等差數列的前〃項和112類題型匯總】

總陳題型耀澤

【題型1】等差數列前n項和的基本量計算

【題型2】前n項和與等差中項

【題型3】片段和性質

【題型4】2的性質

n

【題型5】由S"求通項公式（6種類型全歸納）

【題型6】兩個等差數列前n項和之比

【題型7】偶數項或奇數項的和

【題型8】等差數列的前n項和與二次函數的關系

【題型9】等差數列前〃項和的最值

【題型10］含絕對值的等差數列前n項和

【題型11］等差數列的簡單應用

【題型12】等差數列前n項和性質綜合（累加，前n項積，隔項等差，奇偶數列）

題型，廠編知識梳理與學考題型

【題型1】等差數列前n項和的基本量計算

基礎知識

等差數列的前〃項和公式

八*V,77（77-1）

公式:Sn=-------------；公式一：Sn=narH--------------a

///典型例題/

【例題1】（2024?全國?IWJ考真題）記S〃為等差數列｛〃〃｝的前〃項和，若〃3+%=7,32+〃5=5,則

Sio=-

【答案】95

【分析】利用等差數列通項公式得到方程組，解出4,d,再利用等差數列的求和公式節即可得到答

案.

%+2d+q+3d—7a=—4

【詳解】因為數列為為等差數列,則由題意得,解得x

3(%+")+%+4d=5d=3

inxQ

則Si°=10%+^—d=10x(—4)+45x3=95.

【例題2】已知等差數列｛%｝的前"項和為'.若$3=%，且。3*0,則法=

?3

Q

【答案】?

【分析】利用等差數列的通項公式及求和公式得出數列｛凡｝的首項可與公差〃的關系式，表示出

83,84即可求出結果.

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為“，由83=^3,得34+3d=Qi+2d,解得d=-2%,

S4_4q+6d__8al_8

由生。0,得4。0,所以用'一3%+3"一二^一§，

【例題3】已知等差數列｛叫的前〃項和為5,,若出=1,久=12則%=.

【答案】3

【分析】由已知列方程組求得等差數列的首項和公差，代入等差數列的通項公式得答案.

【詳解】設等差數列｛%｝的首項為%,公差為“，

1

2=%+d

則＜$6=6%+*Dd=12'解得'

d=-

3

則a5=1+(5-1)|=3-

【例題4】設s“為等差數列｛a“｝的前"項和，若$5=4%,為>0,若時，s“=%,貝等于

（）

A.11B.12C.20D.22

【答案】D

【分析】根據，5=4囚，求出首項與公差的關系，再根據5'=。“結合等差數列的前”項和公式即可得

解.

【詳解】設公差為d,

由85=4%,得54+10d=4%,所以％=-10將

由％>0,得d

故%=%=（〃-1l）d,

貝“S=（[+%）”+（〃-21）血

"-2一2一2

因為9=an,

所以"也=（〃_]]“，

化簡得〃2一23〃+22=0,解得〃=22或〃=1（舍去）.

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】（23-24高二下?福建泉州?期末）已知等差數列｛斯｝的前〃項和為無，若Q4=7,S4

=16,則。2=（）

A.3B.4C.5D.6

【解題思路】應用等差數列通項公式及前〃項和公式基本量運算，最后求出做即可.

【解過程】因為。4=+3d=7,5,4=4al4—--d.=16,

所以a】=l,d=2,

所以效=ai+d=2+1=3.

【鞏固練習2】（2023?全國?高考1卷真題）設等差數列｛%｝的公差為〃，且d>l.令b,=

記E,￡分別為數列｛。“｝,也｝的前"項和.，若3a2=3%+的，$3+（=21,求｛%｝的通項公式;

【答案】a?=3n

【分析】（1）根據等差數列的通項公式建立方程求解即可;

【詳解】（1）<3出=3%+%,「.3。=%+2d,解得％=d,

S3—3。2=3(。］+d)=6d,

3123d2d3dd

9

S+T=6d—=21,

33d

即2d2—7d+3=0,解得"=3或，=；(舍去),

an=4+(〃-1)?d=3n.

【鞏固練習3】（24?25?湖北宜昌?期中）記為等差數列｛%｝的前〃項和，若4+%=24,56=48,

貝ljSi7=()

A.510B.408C.62D.16

【答案】A

【分析】由已知利用等差數列的通項公式和前〃項和公式求基本量，然后求出〃.

