線、面的動點最值鞏固練習

【鞏固練習1]

已知線段AB=12,CD=6,線段CD在直線AB上運動(點A在B,C左側，點C在點D左側).

AMBCND

圖①

AMCBND

圖②

ACDNP

圖③

⑴點M,N分別是線段AC,BD的中點若BC=4,求MN的長；

(2)當CD運動到D點與B點重合時，點P是線段AB延長線上一點，下列兩個結論：①號券是定值；

②看是定值，請作出正確的選擇，并求出其定值.

【鞏固練習2】

數軸上兩個點A,B所對應的數為-8,7,M,N為數軸上的兩點，表示的數分別為m,m+3.

_____

AMONB

圖①

AOB

備用圖

⑴如圖①，若AM=BN,直接寫出M,N點對應的數；

⑵若AN=2BM.求出m的值；

⑶若P為AN的中點，點Q為BM的中點，問當m的值發生變化時，PQ的值是否發生改變？如果不變，求

出PQ的值；如果改變，說明理由.

【鞏固練習3】

如圖,C為線段AB上一點，且AC=2BC,AC的;比BC小5.

(1)求AC,BC的長；

(2)點P從A點出發，以1個單位/秒的速度在線段AB上向B點運動，設運動時間為t秒(t<10),D為PB的中

點,E為PC的中點若CD=|DE,試求點P運動時間t的值；

(3)若P從A點出發，以1個單位/秒的速度在線段AB上向B點運動，同時點Q從B點出發，以《個單位/

秒的速度在AB的延長線上與P點同向運動，運動時間t<30,D為PB的中點F為DQ的中點E在PB上且PE=

[PB,當P,Q兩點運動的過程中，給出下面兩個結論:①DE+DF的值不變;②|DE-DF|的值不變，其中只有一個結

論是正確的，請判斷正確的結論并求其值.

I____________________I__________I

ACB

【鞏固練習4]

如圖，在射線OG上有三點A,B,C,滿足OA=40cm,AB=60cm,BC=10cm,點P從點O出發,沿射線OG以

1cm/s的速度勻速運動，點Q從點C出發沿射線CO勻速運動，其中點P和點Q兩點同時出發，且P運動到

B處時，P,Q停止運動.

OABCG

⑴當RQ相遇時，有PA=2PB,求點Q的運動速度；

⑵若點Q的運動速度為3cm/s,則經過多長時間P,Q兩點相距70cm;

(3)線段MN=10cm(N在M右側),M與A重合線段MN從A點出發，沿射線AG以2cm/s的速度勻速運動，

若點Q的運動速度為3cm/s,且P,Q,M,N同時運動,設運動時間為ts,是否存在這樣的t值使得|MQ-PN|=2OP?若存

在，求出t值；若不存在，說明理由.

【鞏固練習5]

如圖①，已知a,b滿足((a-2)2+\ab+6|=0,c=2a+3b.且有理數a,b,c在數軸上對應的點分別為A,B,C.

⑴則a=,b=,c=;

⑵點D是數軸上A點右側一動點，點E,點F分別為CD,AD中點，當點D運動時，線段EF的長度是否

發生變化？若變化，請說明理由，若不變，請求出其值；

⑶若點A,B,C在數軸上運動，其中點C以每秒1個單位的速度向左運動，同時點A和點B分別以每秒3個

單位和每秒2個單位的速度向右運動，請問：是否存在一個常數m使U1AB-2BC不隨運動時間t的改變而改變?若

存在，請求出m和這個不變化的值；若不存在，請說明理由.

CBOAx

圖①

CBOAx

備用圖

【鞏固練習6】

點A在數軸上對應的數為a,點B對應的數為b,且a,b滿足|a-8|+(/)+6)2=0.

⑴求線段AB的長；

(2)點C在數軸上對應的數為x且x是方程三吆-等=久-一的根，在數軸上是否存在點P,使得PA+PB=PC?

o1Z4

若存在，直接寫出點P對應的數；若不存在，說明理由；

(3)動點P從點A出發，以每秒6個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動；動點Q從點B出發，以每秒4個

單位長度的速度沿數軸向左勻速移動；動點M從點A出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速移動，

設運動時間為t秒，當t<7時，管的值是否發生變化？若不變求出其值；若變化，寫出范圍.

