2025年中考數學總復習《圓的切線的證明》專項測試卷(附答案)

學校:班級：姓名：考號：

1.如圖，在VA3C中，ZABC=90°,以48為直徑的。交43于點。，E是BC的中點，

連接EO并延長交3A的延長線于點F.

Q)若BC=2小,8=4,求，。的半徑.

2.如圖，在VABC中，ZC=90°,ZBAC的平分線交2C于點。，點。在AB上，以點。

為圓心，Q4為半徑的圓恰好經過點。，分別交AC、AB于點E、F.

(1)試判斷直線BC與。的位置關系，并說明理由；

(2)若8。=26，BF=2,求陰影部分的面積(結果保留兀).

3.如圖，在VABC中，AB=AC,以AB為直徑的。交BC于點。，過點。作上二AC,

垂足為點￡,延長C4交：。于點R連接3F.

⑴求證：DE是。的切線；

(2)連接OE,若BF=25FC=W,求OE的長.

4.如圖，48為（。的直徑，C為C。上一點，AD±CD,4D交：。于E,且EC=2C，

⑵廠為。上一點，連接AR,若AF〃CD,AC=10,AF=12,求。的半徑.

5.如圖，VABC中，AB=AC,以A3為直徑作。交BC于點。，過點。作DE上AC,

⑵若。半徑為5,Zfi4C=60°,求￡>E的長.

6.如圖，四邊形A3CD內接于「O,BD為直徑，過點A作AE垂直CD交其延長線于點E,

DA平分NBDE.

(2)若AO=26，BC=8,求力B的長.

7.如圖，48是〈。的直徑，AC是弦，。是AB的中點，CD與4B交于點E,尸是力B延長

線上的一點，且CF=E尸.

D

G

FB

A

(1)求證：CF為。的切線；

(2)連接8D,取BD的中點G,連接AG.若C尸=4,tanZBDC=1,求AG的長.

8.如圖，VABC中，NB4c=90。，以點A為圓心，AC為半徑作圓，交BC于點、P.

(1)請用無刻度的直尺和圓規作出線段的垂直平分線(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)若(1)中所作的垂直平分線與邊4B交于點Q,連接P。.求證：尸。是A的切線.

9.如圖，點。為圓心，48為半圓的直徑，在,。上取一點C,延長A5至點。，連接

DC,Zl=Z2,過點A作交。C的延長線于點E.

(2)若9=2,＜。的半徑為3,求AE的長.

10.如圖RtaABC中，ZC=90°,4D平分N54C,4D交于點。，點E在4B上，以AE

(1)求證：直線BC是。的切線;

(2)若AC=6,4=30。，求圖中陰影部分的面積.

11.如圖，已知A3是。的直徑，BD是。的弦，點尸是(。外的一點，PCLAB,垂足

為點C,PC與8。相交于點E,連接尸￡>,且PD=PE,延長尸。交54的延長線于點

⑴求證：PD是，：。的切線；

73

⑵若、。半徑為3,PE=^,sinZPFC=1,求3E的長.

12.如圖，在RtAABC中，NC=90。，BE平分工ABC交AC于點E,點。在上，DELEB.

(1)求證：AC是VBZJE的外接圓的切線；

(2)若AD=2,AE=2y/3,求EC的長.

13.如圖，在ABC中，AC=BC,以2c為直徑的。與底邊AB交于點。，過點。作OE1AC,

垂足為E.

(1)求證：DE為。的切線；

(2)若3C=4,ZA=35°,求0c的長.(結果保留兀)

14.如圖，5。是：。的直徑，A是8。延長線上的一點，點E在。上，BCLAE,交AE

的延長線于點C,BC交(。于點F,且點E是八尸的中點.

⑵若AD=5,AE=56，求。的半徑.

15.如圖，48為(。的直徑，點C在。外，/ABC的平分線與。交于點，ZC=90°.