再結合等差數列前〃項和公式和等差數列的性質求解即可.

（、「見+4=+7a=24

【詳解】設等差數列。"的公差為d,則;=>,

[S6=64+15d=48

[=-2

解得）,所以為=4+8d——2+4x8=30,

[d=4

所以耳7=I，、；％）=17%=510.

【鞏固練習4】（23-24高二上?浙江湖州?期末）己知S,為等差數列｛g｝的前"項和，若$4=4$2,

a

2n=2a“+1,貝！J?2023=

【答案】4045

【分析】先根據條件列方程組求出首項和公差，再利用等差數列的通項公式求解即可.

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為d,

由邑=4s2得4%+6d=4（2%+d）,整理得2%-d=0①

由aln-2an+1得%+（2〃-l）d=2[%+（〃-l）d]+l,整理得%-〃=-l②，

由①②得％=1,1=2,

所以a2023=aA+2022d=l+2x2022=4045.

【鞏固練習5】（2023?全國?高考n卷真題）已知｛%｝為等差數列，"=?一:便工，記S.,T?

12%,”為偶數

分別為數列｛%｝,｛4｝的前〃項和，S4=32,4=16,求｛與｝的通項公式；

【答案】⑴%=2"+3；

【分析】（1）設等差數列｛%｝的公差為"，用%”表示邑及北，即可求解作答.

,、fg—6,〃=2左一1.

【詳解】（1）設等差數列。”的公差為d,而…，笈eN*,

[2an,n=2k

則4=4—6,b2=2a2—2al+2d,b3=a3-6=a1+2d-69

[S=4〃|+6d=32

于4是,解得%=5,1=2,a?=a,+（n-l）d=2n+3,

[i3=4q+44-12=16

所以數列｛%｝的通項公式是=2〃+3.

【鞏固練習6】（23-24高二上?浙江嘉興?期末）已知數列｛0“｝和｛"｝均為等差數列，它們的前〃項和

2

分別為S,和4，且%anbn=n+36n,S2}=T23,貝)%+。=()

【答案】D

【分析】根據題意，由等差數列的前”項和可得%2=%,然后設與=履+，，2=川+4,代入計算,

列出方程，即可得到結果.

【詳解】由邑3可得23（%+"）=23（4+原）,即%2=%,

一-22一一

設%=物+，，3=pn+q,

12

貝|Janbn=pkn+(pt+kq)n+tq=n+36〃,

所以夕左=1,pt+kq=36,tq=0.

pk=\

若/=0,則<kq=36

12k=T2p+q

解得夕=；,k=2,q=18,此時Q〃=2〃，〃=；〃+i8.

0741

即q+4=萬；

pk=1

同理，若[=。，則<p，=36,

nk+t=nP

解得〃=2,左=],/=18,貝IJQ〃=；〃+18,bn=2n.

口z41

即4+4;

…741

綜上，q+4=—.

【題型2】前n項和與等差中項

基礎知識1

若項數為2〃—1(〃eN*),則S2?_,=(2-1「I+；2"T=(2〃—1)?%(a?是數列的中間項),

例如SgU%%，S]3=13?%，SX1=17-a9

/II典型例題/

【例題1】（2024?全國?高考真題）已知等差數列｛%｝的前〃項和為邑，若其=1，則%+為=（）

72

A.-2B.-C.1D.-

39

【答案】D

【分析】可以根據等差數列的基本量，即將題目條件全轉化成％和d來處理，亦可用等差數列的性

質進行處理，或者特殊值法處理.

【詳解】方法一：利用等差數列的基本量

9x8

由S9=1,根據等差數列的求和公式，S9=9%+—^―d=lu>94+36d=1,

22

又生+%=%+2d+4+6d-2%+8d——（9/+36d）——.

99

故選：D

方法二：利用等差數列的性質

根據等差數列的性質，弓+包=2+弓，由Sg=l,根據等差數列的求和公式，

9（%+初=9（%+%）=1故+2

9229

故選：D

方法三：特殊值法

12

不妨取等差數列公差d=0,貝"S9=1=9%=>Q]=§,貝。3+。7=2%=3.

