專題03等式性質與不等式性質（十一大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01由已知條件判斷所給不等式是否正確

?題型02由不等式的性質比較數（式）的大小

?題型03作差法比較代數式的大小

?題型04作商法比較代數式的大小

?題型05由不等式的性質證明不等式

?題型06利用不等式求取值范圍

?題型07不等式與三角函數'平面向量

?題型08不等式與函數

?題型09高考新考法一不等式在生活情景、傳統文化中的綜合應用

?題型10不等式與數列

?題型10不等式與數列

?題型11不等式與導數

?題型01由已知條件判斷所給不等式是否正確

1.（2024?全國?模擬預測）已知x>?,則下列不等式正確的是（）

X

A.l-x<l-yB.x2>V2C.|-|>1D.xz>yz

y

【答案】A

【分析】利用不等式的性質可判斷A項正確，D項錯誤，通過舉反例可說明B,C兩項錯誤.

【角星析】x>y,—x<—y,:.-x+l<—y+l,即故選項A正確；

x—11

當x=-l/=-2時，滿足X",但*=1,丁=4,此時/<廿，|一曰卜<1,故選項B,c錯誤;

y—22.

當z<0時，由可得xz<yz,故選項D錯誤.

故選:A.

2.（23-24高三上?北京西城?期末）設a/eR,且a>b,貝|（）

A.—<y-B.tana>tanC.3-a<2-bD.a\a\>^1^1

ab1111

【答案】D

【分析】利用特殊值以及函數的圖象、單調性等知識確定正確答案.

【解析】A選項，若。=1,6=-1,滿足a>b,但工>],所以A選項錯誤.

ab

zjrir

B選項，a=—,b=—,滿足a>b,但tanactanb,所以B選項錯誤.

C選項，若a=3,b=2,滿足a>b,但3-〃=2-b,所以C選項錯誤.

D選項，對于函數V=xx,圖象如下圖所不，

[-x2,x<0

由圖可知函數在R上單調遞增，所以D選項正確.

3.（2024高三?全國?專題練習）若〃<6<0,則下列不等式一定成立的是（

11

A.------>-B.a2<ab

a-bb

c小耨D.a〃>b〃

【答案】C

【分析】對A、D,可借助特殊值法舉出反例即可得；對B、C,借助不等式的基本性質即可得.

【解析】對A,令。=-2,b=-\,有<=二=-1=：,故A錯誤；

a-b-1b

對B,由。<6<0,故/>">0，故B錯誤；

對C,A（三=同（問+1）<同（同+1）一同網+\b\<問\b\+同，

即只需，回<同，由a<6<0,故網<同，故C正確；

對D,令〃=0,有優=%"=1,故D錯誤.

故選：C.

?題型02由不等式的性質比較數（式）的大小

4.（2024?上海楊浦?二模）已知實數。，b,c,d滿足：a>b>0>c>d,則下列不等式一定正確的是（）

A.a+d>b+cB.ad>beC.a+c>b+dD.ac>bd

【答案】C

【分析】舉例說明判斷ABD；利用不等式的性質推理判斷C.

【解析】對于ABD,取。=2,6=l,c=—2,d=—4,滿足a>b>O>c>d,

顯然a+d=-2<-1=6+c,ad=-S<-2=be,ac=-4=bd,ABD錯誤；

對于C,a>b>0>c>d,則a+c>b+d,C正確.

故選：C

5.（2024?北京豐臺?二模）若〃,b￡R,且a>b,貝!J（）

11

A.~~7<72—7B.c^9b>ab1

a+1b+1

.oa+b7

C.a2>ab>b2D.a>---->b

2

【答案】D

【分析】舉反例即可求解ABC,根據不等式的性質即可求解D.

