第二章方程與不等式

第06講分式方程及應用

模擬基礎練金。題型。1分式方程的定義

（2024?廣西賀州?三模）

1.下列式子是分式方程的是（）

14x

B.-----1-----

3x-l3x+l

3—x-x-l

，.-----------1--------=1D.------+2=——

2x-l2x+l43

（2021.河南信陽.模擬預測）

2.下列方程：①工+l=x②等』。③[+白=3；管+冷山為已知數）,

X

其中分式方程有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

依題型02解分式方程

（2024.湖南岳陽.模擬預測）

3.分式方程11-上==Y三的解為

（2024?青海西寧?三模）

4.解分式方程：式二2+1=工.

x-l1-x

（2024?陜西商洛?模擬預測）

（2024?河北邯鄲?模擬預測）

6.根據下表中的數據，寫出。的值為,人的值為.

X結果

2m

代數式

2x-l3b

2025年

x-l

a2

X+1

依題型03以注重過程性學習的形式考查解分式方程

（2024?浙江杭州?模擬預測）

7.小王同學解分式方程=+鋁=3的過程，請指出他解答過程中最先出現的錯誤步驟

3%-62-x

的序號，并寫出正確的解答過程.

解：去分母得：X+1-3（2元+1）=3①

去括號得：x+1—6x+1=3②

移項得：x-6x=3-l-l③

合并同類項得：-5.r=l@

系數化為1得：x=⑤

=是原分式方程的解⑥

（2024.山東濱州.模擬預測）

8.（1）先化簡，再求值：（。-3。）（。+3加+（〃-3b其中“=-3,6=g.

（2）小丁和小迪分別解方程--1=1過程如下：

x-22-x

小丁：小迪：

解：去分母，得x-（x-3）=x-2解：去分母，得x+（x-3）=l

去括號，得%-％+3=%-2去括號，得x+x+3=l

合并同類項，得3=x-2合并同類項，得2x-3=l

解得，x=5角牟得，x=2

；?原方程的解是x=5經檢驗*=2是方程的增根，原方程無解.

你認為小丁和小迪的解法是否正確，若正確，打W“，如果錯誤，請寫出正確的解答過程

（2024?寧夏銀川?二模）

9.以下是小明解方程--2的過程，請認真閱讀，并完成相應任務.

尤一22-x

解：去分母：x+l=-l-2（x-2）.................第一步.

去括號：x+l=—1—2x—4...............,第—■步

移項，合并同類項得：3x=-6.................第三步

系數化為1,得：%=-2.................第四步

檢驗：當x=-2時，x-2=-4w0,

所以：x=-2是原分式方程的解.

⑴填空：

①以上解題過程中，第一步去分母的依據」

②第一步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是」

（2）請你寫出此方程的正確求解過程.

（2024?山西忻州?三模）

10.(1)|-9|x|-|j一般+0+(；)+(-1)°.

（2）下面是小明同學解分式方程的過程，請認真閱讀并完成相應的任務.

解：去分母，得3=l+3x,...................................................................................第一步

移項，得3x=l-3,................................................................................................第二步

合并同類項，得3x=-2,......................................................................................第三步

2

系數化為1,得工=一4..........................................................................................第四步

211

檢驗：當x=_§時，x—3=0.

2

所以是原方程的根.

任務一：以上解題過程從第一步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是一

任務二：該方程的正確解是

任務三：除糾正上述錯誤外，請你根據平時的學習經驗，就解分式方程時還需要注意的事項

給其他同學提一條建議.

"題型04與解分式方程有關的新定義問題

（2024?黑龍江哈爾濱.一模）

2025年

11.對于實數a、b,定義一種新運算"?"為：a?b=—^,這里等式右邊是實數運算.例

a-b

119

如：103=—^=--.則方程尤區（-2）=—T的解是（）

1—3o%—47

A.x=5B.x=6C.x=7D.無解

（2022?河南平頂山?二模）

1143

12.定義運算機※〃=1+——，如：52=1+丁二二?.則方程%※（％+1）==的解為（）

m+n1+232

A.x=lB.x=—lC.x=--D.x=—

22

（2024.湖北武漢.模擬預測）

13.定義兩種新運算“△”和“※二其運算規則為。力=巴*,。※匕="與，若％1=冰2,

a+ba-2b

則工=.