【例題2】已知等差數列｛%｝,其前"項和為$“,%+%+&=12,則Sg=（）

A.24B.36C.48D.64

【答案】B

【分析】根據題意，結合等差數列的性質，求得%=4,再由肉=9（%；。9）=9%,即可求解.

【詳解】因為數列｛%｝為等差數列，且為+%+。6=12,

由等差數列的性質，可得為+。5+。6=3牝=12,所以牝=4,

又由品=駕匈=9%=36.

【例題3】（24-25高二上?江蘇蘇州?期中）等差數列｛七｝的前〃項和為工，若兒為定值時2%+%+久

也是定值，則上的值為（）

A.9B.11C.13D.不能確定

【答案】C

【分析】根據等差數列的性質可得%+51為定值，結合基本量法可求上的值.

【詳解】因為品為定值且S”=11&,故&為定值，故為+54為定值，其中"為公差.

而2%+%+。斤=4al+2d+6d+（左—1）d=4al+（左+7）d,

故當且僅當上+7=20即％=13時，2a2+a7+ak為定值.

【例題4】（23-24高二下?湖北武漢?階段練習）設S“為等差數列｛%｝的前"項和，若

+aiO~3旬二。2-2,貝USio=（）

A.5B.10D.15

【答案】B

【分析】利用等差中項性質得歿+4。=2%,再利用等差數列的下標和性質求解即可.

【詳解】若1+%0-3旬=出-2,由等差中項性質得w+qo=2%,

故-。9=%-2,即。2+%=2,易知百0=1(。］+40)=5(/+%)=10-

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】（24-25高三上?安徽馬鞍山?期中）設等差數列｛。“｝的前〃項和為國，已知

“2+%=—2,則S5=（）

A.-2B.-5C.1D.2

【答案】B

【分析】利用等差數列的性質和前〃項和公式即可求解.

【詳解】由等差數列｛%｝的性質可知：2%=。2+。4=-2,即。3=T,

再由前〃項和公式得：&=（%+；5）§=%,5=_1x5=—5

【鞏固練習2】國為等差數列｛4｝的前"項和，％+&=12,Sg=45,則該等差數列的公差d=

（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據等差數列前?和公式以及等差數列定義即可得到答案.

【詳解】=9（,+"9）=9'=45n%=5,7+《=12n&=7,故d=7-5=2.

【鞏固練習3】（23-24高二下?吉林?開學考試）等差數列｛。“｝的前”項和為S”.若

^1011+。1012+“1013+“1014=8，貝US2024=()

A.8096B.4048C.4046D.2024

【答案】B

【分析】根據等差數列性質可得“ion+%O12+〃1013+%014=2(〃IOI2+/013)=8,再結合等差數列的求和

公式從而可求解.

【詳解】由寺差數列的性質可得。1011+%012+41013+。1014=2(。1012+%013)=8,

S=B

所以?1012+?1013=4,所以20242024/+*)=2024(”+暇)=4048.故正確.

【鞏固練習4】等差數列｛%｝的前"項和為其，若%=4,5,=18,則公差"=.

【答案】-1

【分析】利用等差數列前"項和公式及等差中項、通項公式得9(4+24)=18,即可求公差.

【詳解】由品=%%；%)=9%=9(%+2d)=9(4+2d)=18,5Hd=-1.

【鞏固練習5】(2023?全國?高考真題)記S“為等差數列｛?｝的前”項和.若的+&=10,為弓=45,

則$5=()

A.25B.22C.20D.15

【答案】C

【分析】方法一：根據題意直接求出等差數列｛%｝的公差和首項，再根據前”項和公式即可解出；

方法二：根據等差數列的性質求出等差數列｛%｝的公差，再根據前“項和公式的性質即可解出.

【詳解】方法一：設等差數列｛2｝的公差為d,首項為q,依題意可得，

〃2+4=4+汗+%+5d=10,即/+3d=5,

又〃4%=(%+3d)(〃i+74)=45,解得：d=Lq=2,

5x4

所以S5=5al+-^―xd=5x2+10=20.

故選：C.

方法二：出+。6=2%=1。，〃4〃8=45,所以%=5,6=9,

從而d=—^-=1,于是。3=&-I=5-1=4,

所以S5=5%=20.

