專題36最值模型之逆等線模型

最值問題在各類考試中常以壓軸題的形式考查，逆等線模型主要考查轉化與化歸等的數(shù)學思想。在各

類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的逆等線問題進行梳理及對應試

題分析，方便掌握。

目錄導航］

例題講模型］

-----------------------1..........................................................................................................................................1

模型1.最值模型-逆等線模型（三角形邊上的逆等線）..........................................1

模型2.最值模型-逆等線模型（非邊上的逆等線）..............................................3

模型3.最值模型-逆等線模型（同邊上的逆等線）..............................................4

模型4.最值模型-逆等線模型（特殊平行四邊形的逆等線）......................................5

模型5.最值模型-加權逆等線模型..............................................................7

習題練模型

...........................................................................................................................................9

例題講模型］

模型1.最值模型-逆等線模型（三角形邊上的逆等線）

模型解讀

逆等線：AABC中，D、E分別是A3、AC上的動點，S.AD=CE,即逆向相等，則稱和CE為逆等線。

逆等線模型特點：動線段長度相等，并且位置錯開。

模型證明

條件：如圖，在zVlBC中，ZABC=a,BC=m,AC=w,點。、E分別是AB、AC上的動點，MAD=CE,求

CD+BE的最小值。

u

證明思路：①在AADC中，以CE為一邊構造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等；

②即過點C作CF//AB,且CF=AC。（構造一邊一角，得全等）；③構造出“DC絲SAS）；證出EF=CD；

@CD+BE=EF+BE,根據(jù)兩點之間，線段最短，連接3/，則即為所求，此時，B、E、尸三點共線；

⑤求8凡構造直角三角形求出8G和尸G,再利用勾股定理求出8尸即可。

模型運用

例1.（23-24九年級上.廣東廣州?期中）在等邊三角形VA3C中，邊AB上的點。從頂點A出發(fā)，向頂點6運

動，同時，邊BC上的點E從頂點8出發(fā)，向頂點C運動，D,E兩點運動速度的大小相等，設％=/1￡）,

y=AE+CD,y與尤的函數(shù)圖象如圖，圖象過點（0,4）,則圖象最低點的縱坐標是（）

乂4卜J

AL

BECO1j

A.V2-1B.?C.2V3-ID.2A/3

例2.（23-24九年級上?江蘇無錫?期末）如圖,在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6,點D、E分另U是AB、

AC上兩動點，且AD=CE,連接CD、BE,CD+BE最小值為____.

AA

B乙-----------、C

例3.（23-24九年級下?廣東廣州?階段練習）如圖，在Rt^ABC中，AB=3,AC=4,ABAC=90°,D,E

分別是邊A8,AC上的動點，且=則CD+BE的最小值為.

例4.（24-25八年級上?四川成都?期中）如圖，在VABC中，ZABC=45°,ABAC=15°,AC=2,點E與

點。分別在射線8C與射線AD上，且=則AE+BD的最小值為,的最小值為.

模型2.最值模型-逆等線模型（非邊上的逆等線）

模型解讀

條件：已知三角形ABC中，AB=a,BC=b,C。為高，CE=BF,求AF+3E的最小值。

CG

4DBADB

證明思路：①CE在ABEC中，以2尸為一邊構造另一個三角形與之全等,這個也叫做一邊一角造全等;

②即過點B作BG//CE,且BG=BC=6。（構造一邊一角，得全等）；

③構造出ABEC0△GFB（SAS）；證出EB=FG；

@AF+BE=AF+FG,根據(jù)兩點之間，線段最短，連接AG,則AG即為所求，止匕時，A、F、G三點共線;

⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。

模型運用

例1.（2024?安徽合肥?一模）如圖，AQ為等邊AABC的高，E、尸分別為線段A。、AC上的動點，且AE=

CF,當8F+CE取得最小值時，ZAFB=

A

BDC

A.112.5°B.105°C.90°D.82.5°

例2.（2023?四川成都?一模）如圖，在三角形VABC中，NA4c=50。，AB=AC,8。_147于。，M,N

分別是線段BO,上的動點，BM=CN,當AM+AN最小時，ZMAD^.

例3.（2024?四川樂山?二模）如圖，等腰AABC中，ZBAC=100°,3。平分NABC,點N為20上一點，點

M為BC上一點、,且BN=MC,若當AM+4V的最小值為4時，A8的長度是.