（2023?廣東深圳?二模）

14.對于實數a,b,定義一種新運算“夕為：。仍=」廣，例如：1。2=」不，貝1|

a+b1+2

通（-2）=---2的解是.

（21-22八年級下?江蘇揚州?期中）

15.對于一些特殊的方程，我們給出兩個定義：①若兩個方程有相同的一個解，則稱這兩個

方程為“相似方程”；②若兩個方程有相同的整數解，則稱這兩個方程為“相伴方程”.

?r+14

（1）判斷一元一次方程3—2（1—x）=4尤與分式方程「-1=7—是否是“相似方程”，并說

2x-l4x-1

明理由；

（2）已知關于x,y的二元一次方程廣皿+6與產x+4機是“相伴方程”，求正整數m的值.

依題型05與解分式方程有關的跨學科問題

16.化學小組欲將100g濃度為98%的酒精溶液稀釋為75%的酒精溶液.設需要加水花，根

據題意可列方程為.

75%

酒精

17.如圖，把與、4兩個電阻并聯起來，線路A3上的電流為/,電壓為U,總電阻為尺總，

111

則。=/R總，其中，%,為，R總滿足關系式：萬-二丁+濟.當4=1。，g=30,/=1.6時,

八總K1A2

求u的值.

I/

?__>-----—>------

A-1=1-B

凡

18.科學中，經常需要把兩種物質混合制作成混合物，研究混合物的物理性質和化學性質.現

將甲、乙兩種密度分別為。，。乙的液體混合（。甲<。乙），研究混合物的密度

（物體的密度=■!!）,假設混合前后液體的總體積不變，令等體積的甲乙兩種液體

的混合溶液密度為8,等質量的甲乙兩種液體的混合溶液的密度為2.

⑴請用含用，。乙式子表示8；

（2）比較門，外的大小，并通過運算說明理由：

（3）現有密度為1.2g/cm3的鹽水600g,加適量的水（密度為l.Og/cn?）進行稀釋，問：需要

加水多少g,才能使密度為l.lg/cn?的雞蛋懸浮在稀釋后的鹽水中？

（2024?江蘇無錫?二模）

19.在跨學科探究學習中，我們發現如下兩個公式：如圖①，在串聯電路中，總電阻R滿

足A=K+4；如圖②，在并聯電路中，總電阻R滿足1=5+=-.

Ki\11\?

2025年

(2)如圖④，已知凡為定值電阻，現有兩個電阻&和4(?＜&)，請問如何擺放?和&的

位置，能夠使得總電阻最小？(在圖中填寫并證明)

(3)如圖⑤，現有三個電阻飛、&和々(N＜用＜%)，請問如何擺放這三個電阻，能夠使得

總電阻最小？(在圖中填寫，無需證明)

(4)如圖⑥，已知凡為定值電阻，現有四個電阻4、4、尺3和6(鳥＜鳥＜鳥＜凡)，請問

如何擺放這四個電阻，能夠使得總電阻最小？(在圖中填寫，無需證明)

20.馬超同學在學習物理第七章第二節《怎樣比較運動的快慢》時，遇到一個這樣的問題：

甲、乙兩地之間為一座山丘，一同學從甲地到乙地先上坡再下坡，上坡速度為匕，下坡速度

為匕，上坡和下坡路程相等，則這位同學從甲地到乙地的平均速度為多少？馬超經過計算得

2V.V1If11)

出平均速度為"=會之9.聰明的馬超對公式進行變形得到-=彳一+一，他馬上聯想到數

匕+%V2(匕v2J

111111(1n

學中也有類似變形，例如==7、=：-1左=彳￡-￡，通過查閱資料知道了這一恒等

o2x323八3

變形過程在數學中叫做裂項.請你利用上述方法，解決以下問題:

1111

⑴計算:—+-+一H------=

261220

1

(2)解方程:--7------7=2.

x(x+l)

1111

⑶若分式方程五一=需有增根，求機的值.

x(x+2)(x+2)(x+4)

一題型06由分式方程的解求參數

（2024?廣東?模擬預測）

4k

21.已知%=5是分式方程二；二1-4的解，則左的值為（）

x+22+x

A.5B.4C.3D.2

（2024.四川成都.模擬預測）

22.已知尤=1是分式方x程—3=-a二=-1的解，則實數。的值為_____.

x-22—x

（2024?浙江嘉興?模擬預測）

23.關于x的方程2三+412=九字+m（的根滿足3-m）（x+2m）=0,則根的值是_______.

%+22-xx-4

依題型。7由分式方程有解、無解或有增根求參數

（2024?貴州黔東南?一模）

24.若關于x的分式方程V+l=-二無解，貝I］。的值為（）

x-1X—1

A.-1B.0C.1D.-2

（2024.湖南?模擬預測）

1—kx1

25.若關于x的分式方程y=——有增根，則上的值為_____.

x—22-x

（2024.四川綿陽?二模）

M7

26.若關于x的分式方程「=1有解，且關于y的方程V-2y+根=0有實數根，則根的范

3-x

圍是.

（2024?遼寧丹東?模擬預測）

27.已知關于x的分式方程有解，則a的取值范圍是.

依題型08由分式方程解的取值范圍求參數

（2024?山東日照?三模）

28.若關于x的分式方程三7-3=一的解為正數，則m的取值范圍是（）

x—11-x

A.m＜一2且加力一3B.相＞-2且加力3

2025年

C.加>-3且加力-2D.加>-3且〃件2

（2024?安徽?模擬預測）

29.關于x的方程」--3=廣的解為非負數，則優的取值范圍是__.

x-11-x

（2024?四川成都?二模）

30.若關于無的分式方程3=3+2的解為負數，則，〃的取值范圍是______.

x—11-x

（2024?江蘇揚州?模擬預測）

Yrn

31.已知關于x的方程一^=2--有一個正數解，則根的取值范圍________

X-33-x

依題型09分式方程與不等式組綜合

（2024?湖南長沙?模擬預測）

2x—a&—1

32.若關于尤的不等式組x+12x，有且只有兩個偶數解，且關于>的分式方程

-------------<1

I23

"斗=2-產有解，則所有滿足條件的整數。的和是（）

y-22-y

A.15B.10C.5D.3

（2024.重慶渝北.模擬預測）

x_14-x

---F2<-------

33.若關于x的不等式組22有解且至多有4個整數解，且關于y的分式方程

5（x—m）>-4x+5

y-I-m2m

-7=3-的解為整數，則所有滿足條件的整數m的值之和為_______.

y-22-y

（2024?四川成都?二模）

34.現從-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4這9個數中任意選取一個數作為。的值，貝I]

[4x+l>3（x+l）

使關于尤的分式方程2匚三=3的解是負數，且關于x的不等式組x+1無解的概

x+12x--------<a

I2

率為.

（2024?山東濰坊?模擬預測）

35.（1）計算：Qj一（萬—2024）°+若tan30°-卜2|；

3—x+1卜+9W2Q+2）

（2）關于尤的分式方程士一+一=1的解為正數,且關于y的不等式組2y-a,的

x-33-x-........>1

3

解集為y巳5,求所有滿足條件的整數a的值之和.