BOA

【鞏固練習7]

在矩形ABCD中，BC=6CD點E,F分別是邊AD、BC上的動點，且AE=CF,連接EF,將矩形ABCD沿EF折

疊，點C落在點G處點D落在點H處.

⑴如圖①，當EH與線段BC交于點P時.求證:PE=PF;

⑵如圖②，當點P在線段CB的延長線上時,GH交AB于點M,求證:點M在線段EF的垂直平分線上；

⑶當AB=5時，點E由點A移動到AD中點的過程中，計算出點G運動的路線長.

【鞏固練習8]

如圖,在菱形ABCD中,/DAB=6(T,AB=2,點E為邊AB上一個動點，延長BA到點F,使AF=AE,且CF、DE

相交于點G.

⑴當點E運動到AB中點時，證明：四邊形DFEC是平行四邊形；

⑵當CG=2時，求AE的長；

(3)當點E從點A開始向右運動到點B時，求點G運動路徑的長度.

【鞏固練習9]

在數學興趣小組活動中，小亮進行數學探究活動.

(DAABC是邊長為3的等邊三角形,E是邊AC上的一點，且AE=1,小亮以BE為邊作等邊三角形BEF,如

圖①，求CF的長；

(2)AABC是邊長為3的等邊三角形,E是邊AC上的一個動點，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF,如圖②，

在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經過的路徑長；

(3)AABC是邊長為3的等邊三角形,M是高CD上的一個動點，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN,如圖③,

在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經過的路徑長；

⑷正方形ABCD的邊長為3,E是邊CB上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為

頂點作正方形BFGH,其中點F、G都在直線AE上,如圖④，當點E到達點B時，點F、G、H與點B重合.則點H

所經過的路徑長為點G所經過的路徑長為

【鞏固練習10]

如圖,四邊形ABCD為矩形,AB=3,BC=4,P、Q均從點B出發，點P以2個單位每秒的速度沿BA-AC的方

向運動，點Q以1個單位每秒的速度沿BC-CD運動，設運動時間為t秒.

⑴求AC的長;

⑵若SBPQ=S,求S關于t的解析式.

【鞏固練習11】

如圖①,E、F是等腰RtAABC的斜邊BC上的兩動點,/EAF=45”D±BC且CD=BE.

⑴求證:△ABE0△ACD;

(2)求證：EF2=BE2+CF2;

⑶如圖②，作AHLBC.垂足為H,設/EAH=a,/FAH=0,不妨設AB=隹請利用⑵的結論證明:當a+B=45。時,

tana+tan/?

tan(a+P)=成立.

1-tanatan^

【鞏固練習12】

如圖，在RSABC中，點P為斜邊BC上一動點，將AABP沿直線AP折疊,使得點B的對應點為B；連接

AB'.BB'.PB'.

備用圖

⑴如圖①，若PB」AC,證明:PB'=AB';

⑵如圖②，若AB=AC,BP=3PC,求cosZB'AC的值；

⑶如圖③，若/ACB=30。,是否存在點P,使得AB=CB：若存在，求此時裳的值；若不存在，請說明理由.

【鞏固練習13】

已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點E是射線BC上的動點，以AE為直角邊在直線BC的上方作

等腰直角三角形AEF,NAEF=90。,設BE=m.

⑴如圖①，若點E在線段BC上運動,EF交CD于點P,AF交CD于點Q,連接CF,

①當山4時，求線段CF的長;

②在APQE中，設邊QE上的高為h,請用含m的代數式表示h,并求h的最大值；

⑵設過BC的中點且垂直于BC的直線被等腰直角三角形AEF截得的線段長為y,請直接寫出y與m的關系

式.

【鞏固練習14】

如圖①，已知ZRPQ=45°,AABC中/ACB=90。,動點P從點A出發以：2遍cm/s的速度在線段AC上向

點C運動,PQ,PR分別與射線AB交于E,F兩點且PELAB,當點P與點C重合時停止運動，如圖②，設點P的

運動時間為xs,ZRPQ與AABC的重疊部分面積為ycm2,y與x的函數關系由Q(0<x<5)和C2(5<x<①兩

段不同的圖象組成.

⑴填空:①當x=5s時,EF=cm;②sinA=:

⑵求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

⑶當y>36s2時，請直談寫出x的取值范圍.

【鞏固練習15】

如圖①,拋物線y=ax2+bx+2經過A(-l,0),B(4,0)兩點與y軸交于點C,連接BC.