A

模型3.最值模型-逆等線模型（同邊上的逆等線）

模型解讀

條件：已知在RtAABC中，ZACB=90°,AB=a，點、E、。是線段AB上的動點，且滿足

求CD+CE的最小值。

C

模型證明

證明思路：①BE在ABEC中，以A。為一邊構造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等；

②即過點A作AF//BC,且AF=BC=6。（構造一邊一角，得全等）；

③構造出XBEC名AADF（SAS）；證出CE=FD；

@CD+CE=CD+FD,根據(jù)兩點之間，線段最短，連接CR則CF即為所求，此時，F(xiàn)、D、C三點共線;

⑤求尸C。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等證明尸C=A3也可。

模型運用

例1.（23-24八年級上?北京朝陽?期末）如圖，R/AABC中，ZACB=90°,ZB^30°,D,E為A3邊上的

兩個動點，且=連接CD,CE,若AC=2,則CD+CE的最小值為.

例2.（23-24八年級下?黑龍江哈爾濱?期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC上有兩動點E和凡連接BE

和3/，^AE=CF,AC-AB=9,AC—BC=2,則3E+3尸的最小值是.

模型4.最值模型-逆等線模型（特殊平行四邊形的逆等線）

模型解讀

特殊的平行四邊形的逆等線模型我們就以矩形為例來研究即可。

條件：已知在矩形ABC。中，AD=a,AB=b，點、E、尸是邊BC、8。上的動點，且滿足

求AE+AE的最小值。

模型證明

證明思路：①BE在AABE中，以。尸為一邊構造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等；

②即過點A作/EDG=NABE=90。，且DG=AB=6。（構造一邊一角，得全等）；

③構造出AABE且△GZ）尸（SAS）；證出AE=FG；

④AF+AE=AF+FG,根據(jù)兩點之間，線段最短，連接AG,則AG即為所求，止匕時，A、F、G三點共線；

⑤求AG。先利用相似求出。X和8G（若四邊形為正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出兩

條線段的長度），再利用勾股定理求出AG即可。

模型運用

例1.（2023?山東德州?校考一模）如圖，在菱形ABCD中，/ABC=60。，AB=4,E,尸分別是邊2C和

對角線50上的動點，且=f，則A￡+AF的最小值為

例2.（2023?陜西西安?模擬預測）如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,點E、下分別是邊8C和對角線

3。上的例2.動點，且BE=DF,則A￡+AF的最小值是.

例3.（2024?福建南平.一模）如圖，在菱形A8CQ中，AB=2,NABC=120。，點E,F分別在AB,CD±,

且DF=BE,連接DE,AF,則DE+AF的最小值為

模型5.最值模型-加權逆等線模型

模型解讀

條件：已知在VABC中，ZACB=a，AB=a,AC=6,點及。是線段AB、8C上的動點，且滿足8E"

xA￡）,

求AE+QC。的最小值。

模型證明

證明思路：①在AAOC中，以2E為一邊構造另一個三角形與之相似，這個也叫做一邊一角造相似;

②即過點B作NE8P=/ZMC=90。，且BF=kxAC=kb。（構造一邊一角，得相似）;

③構造出△E2F絲ZX/MC(SAS)；證出EF=kxDC；

@AE+k^CD=AE+EF,根據(jù)兩點之間，線段最短，連接AE則AF即為所求，此時，A、F、E三點共線;

⑤求A凡^MZGBF=ZACB=a,再利用三角函數(shù)求出BG和尸G,最后利用勾股定理求出A尸即可。

模型運用

例1.（24-25九年級上?四川成都?階段練習）如圖，在等邊VABC中，BC=6,E,尸分別是邊AB、AC上

的動點，且滿足C「=23E,則3尸+2CE的最小值為；

例2.（24-25九年級上?陜西西安?階段練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=5,BC=6,E、歹分別為BC、

CO上的動點，且BE=2DR,則DE+2AF的最小值為.

例3.（2024?四川成都?校考一模）如圖，平行四邊形ABCD,AB>AD,AD=4,ZAZ>B=60。，點E、F為

對角線8。上的動點，DE=2BF,連接AE、CF,則AE+2b的最小值為.

