專題33最值模型之胡不歸模型

胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉化與化歸等的數學思想，近年在中考數學和各地的模擬

考中常以壓軸題的形式考查，學生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進行梳理及對應試題分析，

方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據是：點到線的距離垂線段最短。

例題講模型］

模型1.胡不歸模型（最值模型）

模型解讀

從前有個少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據“兩點之間線段最短”，雖

然從他此刻位置A到家8之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙

子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”

看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設可以提早到家，那么他該選擇怎樣的

一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.

模型證明

一動點尸在直線"N外的運動速度為匕，在直線MN上運動的速度為匕，且匕〈匕，4、5為定點,

，確定點的位置使江+些的值最小.（注意與阿氏圓模型的區分）。

點C在直線上C

匕K

B

1）—+—=—[BC+^Ac],記上=匕，即求BC+以C的最小值.

匕匕匕IV2）%

2）構造射線AD使得sin/D4N=Z,—=k,C〃=fc4C,將問題轉化為求BC+CH最小值.

AC

3）過8點作BHLAD交MN于點C,交AD于H點,此時8C+C8取到最小值，即BC+姑C最小.

【解題關鍵】在求形如“出+初中的式子的最值問題中，關鍵是構造與狂引相等的線段，將“B4+d2”型問題

轉化為“E4+P。'型.（若Q1,則提取系數，轉化為小于1的形式解決即可）。

【最值原理】垂線段最短。

模型運用

例1.（24-25九年級上?安徽合肥?階段練習）如圖，在VA8C中，NA=15。，AB=10,尸為AC邊上的一個

動點（不與A、C重合），連接3P,則也AP+PB的最小值是（）

A.5^2B.5\/3C.—A/3D.8

【答案】B

【分析】以AP為斜邊在AC下方作等腰直角AADP，過2作班，AD于E,通過解直角三角形可得BE的長,

再根據。尸=A尸?sin45°=變AP,可得叵AP+PB=DP+PB2BE,據此即可解答.

22

【詳解】解：如圖，以AP為斜邊在AC下方作等腰直角△4DP,過2作3E_L"）于E,連接

B

???/7^￡>=45。，ZBAC=15°f,\ZBAD=60°,，班=ABsin600=5百，

DP=AP-sm450=—AP,—AP+PB=DP+PB>BE,.?.受AP+PB的最小值為5G.故選：B.

222

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，點到直線的距離，作出輔助線是解決本題的關鍵.

例2.（23-24九年級上.湖南婁底?階段練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,E,P分別是邊AD和對角線AC

4

上的動點，連接EP,記NB4C=a,若tany=§,則P石+PCcosa的最小值為（）

A.3B.4C.5D.2.4

【答案】A

【分析】本題考查了三角函數的定義，矩形的判定和性質.過點尸作于點”，交AD于點G,求得

PC?cos。=尸"，根據垂線段最短，知當點石與點G重合時，尸石+PC-cosa有最小值，據此求解即可.

【詳解】解：過點尸作GHL3C于點交AD于點G,

四邊形ABCD是矩形，???NB=ZBAG=90°,四邊形ABHG是矩形，，PH//AB,：.ZHPC=ZBAC=a,

4BC4,--------------

VAB=3,tancr=-,——=-,/.BC=4,AC=y/AB2+BC2=5，

3AB3

AB3

cosa==—=cos/HPC,PC-cosa=PH,

AC5

當點E與點G重合時，PE+PC-cosa有最小值，最小值為GH的長，

,：GH=AB=3,???PE+尸Ccosa的最小值為3,故選：A.

例3.（2024.陜西渭南?二模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、5。相交于點。，AC=8,BD=6,P是

3

對角線AC上的動點，則+的最小值為.