(1)8與1。有怎樣的位置關系？請說明理由；

(2)若NCD8=60。,=4,求8。的長.

16.如圖，在等腰VABC中，AB=AC,以AB為直徑的。與8C交于點。，連接AO,

過點。作。ElAC,垂足為點E.

(2)若。的半徑為2石，ZB4C=60°,則OE=

17.如圖，在VA2C中，AB=BC,以BC為直徑作C。，交AC于點。，交A3于點E,過

點。作DFJ_A3于

a

⑴求證：DF是.。的切線；

⑵若AC=12,。的半徑為5,則的長為.

18.如圖，48是。的直徑，，。的半徑為2,M是。4的中點，弦。，48于點加，過點

。作DE1.C4交C4的延長線于點E.

(1)連接OC8,求陰影部分的面積；

⑵求證：DE與。相切.

參考答案

1.(1)見解析

⑵當

2

【分析】(1)連接OD,BD,根據A3是。的直徑，得出/ADB=90。，ZBDC=9Q)°,根

據直角三角形的性質得出DE=BE,根據等腰三角形的性質得出ZBDE=ZDBE,

ZOBD=ZODB,即可得出即可證明E尸是。的切線.

(2)根據勾股定理求出*=4,在三角形ABC中和三角形AttB中根據勾股定理求出

AC2-BC2=AD2+BD2,即(AD+4)2-(2君)2=A￡>2+4,求出AD=1,再根據勾股定理即

可求解.

【詳解】(1)證明：連接o。，BD,

AB是；。的直徑,

ZADB=90°,

:./BDC=9。。,

石是5C的中點，

/.DE=BE，

:.ZBDE=ZDBE,

OB=OD,

:.NOBD=/ODB,

ZABC=90°,

ZOBD+ZDBE=90°,

:.ZODB+ZBDE=90°.

???8,防于點O,

又：點。在。上，

:.EF是。的切線.

(2)解:,■^JSDC=90°,BC=245,CD=4,

:.BD2=BC2-CD2=4,

在ABC中/ABC=90。，在中/AZ)8=90。,

AB2=AC2-BC~=AD2+BD2,

.-.(AD+4)2-(2A/5)2=AD2+4,

解得：AD=1,

..AC=5,AB=VAC2-BC2=75-

o的半徑為更.

2

【點睛】此題重點考查圓周角定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形

的性質、切線的判定、勾股定理等知識點，掌握以上知識點是解題的關鍵.

2.(1)直線BC與。的位置關系是相切，理由見解析

⑵2白-|■兀

【分析】本題考查了切線的判定定理、扇形面積、勾股定理，熟練掌握以上知識點并靈活運

用是解此題的關鍵.

（1）連接OD,證明OD〃AC,得出/ODB=NC=90。，即OD，3C,即可得證；

（2）設OP=QD=x,則O3=5+Bb=x+2,由勾股定理得出0D=OP=2,解直角三

角形得出NDOB=60°,再根據S陰影=SODB一§扇形。。尸計算即可得解.

【詳解】（1）解：直線3C與C。的位置關系是相切，理由如下:

如圖，連接O。，

ABAD=ACAD,

?/OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

：.ZCAD^ZODA,

：.OD//AC,

：.ZODB=NC=90°,即OD_L3C,

為半徑，

直線BC與。相切；

(2)解：設OP=OD=x,則08=0尸+3/=x+2,

由勾股定理可得：OB-^OD2+BD-,即(X+2『=Y+(2退了，

解得：x=2,

：.OD=OF=2,

：.OB=4,

,：smZOBD=—=~,

OB2

???ZOBD=30°,

???"03=60。，

._60TIx4_2

,^DOF=_360-=37t，

S陰影=S88一5扇形DOF=5X2x2/一§無=2若一1無.

3.⑴見解析；

(2)714.