例4.（2024?吉林?模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，AB=4,NABC=60。，點E,尸分別是3。，CD±

的點，若BE=2CF,則,+凈的最小值是一.

BC

習題練模型

1.（23-24九年級上.河南安陽?階段練習）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC上有兩動點E和尸，連接BE

和BF,若AE=CF,AC-AB=4,AC-BC=2,則3E+3尸的最小值是（）

A.4B.10C.6D.20

2.（2024?河南商丘?八年級期中）如圖，等邊AABC中，為BC邊上的高，點M、N分別在A。、AC上,

且AM=CN,連3M、BN,當最小時，的度數(shù)為（）

A.15°B.22.5°C.30°D.47.5°

3.（23-24八年級下.安徽安慶?期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E,尸分別是BC,C。邊上的動

點，且=（1）若比=CF=1,則AE+A^=；（2）/場+”的最小值為

4.（2024?四川綿陽?三模）在Rt/XABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點。，E分別為AB,8C上的動點,

且AB=3日當AE+CD的值最小時，CE的長為.

A

D

5.（23-24八年級下?江蘇宿遷?期末）如圖，邊長為2的菱形ABCD中，ZABC=60°,E,尸分別是AO,BD

上的動點，DE=BF,連川，CE,則AE+CE的最小值為.

6.（23-24八年級上?四川成都?期末）在VABC中，N54c=90。，AB=5,AC=y,D,E分別為射線BC

與射線AC上的兩動點，且BD=AE,連接AD,BE,則AD+3E最小值為；|相）-即的最大值為.

7.（2024?陜西西安?二模）如圖，正方形ABCD的邊長為2,E、歹分別是對角線AC和邊C。上的動點，滿

足AE=￡＞尸.當BE+8B=2有時，線段CP的長度為一.

8.（2024.四川宜賓?中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2,AD=4,E、尸分別是邊CD、AD±.

9.（2024湖北武漢.二模）如圖，M為矩形ABCD中AD邊中點，E、F分別為BC、CD上的動點，且BE

=2DF,若AB=1,BC=2,則ME+2AF的最小值為

10.（23-24九年級上?福建福州?期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=20，BC=6,ZADC=120°,

點、E,F分別在邊AD,AB上運動，且滿足BF=6DE,連接BE,CF,則CF+y/iBE的最小值是

11.（2024?黑龍江綏化?模擬預測）如圖：等邊三角形ABC中，AB=1,E、E分別是邊AB、AC上的動點,

且CR=23E,則政+2CE的最小值為.

A

12.（2024?山東濟南?二模）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的動點，且3E=2CF,

若AB=1,則DE+2BF的最小值是.

13.（23-24九年級上?陜西咸陽?階段練習）如圖，在44BC中，AB=4,AC=6,以點5為直角頂點、BC

為直角邊向下作直角△BCD,且3C=2BD,連接AQ,則AD的最大值是

14.（23-24九年級上?四川成都?期末）如圖所示，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E,尸分別是AC,CD

ApSS

上的動點，且而，連接BE,3尸，當E為AC中點時，貝UBE+M=；在整個運動過程中，BE+tBF

15.（2024?廣東深圳?模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，ZA=2ZB,鉆=2,點￡和點尸分別在邊AB和

邊BC上運動，且滿足=則。P+CE的最小值為（）

C.2驕D.6

16.（23-24九年級上?四川成都?開學考試）如圖，在矩形中，AB=2,ZACB=30°,P,。分別為對

角線AC邊CO上的兩點，且AP=C0,3P+3Q的最小值為.

17.（2024?江蘇連云港?中考真題）【問題情境】

（1）如圖1,圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面

積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉45°（如圖2）,這時候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的

倍.由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略；

圖1圖2

【操作實踐】(2)如圖3,圖①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊。、b、c、1之間存在某種數(shù)量關系.小

昕按所示步驟進行操作，并將最終圖形抽象成圖4.請你結合整個變化過程，直接寫出圖4中以矩形內(nèi)一點

產(chǎn)為端點的四條線段之間的數(shù)量關系；

【探究應用】(3)如圖5,在圖3中“④”的基礎上,小昕將△產(chǎn)□?繞點P逆時針旋轉，他發(fā)現(xiàn)旋轉過程中NDAP

存在最大值.若PE=8,PF=5,當NZMP最大時，求的長;

(4)如圖6,在Rt/VlBC中，ZC=90°,點E分別在邊AC和8c上，連接DE、AE、BD若AC+CD=5,

BC+CE=8,求AE+8Z）的最小值.

