多選題加練(七)立體幾何與空間向量1.(2024·常德模擬)已知平面α，β，直線l，m，則下列命題正確的是()A.若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，l?α，則l⊥βB.若α∥β，l?α，m?β，則l∥mC.若m?α，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m”的充分不必要條件D.若m?α，l?α，則“l(fā)∥α”是“l(fā)∥m”的必要不充分條件答案ACD解析由面面垂直的性質定理可知A正確；對于B，若α∥β，l?α，m?β，則l∥m，或者l，m異面，故B錯誤；對于C，若m?α，l⊥α，則l⊥m，故充分性成立，但是l⊥m，m?α，不能得到l⊥α，故C正確；對于D，若m?α，l?α，l∥α，不能得到l∥m，因為l，m有可能異面，但是l∥m，m?α，l?α，則l∥α，故D正確.2.(2024·十堰模擬)《九章算術》中，將上、下底面為直角三角形的直三棱柱叫做塹堵，在如圖所示的塹堵中，eq\o(B1D,\s\up6(→))＝2eq\o(DC1,\s\up6(→))，則()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.向量eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量為eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))D.向量eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影向量為eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))答案BD解析因為eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(B1D,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(A1C1,\s\up6(→))－eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故A不正確，B正確；如圖所示，故D作DU垂直BC，過U作VU垂直AB，UW垂直AC，故向量eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量為eq\o(AV,\s\up6(→))，向量eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影向量為eq\o(AW,\s\up6(→))，由題意易得eq\f(AV,AB)＝eq\f(1,3)，eq\f(AW,AC)＝eq\f(2,3)，故eq\o(AV,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，C不正確；eq\o(AW,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，D正確.3.(2024·梅州模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，O1為四邊形A1B1C1D1的中心，P為線段AO1上的一個動點，Q為線段CD1上一點，若三棱錐Q－PBD的體積為定值，則()A.DQ＝2QC1 B.DQ＝QC1C.O1Q＝eq\r(2) D.O1Q＝eq\r(3)答案BC解析連接AC，BD，交BD于點O，連接OC1，因為O1為四邊形A1B1C1D1的中心，所以AO1∥OC1，又OC1?平面BDC1，AO1?平面BDC1，所以AO1∥平面BDC1，因為三棱錐Q－PBD的體積等于三棱錐P－QBD的體積，且為定值，所以AO1∥平面QBD，所以平面QBD與平面BDC1為同一平面，所以Q為CD1與DC1的交點，所以DQ＝QC1，故A錯誤，B正確；因為正方體的棱長為2，所以O1Q＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，故C正確，D錯誤.4.(2024·西安模擬)沙漏，據《隋志》記載：“漏刻之制，蓋始于黃帝.”它是古代的一種計時裝置，由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為6cm，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的eq\f(2,3)(細管長度忽略不計).假設該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，且細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結論正確的是()A.沙漏的側面積是9eq\r(5)πcm2B.沙漏中的細沙體積為eq\f(16π,3)cm3C.細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cmD.該沙漏的一個沙時大約是837秒(π≈3.14)答案BD解析A中，設下面的圓錐的母線長為l，則l＝eq\r(32＋62)＝3eq\r(5)cm，故下面圓錐的側面積為S＝πrl＝3×3eq\r(5)π＝9eq\r(5)πcm2，故沙漏的側面積為2S＝18eq\r(5)πcm2，故A錯誤；B中，因為細沙全部在上部時，高度為圓錐高的eq\f(2,3)，所以細沙形成的圓錐底面半徑為eq\f(2,3)×3＝2cm，高為6×eq\f(2,3)＝4cm，故底面積為π·22＝4πcm2，所以沙漏中的細沙體積為eq\f(1,3)×4π×4＝eq\f(16π,3)cm3，B正確；C中，由B選項可知，細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的體積為eq\f(16π,3)cm3，其中此錐體的底面積為π·32＝9π，故高度為eq\f(3×\f(16π,3),9π)＝eq\f(16,9)≈1.8cm，C錯誤；D中，eq\f(16π,3)÷0.02≈eq\f(16×3.14,3×0.02)≈837秒，故該沙漏的一個沙時大約是837秒，D正確.5.