BC

【分析】本題主要考查了菱形的性質，勾股定理，解直角三角形，過點尸作PE1A。，連接BE,由菱形的

性質可得Q4=gAC=4,OD^BD=?>,AC±BD,則由勾股定理可得AD=5,解直角三角形得到

333

sinZOAD-j,則PE=APsin/P4E=：AP,進而得到當8、P、E三點共線，且3E1.AD時，BP+^AP^

小，最小值為班的長，據此利用等面積法求出3E的長即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，過點P作PE上AD，連接BE,

;在菱形ABCD中，對角線AC、3D相交于點O,AC=8,BD=6,P

OA——A.C=4,OD——BD-3，A.CO/^+-59**?sinNOA.D-......——,

22AD5

33

???在Rt^APE中，PE=AP-sinZPAE=~^PABP+-AP=BP+PEf

3

.?.當8、P、E三點共線，且BE_LAD時，8尸+《4尸最小，最小值為助的長，

1124

止匕時有S四邊形^pc。=A。,BE=—AC,BD,5BE=—x6x8,BE=,

???3尸+^3人尸的最小值為2個4，故答案為：y24.

例4.（2023?云南昆明?統考二模）如圖，正方形ABCD邊長為4,點E是。。邊上一點，且NAB￡=75。.P

是對角線3。上一動點，則+的最小值為（）

A.4B.4&C.D.行+#

【答案】D

【分析】連接AC,作PGL3E,證明當AP+：BP取最小值時，A,P,G三點共線，且AGLBE,此時最

小值為AG,再利用勾股定理，30。所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出結果.

【詳解】解：連接AC,作「GLBE

；ABC。是正方形且邊長為4,：.ZABO=45°,AC1BD,AO=20，

VZABE=75°,ZPBG=30°,:.PG=、BP,

2

.?.當+取最小值時，A,P,G三點共線，且AGJ_3E,此時最小值為AG,

VZABE=15°,AGA.BE,：.ZBAG=15°,VZBAO=45°,440=30°,

設OP=b,則AP=2"："2+（2夜）2=（292,解得：6=與，

設PG=a,則第=2。，;B0=2也,：,2a+b=2日解得：。=夜一^

/.AG=AP+PG=2b+a=s/2+y/6,故選：D

【點睛】本題考查正方形的性質，動點問題，勾股定理，30。所對的直角邊等于斜邊的一半，解題的關鍵是

證明當+取最小值時，A,P,G三點共線，且AGL3E,此時最小值為AG.

例5.（23-24九年級上.江蘇南通?階段練習）如圖，AB是。。的直徑，CE切。。于點C交A3的延長線于

點E.設點。是弦AC上任意一點（不含端點），若NCEA=30。，BE=4,則CD+2OD的最小值為（）

C

D

A.273B.73C.4D.4g

【答案】D

【分析】作OF平分N49C,交。。于尸，連接AF、CF、DF,過點。作DHLOC于A,根據切線的性

質和三角形內角和定理可得/COE=60。，求得NAOC=120。，根據角平分線的性質可得

ZAOF=ZCOF=60°,根據含30。角的直角三角形的性質可得OE=2OC,求得OC=4,根據等邊三角形

的判定和性質可得A尸=AO=OC=RC,根據菱形的判定和性質可得AC平分ZFAO,根據角平分線的性質

和全等三角形的判定和性質可得。尸=DO,根據等邊對等角和三角形內角和定理求得/OC4=NQ4C=30。,

根據特殊角的銳角三角函數可求得CD=2DH,推得CD+28=2(0〃+Q),根據垂線段最短可得，當F、

D、H三點共線時，DH+FD的值最小，即m_LAC時，CD+2OD的值最小，根據特殊角的銳角三角函數

可求得五H=2g,即可求解.