18.(2024?安徽池州?模擬預測)如圖，已知拋物線丁=-；/+泳+。與x軸交于A、8(4,0)兩點，與y軸交

于點CQ2).點尸為第一象限拋物線上的點，連接C4,CB,PB,PC.

(1)直接寫出結果：b=；。=；點人的坐標為；tanZABC=；

(2)如圖1,當/PCB=2/OG4時，求點尸的坐標；

(3)如圖2,點。在V軸負半軸上，OD=03,點。為拋物線上一點，/。8。=90。.點E,尸分別為

的邊OQ,￡>8上的動點，且QE=。尸，求8E+Q尸的最小值.

圖1圖2備用圖

專題36最值模型之逆等線模型

最值問題在各類考試中常以壓軸題的形式考查，逆等線模型主要考查轉化與化歸等的數(shù)學思想。在各

類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的逆等線問題進行梳理及對應試

題分析，方便掌握。

目錄導航］

例題講模型］

-----------------------1..........................................................................................................................................1

模型1.最值模型-逆等線模型（三角形邊上的逆等線）..........................................1

模型2.最值模型-逆等線模型（非邊上的逆等線）..............................................3

模型3.最值模型-逆等線模型（同邊上的逆等線）..............................................4

模型4.最值模型-逆等線模型（特殊平行四邊形的逆等線）......................................5

模型5.最值模型-加權逆等線模型..............................................................7

習題練模型

...........................................................................................................................................9

例題講模型］

模型1.最值模型-逆等線模型（三角形邊上的逆等線）

模型解讀

逆等線：AABC中，D、E分別是A3、AC上的動點，S.AD=CE,即逆向相等，則稱和CE為逆等線。

逆等線模型特點：動線段長度相等，并且位置錯開。

模型證明

條件：如圖，在zVlBC中，ZABC=a,BC=m,AC=w,點。、E分別是AB、AC上的動點，MAD=CE,求

CD+BE的最小值。

證明思路：①在AADC中，以CE為一邊構造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等；

②即過點C作CFHAB,且CP=AC。（構造一邊一角，得全等）；③構造出“OC0（SAS）；證出EF=CD；

@CD+BE=EF+BE,根據(jù)兩點之間，線段最短，連接8/，則即為所求，此時，B、E、尸三點共線；

⑤求8八構造直角三角形求出BG和BG,再利用勾股定理求出8尸即可。

模型運用

例1.（23-24九年級上?廣東廣州?期中）在等邊三角形VABC中，邊A8上的點。從頂點A出發(fā)，向頂點8運

動，同時，邊BC上的點E從頂點B出發(fā)，向頂點C運動，D,E兩點運動速度的大小相等，^x=AD,

y=AE+CD,y與無的函數(shù)圖象如圖，圖象過點（0,4）,則圖象最低點的縱坐標是（）

C.273-1D.2A/3

【答案】D

【分析】結合函數(shù)圖像，當x=0時，y=4,求得等邊三角形的邊長，證明AADC&A8E4,得出

y=AE+CE=2AE,當AE_L3C時，AE最小，勾股定理即可求解.

【詳解】當％=0時，y=AE+CD=AB+AC=4f?三角形A3C是等邊三角形，：.AB=BC=2,

?；AD=BE,ADAC=NEBA=60°,AC=BA,；.^ADC^BEA,

y=AE+CE=2AE,當AE_L8C時，AE最小，最小值為JAB?-AB)=^-AB=43,

的最小值為2g,即圖象最低點的縱坐標是2相，故選：D.

【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，勾股定理，垂線段最短，求得等邊三角形的邊長是解題的關鍵.

例2.(23-24九年級上?江蘇無錫?期末)如圖，在等腰AABC中，AB=AC=5,BC=6,點D、E分別是AB、

AC上兩動點，且AD=CE,連接CD、BE,CD+BE最小值為.

【答案】歷

【分析】過點A作BC,>AH=BC,連接。X,由題意易得進而可證

則有CD+BE=CD+HD,當CD+BE為最小時，即CD+HO為最小，當點C、。、”三點共線時即為最小，連

接CH,交于點過點M作MNLBC于點N,點A分別作于點憶如圖所示，即C8的長度

113

為CD+BE的最小值，然后可得AHW/則有MN=—AF=2,BN=NF=—BF=—,

222

9

CN=CF+NF=-,然后問題可求解.

