第一部分考點梳理第二章方程組與不等式組第6課時一元二次方程及其應用知識點1一元二次方程的定義只含有

未知數，并且

?

，這樣的

?

方程就是一元二次方程.一元二次方程的一般表達式為

?

，其中

?是

二次項，

?叫做二次項系

數；

是一次項，

?叫做一次

項系數；

是常數項.一個

未

知數的最高次數是2

整式

ax2

＋bx＋c＝0（a≠0）ax2

a

bx

b

c

知識點2一元二次方程的解法直接

開平方

法適合于（x＋a）2＝b（b≥0）或（ax＋b）2＝（cx＋d）2形式的

方程因式分解

法基

本思

想把方程化成ab＝0的形式，

得a＝0或b＝0因式分解

法方

法規

律常用的方法主要是提公因式

法，運用平方差公式、完全

平方公式等分解因式公式

法求

根公

式一元二次方程ax2＋bx＋c＝

0（a≠0），當b2－4ac≥0時，x＝

?一

般步

驟（1）將方程化成ax2＋bx＋

c＝0（a≠0）的形式；（2）確定a，b，c的值；（3）①若b2－4ac

0，

則代入求根公式，得x1，x2；②若b2－4ac

0，則方

程無實數根

≥

＜配

方

法基

本思

想通過配成完全平方的形式解一元二

次方程一

般步

驟（1）化二次項系數為1；（2）把常數項移到方程的另一邊；（3）在方程兩邊同時加上一次項

系數一半的平方；（4）把方程整理成（x＋a）2＝b

的形式；（5）當b

?時，運用直接開平

方法解方程；當b＜0時，無解≥0

知識點3一元二次方程根的判別式當b2－4ac

0時，方程有兩個

不相等的實數根；當b2－4ac

0時，方程有兩個

相等的實數根；當b2－4ac

0時，方程沒有實

數根.＞＝＜

知識點5一元二次方程的實際應用平均

增長率

（下降率）

問題（1）增長率＝

×100％；（2）設a為原來量，x為平均

增長（下降）率，n為增長（下

降）次數，b為增長（下降）后

的量，則a（1±x）n＝b面

積

問

題（1）如圖1，矩形ABCD的長為

a，寬為b，空白部分的寬為x，則

陰影部分的面積為（a－2x）（b

－2x）；

（2）如圖2，矩形ABCD的長為

a，寬為b，陰影部分的寬為x，則

空白部分的面積為（a－x）（b－

x）；面

積

問

題（3）如圖3，矩形ABCD的長為

a，寬為b，陰影部分的寬為x，則

空白部分的面積為（a－x）（b－

x）利潤

問題利潤＝售價－成本；總利潤＝單件利潤×銷量；利潤率＝

×100％握

手、

單循環賽問題握手、單循環賽總次數為

（n為人數或隊伍數）；送禮物總份數為n（n－1）（n

為人數）名師指津1.

二次項系數、一次項系數及常數項都

是方程在一般形式下定義的，所以求一

元二次方程的各項系數時，必須先將方

程化為一般形式.2.

關于解方程，要依據一元二次方程的

結構特點，靈活選用“因式分解法、配方

法、公式法”幾種方法.對于一元二次方

程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.

（1）若b＝0，直接開平方；若c＝0，采用因式分解法；（2）當b，c都不為0時，一般遵循“先

分解因式→后配方法→再公式法”的順

序，具體來說：①如果能在有理數范圍內分解因式，用

因式分解法計算量小；②當方程的一次項系數為偶數，且常

數項的絕對值很大時，可以考慮用配

方法；③如果不能在有理數范圍內分解因式，

且方程的一次項系數為奇數時，配方法

可能計算量較大，此時宜選用公式法來

解，而公式法是萬能法.3.

運用根的判別式及根與系數的關系

（韋達定理）解題時，特別注意一元二

次方程ax2＋bx＋c＝0的隱含條件a≠0.考點一

一元二次方程的相關概念例1（1）若關于x的一元二次方程

（m－3）x2＋x＋m2－9＝0的常數項等

于0，則m的值為（

C

）A.

0B.

3C.

－3D.