(2024·合肥模擬)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝eq\r(3)，BC＝1，AA1＝3，點M在線段BB1上，且B1M＝2MB，N為線段C1M上的動點，則下列結論正確的是()A.當N為C1M的中點時，直線AN與平面ABC所成角的正切值為eq\f(\r(11),4)B.當MN＝2NC1時，B1N∥平面ACMC.△ACN的周長的最小值為3eq\r(3)D.存在點N，使得三棱錐N－AMC的體積為eq\f(\r(11),6)答案BD解析對于A，當N為C1M的中點時，取BC的中點P，連接PN，AP，易知PN∥CC1，CC1⊥平面ABC，則PN⊥平面ABC，故∠PAN為直線AN與平面ABC所成的角，則tan∠PAN＝eq\f(PN,AP)＝eq\f(\f(1,2)（MB＋CC1）,\f(\r(11),2))＝eq\f(1＋3,\r(11))＝eq\f(4,\r(11))，故A錯誤；對于B，當MN＝2NC1時，延長B1N交CC1于點Q，此時eq\f(C1Q,B1M)＝eq\f(C1N,MN)＝eq\f(1,2)，所以C1Q＝1，CQ＝2，所以CQ＝B1M.又CQ∥B1M，所以四邊形CQB1M是平行四邊形，所以CM∥B1Q，即CM∥B1N.因為B1N?平面ACM，CM?平面ACM，所以B1N∥平面ACM，故B正確；對于C，當點N與M重合時，易知AN＝2，CN＝eq\r(2)，此時△ACN的周長為2＋eq\r(2)＋eq\r(3)，顯然有2＋eq\r(2)＋eq\r(3)<3eq\r(3)，故C錯誤；對于D，取BC的中點P，連接AP，易知AP⊥平面BCC1B1，AP＝eq\f(\r(11),2)，若三棱錐N－AMC的體積為eq\f(\r(11),6)，即VN－AMC＝eq\f(\r(11),6)，所以eq\f(1,3)·S△CMN·AP＝eq\f(\r(11),6)，所以S△CMN＝1，因為S△CMC1＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)>S△CMN＝1，所以存在點N，使得三棱錐N－AMC的體積為eq\f(\r(11),6)，故D正確.6.(2024·煙臺模擬)三棱錐V－ABC中，底面ABC，側面VAC均是邊長為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面VAC，P為AC的中點，則()A.VB⊥ACB.VA與BC所成角的余弦值為eq\f(1,2)C.點P到VB的距離為eq\f(\r(6),2)D.三棱錐V－ABC外接球的表面積為eq\f(20π,3)答案ACD解析連接VP，BP，因為△ABC和△VAC為等邊三角形，P為AC中點，所以AC⊥VP，AC⊥BP，因為VP∩BP＝P，VP，BP?平面VPB，所以AC⊥平面VPB，因為VB?平面VPB，所以VB⊥AC，故A正確；因為平面ABC⊥平面VAC，平面ABC∩平面VAC＝AC，VP⊥AC，VP?平面VAC，所以VP⊥平面ABC，以P為原點，分別以PA，PB，PV為x，y，z軸建立空間直角坐標系，A(1，0，0)，V(0，0，eq\r(3))，B(0，eq\r(3)，0)，C(－1，0，0)，eq\o(VA,\s\up6(→))＝(1，0，－eq\r(3))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，－eq\r(3)，0)，設VA與BC所成角為θ，所以cosθ＝eq\f(|\o(VA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))|,|\o(VA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(|－1|,2×2)＝eq\f(1,4)，故B錯誤；因為VP⊥平面ABC，BP?平面ABC，所以VP⊥BP，因為△ABC和△VAC的邊長為2，所以VP＝BP＝eq\r(3)，在等腰直角△VPB中，VP＝BP＝eq\r(3)，所以點P到VB的距離為eq\r(3)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),2)，故C正確；分別取△ABC和△VAC的外心O2，O1，再分別過O2，O1作平面ABC，平面VAC的垂線交于點O，所以O為三棱錐V－ABC的外接球球心，OO2＝O1P＝eq\f(1,3)VP＝eq\f(\r(3),3)，BO2＝eq\f(2,3)BP＝eq\f(2\r(3),3)，所以OB＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(15),3)，三棱錐V－ABC的外接球的表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(20π,3)，故D正確.7.(2024·長沙調研)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點E，F(xiàn)，G分別是線段BC1，CD1，A1B1的中點，則()A.DE⊥BGB.AF∥平面BC1GC.直線AB與平面BC1G所成的角的余弦值為eq\f(\r(3),3)D.