第08講二次根式（8種題型）

【知識梳理】

一.二次根式的定義

二次根式的定義：一般地，我們把形如心的式子叫做二次根式.

①“廠”稱為二次根號

②a（〃20）是一個非負數；

二次限號

殿開方數

學習要求：

理解被開方數是非負數，給出一個式子能準確的判斷其是否為二次根式，并能根據二次根式的定義確定被開

方數中的字母取值范圍.

二.二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

（I）二次根式的概念.形如遍QN0）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被開方數的取值范圍.二次根式中的被開方數是非負數.

（3）二次根式具有非負性.4（a>0）是一個非負數.

學習要求：

能根據二次根式中的被開方數是非負數來確定二次根式被開方數中字母的取值范圍，并能利用二次根式的

非負性解決相關問題.

【規律方法】二次根式有無意義的條件

1.如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數都必須是非

負數.

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數為非負數外，還必須保證分母不為零.

三.二次根式的性質與化簡

（1）二次根式的基本性質：

①C20；心0（雙重非負性）.

②（4一=）2=。QN0）（任何一個非負數都可以寫成一個數的平方的形式）.

a(a>0)

③JN=|a|=<0(a=0)(算術平方根的意義)

~a(a<0)

（2）二次根式的化簡:

①利用二次根式的基本性質進行化簡;

②利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡.

Vab=Va,Vb(。20，b2)

（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數分解因式；②利用積的算術平方根的性質，把被開方數中能開得

盡方的因數（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數中每一個因數（或因式）的指數都小于

根指數2.

【規律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法

1.常見題型：與分式的化簡求值相結合.

2.解題方法：

（1）化簡分式：按照分式的運算法則，將所給的分式進行化簡.

（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結果.

（3）檢驗結果：所得結果為最簡二次根式或整式.

四.最簡二次根式

最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

最簡二次根式的條件：（1）被開方數的因數是整數或字母，因式是整式；（2）被開方數中不含有可化為平方

數或平方式的因數或因式.

如：不含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有2、3、a（a20）、x+y等；

含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有4、9、。2、（x+y）2、x2+2xy+y2等.

五.二次根式的乘除法

（1）積的算術平方根性質：Va^b=Va,Vb（aNO,bNO）

（2）二次根式的乘法法則：Va'Vb=Va^b（a20，b20）

（3）商的算術平方根的性質：5=親（a^0^b>0）

（4）二次根式的除法法則：#=強（a>0,b>0）

規律方法總結：

在使用性質a-b（。20,bNO）時一定要注意。20,b20的條件限制，如果oVO,b<0,使

用該性質會使二次根式無意義，如。x（口）#-4X-9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算

術平方根和二次根式的除法運算也是如此.

六.二次根式的加減法

（1）法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數相同的二次根式進行合

并，合并方法為系數相加減，根式不變.

（2）步驟:

①如果有括號，根據去括號法則去掉括號.

②把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡.

③合并被開方數相同的二次根式.

（3）合并被開方數相同的二次根式的方法：

二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數相同則可以進行合并.合并時，只合并根式外的因式，即系數相

加減，被開方數和根指數不變.

七.二次根式的混合運算

（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用.學習二次根式的混合運算

應注意以下幾點：

①與有理數的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的.

②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式”?

（2）二次根式的運算結果要化為最簡二次根式.

（3）在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往

往能事半功倍.

八.二次根式的化簡求值

二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值.

二次根式運算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區分，避免互相干

擾.

九.二次根式的應用

把二次根式的運算與現實生活相聯系，體現了所學知識之間的聯系，感受所學知識的整體性，不斷豐富解決

問題的策略，提高解決問題的能力.

二次根式的應用主要是在解決實際問題的過程中用到有關二次根式的概念、性質和運算的方法.