【鞏固練習6】（24-25高二上?江蘇蘇州?期中）等差數列｛%｝的前〃項和為Sn,當品為定值時，

2%+%+軟也是定值，貝I］左的值為（）

A.11B.13C.15D.不能確定

【答案】B

【分析】根據等差數列的性質以及求和公式可得為+5d為定值，結合等差數列的通項公式轉化

2a2+a7+ak,列出關系式即可求解.

【詳解】因為=

2

當品為定值時，即4+%=2%為定值，即4+5d為定值，

/\（（左+7）、

2%+%+%=4q+（左+7）d=4tZj+-------d,

I4,

“+7

所以丁=5,解得左=13.

【鞏固練習7］已知數列｛%｝的前〃項和為S“，且數列｛%｝滿足

2%=4-1+。“+1522）,%-。2=4.若S?=9,則。9=（）

A.9B.10C.17D.19

【答案】C

【分析】根據等差中項判斷｛為｝是等差數列，然后由$3=9可得%=3,由&-g=4可得公差，即

可求得%.

【詳解】-：2an=an_l+an+l,

,數列｛。“｝是等差數列，設公差為"，

則為-%=24=4,可得〃=2,

又S3=4+4+%=3a2=9,可得〃2=3,

a9=4+（9—2）x2=17.

【鞏固練習8】（22-23高二上?浙江臺州?期末）已知等差數列｛與｝的前〃項和為S.,若公差d=-2,

且$5=$2018，則$2022=（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】B

【分析】利用等差數列前〃項和二次函數性質及Ss=$2018求得%=2022,進而求得a2022=-2020,

最后應用等差數列前〃項和公式求結果.

【詳解】由S0=+Dd="（％+1）_/,故對稱軸為〃=,又$5=$2018,

所以，=號,即％=2。22,故臉=2。22+2。21-,

所以$2022=2022（℃期）=2022.

【題型3】片段和性質

基礎知識

等差數列｛4｝中，其前"項和為S,,則｛%｝中連續的〃項和構成的數列Sn,S2n-Sn,S3,,-S2n,

5"一S3,,…構成等差數列.

/“典型例題/

【例題1】（23-24高二下?福建福州?期中）已知等差數列｛”“｝的前〃項和為Sn,S3=9,S6=36,則

$9=________

【答案】81

【分析】根據等差數列的性質和等差中項的性質得到2（2-S3）=S3+Sg-臬，然后解方程即可.

【詳解】根據等差數列的性質可得M,s6-s3,S9-S6成等差數列，

所以2（$6—S3）=S3+Sg—$6,即2x（36—9）=9+S9—36,解得69=81.

【例題2】（2024?全國?高考真題）記為等差數列｛%｝的前〃項和，已知S5=E°,%=1，則%=

）

ABC.D-

-1-i3-n

【答案】B

【分析】由S5=S]°結合等差中項的性質可得％=0,即可計算出公差，即可得力的值.

【詳解】由百0-35=。6+。7+。8+。9+40=5%=0,則4=。,

7

則等差數列｛%｝的公差d=—=--,故q=牝-4d=l-4x

3I

【例題3】已知等差數列｛%｝的前"項和為40,前3〃項和為420,則前2〃項和為（）

A.140B.180C.220D.380

【答案】B

【分析】利用等差數列的前n項和的性質即可求解.

【詳解】設等差數列｛g｝的前〃項和為S“，則

S“，邑”-5”，品”-邑”成等差數列,

又S.=40,S30=420

所以2（邑，一40）=40+420-S2n,解得52?=180.

所以等差數列｛%｝的前2〃項和為180.

【鞏固練習1】（23-24高二下?河北唐山?期末）已知等差數列｛g｝,前”項和為邑,$2。-=10,則

A.20B.25C.30D.35

【答案】c

【分析】由已知結合等差數列的求和公式即可求解.

【詳解】設等差數列｛〃〃｝的首項為4,公差為d,貝1邑。-Si。=20%+10x194—(10%+5x94)=10,

30x29

化簡得2%+2W=2,SM=30%+2d=15(2q+29d)=30

【鞏固練習2】(23-24高二下?廣東廣州?期末)在等差數列｛。"｝中，S”為其前"項和，若風=1，

$6=4,貝！J$9=()

A.7B.8C.9D.12

【答案】C

【分析】利用等差數列前〃和的性質，得出品+59-￡=2(56-$3),求解即可.