2

【詳解】解：由題意可得如圖所示：

\'AB=AC,：.ZABC=ZACB,：.ZHAD=ZBCE,

'：AD=CE,:.△HAD也ABCE(SAS),：.HD=BE,：.CD+BE=CD+HD,

.?.當CD+BE為最小時，即CD+HD為最小,

二當點C、。、“三點共線時即為最小，連接CH,交A8于點M,過點M作MN,8c于點N,點A分別作

AFL8C于點居如圖所示，即C”的長度為CO+BE的最小值，

VAB=AC=5,BC=6,；.BF=CF=3,/.AF=^AB2-BF2=4-

AH//BC,：.ZHAM=ZB,；NHMA=NCMB,

:.AHAM%CBM(A4S),：.AM=BM=-,HM^CM=-HC,

22

113

?：AF//MN,點M是AB的中點，:.MN=—AF=2,BN=NF=—BF=—，

222

ACN=CF+NF=^,.：在&AMNC中,CM=yjMN2+CN2=,

CH=2CM=屈，：.CD+BE的最小值為歷；故答案為屈.

【點睛】本題主要考查勾股定理及等腰三角形的性質，解題的關鍵在于構造三角形全等把問題轉為兩點之

間線段最短進行求解即可.

例3.(23-24九年級下.廣東廣州?階段練習)如圖，在RtZ^ABC中，AB=3,AC=4,ABAC=90°,D,E

分別是邊AB,AC上的動點，且BD=AE,則CD+BE的最小值為.

【答案】屈

【分析】本題考查了正方形和矩形的判定與性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，過8作枷，4?,

使3N=AB=3,連接DN,CN,作M0，AC交C4延長線于點M,證明四邊形4VWB是正方形，由勾股

定理得CN=1MN?+C”=打+72=屈，然后證明△及石絲ANBDGAS),當N,。，C三點共線時，

CD+8E有最小值耳，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】過8作使m=AB=3,連接DN,CN,作MlJ_AC交6延長線于點”，

ZAMN=ZMAB=ZABN=90°,四邊形AMA啰是矩形，:.BN=AB,

四邊形AMA?是正方形，=AEV=3,CM=7,CN=QMN?+CM?=j3?+7?=屈，

VBD=AE,/BAE=NNBD=90。,AB=BN,；.ABAERNBD（SAS）,

：.BD=BE,/.ND+DC>CN,即CD+BENCN,

當N,D,C三點共線時，CD+BE有最小值可，故答案為：758.

例4.（24-25八年級上?四川成都?期中）如圖，在VABC中，ZABC=45°,/&LC=75。，AC=2,點E與

點。分別在射線BC與射線AD上，且=則AE+3D的最小值為,AE+ED的最小值為.

【答案】3五46

【分析】先根據(jù)已知條件求得各邊數(shù)據(jù),然后根據(jù)已知一邊一角，構造全等三角形，當。在上時，

取得最小值，如圖所示，過點M作交出的延長線于點N,進而勾股定理即可求解；對于AE+EZ）,

構造等邊三角形，進而即可求解.