2222

【解析】由于。>方，取。=1力=-1,=ab=ab=\,無法得到一一7<二二，ab>ab,

故AB錯誤，

取4=0,6=-2,則〃2=05=012=4,無法得到/>仍>〃，C錯誤,

由于a〉6,則2a>6+〃>2b,所以Q>“>b,

故選：D

6.（2024?北京西城?一模）設。=/一1,6=/+,°=《2+。，其中一1</<0,貝IJ（）

tt

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】C

【分析】借助正負性、對勾函數的性質及二次函數的性質判斷即可得.

【解析】由一故;￡（一8,—1）,故〃=/一;〉0,

由對勾函數性質可得6=/+；<_（1+1）=—2,

c=f（2+/）<0,且。=￡.（2+/）=r+2/=（/+1）2—12-1,

綜上所述，有bvc〈a.

故選：C.

?題型03作差法比較代數式的大小

7.(2024高三?全國?專題練習)若。=(x+1)(x+3),b=2(x+2)2,則Q與6的大小關系為.

【答案】a<.b

【解析】

解析：因為6—。=2(x+2)2—(%+1)(x+3)=2x?+8x+8—(x2+4x+3)=N+4x+5=(x+2)2+l

>0,所以

【考查意圖】

作差比較法比較大小.

8.(23-24高三上,河南?開學考試)已知：a>b>c>0,A=ab+be,B=ac+b2,C=a2+b2,則/、B、C大小

關系是.

【答案】C>A>B

【分析】根據給定條件，利用作差法結合不等式性判斷作答.

【解析】由a>6>c>0,得a?>ab,”>be,因此C=/+b?>ab+6c=/,

5=(ab+be)-(ac+b2)=(a—b)(b-c)>0,則B,

所以4B、C大小關系是C>/>瓦

故答案為：C>A>B

9.(22-23高三?全國?對口高考)若cosa>sin。〉tana,其中丁3卜則aw.

【答案】[-5可

【分析】由cosa>sina確定ael-Wgj,討論ae(-/,o]、ae[0,^),應用作差法比較sina,tana大小,

即可得答案.

_,_iL.t(兀兀_t.??7C7C?

【解析】由aJ-jqJ且cosa>sma,則aw[-于],

當a時，siner-tan=sindr-(1---------),止匕時sina<0,--->1,

\2Jcosacosa

所以sina—tana>0,即sina>tani,滿足題設；

兀11

當。￡[0,一)時，sin6Z-tan6/=sin67?(1--------),此時sina>0,------->1,

4cosacosa

所以sina-taniW0,即sintana,不滿足題設；

綜上，67,

故答案為：1―

?題型04作商法比較代數式的大小

10.（2022高三?全國?專題練習）若0=；-,b=—,貝—"填">"或

【答案】<

【分析】作商法比較大小，結合對數的運算律和性質，即得解

【解析】易知。，6都是正數，==—=log9>l,所以9a.

a31n2ln23In88

故答案為：<

11.（22-23高二上?廣東江門,階段練習）已知3"=4'=5°=0.3”,則2瓦c大小關系是_______.

【答案】2b>a>c

【分析】設3"=4"=5。=0.3一§=t>1，得"logs乙b=log41,c=log51,然后作商法比較年和24c大小

解決即可.

【解析】因為0.3甘>1，設3。=4"=5。=0.3一孑>1，

所以a=log3t,b=log41,c=log51,

因為t>l,

所以。>0,b>0,c>0,

因為｝署需“

所以a>c.

因為六指r墨常，

所以2b〉Q.

故答案為：2b>a>c.

12.（2024?吉林?模擬預測）請寫出一個幕函數/（x）滿足以下條件：①定義域為［0,+8）；②/（幻為增函數;

③對任意的多，X2e［0,+?）,都有,則〃x）="

【答案】J（答案不唯一）

【分析】根據幕函數的性質可寫出一個符合①②的幕函數，利用作差法說明其也滿足③，即可得答案.