【分析】(1)連接O。，則OD=QB,所以C?=O3,由AB=AC,得/C=/ABC,則

ZODB=ZC,所以OD〃AC,貝!]NOr>E=ZDEC=90。，即可證明。￡是「。的切線；

(2)連接OE,延長。。交所于點H,可證明四邊形。跳E是矩形，由A5=AC,BF=245,

FC=10,OH±BF,得AF=10—AC=10—AB,DE=FH=BH=顯貝U

(2A/5+(10-AB)2=AB2,求得AB=6,貝I]OD=5A2=3,所以OE=dOD?+DE?=E.

【詳解】(1)證明：連接O。，則OD=OB,

:.NODB=ZABC,

AB=AC,

:.ZC=ZABC,

:.ZODB=ZC,

：.OD//AC,

DELAC于點E,

ZODE=ZDEC=90°,

OD是。的半徑，且。E八O￡),

:.DE是。的切線；

(2)解:連接OE,延長DO交BF于點H,

AB是；。的直徑，

.-.ZF=90°,

由(1)知：NHDE=NDEF=90°,

，四邊形是矩形，

:.NDHF=90。,DE=FH,

：.FH=BH,

48是（。的半徑，OA=OB,

FH=BH=-BF,

2

AB=AC,BF=2亞,FC=10,OH±BF,

AF=10—AC=10—AB,DE=FH=BH=—BF=y[5,

2

BF2+AF2=AB2,

.?.（2-75）2+（10-AB）2=AB2,

解得AB=6,

:.OD=-AB=3,

2

OE=y/OD2+DE2=后+（灼2=舊，

??.OE的長為舊.

【點睛】此題重點考查等腰三角形的性質、圓周角定理、切線的判定定理、勾股定理等知識,

正確地作出輔助線是解題的關鍵.

4.⑴見解析；

【分析】（1）連接OC,根據圓周角定理可得=根據等腰三角形的性質可得

ZCAB=ZACO,從而可證。CLCD,即可得CD是。的切線；

（2）延長CO交AF于點G,根據平行線的性質可證CGLAb,根據垂徑定理可得AG=6,

利用勾股定理可求CG=8,在Rt-AOG根據勾股定理

即可求出圓的半徑.

【詳解】（1）證明：如下圖所示，連接OC,

D

AD上CD,

...ND=90。，

:.ZDAC+ZACD=90°f

EC=BCf

..ZDAC=ZCABf

OA=OC,

.\ZCAB=ZACO,

/.ZACO+ZACD=90°,

OCLCD,

二.CD是1。的切線；

（2）解：如下圖所示，延長CO交A尸于點G,

AF\CD,

:.CG1AF,

AG=-AF=6,

2

：.CG=VAC2-AG2=Vio2-62=8，

設Q4=OC=r,

則OG=8-r,

O^=OG2+AG2,

.-.r2=62+(8-r)2,

25

解得：〃=

4

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，切線的性質和判定，平行線的性質和判定，等腰

三角形的性質和判定的應用，解決本題的關鍵是作輔助線構造直角三角形，利用勾股定理求

半徑的長.

5.(1)見解析

⑵乎

【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質，圓的切線的判定定理，等邊三角形的判定和

性質，勾股定理，含30度直角三角形，掌握圓的相關性質是解題關鍵.

(1)連接OD,根據等邊對等角的性質，推出NOD3=NC,進而得到OD〃AC,即可證

明OE人8得到結論；

(2)證明VABC和38是等邊三角形，從而得出/C=60。，CD=5,再根據銳角三角函

數求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OD,

AB=AC,

ZABC^ZC,

OB=OD,

:.ZABC=NODB,

:.NODB=NC,

:.OD//AC,

DELAC,

:.DEA.OD,

又?0。是半徑，

:.DE為。的切線；

CD

(2)解：。半徑為5,

:.OB=5,AB=10,

AB=AC,ZBAC=6GP,

ABC是等邊三角形，

..BC=AB=10,ZC=ZABC=60°,

OB=OD,

/.是等邊三角形，

BD=OB=5,

:.CD=BC—BD=5,

在RtACE。中，ZC=60°,CD=5,

：.ZCDE=30°,

/.CE=-CD=-

22

DE=ylCD2-CE2=—.

