2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國(guó)版）

第五章圓

5.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系☆☆與圓有關(guān)的位置關(guān)系部分，每年考查1道題,

分值為分，常以選擇題、解答題的形式

考點(diǎn)2切線的性質(zhì)與判定☆☆☆3~10

考查，切線性質(zhì)與判斷以解答題形式出現(xiàn)是常

態(tài)是中考重點(diǎn)也是難點(diǎn)，需要掌握相關(guān)概念及

考點(diǎn)3三角形的外接圓與內(nèi)切圓☆,

其性質(zhì)的應(yīng)用，多訓(xùn)練多總結(jié)解題規(guī)律方法。

☆☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。

夯實(shí)基礎(chǔ)

考點(diǎn)1.點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系

（一）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

P

d

dPd

rrPr

設(shè)已知圓的半徑為r,點(diǎn)p到圓心的距離為d．則

(1)d<r?點(diǎn)p在⊙O內(nèi)；

(2)d=r?點(diǎn)p在⊙O上；

(3)d>r?點(diǎn)p在⊙O外．

【方法總結(jié)】判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可．解決這類問題體現(xiàn)了

數(shù)形結(jié)合的思想。

【拓展】反證法的定義：先____命題的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過_____得出矛盾(常與公理、定理、

定義或已知條件相矛盾)，由矛盾判定假設(shè)______，從而得到原命題成立，這種方法叫做反證法．

（二）直線與圓的位置關(guān)系

1.用定義判斷直線與圓的位置關(guān)系

(1)相離、相切、相交

（2）圓的切線定義：直線和圓有唯一的_____時(shí)，這條直線叫做圓的切線（如圖直線l），這個(gè)唯一

的_____叫做切點(diǎn)（如圖點(diǎn)A）.

O

Al

2.用數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系

用圓心O到直線的距離d與圓的半徑r的關(guān)系來區(qū)分

r

rrd

∟

dd∟

（1）直線和圓相交，dr

（2）直線和圓相切，dr

（3）直線和圓相離，dr

體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。

考點(diǎn)2.切線的判定與性質(zhì)

1.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且_____于這條半徑的直線是圓的切線.

OA為⊙O的半徑，BC⊥OA于A。則BC為⊙O的切線。

注意：在此定理中，“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓

的切線。

【方法總結(jié)】判斷一條直線是一個(gè)圓的切線有三個(gè)方法：

（1）定義法：直線和圓只有個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說這條直線是圓的切線;

l

（2）數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離____半徑(即d=r)時(shí)，直線與圓相切；

r

d

l

（3）判定定理：經(jīng)過半徑的外端且_____于這條半徑的直線是圓的切線.

O

Al

2.切線的性質(zhì)定理：圓的切線____于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．

O

l

A

直線l是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，直線l⊥OA.

說明：利用切線的性質(zhì)解題時(shí)，常需連接輔助線，一般連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，再利用直

角三角形的相關(guān)性質(zhì)解題.

考點(diǎn)3.三角形的外接圓與內(nèi)切圓

三角形的圖形相關(guān)概念圓心的確定內(nèi)、外心的性質(zhì)

外接圓經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)

的圓叫作三角形的

外心到三角形的三

外接圓,外接圓的圓三角形三邊垂直平

個(gè)頂點(diǎn)的距離相

心叫作三角形的外分線的交點(diǎn)

等。

心,這個(gè)三角形叫作

圓的內(nèi)接三角形

與三角形各邊都相

切的圓叫作三角形

三角形的三角形三條角平分內(nèi)心到三角形的三

的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的

內(nèi)切圓線的交點(diǎn)條邊的距離相等。

圓心叫作三角形的

內(nèi)心

【溫馨提示】1.在△ABC中,若∠ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c,則△ABC內(nèi)切圓的半徑r=。

a+b?c

2

2.△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,☉O內(nèi)切于△ABC,且半徑為r,則有r=△。

2SABC

a+b+c

考點(diǎn)1.點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系

【例題1】（2024廣州）如圖，O中，弦AB的長(zhǎng)為43，點(diǎn)C在O上，OCAB，

ABC30．O所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若OP5，則點(diǎn)P與O的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)P在O上B.點(diǎn)P在O內(nèi)C.點(diǎn)P在O外D.無法確定

