2025中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)一一平行四邊形

--平行四邊形的基本性質(zhì)與判定(共10小題)

1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,0),5(5,4).若四邊形。4BC是平行四邊形，則。4BC的周長

等于—.

2.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，4E1平分NR4D,交。C的延長線于點(diǎn)E.求證：DA=DE.

3.如圖，在矩形ABCD中，AC與80相交于點(diǎn)O,OELBC于點(diǎn)、E.若AC=4,ZDBC=30°,則OE

4.如圖，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，連接DE并延長，交CB的延長線于點(diǎn)P,連接B4,

ZDPA=2ZDPC.求證：DE=2PA.

5.正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)M,N在對角線AC上(可與點(diǎn)A,C重合)，MN=2,點(diǎn)、P,。在正

方形的邊上.下面四個結(jié)論中，

①存在無數(shù)個四邊形PMQN是平行四邊形；

②存在無數(shù)個四邊形PMQN是菱形；

③存在無數(shù)個四邊形PMQN是矩形；

④至少存在一個四邊形PMQN是正方形.

所有正確結(jié)論的序號是—.

6.如圖，在.ABCD中，點(diǎn)、E,尸分別在AB,CD上,且AE=CF,DB平分ZEDF.

(1)求證：四邊形3即產(chǎn)是菱形；

(2)若AB=8,BC=4,CF=3,求證：ABCD是矩形.

AEB

7.如圖，在.ABCD中，AD>AB,E,尸分別為邊3c上的點(diǎn)（E,尸不與端點(diǎn)重合），對于任意

ABCD,下面四個結(jié)論中:

①存在無數(shù)個四邊形ABEE,使得四邊形ABEE是平行四邊形;

②至少存在一個四邊形WE,使得四邊形ABFE菱形;

③至少存在一個四邊形ABFE,使得四邊形ABEE矩形;

④存在無數(shù)個四邊形的正，使得四邊形向FE的面積是.ABCD面積的一半.

所有正確結(jié)論的序號是.

8.如圖，在菱形ABCD中，Zfi4D=60°,O為對角線的交點(diǎn).將菱形ABCD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到

菱形A8。。，兩個菱形的公共點(diǎn)為E,F,G,H.對八邊形給出下面四個結(jié)論:

①該八邊形各邊長都相等；

②該八邊形各內(nèi)角都相等；

③點(diǎn)O到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等；

④點(diǎn)O到該八邊形各邊所在直線的距離都相等.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

9.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC,或）相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,尸在比）上，AE//CF,連接AF,

CE.

(1)求證：四邊形AECF為平行四邊形；

(2)若NE4O+NCED=180。，求證：四邊形AECF是矩形.

10.如圖，8□平分Z4B產(chǎn)，點(diǎn)A是射線3枚上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD//3N交3G于點(diǎn)D,過A作AE_LBN,

過點(diǎn)。作小_L3N.

(1)求證：四邊形AE7Z)是矩形；

(2)在加'上取點(diǎn)C使得CF=BE,連接AC、CD.求證：AC±BD.

二.平行四邊形與勾股定理(共1。小題)

11.如圖，在X.ABCD中，。為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)、E,尸分別在3C,AD上，EF經(jīng)過點(diǎn)O,AE=AF.

(1)求證：四邊形AECF為菱形；

(2)若E為3c的中點(diǎn)，AE=3,AC=4,求AB的長.

12.如圖，在四邊形A3CD中，AD//BC,NA=90。，BD=BC,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，射線BE交AD的

延長線于點(diǎn)F,連接CF.

(1)求證：四邊形3C7力是菱形；

(2)若AD=1,CF=2,求毋1的長.

13.如圖，在，ABCD中，AC,BD交于點(diǎn)O,ZABD=ZCBD,過點(diǎn)。作OE//AC交3c延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形;

(2)若OB=A,ZABC=60°,求DE的長.

14.如圖，四邊形ABCD是菱形.延長54到點(diǎn)E,使得AE=AB,延長ZM到點(diǎn)尸，使得AF=AD,連

接5D,DE,EF,FB.

(1)求證：四邊形BDEF是矩形；

(2)若NADC=120。，EF=2,求班1的長.

15.如圖，在uABCD中，過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在邊CD上，DF=BE,連接AT,BF.

(1)求證：四邊形班DE是矩形；

(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求證：AF平分/ZM5.

16.如圖，在四邊形ABCD中，為一條對角線，AD//BC,AD^2BC,ZABD=90°,E為AD的中

點(diǎn)，連接BE.

(1)求證：四邊形3CDE為菱形；

(2)連接AC,若AC平分/B4。，BC=1,求AC的長.

17.如圖，在四邊形ABCD中，AB//DC,AB=AD,對角線AC,BD交于點(diǎn)O,AC平分NS4。，過

點(diǎn)C作CELAB交他的延長線于點(diǎn)E,連接OE.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若AB=M,BD=2,求的長.

