PAGEPAGE1第5講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1．“直線a與平面M內(nèi)的多數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面M垂直”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B.依據(jù)直線與平面垂直的定義知“直線a與平面M內(nèi)的多數(shù)條直線都垂直”不能推出“直線a與平面M垂直”，反之可以，所以應(yīng)當(dāng)是必要不充分條件．2．PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A，B兩點(diǎn)的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是()A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：選C.由PA⊥平面ACB?PA⊥BC，A正確；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，BC⊥PC，即B，D正確．3．已知m，n表示兩條不同的直線，α表示平面，下列說(shuō)法正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m⊥α，n?α，則m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，則n∥αD．若m∥α，m⊥n，則n⊥α解析：選B.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AA1，AB1都與平面CC1D1D平行，但是直線AA1，AB1相交，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；依據(jù)線面垂直的定義，一條直線垂直于一個(gè)平面，則該直線垂直于平面內(nèi)的任一條直線，可見(jiàn)選項(xiàng)B正確；對(duì)于C項(xiàng)，可能有n?α；對(duì)于D項(xiàng)，n與α還可能平行或相交．4．(2024·九江模擬)如圖，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：選C.因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選C.5．(2024·河北名師俱樂(lè)部模擬)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2，PA＝3，PA⊥底面ABCD，E是棱PD上異于P，D的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)eq\f(PE,ED)＝m，則“0<m<2”是“三棱錐C-ABE的體積不小于1”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B.過(guò)E點(diǎn)作EH⊥AD，H為垂足，則EH⊥平面ABCD.因?yàn)閂C-ABE＝VE-ABC，所以三棱錐C-ABE的體積為eq\f(2,3)EH.若三棱錐C-ABE的體積不小于1，則EH≥eq\f(3,2)，又PA＝3，所以eq\f(PE,ED)＝m≤1，故選B.6.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為_(kāi)_______．解析：作CH⊥AB于H，連接PH.因?yàn)镻C⊥平面ABC，所以PH⊥AB，PH為PM的最小值，等于2eq\r(7).答案：2eq\r(7)7．(2024·云南省11?？鐓^(qū)調(diào)研)已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：①若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n；②若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n.其中全部正確命題的序號(hào)是________．解析：對(duì)于①，當(dāng)兩個(gè)平面相互垂直時(shí)，分別位于這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線未必垂直，因此①不正確．對(duì)于②，依據(jù)結(jié)論“由空間一點(diǎn)向一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面(或半平面所在平面)引垂線，這兩條垂線所成的角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ)”可知②正確．對(duì)于③，分別與兩條平行直線平行的兩個(gè)平面未必平行，因此③不正確．對(duì)于④，由n∥β得，在平面β內(nèi)必存在直線n1平行于直線n；由m⊥α，α∥β得m⊥β，m⊥n1；又n1∥n，因此有m⊥n，④正確．綜上所述，全部正確命題的序號(hào)是②④.答案：②④8．α，β是兩個(gè)平面，AB，CD是兩條線段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一個(gè)條件，就能得出BD⊥EF，現(xiàn)有下列條件：①AC⊥β；②AC與α，β所成的角相等；③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；④AC∥EF.其中能成為增加條件的序號(hào)是________．解析：由題意得，AB∥CD，所以A，B，C，D四點(diǎn)共面，①：因?yàn)锳C⊥β，EF?β，所以AC⊥EF，又因?yàn)锳B⊥α，EF?α，所以AB⊥EF，因?yàn)锳B∩AC＝A，所以EF⊥平面ABDC，又因?yàn)锽D?平面ABDC，所以BD⊥EF，故①正確；②：由①可知，若BD⊥EF成立，則有EF⊥平面ABDC，則有EF⊥AC成立，而AC與α，β所成角相等是無(wú)法得到EF⊥AC的，故②錯(cuò)誤，③：由AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上可知EF⊥AC，由①可知③正確；④：依照②的分析過(guò)程可知④錯(cuò)誤．答案：①③9.(2024·沈陽(yáng)市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一))在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且點(diǎn)O為AC中點(diǎn)．(1)證明：A1O⊥平面ABC；(2)求三棱錐C1-ABC的體積．解：(1)證明：因?yàn)锳A1＝A1C，且O為AC中點(diǎn)，所以A1O⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，且A1O?平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC.(2)因?yàn)锳1C1∥AC，A1C1?平面ABC，AC?