【解析】由題意可知/0）=￡的定義域為［°，+°°），且/（X）在［。，+⑹上為增函數；

下面證明該函數滿足③：

取任意的X[,x2G[0,+O0),

[M+X?]=5+%>0,+=衣+厄>0

+X；+x-2y/x^-2y/x^

則2

24-4-，

當且僅當西=%時取等號，

即歲+/㈤尸）,即/（幻=￡滿足③，

故答案為：￡

?題型05由不等式的性質證明不等式

13.（22-23高一下?云南玉溪?期中）若a,beR,則“（a-6）/<0”是"°<6"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據不等式的性質，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.

【解析】由不等式<0,可得。-6<0,可得a<6,即充分性成立；

反之：由。<6,可得a-6<0,又因為所以（a-b）/wO,所以必要性不成立,

所以（a-6）/<0是a<b的充分不必要條件.

故選：A.

14.（2024?四川成都?模擬預測）命題”|x+y|+|x-y|v2”是"國W1,且b歸1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據絕對值三角不等式和充分條件必要條件的定義即可判斷.

【解析】若卜+“+上一歹歸2,

2|x|=|x+y+x-y|<|x+_v|+|x-_y|<2,即同41,

2\y\^\x+y-x+y\<\x+y\+\x-y\<2,即卜歸1,

則充分性成立；

若同VI且

當（x+〉）（x—時，\x+y\+\x-y\^\x+y+x-y\^2\]<\<2,

當（x+y）（x_y）＜0時，\x+y\+\x-y\^\x+y-x+y\^2\y\＜2,

則必要性成立；

綜上所述：牛+4+卜-"。”是平日,且“歸1”的充分必要條件.

故選：C.

15.（22-23高三上?上海浦東新?開學考試）已知4%、X2、%X3、%為6個不同的正實數，滿足：①

再＜必,工2＜%戶3＜%，②再必=X2%=馬%，③（網+%）優+%）=伉+%）2，則下列選項中恒成立的是

（）

A.2%〈必+%B.2%＞%

C.只＜必%D./＞%%

【答案】D

【分析】利用不等式的性質，得至!JX?%＜與/+%WG+%）+（/+%）,由此排除A、B選項,

2222

再得至U（貨-XR乂貨-乃％）＞0與貨＞再退，由此得到只＜必為，即D選項正確，C選項錯誤.

【解析】不妨設尤1＜X3，則由無戊=X3力得M＞%,故X]-無3＜0，%-必＜0，

x

貝[|（七一三）（％-必）＞0,即無]%+3yi-再弘一x3y3＞0,即再必+x3y3＜xxy3+x3yt,

故2（%％+x3y3）＜x,y3+馬必+占必+x3y3=（再+演）（％+%），

所以4“＜（毛+三）（必+%），即%了？＜為；心.%；為（1）,

——12

又因為（％+%）2=（X]+%）（X3+%）W（再+''；（%+%）,

所以/+小（*+/）+（巧+%）=（占+￡）+（“+%）⑵，

222

由（1）（2）可知為＜七比或%＞星產皆有可能，故A、B錯誤；

由（西+乂）（％+%）=（/+%f得再%+再%+%退+必％=考+/+2工2%，

所以石工3+石歹3+%、3+必為=￥+歹；+再弘+工3%，

所以用+貨一再退一切為=（再一/）（%一%），

不妨設馬>X],則%〈%，所以篇+尺-占三-%%=（占-三）（%-必）>0,

所以X?%+%>占玉%+%%%,所以（%—再%乂%—%%）>0,

xx

又再J】=x2y2=x3y3,所以x；y；=x1x3y1^3,所以貨>，尤/必%>i3>

所以7；—而再>O,yl一切%>0，

同理當當<再時，丸-%%>0,

所以只>%力，故D正確，C錯誤；

故選：D.

?題型06利用不等式求取值范圍

16.（2024?全國?模擬預測）已知實數x，>滿足-則工+了的取值范圍是.

【答案】（-2,2）

【分析】根據不等式的性質即可求解.