18.如圖，在菱形ABCD中，AC,SD相交于點(diǎn)O,過3,C兩點(diǎn)分別作AC,如的平行線，相交于點(diǎn)

E.

(1)求證：四邊形5OCE是矩形；

(2)連接EO交3c于點(diǎn)尸，連接AF,若NABC=60。，AB=2,求AF的長.

19.如圖，菱形ABCD的對角線AC,8。相交于點(diǎn)O,E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)尸，G在"上，EFLAB,

OG//EF.

(1)求證：四邊形OEFG是矩形；

(2)若")=10,EF=4,求OE和3G的長.

D

B

20.如圖，在四邊形A3CD中，點(diǎn)E1在2C上，AE//CD,ZACB=ZDAC,EF_LAB于點(diǎn)F,EG±AC

于點(diǎn)G,EF=EG.

(1)求證：四邊形A￡CD是平行四邊形；

(2)若CD=4,28=45。，NCEG=15°,求AB的長.

三.平行四邊形與三角函數(shù)(共12小題)

21.如圖，在四邊形ABCD中，NACB=NC4D=90。，點(diǎn)E在8c上，AE//DC,EFLAB,垂足為尸.

(1)求證：四邊形AECD是平行四邊形;

4

(2)若yAE平分NfiAC,BE=5,cosB=-,求班■1和AD的長.

5

22.如圖，在菱形ABCD中，AC為對角線，點(diǎn)E,P分別在鉆，AD1.,BE=DF,連接￡F.

(1)求證：ACLEF；

(2)延長EF交CD的延長線于點(diǎn)G,連接3。交AC于點(diǎn)O.若BD=4,tanG=-,求AO的長.

2

23.如圖，在LABCD中，點(diǎn)、E,b分別在3C,AD±,BE=DF,AC=EF.

(1)求證：四邊形AEb是矩形；

(2)若AE=BE,AB=2,tanZACS=-,求3c的長.

24.如圖，在四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，DB,CE交于點(diǎn)、F,DF=FB,AF//DC.

(1)求證：四邊形AFCD為平行四邊形；

(2)若ZEFB=90°,tanZFEB=3,EF=1,求3c的長.

25.如圖，點(diǎn)E在,ABCD的對角線八8的延長線上，AE=AD,AF_LBD于點(diǎn)P,EG/ABC交/IF的延

長線于點(diǎn)G,連接DG.

(1)求證：四邊形AEGD是菱形；

(2)若AF=BF,tanZAEF=~,AB=4,求菱形AEGD的面積.

2

26.如圖，在菱形ABCD中，AC,BD交于點(diǎn)、O,延長CB到點(diǎn)E,使BE=3C,連接AE.

(1)求證：四邊形AE8D是平行四邊形；

(2)連接OE,若tanZAEB=',AC=2,求OE的長.

2

27.如圖，AABC中，ZBCA=9Q°,CD是邊至上的中線，分別過點(diǎn)C,。作54,3C的平行線交于點(diǎn)

E,且DE交AC于點(diǎn)O,連接AE.

(1)求證：四邊形ADCE是菱形；

(2)若AC=2DE,求sin/CDB的值.

28.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線與邊BC,AZ)分別交于點(diǎn)E,F,連接?IE,CF.

(1)求證：四邊形AECF是菱形；

(2)連接08,若AF=4,tanZAEB=V15,求08的長.

29.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,AB=AD,AE平分NBAD交BC于點(diǎn)E,連接

(1)求證：四邊形ABED是菱形;

(2)連接8□交AE1于點(diǎn)尸.若“CD=90。,cosZDBC=—,BD=2娓,求EC的長.

3

30.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與83相交于點(diǎn)O,E為CD的中點(diǎn)，連接OE并延長到點(diǎn)F,使

得OE=EF,連接CF,DF.

(1)求證：四邊形OCFD是矩形;

3

(2)若AB=5,sinZDOF=~,求BD的長.

5

31.如圖，在.ABCD中，AB=AC,過點(diǎn)。作AC的平行線與胡的延長線相交于點(diǎn)E.

(1)求證：四邊形ACDE是菱形；

(2)連接CE,若AB=5,tanB=2,求CE的長.

32.如圖，AABC中，NACB=90。，點(diǎn)。為邊中點(diǎn)，過。點(diǎn)作鉆的垂線交3C于點(diǎn)E,在直線DE上

截取DF,使DF=ED,連結(jié)AE、AF.BF.

(1)求證：四邊形岫尸是菱形；

4

(2)若sinNE4P=—,BE=5,求AD的長.

四.課后作業(yè)(共9小題)

33.如圖，兩條射線AM//BN,點(diǎn)C,。分別在射線BN,AM±.,只需添加一個條件，即可證明四邊

形ABCD是平行四邊形，這個條件可以是—(寫出一個即可).