【詳解】解：作/AOC的角平分線OP,交。。于尸，連接AF、CF、DF,過點。作。于H,如

圖：

：OC_LCE,，NC?CE=90。，又：NCE4=30°,ZCOE=180°-90°-30°=60°,ZAOC=180°-60°=120°,

,/O/平分ZAOC,貝UZAOF=NCOF=-ZAOC=-xl20°=60°,

22

VZCEO=30°,ZOCE=90°,：.OC=^OE,即OE=2OC,

XVOE=OB+BE=OC+BE,BE=4,：.2OC=OC+4,二OC=4,即圓的半徑為4,

VOA^OF=OC,ZAOF=ZCOF=60°,：.^AOF,ACO尸是等邊三角形，

Z.AF=AO=OC=FC,；.四邊形AOC尸是菱形，二AC平分/E4O,AZFAC=ZOAC,

XVAF=AO,AD=AD,△■EW四△Q4D（SAS）,/.DF=DO,

180。一440。180。—120。

?：OA=OCZOCA=ZOAC=

22

DH=DC-sinZDCH=DC-sin30°=-DC,即CD=2D",.1

2

CD+2OD=2DH+2OD=2（DH+OD）=2（DH+FD）.若使CD+2OD的值最小，即。H+陽的值最小,

當尸、D、H三點共線時，DH+FD=FH,此時DH+ED的值最小，即FH_LAC時，CD+2OD的值最小，

此時，FH=OF-sinZFOH=OF-sin60°=^-OF=2y/3,CD+2OD=2（DH+FD）=2FH=,故選：D.

【點睛】本題考查了切線的性質，三角形內角和定理，角平分線的性質，含30。角的直角三角形的性質，等

邊三角形的判定和性質，菱形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等邊對等角，特殊角的銳角三角

函數，垂線段最短，解題的關鍵是明確當尸、D、H三點共線時，DH+田的值最小，即CD+2OD的值

最小.

例7.（2023?四川自貢?統考中考真題）如圖，直線y=-gx+2與x軸，y軸分別交于A,8兩點，點。是線

段上一動點，點X是直線>=尤+2上的一動點，動點磯〃*0）,尸（m+3,0）,連接3E,DF,HD.當

雇+。戶取最小值時，的最小值是.

【分析】作出點C（3,-2）,作于點。，交x軸于點凡此時BE+D尸的最小值為CD的長，利用解

直角三角形求得利用待定系數法求得直線CD的解析式，聯立即可求得點。的坐標，過點。作

OGLy軸于點G,此時的最小值是5￡>G的長，據此求解即可.

【詳解】解：???直線y=-；x+2與x軸，y軸分別交于A,2兩點，3（0,2）,A（6,0）,

作點3關于x軸的對稱點B，（0,-2），把點E向右平移3個單位得到C（3,-2）,

作CD,他于點。，交x軸于點R過點8'作3石〃CD交無軸于點E,則四邊形EFCB'是平行四邊形,

此時，BE=B'E=CF,破+七方二叱+力尸二⑺有最小值，作CP_Lx軸于點P,

貝|JCP=2,OP=3,?:/CFP=ZAFD,：.ZFCP=ZFAD,：.tanZFCP=tanZFAD,

PF生絲=22

，:?PF=.則/pOL設直線CD的解析式為丁=履+人,

PCOA26

3k+b=-2

k=3

則U』=。,解得―,???直線8的解析式為m,

13

39

y=3x-llx=—

1;,即。397

聯立，解得；過點。作少軸于點G,

y=--x+2

-3y——

10

3

直線y=_gx+2與X軸的交點為。佶，o],則BQ="Q2+O82="sinZ0Be=-^=4=j,

3）2D（2￡3

2

HG=BHsinNGBH=：BH,：.3BH+5DH=5^BH+DH^=5（HG+DH）=5DG,

393939

即33"+5￡>"的最小值是5DG=5x記=5,故答案為：y.

【點睛】本題考查了一次函數的應用，解直角三角形，利用軸對稱求最短距離，解題的關鍵是靈活運用所

學知識解決問題.

例8.（2024.山東濟南.一模）實踐與探究

【問題情境】（1）①如圖1，RtAABC,IB90?,NA=60。，D,E分別為邊AB,AC上的點，DE//BC,

AJ'）

且BC=2DE,則F=______；②如圖2,將①中的VADE繞點A順時針旋轉30。，則￡>E,3c所在直線較

AB

小夾角的度數為.

【探究實踐】（2）如圖3,矩形ABC。，AB=2,AD=2j3,E為邊AD上的動點，尸為邊BC上的動點，BF=2AE,

連接￡1尸，作BHLEF于H點,,連接CH.當CH的長度最小時，求3”的長.

【拓展應用】（3）如圖4,RtAABC,ZACB=90°,ZCAB=60°,AC=y/3,。為A3中點，連接CO,E,F

分別為線段即，CD上的動點，SLDF=2BE,請直接寫出AF+友的最小值.