2

6.⑴見解析

(2)4A/5

【分析】(1)根據等邊對等角得出NODA=ZOAD,進而得出ZOAD=ZEDA,證得EC//OA,

從而證得AELtM,即可證得結論；

(2)過點。作OFLCD,垂足為點凡從而證得四邊形AOEE是矩形，得出OP=AE,證

明.O。pSc8DC,求出AE=Of1=4,在RtADE中，求出DE=2,再證明△ABAAE4D,

AFDF

推出慧=爺，即可求得AD的長?

ABAD

【詳解】(1)證明：連接。4,

：.ZOAD=ZODA,

D4平分

.\ZODA=ZEDA9

:.ZOAD=ZEDAf

,\EC//OA9

QAE1CZ),

:.OA±AE,

OA是1。的半徑，

.?.AE是。的切線；

(2)解：過點。作。尸，CD于尸.

ZOAE=ZAEF=ZOFE=90°,

???四邊形。心是矩形，

：.AE=OFf

?；BD是。的直徑，

：.ZBCD=9Q0=ZOFE,

:.BCOF,

：.ODFs.BDC,

,OFOP

??葭―50—2，

XVBC=8,

：.。b=4,

：.AE=OF=4,

在RtADE中，DE=VAD2-AE2=2，

?；BD是。的直徑，

：.ZBAD=90°=ZAEDf

又「ZADE=ZADB,

：.AABD^AEAD,

.AE_DEpn4；；2

ABADAB2s/5

AB=4逐.

【點睛】本題考查了切線的判定與性質，矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾

股定理，解決本題的關鍵是掌握切線的判定與性質.

7.(1)見解析

(2)|Vio

【分析】本題考查了切線的判定，同弧所對的圓周角相等，勾股定理，相似三角形的性質與

判定，綜合運用以上知識是解題的關鍵.

(1)連接OC,OD.由/OCD=NODC,FC=FE,可得NOED=NFCE,由A3是。

的直徑，。是AB的中點，4>OE=90。，進而可得NOCF=90。，即可證明CF為。的切線；

(2)連接BC,過G作垂足為利用相似三角形的性質求出3b=2,設。

的半徑為「，則OF=r+2.在RtOB中，勾股定理求得r=3,證明G耳〃。O,得出

BHGsBOD，根據瞿=黑，求得BH,GH,進而求得AH,根據勾股定理即可求得AG.

BOBD

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC,OD.

?：OC=OD,

：.ZOCD=ZODC.

;FC=FE,

：.ZFCE=ZFEC.

9：ZOED=ZFEC,

：.ZOED=ZFCE.

〈AB是。的直徑，。是A3的中點，則。

???ZDOE=90°.

：.ZOED^ZODC=90°.

???ZFCE+ZOCD=90°,即ZOCF=90°.

C.OCA.CF.

???CF為。的切線.

(2)解：如圖，連接BC,過G作垂足為H.

是。的直徑，

???ZACB=90°f

：.ZOBC+ZFAC=9G0,

?:OC=OB,

：.ZOBC=ZOCB,

■:ZFCO=/FCB+/OCB=90°,

???NFCB=NFAC,

?/NF=NF,

，一FCBsFAC,

.FCBCFCFB

，，-E4-AC?FA-FC*

Bei

*.*CF=4,tanNBDC=tanZ.BAC==—,

AC2

：.AF=8,

4FB

解得尸5=2,

84

設，：。的半徑為「，則AF=2r+2=8.

解之得r=3.

VGH1AB,

???ZGHB=9Q°.

u：ZDOE=90°,

：./GHB=/DOE.