34.如圖，RtAABC中，NACB=90。，點(diǎn)￡＞、E分別是BC、的邊的中點(diǎn)，連接DE并延長，使￡F=2DE,

連接AT、CE.

(1)求證：四邊形ACEF是平行四邊形；

(2)若4=30。，求證：四邊形ACEF是菱形.

35.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、8D相交于點(diǎn)O,BD=2BC,E、F、G分別是OC、

OD、的中點(diǎn).

求證：(1)BE±AC；

(2)連接AF,求證：四邊形AGEF是菱形.

36.如圖，矩形ABCD,過點(diǎn)3作BE//AC交DC的延長線于點(diǎn)E.過點(diǎn)。作于〃，G為AC中

點(diǎn)，連接GH.

(1)求證：BE=AC.

(2)判斷G8與助的數(shù)量關(guān)系并證明.

37.如圖，矩形ABCD,過點(diǎn)3作3E//AC交DC的延長線于點(diǎn)E.過點(diǎn)。作于尸，G為AC中

點(diǎn)，連接FG.

(1)求證：BE=AC.

(2)若AB=2,BC=4,求FG的長.

38.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE_LBD于點(diǎn)E,CGLBD于點(diǎn)、F,FG=CF,連接AG.

(1)求證：四邊形AEFG是矩形；

(2)若NAB￡)=30。，AG=2AE=6,求的長.

G

BC

39.如圖，在RtAABC中，NC=90。，延長CB至。，使得50=CB,過點(diǎn)A,。分別作AEIIBD,DE//BA,

AE與DE交于點(diǎn)E,連接BE.

(1)求證：四邊形ACBE是矩形；

(2)連接的＞,若AD=5母,tanZBAC=~,求AC的長

3

EA

DBC

40.如圖，在AABC中，AB=AC,為3c邊上的中線，點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，過點(diǎn)A作”/ABC,交BE

的延長線于點(diǎn)尸，連接CF.

(1)求證：四邊形ADCF為矩形；

3

(2)若5。=6,sinZBAD=~,求石F的長.

5

41.如圖，在cABCD中，AE平分NS4D,交,BC于點(diǎn)、E,3尸平分NABC,交的>于點(diǎn)尸，AE與BF交

于點(diǎn)尸，連接￡F,PD.

(1)求證：四邊形ABEF是菱形；

(2)若AB=4,AT>=6,NABC=60。，求tanZADP的值.

2025中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)一一平行四邊形

參考答案與試題解析

題號8

答案B

--平行四邊形的基本性質(zhì)與判定(共10小題)

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(2,0),5(5,4).若四邊形。4BC是平行四邊形，則。4BC的周長

等于14.

【分析】利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出平行四邊形的邊，進(jìn)而求出周長.

.-.AB=V32+42=5,

四邊形0ABe是平行四邊形，

:.OA=BC=2,CO=AB=5,\

.?.O4BC的周長等于2x2+5x2=14,

故答案為：14.

2.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，/叱平分/孫。，交Z)C的延長線于點(diǎn)E.求證：DA=DE.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AB//CD,得出內(nèi)錯角相等再由角平分線證出ZE=ZDAE,

即可得出結(jié)論.

【解答】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AB//CD,

:.ZE=ZBAE,

AE平分

:.ZBAE=ZDAE,

:.ZE=ZDAE,

DA=DE.

3.如圖，在矩形ABC。中，AC與80相交于點(diǎn)O,OE_L3C于點(diǎn)E.若AC=4,NDBC=30。，則OE

【分析】證AAC?是等邊三角形，得AB=CM=4,再證OE是AABC的中位線，即可求解.

【解答】解：?四邊形ABCD是矩形，AC=4,

:.ZABC^90°,OA=OC=-AC=2,OB=OD=-BD,AC=BD,

22

OB=OA-OC,

ZDBC=30°,

.?.ZD胡=60。，

/.AAOB是等邊三角形，

AB=OA.—2,

OE上BC于點(diǎn)、E,

BE=CE9

「.OE是AABC的中位線，

:.OE=~AB=1.

2

故答案為：L

4.如圖，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)E為邊他上一點(diǎn)，連接DE并延長，交CB的延長線于點(diǎn)尸，連接出,

ZDPA=2ZDPC.求證：DE=2PA.

【分析】如圖，取DE的中點(diǎn)尸，連接AF,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到A。/ABC,求得NDPC=NADP,根據(jù)

直角三角形的性質(zhì)得到4尸=。尸=工。￡,求得/位汨=皿/，等量代換得到結(jié)論.

2

【解答】證明：如圖，取DE的中點(diǎn)/，連接AF,

四邊形ABCD為矩形，

:.AD//BC,

:.ZDPC=ZADP,

440=90。,

:.AF=DF=-DE,

2

:.ZADP^ZDAF,

ZAFP=2ZADP=2Z.DPC,

ZDPA=2ZDPC,

:.ZDPA=ZAFP,

:.AP=AF=-DE,

2

5.正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)V,N在對角線AC上（可與點(diǎn)A,C重合），MN=2,點(diǎn)、P,。在正

方形的邊上.下面四個結(jié)論中，

①存在無數(shù)個四邊形PMQN是平行四邊形；

②存在無數(shù)個四邊形PMQN是菱形；

③存在無數(shù)個四邊形PMQN是矩形；

④至少存在一個四邊形PMQN是正方形.