【解析】由—1<X<><1可得—l<x<L—所以-2<x+y<2,

故答案為：（-2,2）

17.（2024?浙江?模擬預測）已知正數a,b,c滿足Y+°2=咐〃+°2=25,貝汁人=/十〃的取值范圍為

【答案】9〈人<41

【分析】

根據不等式的性質即可求解.

【解析】

??,正數。、b、c滿足/+C2=16,b2+c2=25,

.-.c2=16-?2,/>。所以0<02<16

同理：有=25-/得至I]。/<25,所以0<。2<16

兩式相加：a2+b2+2c2=41

即/+〃=41一2c2

Xv-16<-c2<0,即-32<-2c2<0

.-.9<41-2c2<41

即9<左<41.

故答案為：9<k<41

18.（2024?河北石家莊?二模）若實數x,y,z20,S.x+y+z=4,2x-y+z=5,貝I]M=4x+3y+5z的取值范

圍是■

【答案】[15,19]

?7747r

【分析】先得到x=3-彳/=1一：，并根據xj,zN0得至IJ04Z43,從而求出M=『+15415,19].

7zz

[尚畢析]因為％+y=4_z,2x_y=5_2,故x=3—~-,y=l--,

（2z

3——>0

3

2

由xj,22。得<1-§2。,解得0Wz<3,

z>0

故M=4x+3y+5z=4（3-g1+3“-B+5z=F+15e[15,19].

故答案為：[15,19]

?題型07不等式與三角函數、平面向量

19.（2024?北京海淀?一模）在平面直角坐標系X/中，角口以Ox為始邊，終邊在第三象限.則（）

A.sina-cosa<tanaB.sina-cosa>tana

C.sina-cosa<tanaD.sina-cosa>tana

【答案】C

【分析】對A、B：舉出反例即可得；對C、D：借助三角函數的商數關系及其值域計算即可得.

【解析】由題意可得sina<0、cosa<0,tan>0,

對A：當sina—0一時，cosaf-l,貝Ijsina—cosa-1,tanif0,

此時sina-cosa>tana,故A錯誤；

對B：當a=2時，sina-coscr=sin--cos-=0<tan-=1,故B錯誤；

4444

r?2sina2<八

對C、D：sina-cosa=cosa--------=cos??tancr,由一l<cosa<0,

cosa

故cos2a￡（0,1）,則cos2a?tana<tana，BPsina-cosa<tana,

故C正確，D錯誤.

故選：C.

20.（2024高三?全國?專題練習）已知四邊形AB1BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD

交于點。，若記a=E?礪，b=OBOC,c=OCOD,貝！J（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

【答案】C

【分析】根據向量形式的余弦定理計算可得%.麗＞0,再利用作差法即可比較。,6,c的大小關系

【解析】在△4DC中，根據余弦定理有|而『+|石|2T石『=2|石川函|cosN/CD=2瓦.麗;

在“3C中，根據余弦定理有|9『+|而『_|次「=2|第卜|而|??乙4==20?屈；

兩式作差得?（而-而）=|刀『+|而『-屈『而『

即而麗J甌2函2T函2TM、9>。,

22

所以b-a=S§.云-52?歷=歷?衣=，麗?就>0?>0).

y.AC-75B=\AC\\I)B\cosZBOC>0,所以cosN8OC>0,貝l]cosN/OB<0,

由圖易知|礪卜口H，I反卜|礪|,

所以c-a=云.而_次.無=(|反||礪卜|)||瓦|卜0sz^O6<0，

所以c<a<b.

?題型08不等式與函數

21.（2024高三?全國?專題練習）已知函數①y=logtzx；②y=logbx；③y=logcx；④y=logdx的大致圖

象如圖所示，則下列不等關系正確的是（）

A.。+。＜6+。B.a+dVb+c

C.6+cVa+dD.b+dVa+c

【答案】A

【解析】

解析：由已知可得b>Q>l>d>c,則Q+6>Q+C,b+d>a~\-c,故A正確，D錯誤；又q+d與b+c的大

小不確定，故B,C錯誤.故選A.