J.GH//DO.

,BHG^BOD

.BHBG

??茄一訪.

???G為中點，

BG=-BD.

2

1313

：.BH=-BO=~,GH=-OD=-.

2222

39

：.AH=AB-BH=6——.

22

?-AG="+AH。=Jg：+

8.(1)作圖見解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查了圓的有關性質、線段的垂直平分線的作法與性質、等腰三角形的性質、

直角三角形的性質和圓的切線的判定定理，掌握作圖方法和添加適當的輔助線是解題的關鍵

(1)利用線段垂直平分線的基本作圖的作法解答即可；

(2)連接AP,利用線段垂直平分線的性質可得到4PQ=90。，再利用圓的切線的判定定

理解答即可.

【詳解】(1)作圖如下：MP即為線段的垂直平分線.

VMQ為線段PB的垂直平分線,

：.QP=QB,

/.ZQPB=ZB,

,：ZBAC=90°,

ZC+ZB=90°,

?/AC=AP,

：.ZC^ZAPC,

：.ZAPC+ZQPB=90°,

：.ZAPQ=180°-(ZAPC+ZQPB)=180°-90°=90°,

AP±PQ,

為A的半徑，

???尸。是A的切線.

9.(1)見解析

(2)6

【分析】本題考查了切線的判定，切線長定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是：

(1)連接OC,如圖，根據圓周角定理得到NACB=90。，即Nl+N54c=90。，根據等邊對

等角得出NOC4=/OAC,結合已知可得到ZECO=90。，根據切線的判定定理得到答案；

(2)根據切線的判定和切線長定理得到AE=CE,在RtCOD中，根據勾股定理得到CD=4,

在RtADE中，根據勾股定理即可得出結論.

【詳解】(1)證明：連接OC,如圖，

：AB為直徑，

ZACB=90°,

Zl+ZBAC=90o,

'：CO=AO,

：.ZOCA=ZOAC,

又N1=N2,

Z2+ZACO=90°,

即NECO=90。，

VOC>。的半徑,

CD是。的切線;

(2)解：VAEVAD,

，AE是。的切線，

又CD是。的切線，

CE=AE,

在RtCOZ)中，ZDCO=90°,CO=3,DO=DB+BO=5,

CD=DO2-CO2=4，

T^CE=AE=X,貝lJr)E=4+x,

在RtADE中，ZDAE^QP,AD=AO+DO=8,

AD2+AE2=DE2>

：.82+X2=(4+A-)2,

解得x=6,

即AE=6.

10.(1)見解析

⑵S陰影=g萬一46

【分析】(1)連接OD,由AD平分ZA4C,可知/OAD=/C4D,易證NO/M=NOAD,

所以NaM=NQ4D,所以OD〃AC,由于NC=90。，所以/OD8=90。，從而可證直線

是，:。的切線；

(2)根據含30度角的直角三角形性質可求出48的長度，然后求出NAOD的度數，然后根

據扇形的面積公式即可求出答案.

【詳解】(1)證明：連接OD,

平分/R4C,

:.ZOAD=ZCAD,

OA=OD,

:.ZODA^ZOAD,

:.ZODA=ZCAD,

:.OD//AC,

ZC=90°,

ZODB=90°,

:.OD1BC,

。。是半徑，

直線BC是，。的切線；

(2)解：由/3=30°,ZC=90°,NODB=90°,

得：AB=2AC=12,OB=2OD,ZAOD=120°,

ZDAC=30°,

OA=OD,

:.OB^2OA,

：.OA=OD=4,

由ZZMC=30。，得DC=26,

S陰影=§扇形—SOAD

=12。…上…

3602

上_4技

3

【點睛】本題考查圓的切線的判定，涉及角平分線的性質，平行線的判定與性質，含30度

角的直角三角形的性質，扇形面積公式等，需要學生靈活運用所學知識.