3

圖1圖2圖3圖4

【答案】（1）①②30。；（2）2；（3）岳

【分析】（1）①由。E〃3C得出AADEs&XBC,再由相似三角形的性質即可得解;②延長DE交BC于F,

令AB交DE于G,由旋轉的性質結合三角形內角和定理計算即可得出答案；

（2）延長3AFE,相交于點G,連接A”,AC.由矩形的性質可得BC=AD=2^3,證明

△GAEs2BF,由相似三角形的性質得出點A為G3中點，由直角三角形的性質得出AH=J=AB=2,當

A,H,C,三點共線時8取得最小值，證明出△ABH為等邊三角形，即可得解；

（3）分別過點。和8作垂線，兩線相交于點P,連接PE、PF、PA,則NCDP=/P3E=90。，證明

△PBEs#DF,得出NPEB=NPFD,再證明出尸、E、D、P四點共圓，得出/PEE=/尸￡后=30。，

ZPEF=ZPDF=90°,解直角三角形得出尸尸;名回石尸，即可得出AF+其1石尸=4尸+尸尸2AP,最后由

33

勾股定理計算即可得出答案.

【詳解】解：（1）①DE〃3C,.?.△ADES^MC,.?.絲=匹=匹=,，故答案為：

ABBC2DE22

由①可得/O=/ABC=90。，由旋轉的性質可得：ZZMB=30°,

ZAGD=90°-ZDAG=60°,:.ZBGF=ZAGD=60°,ZBFG=90°-ZBGF=30°,

DE,所在直線較小夾角的度數為30。，故答案為：30°；

(2)延長3AFE,相交于點G,連接姐，AC.

???四邊形ABCD是矩形，.〔AE〃班BC=AD=26:.NGAE=NGBF,

GAAEAE1

VZG=ZG,:.AGAESAGBF,：.——=——=——=一，二點A為G3中點，:.BG^2AB=4,

GBBF2AE2

:如工石尸于點.?.在RGB/ZG中，AH=^=AB=2,

?.?在AAHC中，CH>AC-AH,且AC,A”為定值，，當AH,C,三點共線時CH取得最小值，

*.*tanACAB=——=^J3,ACAB—60°,此時△ASH為等邊二角形，/.5"=A6=2.

AB

(3)如圖，分別過點。和5作垂線，兩線相交于點P,連接PE、PF、PA,則NCDP=N/Z石=90。,

/RtAABC,ZACB=90°,ZC4B=60°,AC=6，。為AB中點，

,-.CD=AD=BD=-AB,ZABC=900-ZCAB=30°,AB=2AC=273,

2

.?.△ACD為等邊三角形，，NADC=60。，BD=AD=AC=#,

j2

ZPDB=180°-ZADC-ZCDP=30°,/.PB^-PD,?；PB?+BD。=DP。，：.PB°+(6J=(2PB『，:,PB=1,

?:DF=2BE,"PBESAPDF,:.ZPEB=ZPFD,:.NPED+N產FD=180°,:.P、E、D、/四點共圓，

:.NPFE=NPDB=30°,ZPEF=ZPDF=90°,在RtAP跖中，cosNPbE=cos30°=身=且，

PF2

:.PF=^-EF,AF+^^EF=AF+PF>AP,

33

在RtA4PB中，AP=yjAB2+PB2=^2^+12=A/13,，AF+半跖的最小值為相.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、解直角三角形、圓的性質、勾股定理、等邊三角形的判定

與性質、直角三角形的性質、矩形的性質、旋轉的性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加

適當的輔助線是解此題的關鍵.

例9.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習)如圖，二次函數y=6x2-6jgx+5省的圖象交x軸于4、8兩

點，交y軸于點C,連接3C.(1)直接寫出點8、C的坐標，B；C.

⑵點尸是y軸右側拋物線上的一點，連接尸8、PC.若△P3C的面積156，求點P的坐標.

(3)設E為線段8C上任意一點(不含端點)，連接AE,一動點〃從點A出發，沿線段AE以每秒1個單位

速度運動到E點，再沿線段EC以每秒2個單位的速度運動到C后停止，求點M運動時間的最小值.

