2025年中考數學一輪復習學案（全國版）

第五章圓

5.1圓的有關概念和性質

考點分布考查頻率命題趨勢

考點1圓的有關概念及性質☆數學中考中，有關圓的概念與性質部分，每年考

查道題分值為分，通常以選擇題、填

考點2垂徑定理及其計算☆☆1~2,3~6

空題的形式考查。對于這部分的復習需要學生熟

練掌握圓的概念和性質、垂徑定理、圓周角定理

考點3圓周角定理及圓內接

☆☆☆

及圓內接多邊形。特別是圓周角定律及圓內接多

多邊形

邊形是每年都涉及。

☆☆☆代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。

夯實基礎

考點1.圓的有關概念及性質

（一）圓的定義和性質

1.圓的旋轉定義：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的

圖形叫做圓．以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”.

2.圓的集合定義：圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．

3.圓心與半徑：固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑，一般用r表示．

4.圓的對稱性：

（1）圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；

（2）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。

【注意】（1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；

（2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；

（3）半徑相等的圓叫做等圓。

（二）與圓有關的概念

1.弦的概念：連結圓上任意兩點的線段叫做弦(如圖中的AC)。

2.直徑的概念：經過圓心的弦叫做直徑（如圖中的AB）。

【注意1】（1）直徑是同一圓中最長的弦。（2）直徑長度等于半徑長度的2倍。

3.弧的概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點的弧記作，讀作“圓

弧AB”或“弧AB”．

4.等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

5.半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

6.優弧的概念：在一個圓中大于半圓的弧叫做優弧。如圖中的；

7.劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧。如圖中的。

8.圓的周長公式：c＝2πr．

9.圓的面積公式：S＝πr2

【注意2】對圓的認識需要注意的幾個問題

（1）在一個圓中可以畫出無數條弦和直徑．

（2）直徑是弦，但弦不一定是直徑．

（3）在同一個圓中，直徑是最長的弦．

（4）半圓是弧，但弧不一定是半圓．弧有長度和度數，規定半圓的度數為180°，劣弧的度數小于

180°，優弧的度數大于180°．

（5）在同圓或等圓中能夠互相重合的弧是等弧，度數或長度相等的弧不一定是等弧．

考點2.垂徑定理及其計算

1.垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.

C

·O

AEB

D

∵CD是直徑，CD⊥AB，

∴AE=BE,

【溫馨提示】垂徑定理是圓中一個重要的定理,三種語言要相互轉化,形成整體,才能運用自如.

2.垂徑定理的推論：

推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；

2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；

3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

3.涉及垂徑定理時輔助線的添加方法

在圓中有關弦長a,半徑r,弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h的計算題時，常常通過連半徑或

作弦心距構造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.

4.垂徑定理的應用

解決應用垂徑定理的圓問題，基本思路就是利用勾股定理構造方程。

考點3.圓周角定理及圓內接多邊形

（一）弧、弦、圓心角的關系問題

1.圓心角的定義

（1）頂點在圓心的角,叫圓心角，如∠AOB.

（2）圓心角∠AOB所對的弧為

（3）圓心角∠AOB所對的弦為AB.

注意：對于任意給定一個圓心角，都對應出現三個量：即圓心角、弧、弦。

2.圓心角、弧、弦之間的關系

定理：在同圓或等圓中，如果圓心角相等，那么圓心角所對的弧相等，圓心角所對的弦相等。

推論：（1）在同圓或等圓中，如果弧相等，那么弧所對的圓心角相等，弧所對的弦相等。

（2）在同圓或等圓中，如果弦相等，那么弦所對應的圓心角相等，弦所對應的優弧相等，弦所對應

的劣弧相等。

（二）圓周角定理

1.圓周角的定義

頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

2.圓周角定理及其推論

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．

如圖，連接BO,CO,得圓心角∠BOC.試猜想∠BAC與∠BOC存在怎樣的數量關系.

1

BACBOC

2

圓周角定理推論：（1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等．

（2）直徑所對的圓周角是直角．

3.圓周角與圓心角的關系中圓心的位置存在的情形

（1）圓心O在∠BAC的一邊上（如圖甲）

（2）圓心O在∠BAC的內部（如圖乙）

（3）圓心O在∠BAC的外部（如圖丙）

甲乙丙

4.圓周角和直徑的關系

半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于90°.

【方法總結】在圓中，如果有直徑，一般要找直徑所對的圓周角，構造直角三角形解題．

（三）圓內接四邊形

如果一個多邊形所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的

外接圓.

推論1：圓的內接四邊形的對角互補.

