北京市西城區2024-2025學年高三上學期10月月考數學檢測試題

提示：答案請一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.

在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色簽字筆作答.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.

1.已知集合"={T°』},集合8={xeZ|x2_2xW0},那么等于（）

A{-1}B.{0,1}

C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

2.在復平面，復數z對應的點坐標為。，-1）,則忘=（）

A.iB.-iC.1-iD.1+i

3.若Q>0〉6,則（）

A./〉〃B.|?|>|i|

ab

137r

4.已知。=log21.41,b=1.41°,,c=cos貝ij（）

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

5.設1是直線，a,P是兩個不同平面，則下面命題中正確的是（）

A.若///a,/〃A，則a///?B.若///a,/!/?,則a，，

C若1工0,al/3，貝U//aD.若///a,a1/3,則

77

6,將函數y=sin2x的圖象向左平移。（°〉0）個單位長度，得到的圖象恰好關于直線x=—

6

對稱，則。的最小值是（）

71717171

A.—B.一C.一D.一

12643

7.“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”語出《莊子?天下》，意思是一尺長的棍棒，每日截取它的

一半，永遠截不完（一尺約等于33.33厘米）.若剩余的棍棒長度小于0.33厘米，則需要截取

的最少次數為（）

A.5B.6C.7D.8

8.已知J等差數列｛%｝的前〃項和，貝心J是是遞減數歹廣的（)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.在V/8C中，ABAC=90°,8c=2,點尸在8c邊上，且9?（卷+就）=1,則

的取值范圍是（）

10.已知無窮數列{4},4=1.性質s:V加，〃eN*,%+“>a,n+%，性質t:X/m,〃eN*,

2<m<n,am_x+an+i>am+an,給出下列四個結論：

①若%=3—2〃，則｛4｝具有性質s；

②若%=/,則｛%｝具有性質/；

③若｛4｝具有性質S,則見2〃；

④若等比數列｛4｝既滿足性質S又滿足性質f,則其公比的取值范圍為（2,+8）.

則所有正確結論的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知角乃的終邊關于原點O對稱，則cos（a-/?）=____.

12.已知向量G=（2,0）,B=（加」），且G與否的夾角為m，則冽=.

13.等比數列｛4｝的前〃項和為S,,能說明“若｛%｝為遞增數列,則皿€4,5"<5用”為假

命題的一組為和公比q的值為％=,q=.

「3”

14.設函數/（x）=<',①若4=0,則/（X）的最大值為_________;②若/（X）

[-x,x>a

無最大值，則實數。的取值范圍是.

15.在棱長為2的正方體48co-4B1G2中，點瓦/分別為棱2。,8名的中點.點尸為正

方體表面上的動點，滿足LEE.給出下列四個結論:

①線段4P長度的最大值為2G；

②存在點尸，使得DP//EF；

③存在點P,使得BF=DP；

④AEPR是等腰三角形.

其中，所有正確結論的序號是.

三、解答題：本大題共6小題，共85分.

16.如圖，在三棱柱45C—481G中，側面48與4，底面45C,AB1AC,E,R分別

是棱48,5c的中點.求證：

(1)4G〃平面

(2)AC±BXE,

17.設函數/(x)=sinox+JMcosox(?！?).從下列三個條作中選擇兩個作為已知，使得函

數/(x)存在.

(1)求/(x)的最小正周期及單調遞減區間；

(2)若對于任意的xe|,7r,都有/(x)Wc,求實數c的取值范圍.

條件①：函數/(x)的圖象經過點［-

57r7T

條件②：/(x)在區間-五，五上單調遞增；

條件③：X=今足/(X)的一條對稱軸.

18.已知V45c中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a(l—3cosC)=3ccosZ.

b

(1)求2的值；

a

(2)若c=2,求B最大時V48C的面積.

19.已知直線歹=注與函數/(x)=xlnx-x2+x的圖象相切.

(1)求左的值;

(2)求函數/(x)的極大值.

20.已知函數/(x)=aln(x+l)-xe*+i.