【詳解】因為數列是等差數列，且邑=1,5=4,

所以根據等差數列前"項和的性質可得S3,$6-S3,風-S6成等差數列，

所以$3+59-￡=2(￡-53),所以l+Sg-4=2(4-l),解得品=9.

【鞏固練習3】等差數列｛%｝的前"項和工，若5“=1同“-'=5,則$4"=()

A.10B.20C.30D.15

【答案】A

【分析】由等差數列性質得，5",$2"-邑,$3“-$2"，J"-$3"成等差數列，設公差為d,則

S3.-S“=2S“+3d=5,可求得對應公差，貝"$4“=4s“+6d可求值

【詳解】由等差數列｛叫有5“,邑”-5”國-邑”風-53”成等差數列，設為4

則S「S”=SLS2.+S2-S“=S"+2"S"+d=2S“+3d=5nd=l,

故S’”=S-3.+$3“F+S2n-Sn+S?=4Sn+6d=W.

【鞏固練習4】(23-24高二上?天津?期末)設S“為等差數列｛0.｝的前〃項和，且$3=75,S6=-12,

貝ljal0+4]+al2=.

【答案】39

【分析】由題意$3,$6-號，$9-$6,幾-$9成等差數列，結合$3=T5,$6=-12即可求解.

【詳解】由題意S“為等差數列｛%｝的前〃項和，且$3=-15,S6=-n,

所以(風一5)一邑=(-12+15)+15=18,

fyS3,S6-S3,Sg-S6,sn-s9成等差數列，

萬斤以％。+4］+〃］2=S］?—S。=83+3x18=—15+54=39.

【鞏固練習5】(23-24高二上?福建福州?期末)在等差數列｛%｝中，若$3=3,S$=24,則%=()

A.100B.120C.57D.18

【答案】B

【分析】根據等差數列前"項和性質求解.

【詳解】｛%｝是等差數列,則SJN-S6，S|2-Sg仍成等差數列，

又$3=3,'-S3=24-3=21,所以品_$6=2($6_$3)-$3=39,S9=39+24=63,

512-S9=2(59-S6)-(S6-^)=2x39-21=57,

所以弗=57+63=120

【鞏固練習6】(23-24高二上?廣東深圳?期末)己知等差數列｛%｝的前”項和為S"，S4=l,58=4,

貝+%8+%9+。20=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

［分析］根據等差數列中S,,s『sn,s｝?-s2?成等差數列求解即可.

【詳解】在等差數列｛“"｝中，

54=1,風=4,所以$4=1,$8-$4=3,

故$4，$8-$4再2-$8,&-$12,$20-$16構成公差為2的等差數列，

所以$2。-&=1+(5-1?2=9,

aa+a-9.

Fpn+al8+l920

【鞏固練習7】設邑是等差數列也｝的前“項和，%=16,S100-S90=24,則E°°=.

【答案】200

［分析］根據等差數列前"項和性質結合等差數列基本量的計算求出新等差數列的公差d,最后根

據等差數列的前〃項和公式計算可得.

【詳解】依題意，Ho,S2。—百0，S30-S20,Woo-S90依次成等差數列，

設該等差數列的公差為又Ho=16,耳00-$90=24,

O

因立匕doo-Sgo=24=16+(10-1)4=16+94,解得d=—,

If)x910x98

所以S]oo=lOSio+^—d=10xl6+-^x1=200.

【題型4】前n項和與n的比(學的性質)

核心?技巧

｛。“｝為等差數列0為等差數列

【例題1】已知數列｛%｝為等差數列，其前〃項和為S“，且。3=7,^--^=10,則$9=()

A.63B.72C.135D.144

【答案】C

【分析】設出公差，表達出身■=的+8二辿，代入得到方程，求出公差，從而求出首項，利用求

n2

和公式得到答案.

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為"，貝，|邑=〃4+史口d,則&=ai+(〃T”.

2n2

由j=10,得(a[_(q+2d)=10,解得"=4.

又因為生=7,所以6二%-2。=一1,

所以Sg=94+M|zO^=9x(-1)+等x4=135.

【例題2】已知等差數列前〃項和為S“，其中$5=84=5,則幾=.

【答案】-13

【分析】根據等差數列的性質計算出答案.

【詳解】若鼠=n,Sn=m,

為等差數列,

邑__2絲

S〃+"=—+（m+n-m]x------=-+（m+n-m]x————二一1，

m+nmm-nmm-n

故鼠+“=-（加+〃），Si?=-（5+8）=-13.