【答案】（1）（5,0）,（0,5⑹（2）（2,-3用或卜，-4⑹或（6,5⑹（3）點M的運動時間的最小值為7秒

【分析】（1）根據拋物線計算即可；（2）利用同底等高的三角形面積相等構造與BC平行直線，找到與拋物

線的交點尸；（3）如圖，在x軸上取一點G,連接CG,使得/3CG=30。，作ENJ_CG于N.作AN'LCG

FC1

于N'交BC于E，.由點M的運動時間f=AE+k，EN=-EC,推出點M的運動時間f=AE+EN,根據

22

垂線段最短可知，當A,E,N關系，點N與N'重合，點E與E重合時，點M的運動時間最少.由此即可

解決問題；

【詳解】（1）解：當x=0時，y=5幣,

2

當y=。時，y/3x—6y[3x+5A/3=0,解得：%=1,x2=5,故答案為：（5,0）,（0,

（2）解：設x軸上點。，使得的面積156，.彳瓦＞。。=15有，解得：BD=6,

?■-C（0,5^）,3（5,0）,則可求直線BC解析式為：y=4+50,故點。坐標為（一1,0）或（11,0）,

當D坐標為（-1,0）時，過點。平行于BC的直線/與拋物線交點為滿足條件的P,

則可求得直線/的解析式為：y=-y[3x-^3,

求直線/與拋物線交點得：瓜2一66尤+50=-岳-君，解得：士=2,%=3,

則尸點坐標為（2,-36）或卜,-4指），同理當點D坐標為（11,0）時，直線/的解析式為y=-6x+116，

求直線/與拋物線交點得：石X?-6氐+5/=-&+11石，解得:玉=-1（舍棄），無2=6,

則點尸坐標為伍,5間，綜上滿足條件P點坐標為：（2,-3⑹或。，-4⑹或（6,56）；

(3)解：如圖，在x軸上取一點G,連接CG,使得4CG=30。，作ENLCG于N.作AN」CG于V交

/.OG=60C=15，.二直線CG的解析式為=x+573，

3

FC1

,?,點M的運動時間，=A￡+k，EN=-EC,???點M的運動時間，=AE+￡7V,

22

根據垂線段最短可知，當A,E,N關系，點N與N'重合，點E與E重合時，點M的運動時間最少.

由題意A(1,O),；.AG=14,，4V'=gAG=7,.?.點M的運動時間的最小值為7秒，止匕時E(3,2^).

【點睛】本題為代數幾何綜合題，考查了二次函數圖象性質、一次函數圖象性質及圓的有關性質是解答本

題的關鍵.

習題練模型

1.（2024?山東淄博?校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（。，2）,點C的坐標是（0,-2）,點

8（尤,。）是x軸上的動點，點B在x軸上移動時，始終保持是等邊三角形（點P不在第二象限），連接PC,

求得AP+]PC的最小值為（）

2

A.4百B.4C.2石D.2

【答案】C

【分析】如圖1所示，以OA為邊，向右作等邊△A。。，連接PD,過點。作OELOA于E,先求出點。的

坐標，然后證明△射。烏人物。得到/尸。4=48。4=90。，則點尸在經過點。且與垂直的直線上運動，

當點尸運動到y軸時，如圖2所示，證明此時點尸的坐標為（0,-2）從而求出直線P。的解析式；如圖3

所示，作點A關于直線尸。的對稱點G,連接尸G,過點尸作PPLy軸于R設直線PD與x軸的交點為X,

先求出點H的坐標，然后證明NHCO=30。，從而得到AP+gpC=GP+PF,則當G、P、B三點共線時，

GP+P尸有最小值，即AP+：PC有最小值，再根據軸對稱的性質求出點G在x軸上，則OG即為所求.