【詳解】如圖所示，過A作AFIBC交BC的于尸，

VZABC45°,ZBAC=75。,：.ZACB=180°-45°-75°=60°AZCAF=30°,ZABC=ZBAF=45°,

"：AC=2,：.CF=^AC=1,AF=BF=>jAC2-CF2=73AB=y/AF2+BF2=46

如圖所示，作NM4D=45。且AM=AB,連接￡>Af,BM,AB=AM,ZABE=ZMAD=45°,BE=AD

：.AABE^AM4D（SAS）/.AE=DM，BD+AE=BD+DM>BM,

當。在BM上時，即+AE取得最小值，如圖所示，過點M作腦交54的延長線于點N,

ZBAD=75°,Z.DAM=45°ZNAM=60°,ZAMN=300'：AB=AM/.ZABM=30°

：AM=AB=而在Rt&WM中，AN=-AM=—,：.MN=y[3AN=^-

222

:.BM=2MN=3及,即鉆+應）的最小值為人歷；

如圖所示，作A關于的對稱點J,連接則

AB=AM,ZBAM=120°AB=AM則ZABM=ZJBM=30°ZABJ=60°,

,/對稱，；.BA=BJ：.“ABJaAMJ都是等邊三角形，連接EJ,DJ,

?：AABE當41AD,：.ZBAE=ZAMD,貝=

又?/AJ=JM,AE=MD:.AEAJ'DMJ：.ZEJA=NDJM,EJ=DJ

：./R7D=/ATM=60。.是等邊三角形，AE+ED=AE+EJ>AJ

...當E在A7上時，AE+ED=AJ,如圖所示

此時AE+ED取得最小值，最小值AJ=AB=n故答案為：3應，瓜.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質，勾股定理，線段

最值問題，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

模型2.最值模型-逆等線模型（非邊上的逆等線）

模型解讀

條件：已知三角形A8C中，AB=a,BC=b,C。為高，CE=BF,求AF+BE的最小值。

模型證明

證明思路：①CE在ABEC中，以8尸為一邊構造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等;

②即過點8作BG//CE,且BG=BC=6。（構造一邊一角，得全等）;

③構造出(SAS)；證出EB=FG；

④AF+BEMF+PG,根據(jù)兩點之間，線段最短，連接AG,則AG即為所求，此時，A、F、G三點共線;

⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。

模型運用

例1.(2024?安徽合肥.一模)如圖，為等邊"BC的高，E、尸分別為線段A。、AC上的動點，且AE=

CF,當BP+CE取得最小值時，ZAFB=

A.112.5°B.105°C.90°D.82.5°

【答案】B

【分析】如圖，作輔助線，構建全等三角形，證明"EC絲△CM,得CE=FH,將CE轉化為FH,與BF

在同一個三角形中，根據(jù)兩點之間線段最短，確定點P的位置，即尸為AC與的交點時，BF+CE的值最

小，求出此時乙4尸8=105。.

【詳解】解:如圖，作C//L2C,且C8=BC,連接交AD于M,連接產(chǎn)

?.,△ABC是等邊三角形，AD±BC,：.AC=BC,ZDAC=30°,：.AC=CH,

,：ZBCH=90°,ZACB=60°,：.ZACH=9O°-60°=30°,：.ZDAC=ZACH=3>0°,

?：AE^CF,：./\AEC^/\CFH,:.CE=FH,BF+CE=BF+FH,

當F為AC與的交點時，如圖2,Bb+CE的值最小，

此時NPBC=45°,ZFCB=60°,：.ZAFB=105°,故選2.

圖2圖1

【點睛】此題考查全等三角形的性質和判定、等邊三角形的性質、最短路徑問題，關鍵是作出輔助線，當

3F+CE取得最小值時確定點E的位置，有難度.

例2.（2023?四川成都?一模）如圖，在三角形V45C中，ABAC=50°,AB=AC,8Z）_LAC于。，M,N

分別是線段3。，8C上的動點，BM=CN,當AM+4V最小時，ZMAD=.

【分析】在8C下方作ACA^,使AQMNABMA,連接A41則4W+4V最小值為A4',止匕時A、N、A三點

1ono_inco

在同一直線上，推出Z4'AC=/A'=----------------=37.5。，所以㈤M=37.5。，即可得到

2

ZMAD=ZBAC-ZBAM=50°-37.5°=12.5°.

【詳解】解：在5C下方作△皈，，使/△BM4,連接AV.

貝l)Z/VC4'=ZMR4,AM=AN.AAM+AN=AN+AN>AA,

即AM+4V最小值為4V,此時A、N、A三點在同一直線上.

VZBAC=5009AB=ACf：.ZACB=ZABC=65°,

BD1AC,ZABD=90°-50°=40°,ZNCA=40°,ZACA=65°+40°=105°,

1QQO_105。

ZA'AC=ZA'=---------------=37.5°,ZBAM=37.5。，

2

ZMAD=ZBAC-ZBAM=50°-31.5°=n.5°,故答案為：12.5°.

【點睛】本題考查了最短路線問題以及等腰三角形的性質的運用，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮

線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點.