一題型10列分式方程

（2024?云南昆明?模擬預測）

36.新楚大高速公路（楚雄到大理）通車運營，續寫了“云南第一路”新篇章.小杰家到大理

約240km,從新修道路自駕去大理的平均速度是原來的1.5倍，所需時間比原來縮短了lh,

設原來小杰自駕去大理的平均速度是xkm/h,根據題意，下列方程正確的是（）

2402401240240

A.---二1B.=1

2.5xXXl.5x

2402401240240

C.------十D.+-=--1---

2.5xXX1.5%

（2024.湖南長沙.模擬預測）

37.《九章算術》是我國古代重要的數學專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一

份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規定時間多一天：如果用快馬送，所需的

時間比規定時間少3天.已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規定時間.設規定時間為x天，

則可列方程為（)

49000900900900c

A.------x2=-------B.

x+1x-3x+1x-3

―900900900c900

C.——=-------x2D.

x-1x+3x-1x+3

（2024.廣東深圳.模擬預測）

38.2023年3月底，G107國道深圳寶安段（下稱“107國道”）正式啟動先行段的市政化改造,

它縱貫寶安區，沿線是廣深科技創新走廊的核心地段，千余家國家高新技術企業密布其間，

被視為“鵬城一翼”“灣區動軸它全長為31.4千米，這條94歲的國道路面需整改，為了盡

量減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時，每天的工效比原計劃增加20%,結果提

前5天完成這一任務，設原計劃每天整改x千米，則下列方程正確的是（）

31.431.4431.431.4

A.---------=5B.=5

(l+20%)xXX(l+20%)x

31.431.4431.431.4

C.-----二5D.=5

。-20%)無XX(l-20%)x

（2024?廣東深圳?三模）

39.一次夏令營活動中，班長購買了甲、乙兩種礦泉水，其中甲種礦泉水共花費80元，乙

種礦泉水共花費60元，甲種礦泉水比乙種礦泉水多20瓶，乙種礦泉水價格是甲種礦泉水價

2025年

格的L5倍.若設甲種礦泉水的價格為x元，根據題意可列方程為（）

A.里-絲2。B,四-里=2。

1.5xxx1.5%

―6080“-6080“

C.-------------=20D.-------------=20

x1.5x1.5xx

（2024.貴州黔南.模擬預測）

40.近年來，國家提倡節能減排，為響應號召，很多家庭都購入新能源汽車，2024年春節，

小明一家駕駛新購買的新能源汽車去相距1004km的海濱城市旅游，原計劃以Qkm/h的速度

行駛，后因要趕上新春煙花會而提前到達，實際行駛速度為原計劃速度的L3倍，結果比原

計劃提前了3h到達，則可列方程為（）

10041004。10041004。

A.---------------=3B.------+-------=3

a1.3aa1.3a

-1004100401004100410

C.---------------=3D.-------=---------1-1.3

1.3aa3aa

（2024.河北秦皇島?一模）

41.秦始皇統一度量衡意義重大，這一舉措極大地方便了生產與生活.如圖1和2,欣欣通

過兩把不同刻度的直尺說明了其中的原因，并進行如下探究:將兩把尺子有刻度的一側緊貼,

則由兩幅圖可得方程（）

0直24

1尺A直尺A

1

0直尺B320直尺B

圖1圖2

24_924」—10

B.

32~x-1032-9

24_924_x+10

D.

32-x+1032~9

g題型11利用分式方程解決實際問題

（2024.廣東深圳.模擬預測）

42.綜合與實踐.

如何分配工作，使公司支付的總工資最少

壯錦是工藝美術織品，是壯族人民最精彩的文化創造之一，其歷

素史也非常悠久.某公司承接到2160個壯錦手提包的訂單，計劃將

材任務分配給甲、乙兩個生產部門去完成.

1甲部門每天生產的總數是乙部門每天生產總數的2倍，甲部門單

a獨完成這項任務所需的時間比乙部門單獨完成少18天.

素

材經調查，這項訂單需要支付甲部門4800元/天，乙部門3000元/天.

2

素

材由于甲部門有其他工作任務，甲部門工作天數不超過乙部門工作天數的一半.