【考點剖析】

一.二次根式的定義（共4小題）

1.（2023春?廬陽區校級期末）下列式子中，一定是二次根式的是（）

A.52023B.VsC.如D.VI

2.（2023春?大石橋市期中）下列各式是二次根式的有（）

（1）&L⑵（3）7x2+l；⑷煙;（5）V-2X-2-

A.4個B.3個C.2個D.1個

3.（2022秋?門頭溝區期末）下列代數式能作為二次根式被開方數的是（）

A.xB.3.14-ITC.x2+lD.x2-1

4.（2022秋?寧德期末）已知。是正整數，J詬是整數，則。的最小值是2.那么若6是正整數，j

是大于1的整數，則b的最大值與最小值的差是.

二.二次根式有意義的條件（共3小題）

5.（2023春?江夏區校級期末）若使二次根式江-3+X在實數范圍內有意義,則無的取值范圍是（）

A.B.x>3C.x<3D.xW3

6.（2022秋?寶山區期末）如果y="3-2xW2x-3，則x+y的值為（）

A.—B.1C.—D.0

23

7.（2023春?東港區校級月考）已知x,y為實數，且了=，漢;_后1+4,貝卜-尸（）

A.-1B.-7C.-1或-7D.1或-7

三.二次根式的性質與化簡（共4小題）

8.（2023春?合川區期末）實數加對應的點在數軸上的位置如圖，則化簡J（m-2）2+Y（m-7）2的結果為

()

]__I__I__I__I『I

-101234

A.2m-9B.-5C.5D.9-2m

9.（2023春?泰山區校級期中）把根號外的因式移入根號內，化簡的結果是（）

A.V1-xB.Vx-1C.-Vx-1D.

10.（2023?婁底二模）如果J（X-2）2=2-X,那么x取值范圍是（）

A.xW2B.x<2C.%22D.x>2

11.（2023春?莘縣期末）若2<a<3,則以-4&+4-幾-3產等于（）

A.5-2aB.\-laC.2a-5D.2a-\

四.最簡二次根式（共2小題）

12.（2022秋?平度市期末）下列各式：①源，②近,③，近，④疝，，最簡二次根式有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

13.（2023春?南京期末）下列二次根式中，最簡二次根式是（）

A.B.V6C.D.

五.二次根式的乘除法（共6小題）

14.（2023春?仙游縣期中）下列運算正確的是（）

A.近.如=爬B.9向X倨^=?C.在義近=12

D.=6

15.（2021秋?古冶區期末）計算:

U）V3XV12；<2）JixV27-

6⑵23春.興縣期中）若舟忙成立‘則，）

A.x<6B.0WxW6C.x20D.0WxV6

已知遙貝（）

17.（2023春?蓬萊區期中）=q,\T\A=bfWo.O63=

A.他B.3ab「abn3ab

1010-100'100

18.（2023春?密云區期末）計算：2加x■???

19.（2022春?涅中區校級月考）3遙X2ji5.

六.二次根式的加減法（共5小題）

20.（2022秋?道外區期末）下列計算正確的是（）

A.V4+>/9=Vi3B.Vs-V3=V5C.3V2-V2=-2^2D.73*75=^15

21.（2022秋?渠縣校級期末）計算J五-收的結果是（）

A.V6B.-1C.V3D.-V3

22.（2022秋?南關區校級期末）規定用符號[利表示一個實數加的整數部分，例如：[■!]=（）,[3.14]=3,按

此規定[7-西]的值為____.

23.（2023?松北區三模）計算標-3患的結果是.

24.（2023春?涪城區期中）已知實數加、〃、p滿足等式心1-3+11川3-111-11=。31[1+511-2-0+4111-11-1），則

p=?

七.二次根式的混合運算（共3小題）

25.（2023春?宿城區期末）計算：.

26.（2023春?金川區校級期中）計算:

（1）V12-3V8+2V18；⑵973+7V12+5

(3)V24-^V3W6X2V3；⑷(V5W3)2-(V5+2)(V5-2)-

27.（2023春?潘集區期末）計算:

⑴-2V12+2^-義巫;

(2).

八.二次根式的化簡求值（共4小題）

28.（2023春?福清市期中）已知％=遙+百，丫=通-、R,求x?+孫+/的值.

29.（2023春?泰安期中）（1）當a=3-2近時，求代數式&+2#石嬴的值?

（2）當a=3+2&，b=3-2點,求代數式d-3必+廿的值.