【詳解】解：如圖1所示，以。4為邊，向右作等邊連接PD,過點。作于E,

丁點A的坐標為（0,2）,：.OA=OD=2,：.OE=AE=1,:.DE*OD，-OE。=下,.,.點。的坐標為（后1）；

?.,△A2P是等邊三角形，△4。。是等邊三角形，：.AB=AP,ZBAP=60°,AO=AD,ZOAD=60°,

ZBAP+ZPAO=ZDAO+ZBiO,即NBAO=/B4。，AABAO^AB4D（SAS）,AZPDA=ZBOA=90°,

.?.點P在經過點。且與AD垂直的直線上運動，

當點P運動到y軸時，如圖2所示，此時點P與點C重合,

?.?△A3P是等邊三角形，BOLAP,.?.AOPOZ,.?.此時點P的坐標為（0,-2）,

.6k+b=1.k=不

設直線尸。的解析式為丁=履+〃，，，直線尸。的解析式為丁=氐-2；

b=-2b=-2

如圖3所示，作點A關于直線尸。的對稱點G,連接PG,過點尸作尸尸,丁軸于凡連接CG,設直線尸。與

X軸的交點為“，，點H的坐標為［與，。），...tanNOCH=^=?,.?./OC”=30。，PF=；PC,

由軸對稱的性質可知AP=GP,：.AP+^PC=GP+PF,

.?.當G、尸、尸三點共線時，GP+尸尸有最小值，即AP+；PC有最小值，

：A、G兩點關于直線尸。對稱，且/AOC=90。，.?.AO=GQ,即點。為AG的中點，

:點A的坐標為（0,2）,點。的坐標為（G1）,，AG=2AO=2OA=4,

-：AC=4,ZCAG=60°,；.ZkACG是等邊三角形，VOC=OA,：.OG±AC,即點G在無軸上，

由勾股定理得OG=,42_22=2陋，二當點尸運動到H點時，GP+PP有最小值，即AP+gpC有最小值，

最小值即為OG的長，+的最小值為26，故選：C.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的性質與判定，一次函數與幾何綜合，軸

對稱最短路徑問題，解直角三角形等等，正確作出輔助線確定點尸的運動軌跡是解題的關鍵.

2.（2024?四川德陽?二模）如圖，已知拋物線y=Q%2+"+c與x軸交于A（l,0）,。（一3,0）兩點，與y軸交于點

8（。，3）.若尸為y軸上一個動點，連接AP,則fgP+AP的最小值為（）

y

p1\

co\八、

A.&B.2C.2夜D.4

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數的圖象，等腰三角形的判定與性質，勾股定理，垂線段最短等知識，關鍵在

于把求變BP+4P最小值轉化為求PG+”的最小值;連接BC,AP,過點尸作PG，3c于點G,連接AG,

2

過點A作于點X；由B、C的坐標得OB=OC,則有NOBC=45。，從而PG=^BP；于是求

2

受BP+AP最小值轉化為求PG+AP的最小值；利用勾股定理即可求得最小值.

2

【詳解】解：連接BC,AP,過點尸作尸G,3c于點G,連接AG,過點A作AH于點如圖，

：.—BP+AP=PG+AP>AG>AH,.?.交8尸+A尸的最小值為AH的長，

22

,/A(1,O),C(一3,0),\AC=1-(-3)=4,^RuACH^,-.-2ACH45?,AC4,\AH=-AC=2-j2,

2

+的最小值為2忘.故選：C.

3.(2024.山東校考一模)如圖，AB=AC,A(0，A/15),c(1,0),。為射線AO上一點，一動點P從A出

發，運動路徑為A-C,在上的速度為4個單位/秒，在C。上的速度為1個單位/秒，則整個運動時

間最少時，D的坐標為

【分析】如圖，作DH±AB于H,CM1AB于交A。于D,.運動時間，=丁+丁=丁+。，由

AAHD^AAOB,推出^-AD+CD=CD+DH,推出當C,D,〃共線且和CM重合時,

44

運動時間最短.

【詳解】如圖，作于氏四于"，交A。于".