3

問題解決

任

務確定工作效率求甲、乙部門原來每天分別生產多少個壯錦手提包；

1

①若設甲部門工作加天，則甲部門完成壯錦手提包_____個，乙

任

部門工作時間可表示為_____天；

務擬訂設計方案

②如何安排甲、乙兩部門工作的天數，才能使正好完成任務時該

2

公司支付的總工資最少？最少需要多少元？

(2024.湖南衡陽.模擬預測)

43.某文創店，最近一款印有“保衛里”的書簽銷售火爆.該店第一次用1000元購進這款書

簽，很快售完，又花1600元第二次購進這款書簽，已知每個書簽第二次購進的成本比第一

次便宜了1元，且第二次購進的數量是第一次的2倍.

(1)求該店兩次購進這款書簽各多少個？

4

(2)第二次購進這款書簽后仍按第一次的售價銷售，在銷售了第二次購進數量的!■后，由于

天氣的影響，游客量減少，該店決定將剩下的書簽打五折銷售并很快全部售完，若要使兩次

2025年

購進的書簽銷售完后的總利潤不低于1880元，則第一次銷售時每個書簽的售價至少為多少

元？

（2024?江蘇揚州?模擬預測）

44.甲、乙兩個工程隊鋪設一條公路，已知甲工程隊每天比乙工程隊少鋪設6km,甲工程

隊鋪設60km所用的時間與乙工程隊鋪設90km所用的時間相同，求甲、乙兩個工程隊每天

各鋪設多少km?

（2024?山西?模擬預測）

45.2024年4月底，神舟十七號載人飛船返回艙順利返回東風著陸場，神舟十七號任務取

得圓滿成功.某飛箭航模店看準商機，購進了“神舟”和“天宮”模型.已知每個“神舟”模型的

進價比“天宮”模型多5元，同樣花費200元，購進“天宮”模型的數量比“神舟”模型多2個.

⑴“神舟”和“天宮”模型的進價各是多少元？

（2）該飛箭航模店計劃購進兩種模型共100個,且每個“神舟”模型的售價為35元,每個“天宮”

模型的售價為28元.設購進“神舟”模型。個，銷售這批模型的利潤為w元.若購進“神舟”

模型的數量不超過“天宮”模型數量的：，則購進“神舟”模型多少個時，銷售這批模型可以獲

得最大利潤？最大利潤是多少？

依題型12分式方程的應用與函數的綜合運用

（2023?江蘇揚州?模擬預測）

46.為了探究函數在圖象不明的情況下，函數值的變化情況，我們可以這樣定義：如果點

A（辦％）、以加+1,%）在函數的圖象上，那么我們把仁%一4稱為該函數的“單位鉛直高”.例

如：函數y=3x+2,當工=機時，弭=3機+2；當x=7"+l時，叼=3根+5,%-々=3,則

函數y=3尤+2"單位鉛直高”/=3.

⑴正比例函數＞=-2尤的“單位鉛直高"t=；

⑵若點尸（九4），。（，力+1,%）在反比例函數>=-式的圖象上，當這個反比例函數的“單位

X

鉛直高”/=1,求機的值；

（3）已知二次函數y=-5x2（x<0）,求這個二次函數的“單位鉛直高”f的最小值；

2

（4）求反比例函數y=-的"單位鉛直高”f的最大值.

x

（2022?江蘇無錫?二模）

47.如圖，有兩只大小不等的圓柱形無蓋空水杯（壁厚忽略不計），將小水杯放在大水杯中.現

沿著大水杯杯壁勻速向杯中注水，直至將大水杯注滿.大水杯中水的高度y（厘米）與注水

時間x（秒）之間的函數關系如圖所示.根據圖象，解答下列問題：

（1）圖中字母。的值為」

（2）若小水杯的底面積為30平方厘米，求大水杯的底面積.

（2020?河北唐山?三模）

48.石家莊某學校數學興趣小組利用機器人開展數學活動，在相距150個單位長度的直線跑

道AB上，機器人甲從端點A出發，勻速往返于端點A、B之間，機器人乙同時從端點B

出發，以大于甲的速度勻速往返于端點B、A之間.他們到達端點后立即轉身折返，用時忽

略不計，興趣小組成員探究這兩個機器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對面相

遇、在端點處相遇這兩種.