⑴求該拋物線的函數表達式；

(2)如圖②，直線1:y=kx+3經過點A,點P為直線1上的一個動點，且位于x軸的上方，點Q為拋物線上的一

個動點，當PQ〃y軸時，作QMLPQ,交拋物線于點M(點M在點Q的右側)，以PQ,QM為鄰邊構造矩形PQMN,

求該矩形周長的最小值；

⑶如圖③，設拋物線的頂點為D，在⑵的條件下，當矩形PQMN的周長取最小值時,拋物線上是否存在點F,

使得/-CBF=NDQM?若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由.

1.⑴當點c在點B右側時，如圖⑴,

；M,N分別為線段AC,BD的中點,

AM=1AC=^(AB+BC)=8,

DN=：BD+BC)=5.

MN=AD-AM-DN=9;

MN

-A'B下

(1)

_M__N_

~A'CB'D

(2)

當點C在點B左側時，如圖⑵，

??,M,N分別為線段AC,BD的中點

AM="1C=1-BC)=4,

BN=”D=g(CD-BC)=1,

???MN=AB+BN-AM=9.

綜上所述，MN的長為9.

⑵①正確.笑詈=2.理由如下：

PA+PB_(PC+i4C)+(PC-CB)_2PC

PC~PC-PC

.,.o二空是定值，定值為2.

2.(1)vAM=BN=2=6,而-8+6=-2,7—6=l,

???M、N點對應的數分別是-2和1；

(2),?AB所對應的數分別是-8、7,M、N所對應的數分別是m、m+3.

AAN=|(m+3)-(-8)|=|m+l11,BM=|7-m|,

①當m<-ll時，有m+ll<0,7-m>0.

.*.AN=|m+ll|=-m-ll,BM=|7-m|=7-m,由AN=2BM得,-m-ll=2(7-m),

解得m=25,

?,.m=25不合題意，舍去.

②當時，有m+H>0,7-mK).

AN=|m+11|=m+11,BM=|7-m|=7-m,由

AMNB

-807

AN=2BM得,m+ll=2(7-m),解得m=l.

③當m>7時，有m+11>0,7-m<0.

AAN=|m+ll|=m+ll,BM=|7-m|=m-7,

由AN=2BM得,m+ll=2(m-7),

解得m=25,

綜上所述：當m=l或m=25時,AN=2BM.

(3)PQ的值不發生改變.

設P、Q表示的數為a、b.

?，點P為AN的中點，

???AP=NP,

①當點N在點A右側時，點A,N表示的數分別為-8,m+3,

AP=a—(—8),NP=(m+3)-a,

cz—(—8)=(TTL+3)—彳導a=2,

同理可得，b=2,

PQ=b—a=2—2=6,

②當點N在點A左側時，同理可得PQ=6,

；.PQ的值不發生改變，恒為6.

3.(1)設8C=X,則AC=2x,

由題意得：-x2x=x-5,

4

解得：x=10,

AC=2x=20,BC—10;

(2)vAP=tf

?e?BP—30—t,

又為PB的中點,.AB=10+20=30,

BD—BP=2,

2，

CD=BD-BC=2-10=2f

???D為PB的中點,E為PC的中點，

1

???DE=-BC=5,

2

又;CD=DEf

10-t3

???-----=2,

2

解得：t=6;

(3)結論①正確.值為：a理由如下：

設運動時間為t,

貝!]AP=t,PB=30-t,BQ=-t,

6

???PE=-PB,D=-PB,

32

.?.DcEl=-InPnB=3-0-—-t,

66'

又為DQ的中點，

DF=?Q=+BQ)=等，

CL30—t,45+tc

???DE+DF=-------1-------=2.

66

4.(1)由題意可知，若P在線段OA上,PA<PB.不合題意舍去；

若P在線段AB上,PA+PB=60

VPA=2PB

APB=20,OP=80

運動時間為t=80s

???點Q的運動速度為為=案=|(cm/s)

oUo

故答案為：久C7H/S)

O

(2)相遇前P,Q相距70cm,得(l+3)t=U0-70

.\t=10

相遇后P,Q相距70cm,得(l+3)t=110+70

.*.t=45

經過10s或45s,P.Q相距70cm;

故答案為：10s或45s

(3)取O為數軸原點，運動ts后M對應的數為40+2t,N對應的數為50+2t,Q對應的數為110-3t,P對應的數

為t,

.*.MQ=|5t-70|,PN=50+t,OP=t

當MQ-PN=2OP時，有|5t-70|-(50+t)=2t

.??t=60或t=|;

當PN-MQ=2OP時，有(50*t)-|5t-70|=2t

；.t=20或t=5

綜上所述，存在這樣的t,t值為1或5s或20s或60s

故答案為：t值為|s或5s或20s或60s

2

5.(1)Vaxb滿足(a-2)+\ab+6|=0,

a—2=0且ab+6=0.