22.(2024?全國?模擬預測)若則下列不等式一定成立的是()

7一1,11,1

A.a>bB.cib<tz+Z?—1C.ciH—>bd—D.a<b

baba

【答案】D

【分析】由log/>l,分類討論和。>1可判斷A,B；取特值可判斷C；根據y=x+1的單調性可判

X

斷D.

【解析】因為log/>1,所以log/>log/,

當0<a<l時，解得0<b<a<l；當。>1時，解得

所以(a—1)(6—1)>0,gpab>a+b-X,A,B錯誤.

當。=2,6=3時，a+^-<b+—,C錯誤.

ba

因為y=x+：在(0,1)上單調遞減，在(1,+x)上單調遞增，所以

gptz-y<6--,D正確.

ba

故選：D.

15

23.(2024?陜西西安?模擬預測)a=0.31-,&=log312,c=log26,d=,則有()

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【分析】由題意首先得0<a<l,d=『|<0,進一步方=log312=l+log34>2,c=log26=l+log23>2,從而

我們只需要比較logs4,log23的大小關系即可求解，兩式作商結合基本不等式、換底公式即可比較.

【解析】a=0.3115<0,31°=1,所以0<a<l,d=J^<0,

b=log312=l+log34>2,。=log26=l+log23>2,

pn4+ln2?

又因為Iog34_In4/n2<12J=叱&[<]，

2

log23ln3-ln3ln3-ln3(ln3)

所以6<c,d<a<b<c.

故選：B.

?題型09高考新考法一不等式在生活情景、傳統文化中的綜合應用

24.（2024高三上?全國?競賽）某考試評定考生成績時，采取賦分制度：只有原始分排名前3%的同學才能賦

分97分及以上.若這些學生的原始分的最大值為處最小值為6,令/（x）為滿足〃。）=100,46）=97的一次

函數.對于原始分為的學生，將/"）的值四舍五入得到該學生的賦分.已知小趙原始分96,賦

分100；小葉原始分81,賦分97；小林原始分89,他的賦分是（）

A.97B.98C.99D.98或99

【答案】D

[99.5<96m+n<100

【分析】根據題意設/（X）=加關+〃，得到-07，從而得到

[96.5<81m+?<97

o7

/（89）=89m+n=—（96m+?）+—（81m+?）,代入不等式即可求解.

【解析】設/（月=機工+〃（加，〃為常數），由題可得99.54/（96）=96加+〃（100,

99.5<96m+?<100

96.5</(81)=81m+n<97,即

96.5<81m+?<97

由于/(89)=89加+〃，令89加+〃=s(96加+〃)+/(81加+〃),即

7

15

B72727

所以89加+〃二百（96加+〃）+百（81冽+〃）,則百x99.5+百x96.5V89加+〃工.X100+JJX97,即

98.1<89機+〃<98.6,

所以小林原始分89,他的賦分是98或99.

故選：D

25.（2024?全國?模擬預測）如圖，一個筒車按逆時針方向轉動.設筒車上的某個盛水筒吹到水面的距離為d

（單位：米）（在水面下，則d為負數）.若以盛水筒沙剛浮出水面時開始計算時間，d與時間，（單位：分

鐘）之間的關系為d=4sin（2-1+2.某時刻力（單位：分鐘）時，盛水筒少在過點。（。為筒車的軸心）

IT

的豎直直線的左側，且到水面的距離為5米，則再經過2分鐘后，盛水筒沙（

A.在水面下B.在水面上

C.恰好開始入水D.恰好開始出水

【答案】B

【分析】根據題意列出計算式，再用兩角和差公式計算即可.

【解析】由題意,=4sin2/0--

或］（舍去）?