30.（2023春?虹口區期末）已知：a+b=-2,ab=\,求：的值.

31.(2022秋?羅湖區校級期末)小明在解決問題：己知0=」^,求2/-8。+1的值，他是這樣分析與解

2W3

答的：

——義百廠=2』.

2^3(2W3)(2^3)

a-2=-'/3.

：.(a-2)2=3,即a2-4a+4=3.

??a~4。-1,

：.2a2-8a+l=2(a2-4a)+1=2X(-1)+1=-1.

請你根據小明的分析過程，解決如下問題：

(1)計算：以一=；

V2+1

(2)計算：-----4----------+----1---H---1--------1-------；

V2+1V3+V2V4+V3V2020W2019

(3)若a=-3—，求2/-8o+l的值.

V5-2

【過關檢測】

一、單選題

1.（2023春?浙江寧波?八年級寧波市第十五中學校考期中）若根式用工有意義，則x的取值范圍是

（）

A.x=2B.%W2C.x>2D.x>2

2.（2023春?山東臨沂?八年級統考期末）下列二次根式為最簡二次根式的是（）

A.V12B.VO3C?J/+1D.J3a2

3.（2023春?廣東惠州?八年級校考期中）已知：質是整數，則滿足條件的最小正整數〃為（

A.2B.4C.5D.20

4.（2023春?河北廊坊?八年級統考期末）下列各式計算正確的是（）

A.2+0=20B.J（-3）x（-4）=12

C.72x5/3=76D.A/4+^=^4+9

5.（2023春?安徽淮南?八年級統考期末）若°=瘍*m-而+點，則p的取值范圍為（）

A.0<p<lB.1<p<2C.2<p<3D.3Vp<4

6.（2023春?北京海淀?八年級中關村中學校考期中）下列二次根式中，與g能合并的是（）

A.724B.720C.418D.比

7.（2023?上海?八年級假期作業）已知x=3-2g,貝UY_6x+l的值為（）

A.-4B.4C.2-J3-3D.273-8

8.（2023春?四川德陽?八年級統考期末）若最簡二次根式伍與-3能夠合并，則。的值是（

A.-1B.0C.1D.2

9.（2023春?廣東惠州?八年級統考期末）下列根式是最簡二次根式的是（）

A."B?已C.#D.78

10.（2023?全國?八年級假期作業）下列式子一定是二次根式是（）

A.57^4B.7rC.yfaD.近

二、填空題

11.（2023春?江蘇?八年級專題練習）已知”是一個正整數，加麗是整數，則"的最小值是

12.（2023春?江西贛州?八年級統考期中）計算：-夜+0=.

13.（2023春?福建龍巖?八年級統考期末）當x=4時，二次根式的值為.

14.（2023春?河南新鄉?八年級河南師大附中校考期末）計算：竹一灰=..

15.（2023春?山東泰安?八年級統考期末）計算：?：石+^^。+7-元=.

16.（2023春?廣東汕頭?八年級統考期末）計算：（2+退）（2-百.

三、解答題

17.（2023春?北京東城?八年級期末）已知了=2+出，求代數式（尤-咪-2x+5的值.

18.（2023春?廣東江門?八年級統考期末）如圖，從正方形中載去兩個面積分別為24cm2和15cm2的

正方形3EO"和NOG,求留下部分的總面積.

19.（2023?全國?八年級假期作業）閱讀材料，并解決問題:

定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化.如：將耳耳分母有理化，解：原式=

/二'」「\=（75+73）.運用以上方法解決問題:

（1）將會3分母有理化;

（2）比較大小：（在橫線上填“>”、“<”或"="）

11

①?737r

②y/n-V?~ly/n+1-4n（n>2,且"為整數）;

⑶化簡：占+/國+忑＞+1

+(2021+,2022'

20.（2023春?北京西城?八年級校考期中）已知x=6+6y=A/5-A/3,求Yy+xyZ的值.

計算：*一2在+（2一我（2+我.

21.（2023春?廣東惠州?八年級統考期末）

22.（2023春?北京東城?八年級期末）計算:

⑵（2如+4卜（2石-4）一曲.