所有正確結(jié)論的序號是①②④.

【分析】根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理即可得到

結(jié)論.

【解答】解：如圖，作線段的垂直平分線交4）于尸，交AB于Q.

P。垂直平分線段

PM=PN,QM=QN,

四邊形ABCD是正方形，

NPAN=NQAN=45。,

ZAPQ=ZAQP=45°,

AP^AQ,

」.AC垂直平分線段P。，

:.MP=MQ,

四邊形尸M2N是菱形，

在MN運(yùn)動過程中，這樣的菱形有無數(shù)個，當(dāng)點(diǎn)M與A或C重合時，四邊形PMQN是正方形，

，至少存在一個四邊形PMQN是正方形，當(dāng)點(diǎn)”與A或C重合時，四邊形PMQN是正方形（即是矩形）,

且MN=2,.?.不可能存在無數(shù)個矩形，，①②④正確，

故答案為①②④.

6.如圖，在.ABCD中，點(diǎn)、E,歹分別在AB,CD上，且AE=CF,DB平分NEDF.

（1）求證：四邊形陽陽是菱形；

（2）若鉆=8,BC=4,CF=3,求證：ABCD是矩形.

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB//CD,AB=CD,求得BE=DE,推出四邊形是平

行四邊形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到根據(jù)角平分線的定義得到N應(yīng)史=NBDF,求得

ZBDE^ZDBE,得到上=3￡,根據(jù)菱形的判定定理得到四邊形5KDF是菱形；

（2根據(jù)菱形的性質(zhì)得到M=DF=CD-CF=5,根據(jù)勾股定理的逆定理得到NC=90。，根據(jù)矩形的判定

定理得到「ABCD是矩形.

【解答】證明：（1）在.ABC。中，AB//CD,AB=CD,

AE=CF,

:.BE=DF,

BE//DF,

/.四邊形阻邛是平行四邊形，

AB//CD,

:.ZEBD=ZBDF,

DB平分ZEDF,

:.ZBDE=ZBDF,

:.ZBDE=ZDBE,

DE=BE,

二.四邊形3瓦方是菱形；

(2)四邊形班D廠是菱形，CD=AB=8,

：.BF=DF=CD-CF=5,

BC-+CF2=42+32=52=BF2,

.?.NC=90。，

.'ABCD是矩形.

AEB

7.如圖，在，ABC。中，AD>AB,E,尸分別為邊AO,3c上的點(diǎn)（E,b不與端點(diǎn)重合），對于任意

.ABCD,下面四個結(jié)論中：

①存在無數(shù)個四邊形的正，使得四邊形ABFE是平行四邊形；

②至少存在一個四邊形河E,使得四邊形AB用菱形；

③至少存在一個四邊形使得四邊形矩形；

④存在無數(shù)個四邊形ABEE，使得四邊形ABEE的面積是、ABCD面積的一半.

所有正確結(jié)論的序號是①②④.

D

-----------C

【分析】利用平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)依次進(jìn)行判斷可求解.

【解答】解：當(dāng)廣時，且AE//B/L則四邊形池正是平行四邊形，

，存在無數(shù)個四邊形9E,使得四邊形45正是平行四邊形，故①正確；

當(dāng)隹二防二鉆時，則四邊形是菱形，

至少存在一個四邊形AB?石，使得四邊形ABFE菱形，故②正確；

ZABC^90°,

.?.不存在四邊形河E是矩形，故③錯誤；

當(dāng)￡F過對角線的交點(diǎn)時，四邊形的面積是ABCD面積的一半，

，存在無數(shù)個四邊形ABFE,使得四邊形AB?石的面積是.ABCD面積的一半，故④正確，

故答案為：①②④.

8.如圖，在菱形ABCD中，440=60。，。為對角線的交點(diǎn).將菱形ABCD繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到

菱形A8。。，兩個菱形的公共點(diǎn)為E,F,G,H.對八邊形加》GD”Z7E給出下面四個結(jié)論：

①該八邊形各邊長都相等；

②該八邊形各內(nèi)角都相等；

③點(diǎn)O到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等；

④點(diǎn)O到該八邊形各邊所在直線的距離都相等.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【分析】通過根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理判斷④；通過

角度計算判斷②；通過長度計算判斷③.