所以sin

所以再經過J分鐘，可得〃=4x匕包+2=上@>0,所以盛水筒在水面上.

682

在判斷d>0時，可以采用放縮法更為直接，過程如下：

亞〈卮n-V21>-5=-->-2.5=7-亞>3.5-2.5=1nd>1,

22

d>0,故盛水筒在水面上.

故選：B.

26.（2024?全國?一模）我國著名科幻作家劉慈欣的小說《三體口?黑暗森林》中的"水滴”是三體文明使用新

型材料-強互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測器，其外形與水滴相似，某科研小組研發的新材料水滴角

測試結果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點處氣一液兩相界面的切線與液一固兩相交線所成的

角），圓法和橢圓法是測量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長軸平行于液一固兩者的

相交線，橢圓的短半軸長小于圓的半徑）的一部分，設圖中用圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為4，名,

則（）

空氣,

固體材料

22

附：橢圓》+%=1（。>6>0）上一點（%,%）處的切線方程為竽+爺=1.

A.<02B.4=4

C.D.4和2的大小關系無法確定

【答案】A

【分析】運用圓和橢圓的切線方程分別求得tan回、tan&,結合6＜五可判斷兩者大小.

【解析】由題意知，若將水滴軸截面看成圓的一部分，圓的半徑為R,如圖所示，

所以tan。】￡

A—1j

22

若將水滴軸截面看成橢圓的一部分，設橢圓方程為1+9=1(。＞6＞0),如圖所示,

則切點坐標為(-21),

則橢圓M+[=l上一點(-21-1)的切線方程為2+與⑦=1,

a2b2ab2

2b2

所以橢圓的切線方程的斜率為左2=tan名=2〃八，

a(p-1)

將切點坐標(-2/-1)代入切線方程可得二+與匕=1,解得竺=2b-l,

aba

2一方」一)，

所以tang=2b2

a2(Z>-l)b-12b-1

又因為6<R=g,

114

所以tang=—(2+-----)>—=tan,gptan0>tan0,

2b-132x

所以，＜4.

故選：A.

?題型10不等式與數列

27.(2022?全國?模擬預測)已知S,是數列｛%｝的前"項和，1是數列也｝的前〃項積,

?11l

Sn=n-+2n,—+—=\,則向與7；的大小關系是()

A.B.阮>qC.MiD.M&T.

【答案】B

【分析】根據給定條件，利用4=S,-S“T，〃N2求出4,進而求出“，再結合不等式的性質及累乘法的思

想推理判斷得解.

2

【解析】當〃=1時，％=Si=3,當〃22時，Sn_x=n-1,則%=S〃-S〃T=2〃+1,

11..an2〃+1

顯然為=3符合上式，因止匕。“=2〃+1,由三+—=1,得么=—=1廠

b“anan-\2n

則…xW±L而2〃2z>(2〃-1)(2"+1),即有之±1〈興

2462n2n2n—1

十口3572〃+l2462n

:F^-x-x-x..x-------------<—x—x—X---X-------------

2462n1352n-l

3572〃+1、2234562n2H+1

從而x^rr<—X—X—X—X—X---X------------X-------------=2n+1,

123452〃一12n

所以…*蕓土1<疝［1,即擊；>q.

2462n

故選：B

【點睛】易錯點睛：由數列前，項和求通項，需按"22和"=1分段求解，并且還要驗證”=1的結果是否滿

足“22時的表達式.

?題型11不等式與導數

28.(2024?四川攀枝花?三模)己知正數。,6,c滿足alnb=be，=ca,則()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】A

【分析】法一：由aln6=ca得c=ln6,構造函數/(x)=lnx-x(x>0),求導利用導數判斷函數的單調性求

最值，進而比較6、J由恒=加。兩邊同除以A得1=.,構造函數g(x)=.(x>0),求導利用導數判斷

函數的單調性求最值，進而比較6、a,由此可比較a,b,c的大小.法二：化，=11仍為6=6。，作差法并

構造函數〃(x)=e*-Mx>0),求導利用導數求出函數最值，比較6、c大小，再利用作差法比較。、6大小,

即可比較。，b,c的大小.