(1)當a<0時，求/(x)的單調區間；

(2)若函數/(x)存在正零點七，

(i)求。的取值范圍；

(ii)記為為/(x)的極值點，證明.項)<3毛

21.給定正整數NN3,已知項數為加且無重復項的數對序列A：

(國,%…，(4/,〃)滿足如下三個性質：①e{l,2,…,N},且

XjW乂(，=1,2,…,加)；②%=%(，=1,2,…，加一1)；③(0,q)與(%p)不同時在數對序列A

中.

(1)當N=3,掰=3時，寫出所有滿足石=1的數對序列A；

(2)當N=6時，證明：加<13；

(3)當N為奇數時，記加的最大值為T(N),求T(N).

北京市西城區2024-2025學年高三上學期10月月考數學檢測試題

提示：答案請一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.

在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色簽字筆作答.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.

1.已知集合"={T°』},集合8={xeZ|x2_2xW0},那么等于（）

A.{-1}B.{0,1}

C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

【正確答案】D

【分析】先解不等式化簡集合3,再由并集的概念，即可得出結果.

【詳解】?.?集合/={—1,0,1},集合8={xeZ|x2—2xW0}={xeZ|0<xW2}={0』,2},

ZuB={-1,01,2}.

故選：D.

2.在復平面，復數z對應的點坐標為。，-1）,則忘=（）

A.iB.-iC.1-iD.1+i

【正確答案】B

【分析】由題可得2=1-i,再由復數除法法則即可求解.

【詳解】Z對應的點坐標為（1,—1）,所以z=l-i,

(Ji)?Ji

所以三=1-i

1+i1+i(1+1)(1-1廠2

故選：B.

3.若Q〉0〉6,則()

A.a3>b3B.同>小

D.ln(Q—b)〉0

【正確答案】A

【分析】根據不等式的性質判斷A,取特殊值判斷BCD.

【詳解】a>0>b,a3>G,b3<0,即/>>,故A正確；

取a=1,6=—2,則同>W不成立，故B錯誤；

取a=l,6=—2,則工〈工不成立，故c錯誤；

ab

取。=；力=—則ln(a—6)=lnl=0,故D錯誤.

故選：A

137r

4.已知Q=k)g21.41,b=1.41°,,c=cos-j-,貝ij()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.

c>a>b

【正確答案】B

【分析】根據給定條件，利用指數函數、對數函數的單調性及誘導公式、特殊角的三角函數

值比較即得.

【詳解】依題意，。=10821.41<1082亞=5,6=1.41°，4>1.41°=l,c=cos^=cos|=-,

所以b>c>a.

故選：B

5.設1是直線，a,0是兩個不同平面，則下面命題中正確的是()

A.若///a,l//p,則a//〃B.若///a,11/3,則a,萬

C.茗1工。,a10,則///aD.若///a,a1/3,貝i"，萬

【正確答案】B

【分析】由線面平行，線面垂直，面面平行，面面垂直的性質逐項判斷即可；

【詳解】A：若///a,/〃力，則a//￡或相交，故A錯誤；

B：若IIla,11/3,由線面平行和垂直的性質可得a，，，故B正確;

C：若1工/3,aL/3,則///&或/ua,故C錯誤；

D：若///a,aL/3,則/，力相交或/〃，或/u用，故D錯誤；

故選：B.

TT

6,將函數y=sin2x的圖象向左平移。（°〉0）個單位長度，得到的圖象恰好關于直線x=—

6

對稱，則。的最小值是（）

71717C71

A.—B.一C.—D.一

12643

【正確答案】A

【分析】由三角函數的相位變換可得變換后的圖象對應的解析式，再根據正弦函數的對稱軸

可得。以及。的最小值.

【詳解】將函數y=sin2x的圖象向左平移夕（9〉0）個單位長度得到的函數圖象對應的函數

解析式為J=sin（2x+2。），

TTTTJT

因為其圖象關于直線X=—對稱，所以2x2+20=2+版■，左eZ,

662

解得°=土+紅，左eZ,則正數。的最小值為二，

12212

故選：A.

本題考查了三角函數的圖象的相位變換，考查了正弦函數的對稱軸.屬于基礎題.

7.“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”語出《莊子?天下》，意思是一尺長的棍棒，每日截取它的

一半，永遠截不完（一尺約等于33.33厘米）.若剩余的棍棒長度小于0.33厘米，則需要截取

的最少次數為（）

A.5B.6C.7D.8

【正確答案】C

【分析】由題可知截取第n次后，剩余的棍棒長為十尺，然后列不等式可求出n的值.

