑球的頻率

1.0-

08

0.6

0.4

0.2

IIIIIIIIII

50100150200250300350400450500

0摸出球的總次數(shù)

【解析】解：由圖可知，摸到黑球的概率約為0.2,則摸到白球的概率為0.8,

???可以估計(jì)盒子里黑球與白球的個(gè)數(shù)比為020.8=1：4,

故答案為：1：4.

【變式3】在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它們除顏色外都相同），現(xiàn)隨機(jī)從中摸出10枚記

下顏色后放回，這樣連續(xù)做了10次，記錄了如下的數(shù)據(jù)：

次數(shù)12345678910

黑棋數(shù)1302342113

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估算袋中的白棋子數(shù)量為（）

A.60枚B.50枚C.40枚D.30枚

【答案】C

【解析】解：根據(jù)試驗(yàn)提供的數(shù)據(jù)得出：

黑棋子的比例為：（1+3+0+2+3+4+2+1+1+3）+100=20%,

所以白棋子比例為：1一20%=80%,

設(shè)白棋子有x枚，由題意，

得而=80%，

x=0.8(%+10),

x=0.8%+8,

0.2%=8,

所以％=40,

經(jīng)檢驗(yàn)，％=40是原方程的解,

即袋中的白棋子數(shù)量約40枚.

故選：C.

【變式4】在一個(gè)不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共60個(gè)，它們除顏色不同外完全相同，小穎進(jìn)

行摸球試驗(yàn)，她將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出1個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中攪勻，經(jīng)過(guò)大量重

復(fù)上述摸球的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定于025.

（1）估計(jì)摸一次，摸到白球的概率為;

（2）估計(jì)盒子里白球、黑球分別有多少個(gè)；

（3）如果要使摸到白球的概率為總，那么需要往盒子里再放入多少個(gè)白球？

【解析】（1）因?yàn)槊桨浊虻念l率穩(wěn)定于0.25,所以摸到白球的概率為0.25,故答案為0.25；

（2）估計(jì)盒子里白球有60X0.25=15（個(gè)），黑球有60—15=45（個(gè)）

（3）設(shè)需要往盒子里再放入x個(gè)白球.

7

根據(jù)題意，得15+%=式60+%），解得x=15.

???需要往盒子里再放入15個(gè)白球.

——等可能事件與非等可能事件

a題型十一

【例題】當(dāng)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，求（估計(jì)）概率可

以（）

A.用列舉法B.用列表法

C.用樹(shù)形圖法D.通過(guò)統(tǒng)計(jì)頻率估計(jì)

【答案】D

【解析】解：隨著相同條件下試驗(yàn)次數(shù)的增大，事件出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定，可以用穩(wěn)定時(shí)的頻率來(lái)估計(jì)這

一事件發(fā)生的可能性，即概率.

故當(dāng)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，估計(jì)概率可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)頻

率估計(jì).

故選D.

【變式1】下列隨機(jī)事件的概率，既可以用列舉法求得，又可以用頻率估計(jì)獲得的是（）

A.某種幼苗在一定條件下的移植成活率

B.某種柑橘在某運(yùn)輸過(guò)程中的損壞率

C.某運(yùn)動(dòng)員在某種條件下“射出9環(huán)以上”的概率

D.投擲一枚均勻的骰子，朝上一面為偶數(shù)的概率

【答案】D

【解析】試題分析：A.某種幼苗在一定條件下的移植成活率，只能用頻率估計(jì)，不能用列舉法；故不符合

題意；

B.某種柑橘在某運(yùn)輸過(guò)程中的損壞率，只能用列舉法，不能用頻率求出；故不符合題意；

C.某運(yùn)動(dòng)員在某種條件下“射出9環(huán)以上”的概率，只能用頻率估計(jì)，不能用列舉法；故不符合題意；

D.??,一枚均勻的骰子只有六個(gè)面，即：只有六個(gè)數(shù)，不是奇數(shù)，便是偶數(shù)，，能一一的列舉出來(lái)，既可以

用列舉法求得，又可以用頻率估計(jì)獲得概率；故符合題意.