推論2：圓的內接四邊形的任何一個外角都等于它的內對角.

注意：圓內接四邊形的性質是溝通角相等關系的重要依據．

【易錯點提示】

考點1.圓的有關概念及性質

【例題1】（原創）下列對圓的說法中，錯誤的是（）

A．半圓是弧B．半徑相等的圓是等圓

C．過圓心的線段是直徑D．直徑是弦

【答案】C

【解析】根據圓的有關概念進行判斷

A．半圓是弧，所以A選項的說法正確；

B．半徑相等的圓是等圓，所以B選項的說法正確；

C．過圓心的弦為直徑，所以C選項的說法錯誤；

D．直徑是弦，所以D選項的說法正確．故選C．

【變式練1】（2024湖南一模）下列命題中正確的有()

①弦是圓上任意兩點之間的部分；②半徑是弦；③直徑是最長的弦；④弧是半圓，半圓是弧

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】A

【解析】①弦是圓上任意兩點之間的連線段，所以①錯誤；

②半徑不是弦，所以②錯誤；

③直徑是最長的弦，正確；

④弧是半圓，只有180°的弧才是半圓，所以④錯誤．

【變式練2】（2024福建一模）已知AB是半徑為5的圓的一條弦，則AB的長不可能是（）

A．4B．8C．10D．12

【答案】D

【解析】根據圓中最長的弦為直徑求解．因為圓中最長的弦為直徑，直徑為10，所以弦長L≤10．

考點2.垂徑定理及其計算

【例題2】（2024江西省）如圖，AB是O的直徑，AB2，點C在線段AB上運動，過點C的

弦DEAB，將DBE沿DE翻折交直線AB于點F，當DE的長為正整數時，線段FB的長為______．

【答案】23或23或2

【解析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，折疊的性質，根據DEAB，可得DE1或2，利用勾

股定理進行解答即可，進行分類討論是解題的關鍵．

【詳解】AB為直徑，DE為弦，

DEAB，

當DE的長為正整數時，DE1或2，

當DE2時，即DE為直徑，

∵DE⊥AB

將DBE沿DE翻折交直線AB于點F，此時F與點A重合，

故FB2；

當DE1時，且在點C在線段OB之間，

如圖，連接OD，

1

此時ODAB1，

2

∵DE⊥AB，

11

DCDE，

22

3

OCOD2DC2，

2

23

BCOBOC，

2

BF2BC23；

當DE1時，且點C在線段OA之間，連接OD，

23

同理可得BC，

2

BF2BC23，

綜上，可得線段FB的長為23或23或2．

【變式練1】（2024西藏一模）在O中，直徑AB＝15，弦DE⊥AB于點C．若OC：OB＝3：5，則

DE的長為（）

A．6B．9C．12D．15

【答案】C

【解析】根據題意畫出圖形，然后利用垂徑定理和勾股定理解答即可．

如圖所示：∵直徑AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，

∵DE⊥AB，∴DC＝DO2OC27.524.52＝6，∴DE＝2DC＝12．

【變式練2】（2024山西一模）為了測量一個鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽內，測得的有關數據

如圖所示（單位：cm），則該鐵球的直徑為（）

A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm

【答案】B

【解析】連接AB、CO交于點D，

由題意得，OC⊥AB，

則AD＝DB＝AB＝4，

設圓的半徑為Rcm，則OD＝（R﹣2）cm，

在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，

解得，R＝5，

則該鐵球的直徑為10cm．

【提示】垂徑定理內容是垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.

考點3.圓周角定理及圓內接多邊形

【例題3】（2024甘肅臨夏）如圖，AB是O的直徑，E35，則BOD（）

A.80B.100C.120D.110

【答案】D

【解析】本題考查圓周角定理，關鍵是由圓周角定理推出AOD2E．

由圓周角定理得到AOD2E70，由鄰補角的性質求出BOD18070110°．

E35，

AOD2E70，

BOD18070110．故選：D．

【變式練1】（2024甘肅一模）如圖，△ABC內接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠ACD＝40°，則

∠B=（）

A.70°B.60°C.50°D.40°

【答案】C

【解析】由CD是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，得出∠CAD＝90°，根據直角三角形

兩銳角互余得到∠ACD與∠D互余，即可求得∠D的度數，繼而求得∠B的度數．

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠CAD＝90°，

∴∠ACD+∠D＝90°，

∵∠ACD＝40°，

∴∠ADC＝∠B＝50°．故選：C．

【點睛】本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質，注意掌握數形結合思想是解題的關鍵．

【變式練2】（2024安徽一模）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，點P為邊AD上任意一點（點P不與