【詳解】由題意可知第一次剩余的棍棒長度為:尺，

則第n次剩余的棍棒長為，尺，

由一^<0.33,解得〃27,

所以當剩余的棍棒長度小于1厘米時，需要截取的最少次數為7.

故選:C.

8.已知J等差數列｛%｝的前〃項和，貝『母金"%”是"｛%｝是遞減數列”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】正向舉常數列反駁，反向利用等差數列求和公式和遞減數列性質判斷即可.

【詳解】當等差數列｛%｝為常數列時，此時5"=〃％,滿足前者，但是此時“｛%｝不是遞減數

列”，故充分性不成立；

當｛aj是遞減數列，則對V〃wN*，*<%，

〃(4+4)〃3-%)

S"=---------=---'

當〃=1時，S"_nan=0,

當〃22時，%>a“，Sn-nan>0,

所以對V〃eN*，Sn>nan,則反推成立，故必要性成立，

貝小電>”是“｛冊｝是遞減數列”的必要而不充分條件.

故選：B.

9.在V48C中，ABAC=90°,8C=2,點P在8C邊上，且萬?(赤+%)=1,則

的取值范圍是()

C「「1」「也J

A.-JB.—,1C,-,1D,—,1

'」I」L」L

【正確答案】A

【分析】

以8c的中點為原點，過。垂直于3c的直線為〉軸，8c為x軸，建立平面直角坐標系，再

利用向量數量積的坐標運算以及向量模的坐標表示即可求解.

【詳解】以的中點為原點，過。垂直于的直線為〉軸，5C為X軸,

建立平面直角坐標系，如圖：

則8(TO),(1,0),

設尸(x,0),A[a,b],|x|<l,

|。4|=1，a2+b2=l，

則由N-(而+X)=1,得(》_①_勾?(_。,_6)=；,

化簡ax=-f

2

222

所以=(x-a)2+/-x_2ax+a+/=%,

由/+/=1，因為。?！?,所以時<1,

所以忖=向$'

所以的取值范圍為.

故選：A

本題考查了向量數量積的坐標表示、向量模的坐標表示，考查了基本運算求解能力，屬于基

礎題.

10.已知無窮數列｛《,｝,%=1.性質s:\/m,?eN*>am+n>am+a“，性質〃eN*，

2<m<n,am_X+an+l>am+an,給出下列四個結論：

①若%=3—2〃，則｛4｝具有性質s；

②若。”=〃2,則｛4｝具有性質/；

③若｛%｝具有性質S,則%2,;

④若等比數列｛%｝既滿足性質S又滿足性質/,則其公比的取值范圍為(2,+8).

則所有正確結論的個數為()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】C

【分析】根據性質s的定義可判斷①；根據性質/的定義可判斷②；根據性質s的定義可得

an-??_i>1，H>2,?GN,,利用累加法可證③；對于④，結合③，可得q>l,由｛冊｝滿足

性質s,分加="和掰H〃討論求出q〉2,再由匕?｝滿足性質/得>qm-'-qm-2,構

造/(x)=qx-/I,求導結合函數單調性可驗證q>2滿足題意.

【詳解】對于①，因為氏=3-2〃，對V九〃wN*,

am+?-am-all=3-2(m+n)-(3-2rn)-(3-2n)^-3<Q,

即%,+〃<%,+%，所以｛%｝不具有性質S,故①錯誤；

2

對于②，an=n,對V加,“eN*,2<m<n,

22

am_x+an+l-am-an=(z?-l)-+(77+l)--m-n=2(n-zw)+2>0,

am_x+%+i>am+an,即｛a“｝具有性質t,故②正確；

對于③，若｛%｝具有性質s,令m=l,則見+i>%+4=l+a.，

即an—a,—>1,H>2,nGN,,

a”=(%—)+(a”-i—a〃-2)-----(出一+----nl=〃，又q=l,

所以a“2〃，〃eN*，故③正確；

對于④，｛an｝是等比數列，設其公比為4,又％=1,.?.a“=q"T,

若｛%｝滿足性質s,由選項③得an>n,即q"T>n,〃eN*，，9〉1，

由V加,〃eN*,am+n>am+an,得產">/'+/,

當加=〃時，得/>2/,即/'〉2,對V〃eN*，又/之q,二q〉2,

當加時，不妨設〃〉加21,則q"

：.qm+n>qm+qn>2qm,解得q"〉2,，q22,

綜上，若｛an｝滿足性質s,則q〉2.