解得a=2,b=-3.

c=2a+3b=-5.

故答案為：2,-3,-5

(2攻口圖，當點D運動時，線段

EF的長度不發生變化，理由如下：:_一㈡

-5-302

點E.點F分別為CD、AD中點

ED=-CD,FD=-AD,

22

illi

???EF=ED-FD=-CD--AD^-AC,=±x7=3.5

2222

當點D運動時，線段EF的長度不發生變化,其值為3.5；

(3)假設存在常數m使得m-AB-2BC不隨運動時間t的改變而改變。

則依題意得:AB=5+t,2BC=4+6t.

所以m-AB-2BC=m(5*t)-(4+6t)=5m+mt-4-6t與t的值無關，即m-6=0,

解得m=6,

6.(1)由題意可知：a=8,b=-6,

???AB=8-(-6)=14;

2x+7x+12x—2

(2)???-------------=x-----,

''3124

x-5,

..?C對應的數為5

當P在B左側時，此時PA>AC,

故不滿足題意，當P在AB之間時，此時PA+PB=AB>PC,

故不滿足題意，

當P在A的右側時，此時PB>PC,

故不滿足題意，

故不存點P使得，PA+PB=PC.

(3)t<7,

/.點P在點Q的右側時，點Q、P、M三點在數軸上的位置依次從左向右,

則有：PQ=8-6t-(-6-4t)=14-2t,=14-|

QA=8—3t—(—6—4。=14+t,

.QP+QP—?.

QM

7.⑴證明：如圖1中,

圖1

:四邊形ABCD是矩形，

AD\\BC,

???Z-DEF=Z.EFB,

由翻折變換可知，4DEF=乙PEF,

???Z-PEF=Z.PFE,

??.PE=PF.

⑵證明：如圖2中，連接AC交EF于0,連接PM,PO.

由折疊的性質可知ED=EH,所以BF=EH,

APE-EH=PF-BF,

；.PB=PH,

ZPHM=ZPBM=90°,PM=PM,

/.RtAPMH^RtAPMB(HL),

.*.PM平分/EPF,

點M在線段EF的垂直平分線上.

(3)如圖3中，由題意，點E由點A移動到AD中點的過程中，點G運動的路徑是圖中弧BC.

ZCBD=30°,

ZABO=ZOAB=60°,

/.△AOB是等邊三角形，

Z.OA=OD=OB=OC=AB=5,ZBOC=120°,

???點G運動的路徑的長=120.71.5180=10371.

故答案為：藍兀.

8.(1)證明：連接DF,CE,如圖所示：

DC

：.AE=AF=-AB,

2

EF=AB=CD,

'.,四邊形ABCD是菱形，

EF\\CD,

:?四邊形DFEC是平行四邊形.

⑵作CH1BH,設AE=FA^m,,如圖所示，

??.四邊形ABCD是菱形，

CD\\EF,

△CDG△FEG,

rn

—=EFFG,

CG

???FG=2m,

在Rt△CBH中，/.CBH=60°,BC=2,

sin60°=—,CH=V3,

BC

cos600=—,BH=1,

BC

在Rt△CF”中，(CF=2+2m,CH=遮,FH=3+m,

CF2=CH2+FH2,

即(2+2m)2=(x/3)2+(3+m)2,

整理得：3m2+2m—8=0,

解得：m1=^fm2=一2(舍去)，

???AE=

3

9.(1)V△ABC、ABEF是等邊三角形，

.\BA=BC,BE=BF,ZABC=ZEBF=60°.