;運動時間，=—+—=——+CD,?：AB=AC,AO.LBC,：.BO=OC=1,

414

A(0,,C(1,0),AB—AC,AO_Z.BC,24g=AC=.(,Qp-=,15+1=4,

,/ZDAH=ZBAO,ZDHA=ZAOB=90°,AAHD^AAOB,

DH=-AD,：.-AD+CD=CD+DH,

ABOB44

.?.當C,D,H共線且和CM重合時，運動時間最短，

:.^BC-AO=^ABCM,CM=半,二AM=dAC。一C”=J4T半］=1,

49

,/AD,=4A/D,,設A/D'=〃z,則AD'=4m,則有：161-m2=~

32f或一需（舍去），?.3=普’

4.（2023?湖南湘西?統考中考真題）如圖，。。是等邊三角形A3C的外接圓，其半徑為4.過點2作BEJ_AC

于點E,點尸為線段8E上一動點（點尸不與8,E重合），則+的最小值為

2

【答案】6

【分析】過點P作尸連接CO并延長交于點R連接A0,根據等邊三角形的性質和圓內接三

角形的性質得到。4=03=4,CF1AB,然后利用含30。角直角三角形的性質得到OE==2,進而求

出3E=30+EO=6,然后利用CP+：3尸=CP+尸。WC歹代入求解即可.

【詳解】如圖所示，過點P作連接CO并延長交于點R連接49

^ABC是等邊三角形，BE1AC：.NABE=ZCBE=|ZABC=30。

:。。是等邊三角形A3C的外接圓，其半徑為4；.04=03=4,CF1AB,

：.ZOBA=ZOAB=30°/.ZOAE=ZOAB=-ABAC=30°

2

1.,BELAC：.OE=-OA=2：.BE=BO+EO=6

2

PD±AB,ZABE=3Q°：.PD=-PB：.CP+-BP=CP+PD<CF

22

+尸的最小值為CF的長度：4鉆。是等邊三角形，BEVAC,CFJ.AB

2

:.CF=BE=6/.CP+\BP的最小值為6.故答案為：6.

2

【點睛】此題考查了圓內接三角形的性質，等邊三角形的性質，含30。角直角三角形的性質等知識，解題的

關鍵是熟練掌握以上知識點.

5.（2023?遼寧錦州?統考中考真題）如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,ZABC=3Q°,AC=4,按下列步

驟作圖：①在AC和A3上分別截取AD、AE,使=②分別以點。和點E為圓心，以大于的

長為半徑作弧，兩弧在—B4C內交于點③作射線40交3C于點?若點尸是線段AF上的一個動點，

連接CP,則CP+^AP的最小值是

【答案】2石

【分析】過點尸作PQ1AB于點°,過點。作81.48于點先利用角平分線和三角形的內角和定理求

出/瓦S=30。，然后利用含30。的直角三角的性質得出PQ=：AP,則CP+gAP=CP+PQ2CH,當C、

P、。三點共線，且與A3垂直時，CP+JAP最小，CP+^AP最小值為CH,利用含30。的直角三角的性質

和勾股定理求出AB,BC,最后利用等面積法求解即可.

【詳解】解：過點尸作于點。，過點C作于點H,

由題意知：AF平分/B4C,VZACB=90°,ZABC=30。，AZBAC=60°,

：.ZBAF=-ABAC=30°,APQ=-AP,：.CP+-AP=CP+PQ>CH,

222

...當C、P、。三點共線，且與AB垂直時，CP+^AP最小，CP+g”最小值為S,

VZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,：.AB=2AC=8,：.BC^AB1-AC2=4A/3-

即CP+；A尸最小值為2石.故答案為：20.

【點睛】本題考查了尺規作圖-作角平分線，含30。的直角三角形的性質，勾股定理等知識，注意掌握利用

等積法求三角形的高或點的線的距離的方法.

6.(2022?湖北武漢?九年級期末)如圖，回A3CD中NA=60。，AB=6,AD=2,P為邊CO上一點，貝I

6PD+2PB的最小值為.

【答案】6A/3

【分析】作尸以，交AD的延長線于由直角三角形的性質可得用三正。P,因止匕班PQ+2PB=2(3

22

DP+PB)=2(PH+PB),當H、P、B三點共線時HP+PB有最小值，即十2PB有最小值，即可求解.