若｛冊｝滿足性質t,對\fm,〃eN*,2<m<n,am_x+an+l>am+an,

可得qm-2+q">q"i+q"',即q"-qn-x>qm-x-qm-2,令/(x)=/—qx-l,貝1]

/(〃)>/(%-1),

又n>m—l,所以函數/(x)=/—“I在xeN*上單調遞增，又由｛an｝滿足性質s,q>2,

f'[x｝=o'Inq-qiInq=q'"/nq.(q-1)>0成立，

所以等比數列｛冊｝既滿足性質S又滿足性質3則其公比的取值范圍為(2,+8).

故④正確.

故正確的為②③④共3個.

故選：C

方法點睛：對于以數列為背景的新定義問題的求解策略：

1、緊扣新定義，首先分析新定義的特點，把心定義所敘述的問題的本質弄清楚，應用到具體

的解題過程中；

2、用好數列的性質，解題時要善于從試題中發現可以使用的數列的性質的一些因素.

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知角a,萬的終邊關于原點0對稱，則cos(a-^)=.

【正確答案】-1

【分析】根據角尸的終邊關于原點0對稱得A=a+(2左-l)?(keZ),即可得到

cos4)的直

【詳解】???角萬的終邊關于原點0對稱，

:.0=a+(2k-V)7i(k€Z),

cos（a—夕）=cos[（1—2左）乃]=-\（keZ）.

故答案為1

12.已知向量3=（2,0）3=（加,1）,且&與B的夾角為則加=.

【正確答案】^##-73

33

【分析】根據向量的夾角公式計算即可.

7i1a-b2m萬

【詳解】由題意得cos￡=s=曰百=—r—解得加=型.

32"共2xJ加-+13

故答案為.立

3

13.等比數列｛%,｝的前〃項和為S“，能說明"若｛叫為遞增數列，則V〃eN*,S“<S"+]”為假

命題的一組％和公比q的值為%=，q=.

【正確答案】①.—1②.-（答案不唯一）

2

【分析】由題意，等比數列｛%｝為遞增數列，且m〃eN*,%+1<0,取一組符合條件的％和公

比q即可.

【詳解】“若｛a?｝為遞增數列,則V〃eN*,S“<5用”為假命題,

所以若｛a,,｝為遞增數列，則3neN*,S,>Sn+l,

Sn>Sn+l,則S“「S"=a"+i?0,

*1

等比數列｛4｝為遞增數列，且三〃￡N,%+1VO,則q=—1和公比q=滿足題意.

故—1;—

2

14.設函數/（x）=（'一，①若a=0,則/（x）的最大值為_________；②若/（X）

[-x,x>a

無最大值，則實數。的取值范圍是

【正確答案】①.2②.(-00-42)

【分析】①分別分析在兩段內的單調性即可求出最大值；

②討論。所在的區間，分別研究函數在每一段的單調性，根據/(x)無最大值列出不等式求出

結果.

、fx3-3x,x<0

【詳解】①若a=0,/(x)=<,

-x,x>0

當x〉0時，f(x)=-x,/(x)單調遞減，/(x)</(0),

當x?0時，/(x)=x3-3x,/'(x)=3%2-3=3(x-l)(x+l),

所以/(x)在(一鞏一1)單調遞增，在(-1,0］單調遞減，

貝I此時/(x)a=/(T)=2>/(0)，

所以/(X)的最大值為2；

②當a<—1時，

當x〉a時，f(x)=-x,/(x)單調遞減，所以/(x)</(a)=-a,

當xWa時，/(x)在單調遞增，所以/(%)?/(。)=/一34,

因為/(x)無最大值，所以3。<-a，角由得a<—V2;