【例題3】（2023?全國?高考真題）記S,,為數列｛.”｝的前〃項和，設甲：｛%｝為等差數列；乙:｛2｝

n

為等差數列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數列的定義，再結合數列前”項和與第〃項的關系

推理判斷作答.，

【詳解】方法1,甲：｛%｝為等差數列，設其首項為q,公差為d,

〃」」ddS

01)Snn-t2d_

貝”Sn—H-----------d,-Q]H------d——"+,—

2n2212n+1n~2

因此｛-4為等差數列，則甲是乙的充分條件;

n

｛a｝為等差數列,即見工=嗎「(〃+1電

反之，乙:為常數設為匕

nn+1nn(n+V)n(n+V)

na,?一S

即尤布尸，則S，，="/f〃（〃+1），有ST=（"%一?"（I）42,

兩式相減得：an=nan+1-（?-l）a?-2tn,即％.-%=2/,對”=1也成立，

因此｛0“｝為等差數列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛。“｝為等差數列，設數列｛《｝的首項％,公差為d,即S“=〃q+g也d,

則一=---）d=—“十%,因此｛―修為等差數列，即甲是乙的充分條件；

n222n

cvvv

反之，乙：為等差數列，即T—2=。，2=51+（〃一1）。，

nn+1nn

即S〃=nSx+n(n-1)。,S”7=(n-1)5,+(n-1)(〃-2)D,

當〃22時，上兩式相減得：S〃一H+2(〃—1)。，當〃=1時，上式成立，

于是%=%+2(n-l)Z>,又%+i+2nD-[ax+2(n-1)Z>]=2Z)為常數，

因此｛%｝為等差數列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

【例題4】在等差數列｛““｝中，q=1,其前〃項和為S.,若$6-3邑=24,貝/。=

【答案】100

【分析】由等差數列性質得數列1號4為等差數列，設其公差為乙進而得*-2=44=4,故

[nJ62

2=〃，進而得S“=〃2,再計算幾即可.

n

【詳解】?/數列｛an｝為等差數列，

數列為等差數列，

設其公差為乩又邑-邑=41=4,解得：d=l,

62

v

—=n,即S“="

n

A5lo=lOO

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】(23-24高二下?江西萍鄉?期末)已知數列｛an｝的前n項和為％,若｛§｝是等差數列，且

Si。=0,S8=2s4+8,則a1=()

19

A.B.C.5D.5

4422

【解題思路】根據等差數列的性質，先求出｛率(的公差，再結合等差數列通項公式求得S1,即可求得

答案.

【解答過程】由題意知｛目是等差數列，設其公差為乩

則由S8=2S4+8,可喏=?+1,則4d=n==

o4-o4-q

Sio=O,則需=0,故需=?+9d=0,；.Si=-9d=—%

g

故Ql=S1=一不

【鞏固練習2】已知等差數列｛叫的前“項和為%且與q=4,則—（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】結合等差數列求和公式可推導證得數列，為等差數列，進而求得等差數列｛。“｝的公差,

根據等差數列通項公式可求得結果.

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為d,

數列是公差為￡的等差數列，.?.與-m=4*'|=4,解得：d=2,

為一6=3d=6.

C

【鞏固練習3】（多選）若等差數列｛4｝的公差為“，前〃項和為5“，記，=口，則（）

n

A.數列也｝是公差為;〃的等差數列

B.數列也｝是公差為2d的等差數列

□

c.數歹M+4｝是公差為h的等差數列

D.數歹！J｛%-4｝是公差為:"的等差數列

【答案】AC

【分析】利用等差數列的定義可判斷各選項的正誤.

〃（%+%）

【詳解】由已知可得八Sn—2—4+%，

un——=-------------c--

nn2

對于AB選項，*（一生筍=%『=（

所以，數列｛4｝是公差為;d的等差數列，A對B錯；

d3d

對于C選項，（a,+i+%）-（％+4）=（%-。”）+電+1-4）=d+5=3,

3

所以，數列｛%+4｝是公差為5d的等差數列，C對；

對于D選項，（a〃+i-%1）一（%-婦=（%+「-4）=d—g=g,

所以，數列｛。"-4｝是公差為gd的等差數列，D錯.