【解答】解：延長和連接OH,

??菱形ABCD,ZBAD^60°,

:.ZBAO=ZDAO=30°,ZAOD=ZAOB=90°,

菱形ABCD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到菱形AB'C'ry,

..點(diǎn)A,D',B',。一定在對角線AC,BD上,S.OD=OD'=OB=OB',OA=OA'=OC=OC',

:.AD'=CD,ZD'AH=ZDC'H^30°,

ZDHA=ZDHC,

△AD月三△C'DH(AAS),

:.DH=DH,CH=AH,

同理可證。'E=8E,BF=B'F,B'G=DG,

ZEA,B=ZHC'D=30°,AB=CD,ZABE=ZC'DH=120°,

△ABE=△C'DH(ASA),

:.DH=BE,

:.DH=BE=DH=DE=BF=FB=BG=DG,

該八邊形各邊長都相等，故①正確；

根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理，得點(diǎn)O到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，故④正確；

根據(jù)題意，得NED'H=120。，

AD'OD=90°,ZOD'H=Z.ODH=60°,

ZD'HD=150°,

該八邊形各內(nèi)角不相等，故②錯誤；

OD=OD,UH=DH,OH=OH,

△D'OH=△DOH(SSS),

ZD'OH=ZDOH=45°,ZD'HO=ZDHO=75°,

:.OD^OH,

.?.點(diǎn)O到該八邊形各頂點(diǎn)的距離不相等，故③錯誤；

故選：B.

A

9.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC,5。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)石，尸在上，AE7/CF,連接AF,

CE.

(1)求證：四邊形AECF為平行四邊形；

(2)若NE4O+NCED=180。，求證：四邊形AECF是矩形.

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得04=0。，再證AAEO2ACFO(AS4),得OE=OF,然后由平行四邊

形的判定即可得出結(jié)論；(2)VEZEAO=ZCFO9再證OC=。/，然后證AC=EF,即可得出結(jié)論.

【解答】證明：(1)?四邊形ABCD是平行四邊形，

:.OA=OCf

?AE//CF,

:.ZEAO=ZFCO,

ZAOE=NCOF,

:.\AEO=\CFO{ASA),

:.OE=OF,

/.四邊形AECF為平行四邊形；

(2)ZE4O+NCTO=180。，ZCFO+ZC7?=180°,

:.ZEAO=ZCFOf

ZEAO=ZFCO,

,\ZFCO=ZCFO,

:.OC=OF,

由（1）可知，OA=OC,OE=OF,

:.AC=EF,

平行四邊形MB是矩形.

10.如圖，BD平分ZABF,點(diǎn)A是射線即1上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD/ABN交3G于點(diǎn)。，過A作AE_L的V,

過點(diǎn)。作Db_L3N.

(1)求證：四邊形4￡如是矩形;

(2)在跖上取點(diǎn)C使得CF=BE,連接AC、CD.求證：ACYBD.

【分析】(1)先判定四邊形AEED是平行四邊形，然后由AEL3N即可得解;

(2)先判定四邊形ABCD是平行四邊形，再由皮)平分NABC和AZ)//3c得出">=AB,證出四邊形

ABCD是菱形，進(jìn)而即可得證.

【解答】證明：(1)AELBN,DF1,BN,

:.AE//DF,

AD//EF,

，四邊形AEFD是平行四邊形,

AE1.BN,

，四邊形AE陽是矩形；

(2)?四邊形AEFD是矩形，

:.AD//EF,AD=EF,

BE=CF,

:.BC=EF,

:.AD//BC,AD=BC,

：.四邊形ABCD是平行四邊形,

BD平分■ZABC,

:.ZABD=ZDBC,

ADIIBC,

:.ZADB=ZDBC,

.\ZABD=ZADBf

AD=AB,

，四邊形ABCD是菱形,

.\AC±BD.

平行四邊形與勾股定理(共10小題)

11.如圖，在.ABCD中，。為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,尸分別在3C,AD±,EF經(jīng)過點(diǎn)O,AE^AF.

(1)求證：四邊形AECF為菱形；

(2)若E為3C的中點(diǎn)，AE=3,AC=4,求AB的長.

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得AD/ABC,Z,OAF=Z.OCE,而Q4=OC,ZAOF=NCOE,即可

根據(jù)“ASA”證明=得AF=CE,則四邊形MCF是平行四邊形，因?yàn)锳E=AF,所以

四邊形AECF是菱形；

(2)由菱形的性質(zhì)得CE=AE=3,所以BE=CE=AE=3,則BC=2BE=6,NEAC=NECA,ZEAB=ZB,

則NBAC=90。，即可求得A3=JgC=-AC?=24.

【解答】(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AD//BC,

:.ZOAF=ZOCE,

O為AC的中點(diǎn)，

.e.OA—OC,

在△AO尸和△。。石中，

ZOAF=ZOCE

<OA=OC,

ZAOF=/COE

△AOF=△COE(ASA),

:.AF=CE,

AF//CE,

，四邊形AECF是平行四邊形，

AE=AF,

，四邊形AECF是菱形.