當—1<。<1時，

當X〉。時，f(x)=-X,/(x)單調遞減,/(x)<f(a)=-at

當xWa時，/(x)在(―%―1］單調遞增，在(-1,同單調遞減，

所以/(%)”(—1)=2,

因為/(x)無最大值，所以-?！?,此種情況無解，舍去；

當。21時，

當x〉a時，f(x)=-x,/(x)單調遞減,/(x)<f(a)=-a,

當時，/(x)在(―%―1］單調遞增，在(—1』單調遞減，在&單調遞增,

所以/(x)max=max{/(-l),/(?)},

—

/\—Q>f(1)

因為/(X)無最大值，所以彳_,此種情況無解，舍去；

所以實數。的取值范圍是J5)

故①2愈(-8,-6

15.在棱長為2的正方體4BCD-45G2中，點E,歹分別為棱2。,8名的中點.點尸為正

方體表面上的動點，滿足4尸，所.給出下列四個結論：

①線段4P長度的最大值為2g；

②存在點尸，使得DP//EF；

③存在點尸，使得=

④是等腰三角形.

其中，所有正確結論的序號是.

【正確答案】①③④

【分析】建立空間直角坐標系，利用坐標驗證垂直判斷①，找出平行直線再由坐標判斷是否

垂直可判斷B,設點的坐標根據條件列出方程組②，探求是否存在符合條件的解判斷③④

【詳解】如圖，建立空間直角坐標系,

B

X

則4(2,0,2),￡(1,0,0),尸(2,2,1),C(0,2,0),。(0,0,0),耳(2,2,2),

對①，由正方體性質知當P在。時，線段40長度的最大值為2g，

此時存=(—2,2,—2),麗=(1,2,1),乖.麗=—2+4—2=0,

所以乖，而，即滿足LET"故①正確；

對②，取正方形的中心M,連接易知MFIIDE,MF=DE,

所以四邊形￡>〃FE為平行四邊形，柝以DMIIEF,故尸運動到M處時，DP//EF,

此時P(l,2,l),4P=(-1,2,-1),乖?麗=—1+4—1=2力0,即不滿足4尸，￡尸，

綜上不存在點尸，使得DP//EF,故②錯誤；

對③，設P(x/,z),則乖=(x—2,y,z—2),EF=(1,2,1),若存在，

x—2+2y+z—2—0

由BF=DP,4尸工所可得方程組r—「——「一/七一-~

[/x-2『+(y—2『+(z—2『二6+/+/

x+2y+z-4

化簡可得《。，解得x+z=2,y=lf

x+y+z=3

顯然當x=0,z=2,y=1時滿足題意，

即存在點尸，使得"P=DP,故③正確；

對④，設p(x/,z),若PE=PF,

則^(x-l)2+/+z2=加―2『+(y—2『+(z—，化簡可得x+2y+z=4,

由③知4尸~L跖時可得x+2y+z=4,所以不妨取x=0,y=l,z=2,

此時P(0』,2)在正方體表面上，滿足題意，故④正確.

故①③④

關鍵點點睛：本題的關鍵之處在于建立空間直角坐標系，利用坐標運算建立方程，探求是否

存在滿足條件的點，運算比較復雜，屬于難題.

三、解答題：本大題共6小題，共85分.

16.如圖，在三棱柱45C—481G中，側面48與4，底面45C,AB1AC,E,R分別

是棱48,5c的中點.求證:

（1）4G〃平面4匹；

（2）AC±B.E,

【正確答案】（1）見解析（2）見解析

【分析】（1）要證明4cl〃平面4跖，只需證明4c1〃EE即可;

（2）要證明與E,只需證明/CJ_平面即可.

【詳解】（1）在V48c中，E,E分別是棱48,8C的中點，

所以防〃ZC.

又在三棱柱ABC=481G中，4c1〃ZC,

所以4ci〃EE.

又因為4G（Z平面,EEu平面8]EE,

所以4G〃平面與E2L

(2)因為側面ABB.A,1底面ABC,側面ABB{AXA底面ABC=AB,

ABIAC,ZCu平面NBC,

所以/CL平面NAB/i.

又因為5]￡u平面45與4,所以

本題考查線面平行的判定定理以及面面垂直的性質定理，考查學生的邏輯推理能力，是一道

容易題.