【變式練1】（2024陜西一模）已知⊙O的半徑是5，點(diǎn)A到圓心O的距離是7，則點(diǎn)A與⊙O的位

置關(guān)系是（）

A．點(diǎn)A在⊙O上B．點(diǎn)A在⊙O內(nèi)C．點(diǎn)A在⊙O外D．點(diǎn)A與圓心O重合

【變式練2】（2024江西一模）已知⊙O的半徑為2，直線l上有一點(diǎn)P滿足PO=2，則直線l與⊙

O的位置關(guān)系是（）

A．相切B．相離C．相離或相切D．相切或相交

【變式練3】（2024呼和浩特一模）在同一平面內(nèi)，已知O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為

⊙

3，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是（）

A．2B．5C．6D．8

考點(diǎn)2.切線的性質(zhì)與判定

【例題2】（2024福建省）如圖，已知點(diǎn)A,B在O上，AOB72，直線MN與O相切，切

點(diǎn)為C，且C為AB的中點(diǎn)，則ACM等于（）

A.18B.30C.36D.72

【變式練1】（2024湖南長(zhǎng)沙一模）如圖，AD,BC是O的直徑，點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上，PA與

O相切于點(diǎn)A，連接BD，若P40，則ADB的度數(shù)為（）

A.65B.60C.50D.25

【變式練2】（2024河南一模）如圖，PA與O相切于點(diǎn)A，PO交O于點(diǎn)B，點(diǎn)C在PA上，且

CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，則CA的長(zhǎng)為⊙．⊙

【變式練3】（2024武漢一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D為圓心，AD為

半徑的弧恰好與BC相切，切點(diǎn)為E，若，則sinC的值是（）

A．B．C．D．

考點(diǎn)3.三角形的外接圓與內(nèi)切圓

【例題3】（2024江蘇蘇州）如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，若OBC28，則A______．

【變式練1】（2024大連一模）如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°。若AC=12cm，BC=5cm，求的外

接圓半徑.

【變式練2】（2024河北一模）點(diǎn)O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，則∠BAC為．

【變式練3】（2024廣州深圳一模）已知△ABC的周長(zhǎng)為l，其內(nèi)切圓的面積為r2，則△ABC的面

積為（）π

A．rlB．rlC．rlD．rl

ππ

考點(diǎn)1.點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系

1.（2024上海市）在ABC中，AC3，BC4，AB5，點(diǎn)P在ABC內(nèi)，分別以A、B、P

為圓心畫，圓A半徑為1，圓B半徑為2，圓P半徑為3，圓A與圓P內(nèi)切，圓P與圓B的關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.相交C.外切D.相離

2．（2024桂林）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（4，3）為圓心、以R為半徑作圓A與x軸相交，且

原點(diǎn)O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是（）

A．0＜R＜5B．3＜R＜4C．3＜R＜5D．4＜R＜5

考點(diǎn)2.切線的性質(zhì)與判定

1.（2024江蘇鹽城）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的O上，過點(diǎn)C作O的切線l，過點(diǎn)A作ADl，

垂足為D，連接AC、BC．

（1）求證：△ABC∽△ACD；

（2）若AC5，CD4，求O的半徑．

2.（2024貴州省）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)F在半圓上，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，PC與半

圓相切于點(diǎn)C，與OF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，AC與OF相交于點(diǎn)E，DCDE．

（1）寫出圖中一個(gè)與DEC相等的角：______；

（2）求證：ODAB；

（3）若OA2OE，DF2，求PB的長(zhǎng)．

3.（2024湖北省）Rt△ABC中，ACB90，點(diǎn)O在AC上，以O(shè)C為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，

交AC于點(diǎn)E．且BDBC．

（1）求證：AB是O的切線．

（2）連接OB交O于點(diǎn)F，若AD3,AE1，求弧CF的長(zhǎng)．

4.（2024江西省）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)D是弦AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BD，BC，