23.（2023春?福建福州?八年級統考期末）計算：后+（307-2屈）.

24.（2023春?廣東汕頭?八年級統考期末）計算：石X#-屈一百+（0+1『.

25.（2023春?北京海淀?八年級中關村中學校考期中）計算：（2若+應）（2如-&）+Q7.

26.（2023春?全國?八年級期中）像“一2百，Q/-而……這樣的根式叫做復合二次根式.有一些復

合二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡，

如：4-2退=小3-2退+1=7（＞/3）2-2XV3+12=點岸T?=若一1;

再如：J5+2#=，3+2"+2=J（百丁+2x痛+（可=J（昌河=出+④.請用上述方法探索并解

決下列問題：

（1）請你嘗試化簡：

①J11+2回=;

②J13-2而=-

⑵若a+66=（〃?+6w『，且“，加，”為正整數，求a的值.

27.（2023春?河南許昌?八年級校考階段練習）如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,8D是高,

AB=V18,AC=鬧，BC=屈.

A

D

3d------------------

⑴求JLBC的周長；

⑵求的長度.

28.(2023春?北京海淀?八年級中關村中學校考期中)把根式進行化簡，若能找到兩個數加、

n,使療+〃2=x且加=77,則把'±2^/7變成■+〃2±2〃加=(〃2±〃)2,然后開方，從而使得Jx土2石化

簡.

例如：化簡,3+2&?

解：3+2^=1+2+2^=12+(A/2)2+2X1X^=(1+^)2,

73+2及=J(l+夜『=1+0.

利用上述方法完成下列各題(結果要化為最簡形式)：

⑴(8+2岳=；

(2)19-廂=；

⑶當1VxW2時，化間^jx+2\[x-l+^Jx-2\[x-l-

第08講二次根式(8種題型)

【知識梳理】

一.二次根式的定義

二次根式的定義：一般地，我們把形如五(。20)的式子叫做二次根式.

①“廠”稱為二次根號

②a(020)是一個非負數；

二次根號

學習要求：

理解被開方數是非負數，給出一個式子能準確的判斷其是否為二次根式，并能根據二次根式的定義確定被開

方數中的字母取值范圍.

二.二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

(1)二次根式的概念.形如4(020)的式子叫做二次根式.

(2)二次根式中被開方數的取值范圍.二次根式中的被開方數是非負數.

(3)二次根式具有非負性.五(.20)是一個非負數.

學習要求：

能根據二次根式中的被開方數是非負數來確定二次根式被開方數中字母的取值范圍，并能利用二次根式的

非負性解決相關問題.

【規律方法】二次根式有無意義的條件

1.如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數都必須是非

負數.

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數為非負數外，還必須保證分母不為零.

三.二次根式的性質與化簡

(1)二次根式的基本性質：

①“20(雙重非負性).

②（/W）2=a（a^O）（任何一個非負數都可以寫成一個數的平方的形式）.

a（a>0）

③/巫=同=<0（a=0）（算術平方根的意義）

-a（a<0）

（2）二次根式的化簡:

①利用二次根式的基本性質進行化簡;

②利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡.

Vab=Va,Vb(GO,6N0)(心0,b>0)

（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數分解因式；②利用積的算術平方根的性質，把被開方數中能開得

盡方的因數（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數中每一個因數（或因式）的指數都小于

根指數2.

【規律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法

1.常見題型：與分式的化簡求值相結合.

2.解題方法：

（1）化簡分式：按照分式的運算法則，將所給的分式進行化簡.

（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結果.

（3）檢驗結果：所得結果為最簡二次根式或整式.

四.最簡二次根式

最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

最簡二次根式的條件：（1）被開方數的因數是整數或字母，因式是整式；（2）被開方數中不含有可化為平方

數或平方式的因數或因式.

如：不含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有2、3、a（a2O）、x+y等；

含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有4、9、。2、（x+y）2、x2+2xy+y2等.