【鞏固練習4】己知等差數列｛”“｝的前〃項和為力且:牛=4,則—（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】結合等差數列求和公式可推導證得數列為等差數列，進而求得等差數列｛。“｝的公差,

n

根據等差數列通項公式可求得結果.

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為d,

/、n(n+l),"(I)]

$[n+\jaH——~-dna+

則屋Lxx2,n,

--------=%Hu—Uy—

77+1n〃+1n----------2

..?數列彳2]是公差為儀的等差數列，-邑=4x4=4,解得:d=2,

[nJ2732

..a。—。6=3d=6.

【鞏固練習5】已知等差數列｛%｝的前〃項和為S”，$=30,邑。=70,貝”“。=.

【答案】880

【分析】設等差數列｛%｝的公差為“，推導出數列，為等差數列，且公差為：，求出54的值,

可求得藉的值，即可得解.

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為￡/,

”(%+%)

則S用S-。，用+%%+%

a1+a?,

.S_2?+1n~22-2

nn2

[S〕一,d

所以，數列，k為等差數列，且公差為彳

所以，3一=--3=-=10x-=5rf,

2010222

^^110=^IO+1OOX-=3+10x5(7=3+10x-=8,所以，S110=880.

1101022

【鞏固練習6】（23-24高二下?廣東佛山?階段練習）等差數列｛%｝的通項公式為=1-2”，其前〃項

和為S“，則數列1｝，的前100項的和為（）

A.-10100B.10100C.-5050D.5050

【答案】C

【分析】利用等差數列求和S”，再判斷數列是等差數列，再求前100項和.

【詳解】等差數列％=1-2",所以=

CCC（S）

所以二L=—幾，因為存—一曰=—〃—「一（〃-1）］=—1,即數列是等差數列，

nnn-1LJLnJ

所以數列數列的前100項的和為lOOxqT。。）=-5050.

【鞏固練習7】（23-24高二上?河北保定?期末）已知數列｛%｝滿足%+i=4+6,｛。“｝的前〃項和為

S,則5024一S2022=

)

"'20242022

A.12B.6C.3D.2

【答案】B

【分析】根據等差數列定義可證得數列，），是以3為公差的等差數列，由此可得結果.

【詳解】??,%+1=%+6,.?.數列｛%｝是以6為公差的等差數列，

qq（〃+1）H——-------x6nax-\——------x6

------=---------------------------------------------------=%+3〃—%—3—1）=3，

n+1nn+1n

,數列序］是以3為公差的等差數列，，品生-呈=2x3=6.

InI20242022

【鞏固練習8】已知等差數列｛七｝的首項為為,前〃項和為國，若釜一荒|=1,且S,2s5,則為

的取值范圍為.

【答案】

【分析】根據等差數列通項和前〃項和的函數性可證得數列為等差數列，結合已知等式可求得

fa<0

d,由《5、八可構造不等式組求得結果?

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為￡/,

-S=na^--^d...i=q+(〃-1)?不=7〃+,

n]+2fn22zy

???數列1y4是以3=%為首項，4為公差的等差數列，

i112

—=1,解得:d=2；

202320222

%=%+4d=%+8<0

解得：-8,

6=%+5d=4+1020

即內的取值范圍為

【題型5】由S〃求通項公式(6種類型全歸納)

X心?技巧/.................................

由Sn求通項公式一般都要驗證首項是否滿足通項公式

1、已知S“與％的關系;或S“與77的關系時用S“-S,T,得到%

類型一：首項滿足通項公式

2

例：Sn=An+Bn

類型二：首項不滿足通項公式即首項不可合并，即q=\'(〃=1)

"['―S,T(〃22)

2

例：Sn=An+Bn+C

類型三：s“以Zaibi的形式出現

i=\

例：已知％+2出+3%+...+〃％=2〃求%

2、已知乙與SiS“的關系；或%與四+點二的關系時，J-S,”］替換題中的%

類型四：消為保留S,

例：①已知2a"=S"S”〃22）；②已知后=%用一百

3、對于式子中有提到%>0且出現關于an和%的二次式可以考慮利用十字相乘進行因式分解.

類型五：因式分解型

例：。“>0,淄+2。"4_］一3a3=0n（%—%T）（%+3%T）=0

類型六：已知｛%｝為等差數列

對于題目中已經提到｛%｝為等差數列時，一