IL(1)見解析

⑵不

【分析】本題主要考查了切線的判定，解題直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握經過半徑外

端且垂直于半徑的直線是圓的切線，以及解直角三角形的方法和步驟.

(1)根據得出NPED=NPDE,進而得出/尸世=/3瓦：，易得/B=/ODB,

根據PC_LAB,得出N3+ZBEC=90。，則NOD3+NPDE=90。，即可求證是。的切

線;

74

(2)根據題意得PD=PE=5，OD=3,結合正弦函數得出。斤=5,cosZPFC=-,求出

9

CF=PFcosZPFC=6,則OC=CF—OF=1,根據勾股定理求出產。=/,進而求出

BC=2,CE=1,最后根據勾股定理即可求解.

【詳解】(1)證明：連接OD,如圖所示:

*.*PD=PE,

:.ZPED=ZPDE,

丁ZPED=ZBEC,

:.ZPDE=ZBEC,

?：OB=OD,

：?ZB=/ODB,

PCLAB,

：.ZBCP=90°,則NB+NBEC=90。,

???ZODB+NPDE=90°,即ZODP=90°,

???PD是。的切線；

7

(2)解：,:PD=PE,PE=~,

2

7

???PD=~,

2

???。半徑為3,

：?OD=3,

丁尸。是。的切線，

/.ODVPD,則NOD/=90。，

3

VsinZPFC=-,

八廠OD3V

?OF=-----------=—=5

??sinZPFC3,

5

DF=y/OF2-OD2=4,

???PF=PD+DF=—

2f

DF4

VcosZDFO=——=—,

OF5

154

???CF=PFcos/PFC=——x—=6,

25

???OC=CF-OF=6-5=\,

根據勾股定理可得：PC=yJPF2-CF2

???OB=OD=3,

97

BC=OB—OC=3—1=2,CE=PC—PE=------=1,

，根據勾股定理可得：BE=y]CE2+BC2=A/12+22=A/5-

12.⑴見解析

⑵百

【分析】（1）取5。的中點。，連接。石，由/阻＞=90。，根據圓周角定理可得50為

的外接圓的直徑，點。為VHDE的外接圓的圓心，再證明。石〃5。，根據平行線的性質得

到NAEO=NC=90。，于是可根據切線的判定定理判斷即可求解.

（2）設。的半徑為人根據勾股定理求得人根據平行線分線段成比例定理來求解.

【詳解】（1）證明：取5。的中點0,連接。石，如圖，

DEkEB,

ZBED=90°,

.?.BD為NBDE的外接圓的直徑，點。為NBDE的外接圓的圓心.

BE平分NABC,

:"CBE=/OBE.

OB=OE,

:.ZOBE=ZOEBf

.?"OEB=NCBE,

:.OE//BC,

,\ZAEO=ZC=90°,

:.OE1AE,

二.AC是Va）E的外接圓的切線.

（2）解：設VBDE的外接圓的半徑為「

在ZkAOE中，

OA2=OE2+AE2,

即（廠+2）2=產+（2力『，

解得r—2.

OE//BC,

、AEAO

\一,

CEOB

日口2省AD+0D2+2

即---=---------=-----，

CE22

\CE=&.

【點睛】本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，要

證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可，

也考查了勾股定理和平行線分線段成比例定理，圓周角定理.

13.（1）見解析

（2）1DC與

【分析】本題考查的是切線的判定，弧長的計算，等腰三角形的性質，中位線的定義及性質，

三角形的外角的性質，圓周角定理，掌握以上知識是解題的關鍵.

（1）首先連接on,8,由圓周角定理得出c。J_AB,再由等腰三角形的性質確定AD=，

利用三角形中位線的性質及切線的判定即可證明；

（2）由等腰三角形的性質求解48=35°再利用圓周角定理得出/OOC=70°，結合

BC=4,由弧長公式直接求解OC的長即可.