五.二次根式的乘除法

（1）積的算術平方根性質：Va*b,/b（a，0,bNO）

（2）二次根式的乘法法則：Va-Vb=Va-b（a20,b20）

（3）商的算術平方根的性質：/=手（。20,b>0）

（4）二次根式的除法法則：乎_=曰（a'O,6>0）

規律方法總結：

在使用性質=4a?b（a^O,b'O）時一定要注意a20,b'O的條件限制，如果a<0,b<0,使

用該性質會使二次根式無意義，如（）X（口）W-4X-9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的

算術平方根和二次根式的除法運算也是如此.

六.二次根式的加減法

（1）法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數相同的二次根式進行合

并，合并方法為系數相加減，根式不變.

（2）步驟：

①如果有括號，根據去括號法則去掉括號.

②把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡.

③合并被開方數相同的二次根式.

（3）合并被開方數相同的二次根式的方法：

二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數相同則可以進行合并.合并時，只合并根式外的因式，即系數相

加減，被開方數和根指數不變.

七.二次根式的混合運算

（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用.學習二次根式的混合運算

應注意以下幾點：

①與有理數的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的.

②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“?

（2）二次根式的運算結果要化為最簡二次根式.

（3）在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往

往能事半功倍.

八.二次根式的化簡求值

二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值.

二次根式運算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區分，避免互相干

擾.

九.二次根式的應用

把二次根式的運算與現實生活相聯系，體現了所學知識之間的聯系，感受所學知識的整體性，不斷豐富解決

問題的策略，提高解決問題的能力.

二次根式的應用主要是在解決實際問題的過程中用到有關二次根式的概念、性質和運算的方法.

i【考點剖析】

二次根式的定義（共4小題）

1.（2023春?廬陽區校級期末）下列式子中，一定是二次根式的是（）

A.4-2023B.我C.軻D.Va

【分析】形如心（。》0）的式子即為二次根式，據此進行判斷即可.

【解答】解：--2023不符合二次根式定義,

則N不符合題意；

我=2點，符合二次根式的定義，

則3符合題意；

我不符合二次根式定義，

則C不符合題意；

當a<0時，Va不符合二次根式定義，

則。不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查二次根式的定義，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

2.（2023春?大石橋市期中）下列各式是二次根式的有（）

（1）V21；（2）V-19；（3）力2+］；⑷；（5）V~2x~2.

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】根據形如心（a^O）的式子是二次根式，可得答案.

【解答】解：二次根式有（1）（3）正+1，

故選：C.

【點評】本題考查了二次根式，二次根式的被開方數是非負數.

3.（2022秋?門頭溝區期末）下列代數式能作為二次根式被開方數的是（

B.3.14-TTC.x2+lD.廣-1

【分析】根據二次根式的定義解答即可.

【解答】解：：x2+l>0,

.?.f+l能作為二次根式被開方數.

故選：C.

【點評】本題考查的是二次根式的定義，一般地，我們把形如心的式子叫做二次根式是解題的

關鍵.

4.（2022秋?寧德期末）已知。是正整數，或說是整數，則。的最小值是2.那么若6是正整數，相^

是大于1的整數，則b的最大值與最小值的差是45.

【分析】由相^干卑運，結合6是正整數，相E是大于1的整數，可得6是15的倍數，從而

可得答案.

［解答］解：?.?相R小守

又.?》是正整數且是大于1的整數，

.?.當6=15時，相1的整數值最大為4,此時6的值最小，

當6=60時，相E的整數值最小為2,此時6的值最大，

：.b的最大值與最小值的差是60-15=45.

故答案為：45.

【點評】本題考查的是算術平方根的含義與估算，理解題意是解本題的關鍵.

二.二次根式有意義的條件（共3小題）

5.（2023春?江夏區校級期末）若使二次根式J存1在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）

A.x》3B.x>3C.x<3D.xW3

【分析】直接利用二次根式有意義的條件，被開方數是非負數，進而得出答案.

【解答】解：若使二次根式心-3+x在實數范圍內有意義,則-3+尤20,

解得：x23.

故選：A.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握相關定義是解題關鍵.

6.（2022秋?寶山區期末）如果y=-3-2xW2x-3,貝!!x+y的值為（）

A.—B.1C.—D.0

23

【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出X,y的值，進而得出答案.