(2)解：四邊形AECF是菱形，AE=3,AC=4,

CE=AE=3,

E為3c的中點(diǎn)，

:.BE=CE=AE=3,

:.BC=2BE=6,ZEAC^ZECA,ZEAB^ZB,

ABAC=ZEAC+ZEAB=2x180。=90。，

2

AB=4BC?-AC。=A/62-42=2下,

二/15的長是2君.

12.如圖，在四邊形A3CD中，AD//BC,BD=3C,點(diǎn)石為CD的中點(diǎn)，射線BE交AD的

延長線于點(diǎn)尸，連接CF.

(1)求證：四邊形3C7力是菱形；

【分析】(1)證明ABCE=AFDE(A81),得BC=FD,再證明四邊形3CFD為平行四邊形，然后由菱形的

判定即可得出結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)得班＞=D口=CF=2,則”:=AD+DF=3,再由勾股定理求出AB的長，然后由勾股

定理求出班7的長即可.

【解答】(1)證明：AD//BC,

:.ZFDE=ZBCE,

?.?點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，

DE-EC，

在ABCE與AFDE中,

NBCE=NFDE

<CE=DE,

ZBEC=ZFED

:.ABCE=AFDE(ASA),

:.BC=FD,

ADIIBC,

：.四邊形3CFD為平行四邊形，

又，BD=BC,

,平行四邊形BCED是菱形；

(2)解：由(1)可知，四邊形3CED是菱形，

:.BD=DF=CF=2,

:.AF=AD+DF=3,

NA=90°,

AB=yjBD2-AD2=A/22-12=退,

BF=y/AB2+AF2=J(后+3/=2也,

即班7的長為2者.

13.如圖，在，ABCD中，AC,BD交于點(diǎn)O,ZABD=ZCBD,過點(diǎn)。作OE7/AC交3c延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若OB=6,ZABC=60°,求DE的長.

【分析】(1)證明Z4DB=Z4BD,得AB=AD,再由菱形的判定即可得出結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)得21)=202=2—，ZCBO=-ZABC=30°,AC±BD,再證明DE_LBD,然后由

2

銳角三角函數(shù)定義得Z)E=@2。=2即可.

3

【解答】(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形,

:.AD//BC,

:.ZADB=ZCBD,

ZABD=NCBD,

:.ZADB=ZABD,

AB=AD,

，平行四邊形ABCD是菱形；

(2)解：由(1)可知，四邊形ABCD是菱形，

:.BD=2OB=2y/3,ZCBO=-ZABC=30°,AC±BD,

2

DE//AC,

:.DE工BD,

:.ZBDE=90°,

/.ZE=90°-30o=60°,

DF)

/.tanE==tan600=A/3,

DE

:.DE=—BD=—X2S/3=2,

33

即DE的長為2.

14.如圖，四邊形ABCD是菱形.延長54到點(diǎn)E,使得延長ZM到點(diǎn)使得AF=AD,連

接皮)，DE,EF,FB.

(1)求證：四邊形四比F是矩形；

(2)若NADC=120。，EF=2,求所的長.

【分析】（1）先證明四邊形8DE尸為平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得AB=AD,則座=叱，然后由矩形

的判定即可得出結(jié)論；

（2）由矩形的性質(zhì)得NDBF=90。，BD=EF=2,再由菱形的性質(zhì)得NADB=60。，AB=AD,進(jìn)而證明

是等邊三角形，^AB=AD=BD=2,則。尸=24）=4,然后由勾股定理求出所的長即可.

【解答】（1）證明：?AE=AB,AF=AD,

：.四邊形BDE廠為平行四邊形，

四邊形ABCD為菱形，

:.AB=AD,

：.AE=AB=AF=AD,

:.BE=DF,

.-.平行四邊形BDEF是矩形；

(2)解：由(1)可知，AB=AD,四邊形5DEF是矩形,

:.ZDBF=90°,BD=EF=2,

四邊形ABCD是菱形，

ZADB=~ZADC=60°,AB^AD,

2

」.AABD是等邊三角形，

.-.AB=AD=BD=2,

:.DF=2AD=4,

BF=^DF2-BD2=V42-22=273,

即跖的長為2君.

15.如圖，在，ABCD中，過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在邊CD上，DF=BE,連接小，BF.

(1)求證：四邊形BFDE是矩形；

(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求證：AF平分NZMB.

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AB與CD的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得9DE是平行

四邊形，再根據(jù)矩形的判定，可得答案；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得NDFA=NEAB,根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)，可得NZMF=NDE4,根

據(jù)角平分線的判定，可得答案.

【解答】(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AB//CD.

BE!IDF,BE=DF,

：.四邊形班DE是平行四邊形.

DELAB,

.-.ZDEB=90°,

二.四邊形3FDE是矩形；

(2)解：?四邊形ABCD是平行四邊形,

:.AB//DC,

:.ZDFA=ZFAB.