【觀察】

①觀察圖1,若這兩個機器人第一次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為30個單位

長度，則他們第二次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為個單位長度.

②若這兩個機器人第一次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為35個單位長度，則他

們第二次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為個單位長度.

【發現】

設這兩個機器人第一次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為x個單位長度，他們第

二次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為y個單位長度，興趣小組成員發現了y與x

2025年

的函數關系，并畫出了部分函數圖象（線段OP,不包括點O,如圖2所示）

①a=；

②分別求出各部分圖象對應的函數解析式，并在圖2中補全函數圖象.

【拓展】

設這兩個機器人第一次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為x個單位長度，他們第

三次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為y個單位長度，若這兩個機器人在第三次

迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離y不超過60個單位長度，則他們第一次迎面相遇

時，相遇地點與點A之間的距離x的取值范圍是.（直接寫出結果）

依題型13以真實問題情境為背景考查分式方程的實際應用

（2024?云南昭通?二模）

49.2024年前兩個月消費市場持續恢復向好，消費呈現平穩增長態勢,服務零售額增長12.3%,

其中餐飲收入增長12.5%.現有A、B兩家餐飲店，3餐飲店的人均消費金額比A餐飲店多10

元，在A餐飲店總消費金額為500元的人數與在B餐飲店總消費金額為600元的人數相同，

分別求43兩家餐飲店的人均消費金額.

（2024?廣東珠海?一模）

50.2024年春節聯歡晚會的吉祥物“龍辰辰”具有龍年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家

喜歡.某商場第一次用2400元購進一批“龍辰辰”玩具，很快售完；該商場第二次購進該

“龍辰辰”玩具時，進價提高了20%,同樣用2400元購進的數量比第一次少10件，求第一

次購進的“龍辰辰”玩具每件的進價是多少錢？

（23-24八年級下?四川成都.期中）

51.恰逢2024甲辰龍年，家家戶戶都掛上龍元素的飾品，某校初2025屆學生也在“衍紙畫

龍慶新春，巧手實踐迎新年”的實踐活動中，創造了許多美麗、獨特的“龍年裝飾畫”，其中

有19幅作品獲得一等獎.某文創店老板抓住商機花費4000元采購了一批“龍年裝飾畫“，并

全部售完，于是該老板又第二次采購，但第二次采購時每件的進價貴了5元，采購費用為

18000元，且采購數量是第一次采購的4倍.

國

(1)該老板采購第一批、第二批“龍年裝飾畫”時，每件的進價分別是多少元？

(2)該老板兩批“龍年裝飾畫”按相同的標價售出,但是最后的50件“龍年裝飾畫”按八折優惠

售出，老板在銷售過程中額外的成本為1000元，該老板要使兩批“龍年裝飾畫”全部售完后

利潤不低于6400元，那么每件“龍年裝飾畫”的標價至少是多少元？

(2024?廣東佛山?三模)

52.據工信部有關信息顯示，預計到2030年，我國新能源汽車保有量將達到6420萬輛.為

順應時代發展，加快公共領域充電基礎設施建設，某社區計劃在社區相關區域建設一些充電

基礎設施，經過工程招標，擬定購買A型慢充樁和B型快充樁兩種型號.已知A型慢充樁

比3型快充樁的單價少1.1萬元，且用6.4萬元購買A型慢充樁與用24萬元購買B型快充

樁的數量相等.

(1)問A,3兩種型號充電樁的單價各是多少？

(2)社區計劃共建設50個A,8型充電樁，平均每個充電樁場地建設費用為5000元，且本項

目預算建設總費用不超過60萬元，那么安裝購買A型慢充樁最少要有多少個？

"題型14以數學文化為背景考查分式方程的實際應用

(2020?吉林長春?三模)

53.意大利數學家斐波那契早在13世紀就提出了分式方程，在其《算經》一書中提出了大

量的分式方程問題.有一個“分錢問題”是這樣的：一組人平分10元錢，每人分得若干；若

加上6人，再平分40元，則第二次每人所得與第一次相同.求第一次分錢的人數.請根據

題中的敘述，求出第一次分錢的人數.

