金融市場中的重分形理論分析綜述目錄TOC\o"1-2"\h\u1293金融市場中的重分形理論分析綜述 [19]： Xt是一個平穩時間序列且滿足：?α∈?且limk→∞那么平穩時間序列Xt 該定義表明，如果給定時間序列的自相關函數的衰減率服從冪律衰減，則該時間序列具有長期記憶性。自相關函數的非獨立性反映出“記憶性”，“長期”反映在緩慢的衰減上。這種長記憶性用Hurst指數就是來刻畫；它可以定量地衡量一個時間序列的波動范圍隨時間跨度變化的特征，是重分形分析中的重要步驟：limn→∞式中n是時間序列觀測點的個數，R(n)是整個時間序列觀測點的變化范圍，S(n H值的大小所表示的時間序列的特性不同，具體如下所示： （1）0<H<0.5：時間序列具有長記憶性，是長期相關的。時間序列具有反持續性的特征，即將來的走勢會和過去的走勢相反——比如股票價格在過去是上升趨勢那之后很可能會下跌，具有反過去趨勢的性質。當 （2）H=0.5 （3）0.5<H<1：時間序列具有長記憶性，是長期相關的。與第一種情況剛好相反，此時的時間序列具有持續性的特點，將來的走勢會和過去的走勢一致——比如股票價格在過去是上升趨勢那之后很可能會繼續上升，會維持之前的走勢不變。當 若序列只是單分形過程，其使用分形分析之后的得到的Hurst指數H會是一個常數，會與分析方法中的波動函數使用的階數q無關。若序列還存在有重分形特征，則當改變波動函數中的階數q時，H(q)（即Hurst指數，因為H可以看成是q的函數了）也會發生變化。所以對于時間序列，一般首先判斷它是否有單分形特征和長記憶性，再畫出HqHurst指數起初只用于水文分析領域的水庫進出流量中，現在已成為各行各業時間序列分形分析的重要判斷指標。奇異譜函數α?f(α)譜是表征重分形過程的一套常用語言。由于只有重分形過程才有分形體在不同的局部條件下的概率分布，所以對于時間序列的單分形分析則不用奇異譜函數來分析。這一套分析語言需要用到包括奇異指數α、奇異譜f(α)與廣義Hurst指數h(q)。根據重分形的定義，它是由具有不同層次的分形子集構成，不同的局部條件也會使之形成不同的局部特性，顯示出奇異性。若將重分形的時間序列分為N個長度為s時間序列子區間，子區間之間互不重疊，時間序列在每個子區間的發生概率為PiPis通過探測α值的變化，就可以判斷時間序列是否具有重分形特征：對于單分形時間序列來說，所有區域會有相同的α值，所以奇異譜函數分析用在單分形過程中意義不大。而如果不同的小區域有不同的α值，時間序列判斷為重分形序列。α值的大小確定時間序列波動過程的局部平滑度或不規則度。多重分形的深刻本質是在不同子區間中奇異指數值的多樣性。α值越大，奇異性越弱，規則性越強，局部波動越平滑。相反，α越小，奇異性越強，規則性越弱，局部波動越大。奇異指數也是刻畫重分形幾何特征的一種方式。將具有相同α值的子區間的個數用f(α)表示，f(α)成為重分形的奇異譜或標度指數，可以定量表示時間序列在不同的局部條件的概率分布。由于很有多個子區間，于是可以用不同α值對應的不同f(α)組成的序列對α,f(α)來刻畫重分形局部(α)和整體(fα)特征。fα要推演出α和f(α)α=τ'并且τq從而由公式就得到了α，f(α)α=?q 奇異譜曲線主要從以下方面分析：（1）令fmaxα=fa0（2）在金融時間序列中，常用奇異譜的寬度?α=αmax?αmin作為反應市場風險大小的指標。?α實際上是整個重分形上概率測度分布不均勻性的程度和過程的復雜性的度量，刻畫了時間序列的波動幅度。在金融實證研究中，用它來反映分形時間序列——分數布朗運動數學中將隨機游走過程稱為是布朗運動。微小粒子在流體中做的無規則運動就是一種布朗運動，比如花粉在空氣中的運動。