17.設函數/(X)=sinox+J}COSGX(G>0).從下列三個條作中選擇兩個作為已知，使得函

數/(X)存在.

(1)求/(X)的最小正周期及單調遞減區間；

(2)若對于任意的xep7r,都有/(x)<c,求實數c的取值范圍.

條件①：函數/(x)的圖象經過點，;2)

57rJT

條件②：/(X)在區間-五，五上單調遞增；

條件③：X=6■足/(X)的一條對稱軸.

JT7冗

【正確答案】(1)T=n,單調遞減區間為—+kTi,—+kTt/eZ)；

(2)[G,+oo)

【分析】(1)利用輔助角公式化簡，結合所選條件，利用周期與單調性求出。，求函數解析

式即可；

JT

(2)由x的范圍求出2x+—的范圍，即可求出函數的值域，依題意.

3^\/max

【小問1詳解】

因為/(1)=$m69%+^/§^050工=2gsinox+，cos69x=2sin^69x+y^,

若選①②：由①函數/(X)的圖象經過點[一看,21

冗〃)71JT

則----1———F2kji,kwZ,即。=—1—12左，keZ,

632

由②/(x)在區間一三，白上單調遞增，有工-即72兀，

1212"\/乙

又69〉0且7二--,即---2兀，所以0<69?2,此時G不存在；

CDCD

選條件②③：由②/(x)在區間-上單調遞增，有不-[-不]二不，即72兀，

_1212_1，\1，//

2兀2兀一

又①〉0且T=—，即—2兀，所以0<69〈2,

CDCD

TTJT7T7T

由③X=上是/(x)的一條對稱軸，則+2kwZ,

121232

所以G=2+12左，左EZ,所以@=2,

所以/(x)=2sin(2x+]],則/(x)的最小正周期T=/=兀，

qrqr47rTT77r

由一+2kli<2x+—<一+2kji(keZ),解得---\-kn<x<-----Fkn(k€Z),

2321212

兀7兀

所以〃x)的單調遞減區間為丘+配,石■+E/eZ)；

若選①③：由①函數/(x)的圖象經過點[-巳,2；

T10)兀兀

則----1—=—F2AJI,kGZ,即0=—1—12左，左￡Z,

632

jrjr7L7L

由③x=—是f(x)的一條對稱軸，則—coH—=—Fkit,左eZ,所以<y=2+12k,左eZ,

121232

此時。不存在；

【小問2詳解】

由(1)可知/(x)=2sin

「、1兀LLIIC兀4兀7兀

因為5'兀'所以+

所以sin12x+§卜—1,^-,/(x)￡卜2,百］,

71r-

因為對于任意的xe—,ii,都有/(x)Wc,所以c2百,

即c的取值范圍為[百,+s).

18.己知V45C中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a(l-3cosC)=3ccosZ.

(1)求2的值；

a

(2)若c=2,求B最大時V45C的面積.

【正確答案】(1)-

3

(2)e

2

【分析】(1)正弦定理化邊為角，利用三角變換后再由正弦定理化角為邊可得；

(2)利用余弦定理及基本不等式求得COS5的最小值即得3最大，由此求得三角形的邊長人

后，再利用面積公式可得結論.

【小問1詳解】

因為a(l-3cosC)=3ccosA,

由正弦定理得sinZ(1-3cosc)=3sinCcosA,

得sin/=3sinAcosC+3cosZsinC=3sinQ+C)=3sin5,

由正弦定理得a=36,所以2=」.

a3

【小問2詳解】

M?_T29b2+4-b22b112b12V2

由余弦定理得cos5=巴士——

lac12b33b733b3

當且僅當攻=工，即6=立時取等號，

33b2

當cos8取最小值時，B最大，

此時a=3/?=^^，c=2,sin5=\Jl-cos2B=-,

23

VABC的面積為』acsin8=—xx2x—=-

22232

19.已知直線》=自與函數/(xhxlru-V+x的圖象相切.

(1)求左的值;

(2)求函數/(x)的極大值.

【正確答案】(1)k=0；

(2)0.

【分析】(1)設出切點，利用導數的幾何意義求解即得.

(2)利用導數判斷函數的單調性，然后求出極值即可.