(2024?山西晉中?三模)

54.元代數學家朱世杰于1303年編著的《四元玉鑒》中有這樣一道題目：“今有綾、羅共三

丈，各值錢八百九十六文，只云綾、羅各一尺共值錢一百二十文.問綾、羅尺價各幾何？”

其大意為現在有綾布和羅布，布長共3丈(1丈=10尺)，已知綾布和羅布分別全部出售后

2025年

均能收入896文，綾布和羅布各出售一尺共收入120文.問兩種布每尺各多少錢？若設綾布

有x尺，則下列方程正確的為（）

896896896896

A.--------1--------------B.--------1------------=120

x120-xx30-x

C,肥+些=12。896896

D.--------1--------------

x3一1x120-x

（22-23九年級上?云南昆明?期中）

55.《四元玉鑒》是我國古代數學重要著作之一，為元代數學家朱世杰所著.該著作記載了“買

椽多少”問題.“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽.每株腳錢三文足，無錢準與一株椽”.大

意是：現請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文.如果每株椽的運費是3文，那么少拿

一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？（椽，裝

于屋頂以支持屋頂蓋材料的木桿）設這批椽有x株，則符合題意的方程是（）

6210c6210c〃“6210“八6210

A.------=3B.------=3C.3（1）=------D.3（1）=------

xx-1X''x-1

（2024?山西呂梁?三模）

56.請閱讀下面材料，并完成相應的任務.用“幾何代數法”解分式方程.

《幾何原本》中的“幾何代數法”是指用幾何方法研究代數問題，這種方法是數學家處理問題

的重要依據.在意大利數學家斐波那契（約1170—1250）編寫的《計算之書》中頻繁運用

了這種方法.例如，運用面積關系將分式方程轉化為整式方程，從而求解分式方程.

例：《計算之書》中記載了一道題，譯文如下：一組人平分90枚硬幣，每人分得若干，若再

加上6人，平分12。枚硬幣，則第二次每人所得與第一次相同.求第一次分硬幣的人數.設

第一次分硬幣的人數為x人，則可列方程為？on=三120.

xx+6

解：構造如圖1所示的圖形，BC=x,CE=6,矩形A3C￡＞的面積為90,矩形跖的面

90120

積為120,則。。=一，EF=-顯然，CD=EF.

xx+6

S矩形ABCD_BCCDBC

根據圖形可知

S矩形CEFDCE-CDCE,

90x

所以=（將分式方程轉化成了整式方程）

120—90o

解得x=18.

答：第一次分硬幣的人數為18人.

(1)如圖2,AB=x,BC=2,矩形ABDE和矩形ACGH的面積均為60,下列代數式可以

表示邊DF的是.(多選)

,60r60-6060r120

A.—B.------C.-------------D./

xx+2xx+2x(x+2)

⑵如圖3,AB=xfBC=2,矩形ACDE的面積為60,矩形的面積為20,77=5,

則可列方程為.

2025年

21

（3）請仿照材料中的方法，通過構造圖形，求分式方程--=—；的解.

x+3X—1

重難創新練

（2024?四川達州?中考真題）

57.如圖，在中，NC=90。.點。在線段上，NA4D=45。.若AC=4,CD=1,

則VABC的面積是

（2024.廣西?中考真題）

58.綜合與實踐

在綜合與實踐課上，數學興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節約用水策略.

【洗衣過程】

步驟一：將校服放進清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；

步驟二：將擰干后的校服放進清水中，充分漂洗后擰干.重復操作步驟二，直至校服上殘留

洗衣液濃度達到洗衣目標.

假設第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為02%,每次擰干后校服上都殘留0.5kg水.