DABC60．

（1）求證：BD是半圓O的切線；

（2）當(dāng)BC3時(shí)，求AC的長(zhǎng)．

考點(diǎn)3.三角形的外接圓與內(nèi)切圓

1.（2024四川眉山）如圖，ABC內(nèi)接于O，點(diǎn)O在AB上，AD平分BAC交O于D，連

接BD．若AB10，BD25，則BC的長(zhǎng)為______．

2.（2024四川宜賓）如圖，ABC內(nèi)接于O，BC為O的直徑，AD平分BAC交O于D．則

ABAC

的值為（）

AD

A.2B.3C.22D.23

3.【教材呈現(xiàn)】

現(xiàn)行人教版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材85頁(yè)“拓廣探索”第14題：

abc

14．（2024山東濱州）如圖，在銳角ABC中，探究，，之間的關(guān)系．（提

sinAsinBsinC

示：分別作AB和BC邊上的高．）

【得出結(jié)論】

abc

．

sinAsinBsinC

【基礎(chǔ)應(yīng)用】

在ABC中，B75，C45，BC2，利用以上結(jié)論求AB的長(zhǎng)；

【推廣證明】

abc

進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，不僅在銳角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且還

sinAsinBsinC

abc

滿足2R（R為ABC外接圓的半徑）．

sinAsinBsinC

abc

請(qǐng)利用圖1證明：2R．

sinAsinBsinC

【拓展應(yīng)用】

如圖2，四邊形ABCD中，AB2，BC3，CD4，BC90．

求過A，B，D三點(diǎn)的圓的半徑．

4.（2024山東濱州）劉徽（今山東濱州人）是魏晉時(shí)期我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家，中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠

基者之一，被譽(yù)為“世界古代數(shù)學(xué)泰斗”．劉徽在注釋《九章算術(shù)》時(shí)十分重視一題多解，其中最典

型的是勾股容方和勾股容圓公式的推導(dǎo)，他給出了內(nèi)切圓直徑的多種表達(dá)形式．如圖，Rt△ABC中，

C90，AB,BC,CA的長(zhǎng)分別為c,a,b．則可以用含c,a,b的式子表示出ABC的內(nèi)切圓直徑d，

下列表達(dá)式錯(cuò)誤的是（）

2ab

A.dabcB.d

abc

C.d2(ca)(cb)D.d|(ab)(cb)|

5.（2024四川自貢）在Rt△ABC中，C90，O是ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．

（1）圖1中三組相等的線段分別是CECF，AF________，BD________；若AC3，BC4，

則O半徑長(zhǎng)為________；

（2）如圖2，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)M，使AMAB，過點(diǎn)M作MNAB于點(diǎn)N．

求證：MN是O的切線．

考點(diǎn)1.點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系

1．平面內(nèi)，已知O的半徑是8cm，線段OP＝7cm，則點(diǎn)P（）

A．在O外⊙B．在O上C．在O內(nèi)D．不能確定

2．在平⊙面直角坐標(biāo)系xOy中，以⊙點(diǎn)（﹣3，4）為圓心，⊙4為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是（）

A．相交B．相離C．相切D．無法判斷

3．已知O和直線l相交，圓心到直線l的距離為10cm，則O的半徑可能為（）

A．11cm⊙B．10cmC．9cm⊙D．8cm

4．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以點(diǎn)B為圓心，r為半徑作B，當(dāng)r＝3時(shí)，

⊙

B與AC的位置關(guān)系是（）

⊙

A．相離B．相切C．相交D．無法確定

5．已知平面內(nèi)有O和點(diǎn)A，B，若O半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，則直線AB與O

的位置關(guān)系為（⊙）⊙⊙

A．相離B．相交

C．相切D．相交或相切

6．如圖，直線a⊥b，垂足為H，點(diǎn)P在直線b上，PH＝4cm，O為直線b上一動(dòng)點(diǎn)，若以1cm為半

徑的O與直線a相切，則OP的長(zhǎng)為．

⊙

考點(diǎn)2.切線的性質(zhì)與判定

1．如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，PO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)B，若∠P=40°，則∠B的度數(shù)為（）

A．20°B．25°C．40°D．50°

2.如圖，在△ABC中，O是AC上（異于點(diǎn)A，C）的一點(diǎn)，O恰好經(jīng)過點(diǎn)A，B，AD⊥CB于點(diǎn)D，

且AB平分∠CAD．⊙

（1）判斷BC與O的位置關(guān)系，并說明理由．

⊙

（2）若AC＝10，DC＝8，求O的半徑長(zhǎng)．

⊙

3.如圖,△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，PE⊥AC于E.

求證:PE是⊙O的切線.

4．如圖，已知，BE是O的直徑，BC切O于B，弦DE∥OC，連接CD并延長(zhǎng)交BE的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)A．⊙⊙

（1