－3或3（2）若一元二次方程x2－2x－5＝0的

一個解為a，則a（2a－3）＋a（1－a）的值為

?.C5

考點二

一元二次方程的解法例2

（1）（2024·貴州）一元二次方

程x2－2x＝0的解是（

B

）A.

x1＝3，x2＝1B.

x1＝2，x2＝0C.

x1＝3，x2＝－2D.

x1＝－2，x2＝－1B（2）解下列一元二次方程：①2（x－3）2－18＝0；

[答案]

解：整理，得（x－3）2＝9，開方，得x－3＝±3，解得x1＝6，x2＝

0.②x2＋2x－3＝0；解：整理，得x2＋2x＝3，配方，得（x＋1）2＝4，∴x＋1＝

±2，解得x1＝－3，x2＝1.③2x（x－2）＝1；

解：整理，得2x2－4x－1＝0，∴Δ＝（－4）2－4×2×（－1）＝24

＞0，

④4x（x－2）＝2（2－x）.解：移項，得4x（x－2）＋2（x－2）＝0，合并同類項，得（4x＋2）（x－2）＝0，∴4x＋2＝0或x－2＝0，

考點三

一元二次方程根的判別式及

根與系數的關系例3

（1）（2024·上海）以下一元二次

方程有兩個相等實數根的是（

D

）A.

x2－6x＝0B.

x2－9＝0C.

x2－6x＋6＝0D.

x2－6x＋9＝0D（2）（2024·西附）關于x的一元二次方

程x2＋2mx＋m2＝0的根的情況為（

C

）A.

有兩個不相等的實數根B.

沒有實數根C.

有兩個相等的實數根D.

無法確定C（3）關于x的一元二次方程（m－2）

x2＋4x＋2＝0有兩個實數根，則m的取

值范圍是（

D

）A.

m≤4B.

m≥4C.

m≥－4且m≠2D.

m≤4且m≠2D

－2024

考點四

一元二次方程的應用例4

（1）一份攝影作品[七寸照片（長7英寸，寬5英寸）]，現將照片貼在一張矩形襯紙的正中央，照片四周外露襯紙的寬度相同；矩形襯紙的面積為照片面積的2倍.設照片四

周外露襯紙的寬度為x英寸（如圖），下面所列方程正確的是（

D

）DA.

2（7＋x）（5＋x）＝7×5B.

（7＋x）（5＋x）＝2×7×5C.

2（7＋2x）（5＋2x）＝7×5D.

（7＋2x）（5＋2x）＝2×7×5（2）某大型果品批發商場經銷一種高檔

堅果，原價每千克64元，連續兩次降價

后每千克49元.①若每次下降的百分率相同，求每次下

降的百分率；[答案]

解：①設每次下降的百分率為

a，根據題意，得64（1－a）2＝49，解得a1＝1.875（舍去），a2＝0.125＝

12.5％.答：每次下降的百分率為12.5％.②若該堅果每千克盈利10元，每天可售

出500千克.經市場調查發現，在進貨價

不變的情況下，商場決定采取適當的漲

價措施，若每千克漲價1元，日銷售量將

減少40千克.現該商場要保證銷售該堅果

每天盈利4500元，那么每千克應漲價多

少元？[答案]

解：②設每千克應漲價x元，由題意，得（10＋x）（500－40x）＝4500，整理，得2x2－5x－25＝0，解得x1＝5，x2＝－2.5（舍去）.答：該商場要保證銷售該堅果每天盈利

4500元，那么每千克應漲價5元.1.

下列是一元二次方程的是（

C

）A.

2x＋1＝0B.

x＋y＝5C.

x2＋3x＋2＝0D.

x＋

＝2C2.

（2024·綏化）小影與小冬一起寫作

業，在解一道一元二次方程時，小影在

化簡過程中寫錯了常數項，因而得到方

程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中

寫錯了一次項的系數，因而得到方程的

兩個根是－2和－5.則原來的方程是

（

B

）A.

x2＋6x＋5＝0B.

x2－7x＋10＝0C.

x2－5x＋2＝0D.

x2－6x－10＝0B3.

若關于x的一元二次方程（m－1）x2