【解答】解：-2x>0,2x-3N0,

則X》旦，xW旦，

22

解得:x=—,

2

故y=0，

貝！Jx+y=±+0=3.

22

故選：A.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出x,y的值是解題關鍵.

7.（2023春?東港區校級月考）已知x,y為實數，且了￡。一后1+少則xp=（）

A.-1B.-7C.-1或-7D.1或-7

【分析】直接利用二次根式的性質得出x,y的值，然后討論進而得出答案.

【解答】解y=7x2-9-^9-X2+4?

；./=9,y=4,

.*.x=±3,

當x=3,歹=4時，％->=3-4=-1；

當x=-3,y=4時，x-y=-3-4=-7；

.*.x-y=-1或-7.

故選：C.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出x的值是解題關鍵.

三.二次根式的性質與化簡（共4小題）

8.（2023春?合川區期末）實數加對應的點在數軸上的位置如圖，則化簡J（m-2）2+J（m-7）2的結果為

（）

___|____|____|____|____I伊I___?

-101234

A.2m-9B.-5C.5D.9-2m

然后根據朽=同=卜進行化簡即可.

【分析】由數軸可得3c加<4,

-a,a<0

【解答】解：由數軸可得3<%<4,

那么m-2>0,m-7<0,

原式=制-2\+\m-7|

—m-2+7-m

=5,

故選：C.

【點評】本題考查實數與數軸的關系，二次根式的性質，利用數軸判斷出加-2>0,加-7<0是解題的

關鍵.

9.（2023春?泰山區校級期中）把根號外的因式移入根號內，化簡的結果是（)

A.Vl-xB.Vx-lC.-Vx-lD.

【分析】由于被開方數為非負數，可確定x-1的取值范圍，然后再按二次根式的乘除法法則計算即可.

【解答】解：由已知可得，X-1<0,即l-x>0,

所以，一^'^.

故選：D.

【點評】本題主要考查二次根式的性質與化簡，由已知得出x-1的取值范圍是解答此題的關鍵.

10.（2023?婁底二模）如果J（x-2）2=2-》，那么x取值范圍是（）

A.xW2B.x<2C.x22D.x>2

【分析】根據二次根式的被開方數是一個20的數，可得不等式，解即可.

【解答】解：（x-2）2=2-x,

2W0,

解得xW2.

故選：A.

【點評】本題考查了二次根式的化簡與性質.解題的關鍵是要注意被開方數的取值范圍.

11.（2023春?莘縣期末）若2<a<3,則｛a2-4a+4H（a-3）2等于（）

A.5-2aB.1-2〃C.2a-5D.2a-1

【分析】先根據2<a<3把二次根式開方，得到a-2-（3-。），再計算結果即可.

【解答】解：V2<a<3,

AVa2-4a+4-^/(a-3)2

=a-2-(3-〃)

—a-2-3+〃

-5.

故選：C.

【點評】本題考查了二次根式的化簡，掌握二次根式的性質是解決問題的關鍵.

四.最簡二次根式（共2小題）

12.（2022秋?平度市期末）下列各式:,②五，③。五，@V072,最簡二次根式有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據最簡二次根式的定義逐個判斷即可.

=逅，不是最簡二次根式;

【解答】解:

2

②近，是最簡二次根式;

③百§=3&,不是最簡二次根式;

④疝工=匹，不是最簡二次根式,

5

最簡二次根式有②;

故選：A.

【點評】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關鍵，滿足以下兩個

條件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數的因數是整數，因式是整式，②被開方數中不含有能開

得盡方的因數和因式.

13.（2023春?南京期末）下列二次根式中，最簡二次根式是（)

A.V12B.V6C.D.

【分析】根據最簡二次根式的定義，逐一判斷即可解答.

【解答】解：A、412=2^3,故/不符合題意；

B、粕是最簡二次根式，故8符合題意；

C、故C不符合題意；

D、患=有，故。不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵.

五.二次根式的乘除法（共6小題）

14.（2023春?仙游縣期中）下列運算正確的是（）

A.近.北=事>B.9百C.V6xV2=12D.V24?

=6

【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則分別化簡得出答案.