點A，D重合）連接CP．若∠B＝120°，則∠APC的度數可能為（）

A．30°B．45°C．50°D．65°

【答案】D

【解析】由圓內接四邊形的性質得∠D度數為60°，再由∠APC為△PCD的外角求解．

∵四邊形ABCD內接于⊙O，

∴∠B+∠D＝180°，

∵∠B＝120°，

∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，

∵∠APC為△PCD的外角，

∴∠APC＞∠D，只有D滿足題意．

考點1.圓的有關概念及性質

1．（2024內蒙古包頭）已知O中最長的弦為12厘米，則此圓半徑為厘米．

【答案】6

【解析】O中最長的弦為12厘米，

O的直徑為12厘米，

O的半徑為6厘米．

2．（2024云南）下列判斷正確的個數有（）

①直徑是圓中最大的弦；

②長度相等的兩條弧一定是等弧；

③半徑相等的兩個圓是等圓；

④弧分優弧和劣弧；

⑤同一條弦所對的兩條弧一定是等弧．

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】B

【解析】①直徑是圓中最大的弦；故①正確，

②同圓或等圓中長度相等的兩條弧一定是等弧；故②不正確

③半徑相等的兩個圓是等圓；故③正確

④弧分優弧、劣弧和半圓，故④不正確

⑤同一條弦所對的兩條弧可位于弦的兩側，故不一定相等，則⑤不正確．

綜上所述，正確的有①③故選B

考點2.垂徑定理及其計算

1.（2024內蒙古赤峰）如圖，AD是O的直徑，AB是O的弦，半徑OCAB，連接CD，交

OB于點E，BOC42，則OED的度數是（）

A.61B.63C.65D.67

【答案】B

【解析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及三角形的外角性質．先根據垂徑定理，求得

1

AOCBOC42，利用圓周角定理求得DAOC21，再利用三角形的外角性質即

2

可求解．

∵半徑OCAB，

∴ACBC，

∴AOCBOC42，AOB84，

∵，

ACAC

1

∴DAOC21，

2

∴OEDAOBD63，故選：B．

2.（2024四川涼山）數學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決

方案是：在工件圓弧上任取兩點A,B，連接AB，作AB的垂直平分線CD交AB于點D，交AB于

點C，測出AB40cm,CD10cm，則圓形工件的半徑為（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】C

【解析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識．由垂徑定理，可得出BD的長；設圓心為O，連接OB，

在Rt△OBD中，可用半徑OB表示出OD的長，進而可根據勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得

出輪子的直徑長．

【詳解】∵CD是線段AB的垂直平分線，

∴直線CD經過圓心，設圓心為O，連接OB．

1

Rt△OBD中，BDAB20cm，

2

根據勾股定理得：

OD2BD2OB2，即：

2

OB10202OB2，

解得：OB25；

故輪子的半徑為25cm，故選：C．

考點3.圓周角定理及圓內接多邊形

1.（2024湖南省）如圖，AB，AC為O的兩條弦，連接OB，OC，若A45，則BOC

的度數為（）

A.60B.75C.90D.135

【答案】C

【解析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的

1

一半是解題的關鍵．根據圓周角定理可知ABOC，即可得到答案．

2

【詳解】根據題意，圓周角A和圓心角BOC同對著BC，

1

ABOC，

2

A45，

BOC2A24590．故選：C．

2.（2024甘肅威武）如圖，點A，B，C在O上，ACOB，垂足為D，若A35，則C的

度數是（）

A.20B.25C.30D.35

【答案】A

【解析】根據A35得到O70，根據ACOB得到CDO90，根據直角三角形的兩

個銳角互余，計算即可．

本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質，熟練掌握圓周角定理，直角三角形的性質是解題的關鍵．