【小問1詳解】

函數/(x)=xlnx-，+4的定義域為(0,+8),求導得r(x)=lnx-2x+2,

設切點為(Xo，/In/—x；+Xo),則切線的斜率為左=111X0-2x0+2,

切線方程為y-(x0lnx0-XQ+X0)=(Inx0-2x0+2)(x-x0),

又切線過點(0,0),于是竟—x0=0,而％〉0,解得%=1,所以上=0.

【小問2詳解】

由(1)知，f'(x)=lnx-2x+2,設g(x)=lnx—2x+2,求導得g'(x)=1—2,

令g<x)=O,得x=L,當xe(04)時，g'(x)>0,當xe(：,+oo)時，g\x)<0,

222

因此函數g(x)在(0,1)上單調遞增，在(；,+8)上單調遞減，

于是gOOm儆nglfnl—必2〉0,又g(^)=—<0,g⑴=0，

則存在Xig(X])=O,當xe(0,Xi)U(l,+8)時，/'(x)<0,當xe(X],l)時,

/'(x)〉0，

從而/(X)在(0,X1),(1,+8)上單調遞減，在(石,1)上單調遞增，

所以/(X)存在唯一極大值/(1)=0.

20.己知函數/(x)=aln(x+l)-xe*+i.

(1)當a<0時，求/(x)的單調區間；

(2)若函數/(x)存在正零點七,

(i)求。的取值范圍；

(ii)記不為/(x)的極值點，證明.與<3當

【正確答案】(1)單調遞減區間是(-1,+8),無單調遞增區間

(2)(i)(e,+8)；(ii)證明見解析

【分析】(1)借助導數的正負即可得函數的單調性;

(2)(i)求導后借助導數分a<0、0<a<e及a>e討論函數的單調性，再結合零點的存在

/(國)=0

性定理計算即可得；(ii)利用零點定義與極值點定義可得<，代入計算可得

/(Xo)=0

留-』=(』+1)1115+1),再借助x>1時，3<%—1,即可得］。一』<(西+1丁，再計算

%

并化簡即可得.

【小問1詳解】

由已知可得/(x)的定義域為(—1,+。)，

4_(》+])2*

且/(》)=+xex+1)=

x+1

因此當a<0時，a-(x+l)2ex+1<0,從而/0)<0,

所以/(x)的單減區間是(—1,+“)，無單增區間；

【小問2詳解】

/、/rr/\(7—(%+1)"O''

(1)由(1)知，/'(%)=-------------，

X+1

令g(x)=a-(x+1)2ex+1,g'(x)=-(x?+4x+3)ex+1,

當xe(—1,+oo)時，g，(x)=—+4x+3)e"+i<0,g(x)單調遞減.

①當aK0時，可知/'(x)<0J(x)在(―1,+。)內單調遞減，

又/(0)=0,故當x〉0時，/(x)<0,所以/(x)不存在正零點；

②當0<a<e時，g(0)=a-e<0,xe(0,+oo),g(x)=a-(x+l)2ev+1<0,

/(x)在(0,+8)單調遞減，故當x〉0時，/(x)<0,函數/(x)不存在正零點;

③當a>e時，Ina—1>0,止匕時g(0)=a—e>0,g(lna—l)=a(l—lna)2<0,

所以存在ae(O,lna—1)滿足g(a)=O,

所以/(x)在(—l,a)內單調遞增，在(%+。)內單調遞減.

令〃(x)=lnx-x+l,則當x〉0時，l(x)=——1,

JC

故h(x)在(0,1)內單調遞增，在(1,+8)內單調遞減，

從而當x>l時，//(%)</?(1)=0,即lnx<x-l,

所以/(Ina-1)=a[inlna-(Ina-1)]<0,

又因為/(0)=0,所以/(a)>0,

因此，此時存在正零點x()；

綜上，實數。的取值范圍為(e,+“)；

?*f/'(xJ=O[?=(x+l)2eX1+1

(ii)由題意，匕(八，即《；(p，

[aln(xo+l)=xoe°

從而ln(x0+1)=廠多丁…，即=(e%(x0+l),

a+i)/

由(i)知當x>l時，lux<x-1,即x>0