【解答】解：4、&遍，故此選項錯誤；

B、9通義，^=9點=9X>|=3,故此選項錯誤；

C、遍X&=2'巧，故此選項錯誤；

D、V24?^^=V36=6,故此選項正確；

故選：D.

【點評】此題主要考查了二次根式的乘除法，正確化簡二次根式是解題關鍵.

15.（2021秋?古冶區期末）計算：

（1）V3義值；

⑵患xV27-

【分析】（1）根據二次根式的乘法運算即可求得；

（2）根據二次根式的乘法運算即可求得.

【解答】解：（1）原式=43X12

=V36

=6；

（2）原式=

=3.

【點評】本題考查了二次根式的乘法運算，化簡二次根式，熟練運用運算法則是解決本題的關鍵.

16.（2023春?興縣期中）若成立，則（）

A.x<6B.0?6C.x20D.0Wx<6

【分析】根據分式和二次根式有意義的條件進行解答即可.

【解答】解：要使皿一?后二成立,

V6^xV6-x

則上》之，

,6-x>0

解得：0Wx<6,故。正確.

故選：D.

【點評】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的被開方數大

于等于0,分式的分母不等于0.

17.（2023春?蓬萊區期中）已知通=a,〃五=人則黃）.063=（）

A.也B.辿C.旦D.辿

1010100100

【分析】把0.063寫成分數的形式，化簡后再利用積的算術平方根的性質，寫成含用的形式.

630

【解答】解：VO.063=J

V10000100

_3A/5XV14

100

'.'y[S=a,V14=b,

.?.原式=辿.

100

故選：D.

【點評】本題考查了二次根式的化簡及積的算術平方根的性質.積的算術平方根的性質：、屈=亡?企

（Q20,b，0）

18.（2023春?密云區期末）計算：2氓X

【分析】根據二次根式的乘除法法則計算即可.

【解答】解：原式=2加義盟2義返

23

=返xV2xV3

=6.

【點評】本題考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法則是解題的關鍵.

19.（2022春?涅中區校級月考）375X2\/l0.

【分析】根據二次根式的乘法法則求解.

【解答】解：原式=6疝

=30亞

【點評】本題考查了二次根式的乘除法，解答本題的關鍵是掌握二次根式的乘法法則.

六.二次根式的加減法（共5小題）

20.（2022秋?道外區期末）下列計算正確的是（）

A.V4+V9=V13B.V8-V3=V5c.3A/2-V2=-2/2D.V3V5=V15

【分析】根據二次根式的運算法則，依次計算各個選項，即可進行解答.

【解答】解：4、V4+79=2+3=5,故N不正確，不符合題意；

B、a一向=2A歷-愿，故3不正確，不符合題意；

C、，故。不正確，不符合題意；

D、V3'V5=V15,故。正確，符合題意.

故選：D.

【點評】本題主要考查了二次根式的運算，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的運算法則.

21.（2022秋?渠縣校級期末）計算J正行的結果是（）

A.V6B.-1C.MD.

【分析】直接化簡二次根式，進而合并二次根式得出答案.

【解答】解：原式=2通-373

=-V3.

故選：D.

【點評】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡二次根式是解題關鍵.

22.（2022秋?南關區校級期末）規定用符號［間表示一個實數加的整數部分，例如：［2］=0,［3,14］=3,按

此規定［7-西］的值為4.

【分析】直接估算通的取值范圍，進而結合符號阿］表示一個實數〃?的整數部分，進而得出答案.

【解答】解：???2＜返＜3,

；.［7-遍］=4.

故答案為：4.

【點評】此題主要考查了二次根式的加減，正確估算無理數的大小是解題關鍵.

23.（2023?松北區三模）計算后-3患的結果是，

【分析】先把各二次根式化為最減二次根式，再合并同類項即可.

【解答】解：原式=3近-M

=2?.

故答案為：2M.

【點評】本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，

再把被開方數相同的二次根式進行合并，合并方法為系數相加減，根式不變是解答此題的關鍵.

24.（2023春?涪城區期中）已知實數加、n、p滿足等式Virr3+nW3-irrn=＞/3m+5n-2-p+Vnrn-p,則

p=5.