在RtABCF中，由勾股定理，得

BC=^FC~+FB2=A/32+42=5,

：.AD=BC=DF=5,

:.ZDAF=ZDFA,

:.ZDAF=ZFAB,

即AF平分ZDAB.

16.如圖，在四邊形ABC。中，班>為一條對角線，AD//BC,AD=2BC,ZABD=90°,E為AD的中

點(diǎn)，連接BE.

（1）求證：四邊形5a汨為菱形；

（2）連接AC,若AC平分NSW,BC=1,求AC的長.

【分析】（1）由DE=3C,DEIIBC,推出四邊形3CDE是平行四邊形，再證明3E=DE1即可解決問題;

（2）在RtAACD中只要證明NADC=60。，">=2即可解決問題；

【解答】（1）證明：AD=2BC,E為AD的中點(diǎn)，

DE=BC,

AD//BC,

/.四邊形5cDE是平行四邊形,

ZABD=90°,AE=DE,

/.BE=DE,

，四邊形BCDE是菱形.

(2)解：連接AC.

ADIIBC,AC平分/BAD,

ABAC=ZDAC=ZBCA,

：.AB=BC=1,

AD=2BC=2,

sinZADB=—,

2

ZADB=30°,

.-.ZZMC=30°,ZAZX?=60°,

在RtAACD中，AD=2,

:.CD=1,AC=^3.

17.如圖，在四邊形ABCD中，AB//DC,AB^AD,對角線AC,3D交于點(diǎn)O,AC平分NS4￡),過

點(diǎn)C作CEL/1B交AB的延長線于點(diǎn)E,連接OE.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若AB=&,BD=2,求OE的長.

【分析】(1)先判斷出NQ鉆=NDC4,進(jìn)而判斷出4MC=NDC4,得出CD=AD=AB,即可得出結(jié)論;

(2)先判斷出再求出OB=1,利用勾股定理求出。4,即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：AB//CD,

:.ZOAB=ZDCA,

AC為mw的平分線，

:.ZOAB=ZDACf

..ZDCA^ZDACf

CD=AD=AB，

AB//CD,

：.四邊形ABC?是平行四邊形,

AD^AB,

ABCD是菱形；

(2)解：?四邊形ABCD是菱形，

:.OA=OC,BD±AC,OB=-BD=1,

2

CELAB,

:.OE=OA=OC,

在RtAAOB中，AB=75,OB=1,

:.OA=y/AB2-OB2=2,

OE—OA.—2.

18.如圖，在菱形ABCD中，AC,比)相交于點(diǎn)O,過3,C兩點(diǎn)分別作AC,33的平行線，相交于點(diǎn)

E.

(1)求證：四邊形BOCE是矩形；

(2)連接EO交3c于點(diǎn)尸，連接AF,若NABC=60。，AB=2,求AF的長.

A

【分析】(1)先證四邊形R9CE是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得N3OC=90。，即可得出結(jié)論；

(2)先證AWC是等邊三角形，得3c=43=2,NBAC=60。，再由矩形的性質(zhì)得BF=CF=，3C=1,

2

然后由等邊三角形的性質(zhì)得AF_LBC,ZBAF=-ZBAC=30°,即可求解.

2

【解答】(1)證明：BE//AC,EC//BD,

，四邊形3OCE是平行四邊形，

四邊形/WCD是菱形，

:.AC±BD,

:.NBOC=90°,

平行四邊形BOCE是矩形；

(2)解：如圖，?四邊形ABCD是菱形，

AB=BC,

ZABC=6O0,

AABC是等邊三角形，

..BC=AB=2,ZBAC=60°,

?四邊形6OCE是矩形，

CF=-BC=l,

:BF=2

.\AF±BC,ZBAF=-ZBAC=30°,

2

.\ZAFB=90°,

：.AF=6BF=6.

Ec

19.如圖，菱形A3CD的對角線AC,80相交于點(diǎn)O,E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)尸，G在AB上，EF±AB,

OGHEF.

（1）求證：四邊形OEFG是矩形；

（2）若AD=10,EF=4,求OE和5G的長.

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出OB=OD,再由點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以，AE=DE,進(jìn)而判斷出OE是

三角形ABD的中位線，得到==,推出OE//FG,求得四邊形OEFG是平行四邊形，根據(jù)矩

2

形的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BD_LAC,AB=AD=10,得至UOE=鉆='">=5；由（1）知，四邊形OEFG

2

是矩形，求得FG=OE=5,根據(jù)勾股定理得到A。=JAE?_跖2=定于是得到結(jié)論.

【解答】解：（1）四邊形ABCD是菱形，

:.OB=OD,

E是AD的中點(diǎn)，

.?.OE是4曲的中位線，

:.OE//FG,

OG//EF,

，四邊形OEFG是平行四邊形，

EF1AB,

:.ZEFG=9Q°,

平行四邊形O￡FG是矩形；

（2）四邊形ABCD是菱形，

:.BD±AC,AB=AD=10,

:.ZAOD^90°,

E是AD的中點(diǎn),

:.OE=AE=-AD=5；

2

由(1)知，四邊形OEFG是矩形，

,\FG=OE=5,

AE=59EF=4,

AF=yjAE2-EF2=3,

:.BG=AB-AF-FG^10-3-5^2.