【詳解】∵A35，

∴O70，

∵ACOB，

∴CDO90，

∴C90O20．故選A．

3.（2024四川廣元）如圖，已知四邊形ABCD是O的內接四邊形，E為AD延長線上一點，

AOC128，則CDE等于（）

A.64B.60C.54D.52

【答案】A

【解析】本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．根據同

弧所對的圓心角等于圓周角的2倍可求得ABC的度數，再根據圓內接四邊形對角互補，可推出

CDEABC，即可得到答案．

【詳解】ABC是圓周角，與圓心角AOC對相同的弧，且AOC128，

11

ABCAOC12864，

22

又四邊形ABCD是O的內接四邊形，

ABCADC180，

又CDEADC180，

CDEABC64，故選：A．

4.（2024吉林省）如圖，四邊形ABCD內接于O，過點B作BE∥AD，交CD于點E．若

BEC50，則ABC的度數是（）

A.50B.100C.130D.150

【答案】C

【解析】本題考查了平行線的性質，圓的內接四邊形的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．

先根據BE∥AD得到DBEC50，再由四邊形ABCD內接于O得到

ABCD180，即可求解．

【詳解】∵BE∥AD，BEC50，

∴DBEC50，

∵四邊形ABCD內接于O，

∴ABCD180，

∴ABC18050130,故選：C．

5.（2024武漢市）如圖，四邊形ABCD內接于O，ABC60，BACCAD45，

ABAD2，則O的半徑是（）

62232

A.B.C.D.

3322

【答案】A

【解析】延長AB至點E，使BEAD，連接BD，連接CO并延長交O于點F，連接AF，即

可證得ADC≌EBCSAS，進而可求得ACcos45AE2，再利用圓周角定理得到

AFC60，結合三角函數即可求解．

【詳解】延長AB至點E，使BEAD，連接BD，連接CO并延長交O于點F，連接AF，

∵四邊形ABCD內接于O，

∴ADCABCABCCBE180

∴ADCCBE

∵BACCAD45

∴CBDCDB45，DAB90

∴BD是O的直徑，

∴DCB90

∴△DCB是等腰直角三角形，

∴DCBC

∵BEAD

∴ADC≌EBCSAS

∴ACDECB，ACCE,

∵ABAD2

∴ABBEAE2

又∵DCB90

∴ACE90

∴△ACE是等腰直角三角形

∴ACcos45AE2

∵ABC60

∴AFC60

∵FAC90

AC26

∴CF

sin603

16

∴OFOCCF故選：A．

23

【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，圓周角定理，銳角三角函數、等腰三角形的性質與判

定等知識點，熟練掌握圓周角定理以及全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．

6.（2024江蘇連云港）如圖，AB是圓的直徑，1、2、3、4的頂點均在AB上方的圓弧

上，1、4的一邊分別經過點A、B，則1234__________．

【答案】90

【解析】本題考查圓周角定理，根據半圓的度數為180，同弧所對的圓周角是圓心角的一半，進行

求解即可．

∵AB是圓的直徑，

∴AB所對的弧是半圓，所對圓心角的度數為180，

∵1、2、3、4所對的弧的和為半圓，

1

∴123418090．

2

考點1.圓的有關概念及性質

1．如圖，AB是O的直徑，，∠COB＝40°，則∠A的度數是（）

⊙

A．50°B．55°C．60°D．65°

【答案】B

【解析】∵AB是O的直徑，，∠COB＝40°，

∴∠AOD＝∠DO⊙C，

∴，

∵OA＝OD，

∴．故選：B．

考點2.垂徑定理及其計算

1.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，CD＝2OE，則∠BCD的度數為（）

A．15°B．22.5°C．30°D．45°

【答案】B

【解析】由垂徑定理知，點E是CD的中點，有CD＝2ED＝2CE，可得DE＝OE，則∠DOE＝∠ODE＝45°，

利用圓周角定理即可求解．

∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，

∴CD＝2ED＝2CE，

∵CD＝2OE，

∴DE＝OE，

∵CD⊥AB，

∴∠DOE＝∠ODE＝45°，

∴∠BCD＝∠DOE＝22.5°．

2．如圖，弦AB⊥OC，垂足為點C，連接OA，若OC＝4，AB＝6，則sinA等于（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解答】∵弦AB⊥OC，AB＝4，OC＝2，