【解析】法一:

由aln6=ca得c=ln6,令/(x)=lnx-x(x>0),貝!=~,

當xe(O,l)時，r(x)>0,/(x)在(0,1)上單調遞增,

當xe（l,+s）時，r（x）<0,〃x）在（1,+⑹上單調遞減，

所以&（x）=/⑴=T，所以〃x）W-1在（0,+“）上恒成立,

所以/(。)<0,BPinb<b,所以c=ln6<b,所以6>c；

ac已“

由ca=be。兩邊同除以6c得@=上e，令g(x)=>0),

bcx

則g，(x)=e"(；T)(x>o),所以g(X)2e在(0,+功上恒成立，

當xe(O,l)時，g'(x)<0,g(x)在(0,1)上單調遞減,

當xe(l,+oo)時，g.x)>0,g(x)在。,+8)上單調遞增,

所以gmin(x)=8⑴=e,所以g(x)Ne在(0,+司上恒成立，

所以g(c)>l,即￡>1,所以q=f>in0>6,從而a>b>c.

cbc

法二：

由alnb=ca得c=lnb,即6=e。，所以6—c=?。一°，

令h(x)=ex-x(x>0),7zr(x)=ex-l(x>0),

當x￡(0,+oo)時，〉0,"%)在(0,+。)單調遞增，

所以〃(“>可0)=0,所以〃(c)=e，—c>0,

貝!J有b-c=ec-c>0=>b>c;

由be，=CQ得e，?e。=CQ,即Q=——，

因為e，>0,c>0,ec-c>0,所以Q—b〉0,即Q>b

故。>6>c.

故選：A

【點睛】方法點睛：比較大小時，可根據數值構造函數，利用函數的單調性，最值比較大小.

71_Z

29.（2024?遼寧?一模）設〃=一，6=2-”，。=1一e1則（）

3

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【分析】利用導數證明不等式e'2x+l,可得b<a,c<a；根據不等式的性質可證得i+二>/，則c<b,即

可求解.

【解析】對于函數f(x)=e*-x-l,f\x)=e-\,

令f\x)<0=>x<0,/r(x)>0=>x>0,

所以函數在(-%。)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增，

所以“X)血n=/(0)=0,則/(x)N0,即e-x+l.

112--22

所以b=2-e3<2-(-+1)=-,c=l-e3<1-(--+1)=-.

12--1rr2-

由。2<8,得￡<1=2,所以?〈二，則1+^=1+=>2丁=丁人，

一e3e3Ve3e3

所以1_涓<2-即氏

所以c<b<a.

故選：B

【點睛】方法點睛：對于比較實數大小方法：

(1)利用基本函數的單調性，根據函數的單調性判斷，

(2)利用中間值〃1〃或"0〃進行比較，

(3)構造函數利用函數導數及函數單調性進行判斷.

30.(2024?云南貴州?二模)已知a=ln(、回e),b=---9c=——+1,則a也。的大關系為()

e5

A.c>a>bB.b>a>c

C.a>b>cD.b>c>a

【答案】B

【分析】根據。，仇C的特點，構造函數/(》)=叱，判斷其單調性，得至iJ/a/axM/Xe)：!，故有

xe

/(e)>/(5),/(e)>/(2),再運用作差法比較/(5)J(2)即得.

【解析】設/(*)=叱，貝|]/'。)=二?，

XX

當0cx<e時，f\x)>0,/(x)在(0,e)上遞增；

當x>e時，f\x)<0,/(x)在(e,+co)上遞減，

故/(X)max=/(e)=L

e

1In51In2

貝nt!l]—>,—>---,即nnb7>c,b7>a；

e5e2

In2-5

由ln5In221n5-51n232八可知c<。，i^b>a>c.