例3.（2024?四川樂山?二模）如圖，等腰AABC中，ZBAC=100°,8D平分/ABC,點N為80上一點，點

加為8C上一點，且BN=MC,若當+AN的最小值為4時，AB的長度是

【答案】4

【分析】由等腰AABC中，Z&4C=100°,可得ZABC=/ACB==的。,由比）平分/ABC,可

得NABO=gNABC=20。，如圖，作NBCE=NABD=20。，使CE=AB,連接加，貝1J

ZACE=ZACB+ZBCE=60°,證明ACEM絲AB4N（SAS）,則ME=4V,CE=AB,AM+AN=AM+ME,

可知當A、M,E三點共線時，AM+AN最小，即AE=4,證明"CE是等邊三角形，貝UAC=AE=4,進

而可求.

【詳解】解：：等腰“BC中，ZBAC=100°,/ABC=/ACB=幽二也2=40。，

2

：8。平分/ABC,Z.ZABD=|ZABC=20°,如圖，作NBCE=NASD=20。，使CE=AB,連接EM,

/.ZACE=ZACB+ZBCE=60°,VCE=AB,ZBCE^ZABD,MC=BN,

/.ACEM=ABAN(SAS),ME=AN,CE=AB,AM+AN=AM+ME,

...當A、M、E三點共線時，+最小，即AE=4,

VCE^AC,ZACE=60°,；.△ACE是等邊三角形，；.AC=AE=4,AAB=4,故答案為：4.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，角平分線，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質

等知識.熟練掌握等腰三角形的性質，角平分線，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質是

解題的關鍵.

模型3.最值模型-逆等線模型(同邊上的逆等線)

模型解讀

條件：已知在Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=a,點、E、。是線段A8上的動點，且滿足

求CD+CE的最小值。

證明思路：①BE在ABEC中，以為一邊構造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等;

②即過點A作AF//BC,且A尸=BC=6。（構造一邊一角，得全等）；

③構造出4BEC沿AADF（SAS）；證出CE=FD；

@CD+CE=CD+FD,根據(jù)兩點之間，線段最短，連接CT,則CF即為所求，此時，F(xiàn)、D、C三點共線;

⑤求PC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等證明也可。

模型運用

例1.（23-24八年級上?北京朝陽?期末）如圖，中，ZACB=90°,ZB=30°,D,E為AB邊上的

兩個動點，且=連接CD,CE,若AC=2,則CD+CE的最小值為.

【答案】4

【分析】過點A,B分別作AC的垂線和8c的垂線交于點"，連接MC,ME,先證△ACBZ/WBC,得

AB^MC,再證A。⑦絲AMBE,得CD=ME,進而得出CD+CE=ME+CE,當C,E,M三點不共線時，

ME+CE>MC；當C,E,M三點共線時，ME+CE=MC,然后根據(jù)直角三角形中，30。的角所對的直

角邊等于斜邊的一半求出AB的值，從而得出結果.

【詳解】過點A,8分別作AC的垂線和BC的垂線交于點“，連接MC,ME,

■：ZACB=90°,MA±AC,..AM//CB,,:MBIBC：.AC〃MB,AC=MB,■.ZCAB=ZMBA,

■：BC=CB,ZACB=ZAffiC=90°,AACB^MBC,AB=MC,

■：AD=BE,^CAD^iMBE,■-CD=ME,■-CD+CE=ME+CE,

當C,E,M三點不共線時，ME+CE>MC-,當C,E,M三點共線時，ME+CE^MC.

CD+CE的最小值是MC的長，Z5=30°,ZACB=90°,AB=2AC,

VAC=2,AB=4,■-MC=AB=4,CD+CE的最小值是4.故答案為：4.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，三角形三邊關系，直角三角形的性質，正確作出輔助

線找出恰當?shù)娜热切问墙獗绢}的關鍵.

例2.（23-24八年級下?黑龍江哈爾濱?期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC上有兩動點E和尸，連接破

和3尸，若AE=CF,AC-AB^9,AC-BC=2,則仍+3歹的最小值是.