過點F且與直線DE垂直的平面α，截該正方體所得截面的周長為3eq\r(5)＋eq\r(2)答案ACD解析以D為坐標原點，以DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立坐標系，如圖所示，D(0，0，0)，E(1，2，1)，B(2，2，0)，G(2，1，2)，A(2，0，0)，F(xiàn)(0，1，1)，C1(0，2，2)，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1，2，1)，eq\o(BG,\s\up6(→))＝(0，－1，2)，∵eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(BG,\s\up6(→))＝1×0＋2×(－1)＋1×2＝0，∴eq\o(DE,\s\up6(→))⊥eq\o(BG,\s\up6(→))，故A正確；eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－2，0，2)，eq\o(BG,\s\up6(→))＝(0，－1，2)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－2，1，1)，設平面BC1G的法向量為n＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(BC1,\s\up6(→))·n＝0，,\o(BG,\s\up6(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x1＋2z1＝0，,－y1＋2z1＝0，))令z1＝1，則x1＝1，y1＝2，則n＝(1，2，1)，∵eq\o(AF,\s\up6(→))·n＝(－2)×1＋1×2＋1×1＝1≠0，∴AF與平面BC1G不平行，故B不正確；eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，2，0)，設直線AB與平面BC1G所成的角為α，則sinα＝|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|\o(AB,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(4,2×\r(6))＝eq\f(\r(6),3)，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(3),3)，故C正確；∵n＝eq\o(DE,\s\up6(→))，∴DE⊥平面BC1G，取X，T為A1D1，AA1的中點，如圖所示，則WD1＝CV＝AU＝eq\f(1,2)，由幾何關系可知，WX∥VU，WV∥TU，則WXTUV組成一個平面，由BG∥TU，BC1∥TX，TU，TX均在平面WXTUV內，則DE⊥平面WXTUV，即過點F且與直線DE垂直的平面α，截該正方體所得截面為如圖所示的平面WXTUV，則截面WXTUV的周長為WX＋XT＋TU＋UV＋VW＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1)＋eq\r(1＋1)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1)＋eq\r(22＋1)＋eq\r(22＋1)＝3eq\r(5)＋eq\r(2)，故D正確.8.(2024·南通質檢)已知AB為圓錐SO底面圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的一點，N為SA的中點，SA＝5，圓錐SO的側面積為15π，則下列說法正確的是()A.圓O上存在點M使MN∥平面SBCB.圓O上存在點M使AM⊥平面SBCC.圓錐SO的外接球表面積為eq\f(625π,16)D.棱長為eq\r(6)的正四面體在圓錐SO內可以任意轉動答案ACD解析對于A，如圖，過點O作OM∥BC，交劣弧eq\o(AC,\s\up8(︵))于點M，連接ON，由于N，O分別為SA，AB的中點，所以ON∥SB，又ON?平面SBC，OM?平面SBC，SB?平面SBC，BC?平面SBC，所以ON∥平面SBC，OM∥平面SBC，又OM∩ON＝O，所以平面OMN∥平面SBC.又MN?平面OMN，所以MN∥平面SBC，故A正確；對于B，假設圓O上存在點M使AM⊥平面SBC，SB?平面SBC，所以AM⊥SB.又因為SO⊥平面ABC，AM?平面ABC，所以AM⊥SO，又SO∩SB＝S，所以AM⊥平面SOB，又AM⊥平面SBC，所以平面SOB∥平面SBC，而平面SOB∩平面SBC＝SB，故B錯誤；對于C，如圖，已知SA＝5，圓錐SO的側面積為S＝π×AO×SA＝15π，解得AO＝3，則SO＝4，由題意可知球心在SO上，記為O′，設其半徑為R，由勾股定理得OA2＋OO′2＝O′A2，所以32＋(4－R)2＝R2，解得R＝eq\f(25,8)，所以圓錐SO的外接球表面積為4πR2＝eq\f(625π,16)，故C正確；對于D，設圓錐SO的內切球半徑為r，則圓錐的軸截面SAB內切圓的半徑為r，SA＝5，AO＝3，則SO＝4，如圖，由等面積法知eq\f(1,2)·r·(6＋5＋5)＝eq\f(1,2)×6×4，r＝eq\f(3,2)，設半徑為r＝eq\f(3,2)的球的內接正四面體棱長為a.如圖，T為正四面體底面中心，K為正四面體外接球球心，PT＝eq\f(\r(3),3)a，LT＝eq\f(\r(6),3)a，則r2＝PT2＋(LT－r)2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)a－\f(3,2)))eq\s\up12(2)，解得a＝eq\r(6)，故D正確.9.(2024·成都診斷)在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋xeq\o(AA1,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，x∈[0，1]，y∈[0，1]，則()A.當x＝1時，D1P＋BP的最小值為eq\r(5)B.當x＝y(tǒng)時，有且僅有一點P滿足DB1⊥A1PC.當x＋y＝1時，有且僅有一點P滿足到直線A1B1的距離與到平面ABCD的距離相等D.