故選D.

【變式2】在“拋一枚均勻硬幣”的試驗(yàn)中，如果沒(méi)有硬幣，下列試驗(yàn)一種不能作為替代試驗(yàn)（）

A.2張撲克.“黑桃”代表“正面”，“紅桃”代表“反面”

B.擲1枚圖釘

C.2個(gè)形狀大小完全相同，但1紅1白的兩個(gè)乒乓球

D.人數(shù)均等的男生、女生，以抽簽的方式隨機(jī)抽取1人

【答案】B

【解析】解：拋一枚均勻硬幣的試驗(yàn)中，硬幣的兩面是均勻的，B中的圖釘兩面不同，不能替代該實(shí)驗(yàn)，

故選B.

【變式3】某商場(chǎng)為促銷(xiāo)，凡在商場(chǎng)購(gòu)物的顧客均可從下列兩個(gè)游戲中選擇一個(gè)參加：

①抽簽游戲：有10個(gè)號(hào)簽，上面分別寫(xiě)著數(shù)字1,2,……,10,抽到數(shù)字是3的倍數(shù)的號(hào)簽，則可獲獎(jiǎng)；

②轉(zhuǎn)盤(pán)游戲：如圖，轉(zhuǎn)盤(pán)被等分成6個(gè)區(qū)域，抽獎(jiǎng)?wù)唠S機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，指針最終指向“紅”所在區(qū)域，則可獲

獎(jiǎng).

請(qǐng)問(wèn)哪個(gè)游戲獲獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)更大？請(qǐng)用概率知識(shí)說(shuō)明理由.

【解析】解：抽簽游戲：共有10種等可能的結(jié)果，

???"抽到數(shù)字是3的倍數(shù)”包含了3種等可能的結(jié)果，，P（抽簽獲獎(jiǎng)）=喘

轉(zhuǎn)盤(pán)游戲：轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤(pán)，共有6種等可能的結(jié)果，

???”指針最終指向‘紅'”包含了2種等可能的結(jié)果，.?.P（轉(zhuǎn)盤(pán)獲獎(jiǎng)）=■!=：.

OD

???轉(zhuǎn)盤(pán)游戲獲獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)更大.

--------統(tǒng)計(jì)與概率的綜合應(yīng)用

題型十二___________________________________________________

【例題】某甜品店計(jì)劃訂購(gòu)一種鮮奶，根據(jù)以往的銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)天的需求量與當(dāng)天的最高氣溫T有關(guān)，現(xiàn)

將去年六月份（按30天計(jì)算）的有關(guān)情況統(tǒng)計(jì)如下：（最高氣溫與需求量統(tǒng)計(jì)表）

最高氣溫（單位：攝氏度）需求量（單位：杯）

T<25250

25<T<30300

T>30400

（1）求去年六月份最高氣溫不高于3（FC的天數(shù).

（2）若以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率，求去年六月份這種鮮奶一天的需求

量不超過(guò)250杯的概率.

（3）若今年六月份每天的進(jìn)貨量均為350杯，每杯的進(jìn)價(jià)為5元，售價(jià)為10元，未售出的這種鮮奶廠家

以1元的價(jià)格收回銷(xiāo)毀，假設(shè)今年與去年的情況大致一樣，若今年六月份某天的最高氣溫T滿足大于等于

25。（2小于30℃,試估計(jì)這一天銷(xiāo)售這種鮮奶所獲得的利潤(rùn)為多少元？

【解析】（1）由條形統(tǒng)計(jì)圖知，去年六月份最高氣溫高于30。（3的天數(shù)為6+2=8（天），則去年六月份最高

氣溫不高于3（FC的天數(shù)=30-8=22（天）；

（2）去年六月份這種鮮奶一天的需求量不超過(guò)250杯