D

【答案】17

【分析】如圖，連接Db,BD,由全等三角形判定(SAS)可以證得△ABE0ACD7L得到DF=BE,進而

得到5E+9'23。，再根據(jù)題意及勾股定理求出AC的值，即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接。尸，BD,

,??四邊形ABCD是矩形，:.AB//CD,AB^CD,ZABC=90°,:.NBAE=NDCF,

■.■AE=CF,:.AABEMACDF(SAS),:.BE=DF,vBF+DF>BD,:.BE+BF>BD,

又???AC,80為矩形的對角線，=3D;.3E+M2AC,

?.?△ABC是直角三角形，AC-AB=9,AC—BC=2,.-.AB2+BC2=AC2,

：.(AC-9)2+(AC-2)2=AC2移項得AC2-22AC+85=0,

配方得4。2—224。+121=121—85,(AC-11)2=36,解得AC=17,或AC=5

-.?AC-AB=9>5,.-.AC=17,:.BE+BF>11,故答案為：17.

【點睛】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，兩點之間線段最短，勾股定理的應用及解一

元二次方程，熟知相關的判定與性質及解一元二次方程方法是解題關鍵.

模型4.最值模型-逆等線模型（特殊平行四邊形的逆等線）

模型解讀

特殊的平行四邊形的逆等線模型我們就以矩形為例來研究即可。

條件：已知在矩形ABC。中，AD=a,AB=b,點、E、F是邊BC、2。上的動點,且滿足BE=DF,

求AB+AE的最小值。

模型證明

證明思路：①BE在母488中，以。尸為一邊構造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等;

②即過點A作/EDG=NABE=90。，且DG=AB=6。（構造一邊一角，得全等）；

③構造出△ABEg/kG。尸（SAS）；證出AE=FG-,

@AF+AE=AF+FG,根據(jù)兩點之間，線段最短，連接AG,則AG即為所求，止匕時，A、F、G三點共線；

⑤求AG。先利用相似求出。”和HG（若四邊形為正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出兩

條線段的長度），再利用勾股定理求出AG即可。

模型運用

例1.（2023?山東德州?校考一模）如圖，在菱形ABCD中，ZABC=60°,AB=4,E,尸分別是邊8C和

對角線80上的動點，且=則A￡+AF的最小值為.

BEC

【答案】40

【分析】在3c的下方作NCBT=30。，截取BT,使得BT=AD,連接ET,AT.證明ZViZ)尸也ATOdSAS),

推出AF=￡T,AE+AF=AE+ET,根據(jù)AT求解即可.

【詳解】解：如圖，8c的下方作NCBT=30。，截取2T,使得BT=4D,連接ET,AT.

,??四邊形A8CD是菱形，ZABC=60°,ZADC=ZABC=O)°,ZADF=^ZADC=30a,

■,AD=BT,ZADF=ZTBE=30°,DF=BE,...△AD尸2△TBE(SAS),,-.AF=ET,

ZABT=ZABC+Z.CBT=60°+30°=90°,AB=AD=BT=2,

AT=+B『=G+4,=40,:.AE+AF=AE+ET,

AE+ET>AT,:.AE+AF>4yf2.，?!￡；+AF的最小值為40,故答案為40.

【點睛】本題考查菱形的性質，全等三角形的判定和性質，兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會

添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

例2.(2023?陜西西安?模擬預測)如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,點E、下分別是邊8C和對角線

8。上的例2.動點，且BE=DF,則AE+瓶的最小值是.

A^---------------------

E

27985

-5--

【分析】設點。關于3C的對稱點為G,在BG上截取=連接￡77,可證從而

AF=EH,^^AE+AF=AE+EH>AH,A、X都是固定點，過點H作H0_LAB于點M,結合相似三角

形和勾股定理即可求得，

【詳解】如圖，設點。關于8C的對稱點為G,在BG上截取=連接EH,過點H作于

點跖

,四邊形ABCD是矩形，AB=CD=6,3C=AT>=8,AD//BC,：.ZADF=ZDBC,

VDC=CG,BC1DG,：.BD=BG,:.NDBC=4CBG,：.ZADF=ZHBE,

VDA=BH,DF=BE,：.^ADF=^HBE,：.AF=EH,：.AE+AF=AE+EH>AH,

在RtABCD中，BD=46+G=10,<HM上AB,：.NBHM=/G=/BDC=9Q°—/CBG：.ABHM?GBC,

.BMMHBH.BMMH82454

BM=—,MH=-^,：.AM=AB+BM=6+——=——

''CD~BC~DB'"6-8"1055

在Rt^AMH中，AH=y/AM2+MH2=+］曰=3等,/.AE+AF的最小值是劣等.

故答案為：馬叵生.

5

【點睛】本題主要考查了勾股定理、相似三角