∴AC＝AB＝3，

∴OA＝＝＝5，

∴sinA＝＝．故選：C．

3.趙州橋是當今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，

跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（）

A．20mB．28mC．35mD．40m

【答案】B

【解析】由題意可知，AB＝37m，CD＝7m，

設主橋拱半徑為Rm，

∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，

∵OC是半徑，OC⊥AB，

∴AD＝BD＝AB＝（m），

在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，

∴（）2+（R﹣7）2＝R2，

解得R＝≈28．故選：B．

4.如圖，A、B、C是O上的點，OCAB，垂足為點D，且D為OC的中點，若OA7，則

BC的長為___________．

【答案】7

【解析】根據垂徑定理可得OC垂直平分AB，根據題意可得AB平方OC，可得四邊形AOBC是

菱形，進而根據菱形的性質即可求解．

如圖，連接OB,CA，

A、B、C是O上的點，OCAB，

ADDB，

D為OC的中點，

ODDC，

四邊形AOBC是菱形，OA7，

BCAO7．

【點睛】本題考查了垂徑定理，菱形的性質與判定，掌握垂徑定理是解題的關鍵．

5．如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當餐盤正立且緊靠支架

于點A，D時，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑等于cm．

【答案】10．

【解析】由題意得：BC＝16cm，CD＝4cm，

如圖，連接OA，過點O作OE⊥BC，交BC于點E，交AD于點F，

則∠OEC＝90°，

∵餐盤與BC邊相切，

∴點E為切點，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，

∴四邊形CDFE是矩形，OE⊥AD，

∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），

設餐盤的半徑為xcm，

則OA＝OE＝xcm，

∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，

在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，

即82+（x﹣4）2＝x2，

解得：x＝10，

∴餐盤的半徑為10cm，

考點3.圓周角定理及圓內接多邊形

1.如圖，點A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，則∠BOC的度數為（）

A．27°B．108°C．116°D．128°

【答案】B

【解析】∵∠A＝54°，

∴∠BOC＝2∠A＝108°．

【提示】圓周角定理內容是：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．

2.如圖，點A，B，C是⊙O上的三點．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，則∠AOB的大小為（）

A．25°B．30°C．35°D．40°

【答案】B

【解析】由圓周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，繼而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．

∵∠BAC與∠BOC所對弧為，

由圓周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，

又∠AOC＝90°，

∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．

3.如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦AC的長為5cm，點D在圓上且∠ADC＝30°，則⊙O的半徑為cm．

【答案】5．

【解析】連接OC，證明△AOC是等邊三角形，可得結論．

如圖，連接OC．

∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，

∴∠AOC＝60°，

∵OA＝OC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴OA＝AC＝5（cm），

∴⊙O的半徑為5cm．

4.如圖，AB是O的直徑，弦CD交AB于點E，連接AC，AD．若BAC28，則D______°

【答案】62

【解析】連接BD，根據直徑所對的圓周角是90°，可得ADB90，由CBCB，可得

BACBDC，進而可得ADC90BDC．

【詳解】連接BD，

∵AB是O的直徑，

∴ADB90，

CBCB，

BACBDC28，

ADC90BDC62

【點睛】考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，掌握圓周角定理是解題的關鍵．

4

5.如圖，⊙O的直徑AB經過弦CD的中點H，若cos∠CDB＝，BD＝5，則⊙O的半徑為_______．

5

25

【答案】

3

【解析】【分析】先由垂徑定理求得BC=BD=5，再由直徑所對圓周角是直角∠ACB=90°，由余弦定

3BC53

義可推出sinA=,即可求得sinA=,然后由圓周角定理得∠A=∠D，，即可得，即可求

5ABAB5

解．

【詳解】解：連接AC，如圖，

∵⊙O的直徑AB經過弦CD的中點H，

∴CH=DH，AB⊥CD，

∴BC=BD=5，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

BC

∴sinA=,

AB

∵∠A=∠D，

4

∴cosA=cosD=,

5

3

∴sinA=sinD=

5

53

∴，

AB5

25

∴AB=

3

【點睛】考查解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理的推論，求得∠ACB=90°、∠A=∠D是解題關鍵．

6．如圖所示，AB是O的直徑，C、D、E是O上的點，若，∠E＝70°，則∠ABC的度

數（）⊙⊙

A．30°B．40°C．50°D．60°

【答案】B

【解析】連接DB，

∵∠E＝70°，

∴∠A＝70°，

∵AB是O的直徑，

∴∠ADB⊙＝90°，

∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，

∵，

∴∠DBC＝∠DBA＝20°，

∴∠ABC＝∠DBC+∠DBA＝20°+20°＝40°．故選：B．

7.如圖，四邊形ABCD內接于O，E為BC延長線上一點．若∠DCE＝65°，則∠BOD的度數

是（）⊙

A．65°B．115°C．130°D．140°

【答案】C

【解析】∵∠DCE＝65°，

∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，

∵四邊形ABCD內接于O，

∴∠BAD+∠DCB＝180°⊙，

∴∠BAD＝65°，

∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，故選：C．

8．如圖，AB是O的直徑，弦CD交AB于點E，連接AC，AD．若∠D＝62°，則∠BAC＝．

⊙

【答案】28°．

【解析】連接BC，

∵AB是O的直徑，

∴∠ACB⊙＝90°，

∵∠D＝62°，

∴∠B＝∠D＝62°，

∴∠BAC＝90°﹣∠B＝28°

9.如圖，在⊙O