布朗運動過程是一種滿足正態分布，且增量獨立的連續隨機過程。在分形理論中，分形時間序列也稱為有偏隨機游走運動。這種有偏隨機游走被數學家Mandelbrot稱為分數布朗運動（FBM）。 其定義為：稱Hurst指數為H（0<H<1）的在時間域上的連續隨機過程{BHt （1）B（2）對于不同時刻的t,s它們的協方差函數為：EB式中當H=1/2時，{B 在分數布朗運動的定義中，重點主要有三大特性：平穩增量，自相似性和自相關性。分數布朗運動的增量之間不是獨立的，對應的標準布朗運動的增量之間是獨立的。增量的平穩性放在最后證明。對于自相似性，指的是對于兩個成比例的時間跨度：υ和kυ，k為常數，分數布朗運動在這兩段時間跨度上的增量以kH{B在現實生活中，如果按照分形布朗運動描述股票價格，那么自相似性會使得當5分鐘線和30分鐘線的股票價格變化時，按照Hurst指數的縮放比例6H分數布朗運動中的增量的自相關性具有如下性質：（1）當Hurst指數∈(0.5,1)時，分數布朗運動的增量呈現正相關；（1）當Hurst指數∈(0,0.5)時，分數布朗運動的增量呈現負相關；Mandelbrot和VanNess對增量之間的相關性給出了定量的計算，在這里將其的結論給出：令?t/2?t2,?t/2和t/2,t/2+t1Ct,Mandelbrot在其文章中證明，無論t，t1，t在此基礎上略作推導。如果令t1=t2且t=s?t2，其中Cst可以得到在此條件下FBM運動中僅s和Hurst指數與自相關性有關，與在什么時間點計算無關。這便是分數布朗運動的增量平穩性的證明。分形市場理論2008年的金融危機使許多市場觀察家越來越質疑主流的有效市場假說。有效市場假說認為投資者行為理性，市場有效，這意味著價格應始終反映資產的真實價值。這種思維方式在大蕭條之后再次受到質疑。一些可供選擇的市場理論：如噪音市場假說、適應性市場假說和分形市場假說得到了重視，研究的是投資者在整個市場周期中的行為，包括在繁榮和蕭條時期，其中尤為受到廣泛學者青睞的就是分形市場假說。在1960年代，美國經濟學家Mandelbrot提出股票市場收益的分布不遵循正態分布，而是具有尖峰肥尾的特征。在此基礎上，Peters在1994年首次嘗試將非線性理論之一的分形理論與資本市場結合，提出了分形市場假說（FMH），從非線性的觀點出發，它更符合資本市場波動的本質。分形市場理論將市場信息接受程度和投資者行為分析納入研究的范疇，并認為所有穩定的市場都存在分形結構。分形市場理論的主要內容包括以下幾點：（1）資本市場由大量的投資者組成，每個投資者有不同的投資期限，不同的投資行為和投資時限會決定市場的走向；（2）不同的市場信息對做短線和長線的投資者有不同的影響。短期投資者偏好于分析歷史信息，而長期投資者偏好于分析基本面信息。市場價格不僅反映基于技術分析的短線交易，而且反映基于基礎分析的市場長期估值；（3）流動性決定了市場的穩定性。只有當市場由許多具有不同投資期限和不同投資水平的投資者組成時，才能實現流動性，從而穩定性得以保證；（4）如果市場與整個經濟周期無關，那么市場本身就沒有長期趨勢，那么市場波動主要靠交易量，流動性和短期信息決定；如果相關，則隨著經濟周期的穩定，風險將逐漸降低。針對有效市場假說的不足，學者們也提出了多種其他的市場假說，其中分形市場理論是最成功的，最被廣大研究者接受的一種理論。首先，分形市場理論彌補了有效市場假說在某些方面的有失偏頗。尤其是它著重于分析市場流動性和投資期限對投資者行為的影響。其次，分形市場假設沒有對市場做出任何統計假設，而是直接建立了投資行為和價格變化的模型，更主要原因是該模型能夠很好地擬合實證中的數據。在分形市場假設中，Hurst指數起著重要作用，它可用于判斷時間序列的單分形特征和長記憶性，判斷市場的持