【詳解】如圖，過點尸作尸以LAD,交AD的延長線于

四邊形ABCD是平行四邊形，AB//CD,：.ZA=NPDH=60°

,/PH1.AD：.NDPH=3。°：.DH=-PD,PH=^>DH=-PD,

22

/.mPD+2PB=2(4PD+PB)=2(PH+PB)

當點點P,點B三點共線時，HP+PB有最小值，即6尸。+2依有最小值，

此時BH±AH,ZABH=30°,ZA=60。，：.AH=^AB=3,BH=CAH=36

則&PD+2PB最小值為66，故答案為：673.

【點睛】本題考查了胡不歸問題，平行四邊形的性質，直角三角形的性質，垂線段最短等知識.構造直角

三角形是解題的關鍵.

7.(2023?江蘇宿遷?統考二模)已知AABC中，BC=6cm,ZA=60°,則AB二1■AC的最大值為

2

【答案】6夜

【分析】過點C作CDLAS,垂足為D,取DE=AD,即可說明VADE是等腰直角三角形，求出ZACD=30°,

進一步求出CE=也匚AC,繼而將AB+叵4AC轉化為BD+CD,推出點。在以BC為直徑的圓上，從而

22

可知當△BCD為等腰直角二角形時，BD+CD最大,再求解即可.

【詳解】解：如圖，過點C作CDLAB,垂足為D,^DE=AD,

VADE是等腰直角三角形，二NZME=NDEA=45。，

VZA=60°,/.ZCAE=15°,：.ZACD=ZAED-ZCAE=30°,：.AD=-AC=DE,

2

22

CD=y/AC-AD=—AC,CE=CD-DE=—AC--AC=^^-ACf

2222

/3_i

AB+-x——AC=AB+CE=AD+BD-^CE=DE+BD+CE=BD+CD,

2

2222

V(BD+CD)=BD+CD+2BDxCD=BC+4SABCD=36+4SABCD,而8C一定，

...當△BCD的面積最大時，BD+CD最大，：/或心=90。，...點。在以BC為直徑的圓上，

當。平分BC時，點。到3C的距離最大，即高最大，則面積最大，

此時BD=CD,則△BCD為等腰直角三角形，8。+8=2m=2*1^=6右，故答案為：6金.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，含30度的直角三角形的性質，圓周角定理,

解題的關鍵是添加輔助線，將最值轉化為3D+CD的長.

8.(2023?陜西西安?校考二模)如圖，在MAABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AB=8,D、尸分別是邊A8、

3c上的動點，連接CD,過點A作AE±CD交BC于點E,垂足為G,連接GF,則GF+^FB的最小值為

2

A

【答案】3"2

【分析】“胡不歸模型”，以2/為斜邊構造含30。角的直角三角形，結合/2=30。，即把R3A2C補成等邊

△ABP,過F作3尸的垂線切，根據垂線段最短得，當G、F、H成一直線時，最短，又根據直角

所對的弦是直徑，可得點G在以AC為直徑的圓上，取AC的中點O,連接OG,過點。作0Q_L2P于點Q,

據此解題.

【詳解】解：如圖，延長AC到點尸，使CP=AC,連接BP,

過點尸作以尸于點X,取AC的中點O,連接。G,過點。作于點。，

,/ZACB=90°,/ABC=30。，AB=8,；.AC=CP=4,AP=8,BP=AB=8,是等邊三角形，.?./FBH=30。，

在RtAFHB中，FH=-FB,.,.當G、F、”在同一直線上時，GF+-FB=GF+FH,

22

,JAELCD,：.ZAGC=9Q°,為AC的中點，：.OA=OC=OG=-AC,

2

AA,C、G三點共圓，圓心為。，即點G在。。上運動，.?.當點G運動到。。上時，GF+尸H取得最小值,

?.?在RtAOP。中，ZP=60°,OP=6,sinP=^=立，

OP2

：.0Q=昱0P=36，的最小值為3g-2,即的最小值為3指-2,故答案為：373-2.

22

【點睛】本題考查含30。直角三角形性質，特殊角的三角函數值，垂直平分線性質，點到直線距離，圓周角

定理，最短路徑，解題關鍵是找到點G運動到什么位置時，GH最小，聯想到找出點G運動路徑再計算.

9.(2023