當x2＋y2＝1時，直線AP與C1D1所成角的大小為定值答案ACD解析如圖所示，以A為原點建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，A1(0，0，1)，B1(0，1，1)，C1(1，1，1)，D1(1，0，1)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，1，0)，xeq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0，0，x)，yeq\o(AD,\s\up6(→))＝(y，0，0)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋xeq\o(AA1,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＝(y，1，x)，∴P(y，1，x).對于A，當x＝1時，P(y，1，1)為線段B1C1上的點，將平面A1B1C1D1和平面BCC1B1展開為同一個平面，如圖，連接D1B，則D1P＋BP的最小值即為D1B＝eq\r(D1C2＋BC2)＝eq\r(5)，故A正確；對于B，當x＝y(tǒng)時，P(x，1，x)，eq\o(DB1,\s\up6(→))＝(－1，1，1)，eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(x，1，x－1)，則eq\o(DB1,\s\up6(→))·eq\o(A1P,\s\up6(→))＝－x＋1＋x－1＝0，即DB1⊥A1P，即滿足條件的P點有無數個，故B錯誤；對于C，當x＋y＝1時，y＝1－x，則P(1－x，1，x)，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(0，1，0)，eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(1－x，1，x－1)，|eq\o(A1P,\s\up6(→))|＝eq\r(3＋2x2－4x)，則eq\o(A1P,\s\up6(→))在eq\o(A1B1,\s\up6(→))上的投影長度為eq\f(|\o(A1P,\s\up6(→))·\o(A1B1,\s\up6(→))|,|\o(A1B1,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,1)＝1，則點P到直線A1B1的距離d＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(A1P,\s\up6(→))|2－12))＝eq\r(2x2－4x＋2)；平面ABCD的一個法向量為eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0，0，1)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1－x，1，x)，則點P到平面ABCD的距離為eq\f(|\o(AA1,\s\up6(→))·\o(AP,\s\up6(→))|,|\o(AA1,\s\up6(→))|)＝x；當點P到直線A1B1的距離與到平面ABCD的距離相等時，eq\r(2x2－4x＋2)＝x?x2－4x＋2＝0，∵x∈[0，1]，∴方程有一個解x＝2－eq\r(2)，即y＝eq\r(2)－1，即僅存在一個點P滿足條件，故C正確；對于D，當x2＋y2＝1時，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(y，1，x)，eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝(0，－1，0)，∵cos〈eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(C1D1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(C1D1,\s\up6(→)),|\o(AP,\s\up6(→))||\o(C1D1,\s\up6(→))|)＝eq\f(－1,\r(y2＋1＋x2))＝－eq\f(\r(2),2)，故直線AP與C1D1所成角的大小eq\f(π,4)，為定值，故D正確.10.(2024·寧波調研)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，點P滿足eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CC1,\s\up6(→))，λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，則()A.當λ＝1，μ＝eq\f(1,2)時，直線CP與AP所成角為60°B.當λ＝1時，AP＋PC1的最小值為eq\r(5)＋1C.若B1P與平面CDD1C1所成角為45°，則P點的軌跡長為eq\f(π,2)D.當μ＝1時，平面A1PB截此正四棱柱所得截面的最大面積為eq\r(5)答案ACD解析對于A，當λ＝1，μ＝eq\f(1,2)時，點P為DD1的中點，所以AP＝eq\r(AD2＋DP2)＝eq\r(2)，CP＝eq\r(CD2＋DP2)＝eq\r(2)，AC＝eq\r(CD2＋AD2)＝eq\r(2)，所以△ACP為等邊三角形，所以直線CP與AP所成角為60°，A正確；對于B，當λ＝1時，點P在DD1上，此時把正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的后面和右面展開，如圖，AP＋PC1的最小值為AC1＝eq\r(AC2＋C1C2)＝2eq\r(2)，B錯誤；對于C，因為點P滿足eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CC1,\s\up6(→))，所以點P在平面CDD1C1內，因為B1C1⊥平面CDD1C1，連接C1P，則∠B1PC1即為B1P與平面CDD1C1所成角，若B1P與平面CDD1C1所成角為eq\f(π,4)，則tan∠B1PC1＝eq\f(B1C1,C1P)＝1，所以C1P＝B1C1＝1，即點P的軌跡是以C1為圓心，以1為半徑的eq\f(1,4)個圓，所以P點的軌跡長為eq\f(π,2)，C正