8.7

立體幾何中的向量方法-2-知識梳理雙基自測234151.直線的方向向量與平面的法向量(1)直線l上的非零向量e以及與

的非零向量叫做直線l的方向向量.

(2)如果表示非零向量n的有向線段所在直線

平面α,那么稱向量n垂直于平面α,記作

.此時把

叫做平面α的法向量.

e共線

垂直于

n⊥α向量n-3-知識梳理雙基自測234152.線面關系的判定設直線l1的方向向量為e1=(a1,b1,c1),直線l2的方向向量為e2=(a2,b2,c2),平面α的法向量為n1=(x1,y1,z1),平面β的法向量為n2=(x2,y2,z2).(1)如果l1∥l2,那么e1∥e2?

?

.

(2)如果l1⊥l2,那么e1⊥e2?

?

.

(3)若l1∥α,則e1⊥n1?e1·n1=0?

.

(4)若l1⊥α,則e1∥n1?e1=μn1?

.

(5)若α∥β,則n1∥n2?n1=kn2?

.

(6)若α⊥β,則n1⊥n2?n1·n2=0?

.

e2=λe1

a2=λa1,b2=λb1,c2=λc1e1·e2=0

a1a2+b1b2+c1c2=0a1x1+b1y1+c1z1=0a1=μx1,b1=μy1,c1=μz1x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2x1x2+y1y2+z1z2=0-4-知識梳理雙基自測234153.利用空間向量求空間角(1)兩條異面直線所成的角①范圍:兩條異面直線所成的角θ的取值范圍是

.

②向量求法:設異面直線a,b的方向向量為a,b,直線a與b的夾角為θ,a與b的夾角為φ,則有cosθ=

.

(2)直線與平面所成的角①范圍:直線和平面所成的角θ的取值范圍是

.

②向量求法:設直線l的方向向量為a,平面的法向量為u,直線與平面所成的角為θ,a與u的夾角為φ,則有sinθ=

或cosθ=sinφ.

|cosφ||cosφ|-5-知識梳理雙基自測23415(3)二面角①范圍:二面角的取值范圍是

.

②向量求法:若AB,CD分別是二面角α-l-β的兩個面內與棱l垂直的異面直線,則設n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個半平面α,β的法向量,則圖②中向量n1與n2的夾角的補角的大小就是二面角的大小;而圖③中向量n1與n2的夾角的大小就是二面角的大小.[0,π]-6-知識梳理雙基自測23415-7-知識梳理雙基自測234152-8-知識梳理雙基自測34151.下列結論正確的打“√”,錯誤的打“×”.(1)直線的方向向量是唯一確定的.(

)(2)平面的單位法向量是唯一確定的.(

)(3)若兩條直線的方向向量不平行,則這兩條直線不平行.(

)(4)若空間向量a平行于平面α,則a所在直線與平面α平行.(

)(5)兩條直線的方向向量的夾角就是這兩條直線所成的角.(

)答案答案關閉(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×

-9-知識梳理雙基自測234152.(教材習題改編P113T11)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為

(

)答案解析解析關閉答案解析關閉-10-知識梳理雙基自測234153.已知直三棱柱ABC-A1B1C1在空間直角坐標系中,如圖所示,且CA=CC1=2CB,則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為(

)答案解析解析關閉答案解析關閉-11-知識梳理雙基自測234154.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為

.

答案答案關閉-12-知識梳理雙基自測23415-13-知識梳理雙基自測234155.已知P是二面角α-AB-β棱上的一點,分別在平面α,β上引射線PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的大小為

.