【詳解】（1）證明：連接0。CD,

■:BC為。直徑,

15OC=90°,即CD_LAB,

,:ABC是等腰三角形，

???AD=BD,

?；OB=OC,

???0D是:ABC的中位線，

：.OD//AC,

u：DEIAC,

：.OD±DEf

ID點在l。上，

:?DE為。的切線；

(2),NA=35。，AC=BC,

ZB=ZA=35°,

:./DOC=70。,

BC=4,

,\OB=OC=29

I_70%x2_ITI

-DC~180~~9,

14.(1)見解析

(2)2.5

【分析】本題考查了圓周角定理，等邊對等角，平行線的判定和性質，勾股定理，切線的判

定.熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵.

(1)連接OE,根據同圓中，等弧所對的圓周角相等得出NEBC=/DSE,根據等邊對等角

得出NDBE=NBEO,推得NEBC=NBEO,根據內錯角相等，兩直線平行得出3C〃OE,根

據兩直線平行，同位角相等得出OELAC,即可證明；

(2)設。半徑為r,根據勾股定理可得AE2+O?2=AO2,據此列出方程，解方程求出r

即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OE,

,點E是￡)尸的中點,

,,EF-DE，

：.ZEBC=ZDBE,

又OB=OE,

：.ZDBE=ZBEO,

：.ZEBC=ZBEO,

：.BC//OE,

又BC，AC于點C,

/.OE_LAC于點E,

是。的半徑，

AC為O的切線

(2)解:設：。半徑為r,

在RtAAOE中，AE2+OE-=AO2,

((5忘了+產=(r+5『，

解得：r=2.5

即。。的半徑為2.5.

15.(1)相切，見解析

⑵26

【分析】本題考查切線的判定，圓周角定理，含30度角的直角三角形：

(1)連接OD，則8=03,等邊對等角得到NODB=ZABD,角平分線得到ZABD=ZCBD,

進而得到/a)3=/CBD,推出O￡>〃BC,得到/ODC=180。—NC=90。，即可得出結論；

(2)直徑所對的圓周角為直角，得到/ADB=90。，易得NASD=30。，根據含30度角的直

角三角形的性質，進行求解即可.

【詳解】(1)解：。與：。相切，理由如下：

連接OD,則。少=03,

oB

：.ZODB=ZABD,

?/BO平分/ABC,

，ZABD=ZCBD,

：.ZODB=ZCBD,

：.OD//BC,

"：ZC=90°,

ZODC=180°-ZC=90°,

：.ODLCD,

是半徑，

...CD與。相切.

(2)?.?48是〈。的直徑，

：.ZADB^90°,

?：ZC=90°,ZCDB=60°

ZABD=Z.CBD=90°-ZCDB=30°,

又：在中，NASD=30。

.-.AD=-AB^2,

2

BD=幣AD=26.

16.⑴證明見解析

⑵3

【分析】(1)先利用圓周角定理得到乙=90。，再根據等腰三角形的性質得8少=8,

連接OD,證OD為BAC的中位線，則OD〃AC,從而得到QD1DE,即可證明；

(2)先根據等腰三角形的性質可得/BAD=/C4D=30。，由A3=AC=46,和30。度所

對的直角邊為斜邊的一半，可得。=2百，再根據勾股定理可得AO的值，最后由

AC?EDAD,CD_,,

-------=---,可r得ZFlDE的值.

22

【詳解】(1)證明：：A3為直徑，

.'.ZADB^90°,

:AB=AC,

：.BD=CD；

連接OO,如圖，

VBD=CD,AO^OB,

二OD為_B4C的中位線，

OD//AC,

?/DE-LAC,

：.ODIDE,

二DE為［。的切線；

⑵解：：44。=60。，AB=AC,BD=CD,

：./BAD=ZCAD=-x60°=30°,

2

又：。的半徑為2g,ZADC=90°

AB=AC=4y/3,

/.CD=2y/3,