濃度關系式：d后其中?前、d后分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w

為單次漂洗所加清水量（單位：kg）

【洗衣目標】經過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01%

【動手操作】請按要求完成下列任務：

（1）如果只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要多少清水？

（2）如果把4kg清水均分，進行兩次漂洗，是否能達到洗衣目標？

（3）比較（1）和（2）的漂洗結果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法.

（2024?河北?中考真題）

59.某公司為提高員工的專業能力，定期對員工進行技能測試，考慮多種因素影響，需將測

試的原始成績x（分）換算為報告成績〉（分）.已知原始成績滿分150分，報告成績滿分

100分、換算規則如下：

當0?尤<〃時，y=-----；

P

當p<尤<150時，y=2。（*__￡1+80.

150-p

（其中P是小于150的常數，是原始成績的合格分數線，80是報告成績的合格分數線）

公司規定報告成績為80分及80分以上（即原始成績為p及p以上）為合格.

（1）甲、乙的原始成績分別為95分和130分，若p=100,求甲、乙的報告成績；

（2）丙、丁的報告成績分別為92分和64分，若丙的原始成績比丁的原始成績高40分，請推

算P的值：

（3）下表是該公司100名員工某次測試的原始成績統計表：

原始成績（分）95100105110115120125130135140145150

人數1225810716201595

①直接寫出這100名員工原始成績的中位數；

②若①中的中位數換算成報告成績為90分，直接寫出該公司此次測試的合格率.

（2023.江蘇南京?中考真題）

60.如圖，為了測量無人機的飛行高度，在水平地面上選擇觀測點A,B.無人機懸停在C

處,此時在A處測得C的仰角為36。52'無人機垂直上升5m懸停在。處,此時在8處測得D

的仰角為63。26',AB=10m,點A,B,C,。在同一平面內，A,3兩點在CD的同側.求

無人機在C處時離地面的高度.（參考數據：1^36°52'?0.75,tan63026,?2.00）

（2024?海南?中考真題）

61.分式方程一二=1的解是（）

x-2

A.x=3B.x=—3C.x=2D.x=—2

2025年

（2024?江蘇無錫?中考真題）

62.分式方程上=—的解是（）

xx+1

A.x=lB.x=—2C.x=-D.x=2

2

（2024?山東?中考真題）

63.為提高生產效率，某工廠將生產線進行升級改造，改造后比改造前每天多生產100件,

改造后生產600件的時間與改造前生產400件的時間相同，則改造后每天生產的產品件數為

（）

A.200B.300C.400D.500

（2024?四川遂寧?中考真題）

64.分式方程2三=1m'的解為正數，則機的取值范圍（）

x—1x-1

A.m>-3B.m〉一3且加。一2

C.m<3D.根<3且相。一2

（2023?黑龍江?中考真題）

65.已知關于尤的分式方程/三+1=—的解是非負數，則，"的取值范圍是（）

x-22-x

A.m<2B.m^2C.加<2且機w—2D.機<2且機w—2

（2023?上海?中考真題）

66.在分式方程"+上=5中，設7=y,可得到關于y的整式方程為（）

尤~2x-l廠

A./+5^+5=0B.y2-5y+5=0C.y2+5y+l=0D.y2-5y+l=0

（2024.山東東營.中考真題）

67.水是人類賴以生存的寶貴資源，為節約用水，創建文明城市，某市經論證從今年1月1

日起調整居民用水價格，每立方米水費上漲原價的;?小麗家去年5月份的水費是28元，

而今年5月份的水費則是24.5元.已知小麗家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量

少3m3.設該市去年居民用水價格為x元/n?,則可列分式方程為.

（2023?湖南永州?中考真題）

68.若關于x的分式方程一\-4=1（也為常數）有增根，則增根是____.

x-44-x

（2023?四川眉山?中考真題）

69.關于x的方程--l=j的解為非負數，則機的取值范圍是.

（2024.四川雅安?中考真題）

70.某市為治理污水，保護環境，需鋪設一段全長為3000米的污水排放管道，為了減少施

工對城市交通所造成的影響，實際施