20.如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AE//CD,ZACB=ZDAC,于點(diǎn)尸，EGLAC

于點(diǎn)G,EF=EG.

(1)求證：四邊形A￡CD是平行四邊形；

(2)若CD=4,NB=45°,ZCEG=15°,求他的長.

【分析】(1)證明AD//CE,再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；

(2)由平行四邊形的性質(zhì)得AE=CD=4,進(jìn)而證明RtAAFE三RtAAGE(HL),再證明ABEF是等腰直角

三角形，然后證明由含30。的直角三角形的性質(zhì)得吩=￡F=2,進(jìn)而由勾股定理求出AF的長，即可解決

問題.

【解答】(1)證明：ZACB=ZDAC,

:.AD//CE,

AE//CD,

：.四邊形AECD是平行四邊形；

(2)解：由(1)可知，四邊形AECD是平行四邊形，

.-.AE=CD=4,

EFLAB,EG上AC,

ZAFE^ZAGE=90°,

在RtAAFE和RtAAGE中,

\AE=AE

[EF=EG'

RtAAFE三RtAAGE(HL),

:.ZAEF=ZAEG,

ZBFE=180°-90°=90°,ZB=45°,

二.AB即是等腰直角三角形，

:.BF=EF,ZBEF=45°,

ZFEG=180°-ZBEF-ZCEG=180°-45°-15°=120°,

ZAEF=ZAEG=-ZFEG=60°,

2

ZEAF=90°-ZAEF=30°,

：.BF=EF=、AE=2,

2

AF=7AE2-EF2=742-22=2幣,

:.AB=AF+BF=2-j3+2.

三.平行四邊形與三角函數(shù)(共12小題)

21.如圖，在四邊形ABCD中，NACB=NC4D=90。，點(diǎn)E在3c上，AE//DC,EF±AB,垂足為尸.

(1)求證：四邊形AECD是平行四邊形；

4

(2)若AE1平分/班C,BE=5,cosB=~,求班'和AD的長.

【分析】（1）證AD//CE,再由AE7/OC,即可得出結(jié)論；

（2）先由銳角三角函數(shù)定義求出BF=4，再由勾股定理求出EF=3,然后由角平分線的性質(zhì)得EC=EF=3,

最后由平行四邊形的性質(zhì)求解即可.

【解答】（1）證明：，ZACB=ZCAD^90°,

:.AD//CE,

AE//DC,

/.四邊形AECD是平行四邊形;

(2)解：?EFA.AB,

.\ZBFE=90°,

4BF

cosB=—=,BE=5,

5BE

44

:.BF=-BE=-x5=4,

55

EF=dBE。-BF2=By=3,

AE平分NBAC,EFLAB,ZACE=90。,

:.EC=EF=3,

由(1)得：四邊形AECD是平行四邊形，

/.AD=EC=3.

22.如圖，在菱形ABC。中，AC為對角線，點(diǎn)E,尸分別在鉆，AD上，BE=DF,連接砂.

(1)求證：AC±EF；

(2)延長EF交CD的延長線于點(diǎn)G,連接班)交AC于點(diǎn)O.若BD=4,tanG=-,求40的長.

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出=ACrBD,OB=OD,OA=OC,得出AB:BE=AD:DF,

證出EF//BD即可得出結(jié)論；

（2）由平行線的性質(zhì)得出NG=NCDO,由三角函數(shù)得出tanG=tanNCr?O=9￡=L,得出OC=！O。，

OD22

由5D=4,得出OD=2,得出OC=1,即可得出結(jié)果.

【解答】（1）證明：連接BD,交AC于O,如圖1所示：

四邊形ABCD是菱形，

;.AB=AD,AC±BD,OB=OD,OA=OC,

BE=DF,

AB:BE=AD:DF,

:.EF//BD,

.\AC±EF；

(2)解：如圖2所示：

由(1)得：EF//BD,

:.ZG=ZCDO,

OC1

/.tanG=tanZCPO=——=-,

OD2

:.OC=-OD,

2

BD=4,

OD=2,

:.OC=1,

,.OA=OC=1.

圖2

圖1

23.如圖，在.ABCD中，點(diǎn)、E,F分別在J5C,AD1.,BE=DF,AC=EF.

(1)求證：四邊形AECF是矩形；

(2)若AE=BE,AB=2,tanZACB=-,求3c的長.

【分析】(1)先證四邊形AECF是平行四邊形，再由矩形的判定即可得出結(jié)論;

(2)由矩形的性質(zhì)得NA￡C=NA￡B=90。，再證AABE是等腰直角三角形，得AE=BE=6,然后由銳

角三角函數(shù)定義得EC=