-----------=---------------=-------<u

521010

故選：B.

一、單選題

1.（2024?河北滄州?一模）下列命題為真命題的是（）

A.Vx>0,ex>cosxB.\/a>b,a2>b2

C.3x>0,cosx>exD.3a>b,a3<b3

【答案】A

【分析】根據指數函數和余弦函數的性質即可判斷AC；舉出反例即可判斷B；由作差法即可判斷D.

【解析】對于AC,當x>0時，Vx>0,ex>l,cosx<l,

所以Vx〉0,e”>cosx,故A正確，C錯誤；

對于B,當。=0,b=-1時，"=0<1=/,故B錯誤；

對于D,“3—+46+/）=（“—6）+,

因為。>6,所以/一/=,一6）1a+gb]>0,故D錯誤.

故選：A.

2.（2024?全國?模擬預測）。"是切帝私川的（）

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】利用不等式的性質，分別判斷充分性和必要性.

【解析】由不等式的性質可知，。會時一定有的22加2成立，

而a加22臺加2成立時，若加=0就不能推出a2b.

所以q之b是am?>bm2的充分不必要條件.

故選：B.

3.(2024?陜西安康?模擬預測)若a,6,c滿足2">26,log3c<0,則()

1cc

A./,A>0B.a>b

yb-a)c

C.ac>bcD.a+c>be

【答案】C

【分析】根據指數函數、對數函數性質得仇由不等式的性質可判定AC,由特殊值法可判定BD.

【解析】由2。>2",log3c<0,^a>b,0<c<l,所以所以他二).<。,所以A錯誤；

令a=-l,6=-2,c=g,此時。。與6。無意義，所以B錯誤；

因為a>6,0<c<l,所以由不等式的性質可得ac>A,所以C正確；

13

令a=—2/=—3,c=2,貝|Q+C=—5=bc,所以D錯誤.

故選：C.

4(2024?浙江臺州?二模)已知>為正實數，則可成為〃的充要條件的是()

A.—<—B.x+]ny<y+\nx

xy

C.sinxvsinyD.x~cosy<y~cosx

【答案】D

【分析】作差法可判斷A；構造函數尸(x)=x-In%、/(x)=x+cosx,利用導數研究其單調性，并結合充分、

必要性的定義可判斷BD；特值法可判斷C.

【解析】對于A,已知x,y為正實數，若---=^>0,

xyxy

則故A錯誤；

xy

對于B,由x+lny<y+lnx可得：x-\nx<y-\ny,

令尸(x)=x-lnx(x>0),

r(x)=i--=—,令/(x)<o,解得：o<x<i,

XX

則尸(x)在(0,1)上單調遞減，

若x<ye(O,l),則尸(x)>b(y),故B錯誤；

TT27r

對于C,已知X,y為正實數，若x<y,^X=-,y=—,

則sinx=siny,故C錯誤;

對于D,由1—cosy<y-cosx,貝x+cosx<y+cosy,

令/(x)=%+cosx,則/'(x)=l-sinx20,

即/(X)在定義域上遞增，故x<>,

反之X<>也有x-cosy<y-cos尤成立，滿足要求，故D正確.

故選：D.

5.(2023?湖南岳陽?模擬預測)已知1<。<3,3<6<6,則二的取值范圍為()

2a

A.B.(2,6)C.(1,6)g，31

【答案】D

【分析】由不等式的性質即可得解.

【解析】因為1<。<3,3<6<6,所以2<2。<6,—<——<—,

62a2

Ibbb

所以7<:<丁<7<3.

262(72

故選：D.

“13

6.(2024?全國?模擬預測)設。=ln4,b=tan—+tanl,c=—,則()

22

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【分析】構造函數〃x)=tanxr,xe(0,3,利用導數判斷單調性，可得tanx>x,進而得6>c,再結合

對數的性