【分析】根據被開方數大于等于0列式求出m+n的值，再根據非負數的性質列出方程組，然后求解即可.

【解答】解：由題意得，冽-3+〃20且3-加-0,

角牟得加+〃23且加+〃W3,

所以m+n=3,

所以，等式可化為V3m+5n_2_p+Vm-n-p=0,

由非負數的性質得,，

故p的值為5.

故答案為：5.

【點評】本題考查的知識點為：二次根式的被開方數是非負數，二元一次方程組的解法，難點在于求出

加+〃=3并整理等式.

七.二次根式的混合運算(共3小題)

25.(2023春?宿城區期末)計算：.

【分析】先進行乘法的運算，化簡運算，再進行加減運算即可.

【解答】解：

=272XV2+V3xV2-4義逅

2

=4+&-2A/6

=4-V6.

【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握.

26.(2023春?金川區校級期中)計算:

(1)V12-378+2718；

(3)V24^-V3-V6乂Hi；

⑷(V5-V3)2-(V5+2)(V5-2)-

【分析】(1)(2)先化簡二次根式，再根據二次根式的加減計算法則求解即可;

(3)根據二次根式的混合計算法則求解即可；

(4)根據平方差公式和完全平方公式求解即可.

【解答】解：(1)原式=2AB-小及+8巧=；

(2)原式=973+14V3+20A/3/2=粵巨；

oo

(3)原式=遍_2/1§==_4&；

(4)原式=(5-2V15+3)-(5-4)=8-2715-5+4=7-2>/15.

【點評】本題主要考查了二次根式的加減計算，二次根式的混合計算，完全平方公式和平方差公式，熟

知相關計算法則是解題的關鍵.

27.（2023春?潘集區期末）計算：

⑴V27-2712X胡；

（2）.

【分析】（1）先化簡二次根式，再合并即可；

（2）先利用平方差公式和完全平方公式化簡二次根式，再合并即可.

【解答】解：（1）原式=3?-4^3+V2xV6

—3^/3-4V3+2V3

=Vs；

（2）原式=（2^5）2-（5料）2-（娓）2+2XA/5XA/2-（V2）2

=20-50-5+2VI0-2；

=2A/I0-37.

【點評】本題考查的是二次根式的混合運算，在進行此類運算時，一般先把二次根式化為最簡二次根式

的形式后再運算.

八.二次根式的化簡求值（共4小題）

28.（2023春?福清市期中）已知x=,求吐/的值.

【分析】根據二次根式的加法法則、乘方法則分別求出x+八xy,根據完全平方公式把原式變形，代入計

算即可.

【解答】解：：尸遙+百，尸通-我，

.'.x+y=（V5+V3）+（V5-V3）=2^5,xy=（Vs+'/s）（V5-V3）=5-3=2,

.*.x2+xv+y2

=x+2盯力-xy

=2-盯

=（2遍）2-2

=20-2

=18.

【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的加法法則、乘方法則、完全平方公式是解

題的關鍵.

29.(2023春?泰安期中)(1)當a=3-2加時，求代數式2+2點丁方的值.

(2)當a=3+2&,b=3-2&,求代數式/-3痛+房的值.

【分析】(1)先判斷出。-3的符號，再把二次根式進行化簡即可；

(2)把原式化為(a-b)2-ab的形式，再把a,b的值代入進行計算即可.

【解答】解：⑴,:a=3-2近,

：.a-3=3-2M-3=-272<0,

=a+21(a-3)2

=q+2(3-Q)

=a+6-2Q

=6-Q,

=6-(3-2A/2)

=6-3+26

=3+2加；

(2)Va=3+2V2,b=3~2V2,

：.a-6=3+2近-3+2A/2=4近,ctb—~(3+2A/2)(3-2V2)=1

a2-3ab+?

=Qa-b)2-ab

=(4V2)2-1

=32-1

=31.

【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，熟知二次根式混合運算的法則是解題的關鍵.

30.(2023春?虹口區期末)已知：a+b=-2,ab=\,求：的值.

【分析】根據a+b=-2,必=1可知a,b互