平面ABC，所以A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距離等于A1到平面ABC的距離．由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)－AO2)＝eq\r(3)，所以VC1-ABC＝VA1-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·A1O＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.10.(2024·高考北京卷)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn)．(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；(3)求證：EF∥平面PCD.解：(1)因這PA＝PD，E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD.因?yàn)镻A⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AB⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD，所以PD⊥平面PAB.所以平面PAB⊥平面PCD.(3)取PC中點(diǎn)G，連接FG，DG.因?yàn)镕，G分別為PB，PC的中點(diǎn)，所以FG∥BC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BC.因?yàn)锳BCD為矩形，且E為AD的中點(diǎn)，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四邊形DEFG為平行四邊形．所以EF∥DG.又因?yàn)镋F?平面PCD，DG?平面PCD，所以EF∥平面PCD.1．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折，給出下列四個(gè)結(jié)論：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BCF；④平面DCF⊥平面BCF，則上述結(jié)論可能正確的是()A．①③ B．②③C．②④ D．③④解析：選B.對(duì)于①，因?yàn)锽C∥AD，AD與DF相交但不垂直，所以BC與DF不垂直，則①不成立；對(duì)于②，設(shè)點(diǎn)D在平面BCF上的射影為點(diǎn)P，當(dāng)BP⊥CF時(shí)就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使條件滿意，所以②正確；對(duì)于③，當(dāng)點(diǎn)D在平面BCF上的射影P落在BF上時(shí)，DP?平面BDF，從而平面BDF⊥平面BCF，所以③正確；對(duì)于④，因?yàn)辄c(diǎn)D在平面BCF上的射影不行能在FC上，所以④不成立．2．(2024·武漢市武昌區(qū)調(diào)研考試)在矩形ABCD中，AB＜BC，現(xiàn)將△ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折的過(guò)程中，給出下列結(jié)論：①存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直；②存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直；③存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直．其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．(寫(xiě)出全部正確結(jié)論的序號(hào))解析：①假設(shè)AC與BD垂直，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于E，連接CE.則eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AE⊥BD,BD⊥AC))?BD⊥平面AEC?BD⊥CE，而在平面BCD中，EC與BD不垂直，故假設(shè)不成立，①錯(cuò)．②假設(shè)AB⊥CD，因?yàn)锳B⊥AD，所以AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC，由AB＜BC可知，存在這樣的等腰直角三角形，使AB⊥CD，故假設(shè)成立，②正確．③假設(shè)AD⊥BC，因?yàn)镈C⊥BC，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AC，即△ABC為直角三角形，且AB為斜邊，而AB＜BC，故沖突，假設(shè)不成立，③錯(cuò)．綜上，填②.答案：②3.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，以AC為直徑的球面交PD于M點(diǎn)．(1)求證：平面ABM⊥平面PCD；(2)求CD與平面ACM所成角的正弦值．解：(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以PA⊥AB，又因?yàn)锳B⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，由題意得∠BMD＝90°，所以PD⊥BM，又因?yàn)锳B∩BM＝B，所以PD⊥平面ABM，又PD?平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD.(2)依據(jù)題意，S△AMC＝eq\f(1,2)AM·CM＝2eq\r(6)，S△ADC＝eq\f(1,2)AD·CD＝4，又VM-ACD＝VD-ACM，即eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(1,3)×2eq\r(6)h，所以h＝eq\f(4,\r(6))＝eq\f(2\r(6),3)(其中h為點(diǎn)D到平面ACM的距離)，設(shè)CD與平面ACM所成的角為α，則sinα＝eq\f(h,CD)＝eq\f(\f(2\r(6),3),2)＝eq\f(\r(6),3).4．如圖(1)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC的中點(diǎn)，AE⊥BD于點(diǎn)E(不同于點(diǎn)D)，延長(zhǎng)AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A1-BCD，如圖(2)所示．(1)若M是FC的中點(diǎn)，求證：直線DM∥平面A1EF；(2)求證：BD⊥A1F；(3)若平面A1BD⊥平面BCD，試推斷直線A1B與直線CD能否垂直？并說(shuō)明理由．解：(1)證明：因?yàn)镈，M分別為AC，F(xiàn)C的中點(diǎn)，所以DM∥EF，又EF?平面A1EF，DM?平面A1EF，所以DM∥平面A1EF.(2)證明：因?yàn)锳1E⊥BD，EF⊥B