答案答案關閉90°

-14-知識梳理雙基自測23415-15-考點1考點2考點3例1如圖所示,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點.求證:PB∥平面EFG.思考用向量法證明平行和垂直的關鍵是什么?-16-考點1考點2考點3證明

∵平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,∴AB,AP,AD兩兩垂直.以點A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).-17-考點1考點2考點3-18-考點1考點2考點3解題心得1.恰當建立空間直角坐標系,準確表示各點與相關向量的坐標,這是運用向量法證明平行和垂直的關鍵.2.證明直線與平面平行,只需要證明直線的方向向量與平面的法向量的數量積為零,或證直線的方向向量與平面內不共線的兩個向量共面,然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉化為向量運算問題.3.證明直線與直線垂直,只需要證明兩條直線的方向向量垂直,而直線與平面垂直、平面與平面垂直可轉化為直線與直線垂直.-19-考點1考點2考點3對點訓練1如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點,PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)證明:AP⊥BC;(2)若點M是線段AP上一點,且AM=3.試證明平面AMC⊥平面BMC.-20-考點1考點2考點3證明

(1)如圖所示,以點O為坐標原點,分別以射線OD,OP為y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系Oxyz.則O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).-21-考點1考點2考點3-22-考點1考點2考點3例2如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD的中點.(1)求證:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,說明理由.思考立體幾何開放性問題的求解方法有哪些?-23-考點1考點2考點3-24-考點1考點2考點3-25-考點1考點2考點3解題心得立體幾何開放性問題的求解方法有以下兩種:(1)根據題目的已知條件進行綜合分析和觀察猜想,找出點或線的位置,然后加以證明,得出結論;(2)假設所求的點或線存在,并設定參數表達已知條件,根據題目要求進行求解,若能求出參數的值且符合已知限定的范圍,則存在這樣的點或線,否則不存在.本題是設出點P的坐標,借助向量運算,判定關于z0的方程是否有解.-26-考點1考點2考點3對點訓練2如圖所示,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,每條側棱的長都是底面邊長的

倍,P為側棱SD上的點.(1)求證:AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC,側棱SC上是否存在一點E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說明理由.-27-考點1考點2考點3-28-考點1考點2考點3-29-考點1考點2考點3考向一

利用空間向量求異面直線所成的角例3如圖,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一側的兩點,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.(1)證明:平面AEC⊥平面AFC;(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.思考如何利用向量法求異面直線所成的角?-30-考點1考點2考點3-31-考點1考點2考點3從而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC.因為EG?平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC.-32-考點1考點2考點3-33-考點1考點2考點3考向二

利用空間向量求直線與平面所成的角例4在平面四邊形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.將△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如圖.(1)求證:AB⊥CD;(2)若M為AD中點,求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.思考如何利用向量法求線面角?-34-考點1考點2考點3

(1)證明

∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB?平面ABD,AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD.又CD?平面BCD,∴AB⊥CD.(2)解

過點B在平面BCD內作BE⊥BD,如圖.由(1)知AB⊥平面BCD,BE?平面BCD,BD?平面BCD,∴AB⊥BE,AB⊥BD.-35-考點1考點2考點3-36-考點1考點2考點3-37-考點1考點2考點3考向三

利用空間向量求二面角的大小例5(2017全國Ⅰ,理18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.思考如何利用向量法求二面角?-38-考點1考點2考點3(1)證明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,從而AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.-39-考點1考點2考點3(2)解:在平面PAD內作PF⊥AD,垂足為F.由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.-40-考點1考點2考點3設m=(x,y,z)是平面PAB的法向量,-41-考點1考點2考點32.利用向量法求線面角的方法:(1)分別求出斜線和它在平面內的射影的方向向量,轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角);(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(或鈍角的補角),取其余角就是斜線和平面所成的角.-42-考點1考點2考點33.利用向量法求二面角的方法:(1)分別在二面角的兩個半平面內找到一個與棱垂直且從垂足出發的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小;(2)通過平面的法向量來求:設二面角的兩個半平面的法向量分別為n1和n2,則二面角的大小等于<n1,n2>(或π-<n1,n2>).應注意結合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角.-43-考點1考點2考點3對點訓練3(1)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中點.已知AB=2,AD=2,PA=2.求:①△PCD的面積;②異面直線BC與AE所成的角的大小.

-44-考點1考點2考點3-45-考點1考點2考點3-46-考點1考點2考點3-47-考點1考點2考點3(2)(2017江蘇,22)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.①求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值;②求二面角B

-A1D

-A的正