JZABE=ZCBF,

???AABE^ACBF(SAS),

ACF=AE,

VAE=1,

ACF=1;

⑵連接CF,如圖所示：

「△ABC、ABEF是等邊三角形，

???BA二BC,BE=BF,ZABC=ZEBF=60°,ZA=60°,

JZABE=ZCBF,

???AABE^ACBF(SAS),

ACF=AE,ZBCF=ZA=60°,

ZABC=60°,

.\ZBCF=ZABC,

/.CF//AB,

：AABC是邊長為3的等邊三角形，

；.AC=3,

當點E在C處時.CF=AC,

當點E在A處時，點F與C重合，

點F運動的路徑的長=AC=3;

⑶取BC中點H,連接HN,如圖所示:

C

「△ABC是等邊三角形，

；.BC=AB=AC,ZABC=60°,

BH=^AB,

VCDXAB,

???BD=-AB,

2

ABH=BD,

,??△BMN是等邊三角形，

ABM=BN,ZMBN=60°,

???ZDBM=NHBN,

???ADBM^AHBN(SAS),

AHN=DM,ZBHN=ZBDM=90°,

ANH1BC,

??,AABC是邊長為3的等邊三角形，

3

??.BC=3,BD=-

2f

根據勾股定理，得CD=|百，

當點M在C處時，HN=CD=Q

當點M在D處時，點N與H重合,

，點N所經過的路徑的長=CD=32V3.

10.解:⑴：四邊形ABCD為矩形，二N8=90。,在RtA/IBC中,由勾股定理得：AC=VXB2+BC2=

V32+42=5,.'.AC的長為5;

(2)當(0<tW1.5時，如圖1,S=之xBPXBQ=TX2tXt=t?;當1.5<tW4時，如圖2,作PH1BC于

HQ

圖2

PHPH

CP=8—2t,vsinZ.BCA=——

PC8-2tJ

P/7=Y-5=|XBQxPH=ixtx-y)=一毛+?;當4<tW7時，如圖3,點P與點C重

綜上所述：

(t2(0<t<1.5),A|^-------------

S斗9+芍(1.5<tW4),

(2t-8(4<t<7).

B<

圖3

n.(l)證明：???AABC是等腰直角三角形，

AAB=AC,

???ZB=ZACB=45°,

VCDXBC,

JZBCD=90°,

AZACD=ZBCD-ZACB=45°=ZB,iSAABEffiAACD中,

(AB=AC

<ZB=NACD,

[BE=CD

：.AABE^AACD(SAS);

(2)證明：由⑴知1DABE0Z\ACD,

AAE=AD,ZBAE=ZCAD,

ZBAC=90。，

ZEAD=ZCAE+ZCAD=ZCAE+ZBAE=ZBAC=90°

???ZEAF=45°,

JZDAF=NDAE--NEAF=45o=NEAF,在2kAEF與^ADF中,

AE=AD

AEAF=ND4F,

,AF=AF

：.AAEF^AADF(SAS),

???DF=EF,

在RtADCF中，根據勾股定理得，DF2=CF2+CD2,

VCD=BE,

??.EF2=BE2+CF2]

⑶如圖，連接DE,

△ABE△ACD,

AE=AD,(BAE=Z.CAD,

???/LEAD=Z.CAE+/.CAD=Z.CAE+ABAE=^BAC=90°

4DE是等腰直角三角形，

DE=五AE,

當AE取最小值時,DE最小,此時.AE1BC,

AB=AC,angleBAC=90°,_LBC,=8,

AE=-BC=~X8=4,

22

ADE的最小值為V2X4=4V2.

12.(1)證明：???PB」AC,ZCAB=90°,

???PBr\\AB.

：.ZB'PA=ZBAP,

又由折疊可知NBAP=NBAP,

.*.ZB'PA=ZB'AP.

故PB'=AB'.

⑵設AB=AC=a,AC、PB交于點D,如答圖1所示廁4ABC為等腰直角三角形，

BC=y[2a,PC=4a,PB=4a,

由折疊可知，C/

NPB，A=NB=45。，.

又NACB=45。,

???ZPB'A=ZACB,

又NCDP=NBDA,

△CDP八B'DA.

.CD_PD_CP___V2

B'D-DA—B'A4，。

設B'D=h則CD=^b.

4

AD=AC-CD=a—4b,

PD=PBr-B'D=PB—B'D=4a一0

由①”=4得：生券=走.

a-^b4

解得：b=7a.

過點D作DE14B'于點E,則△為等腰直角三角形.

B'E=sin45"xB'D=—b=—x—a=-a

2277

42

AE=ABf-BrE=AB-BfE=a--a=-a.

77

又AD=AC—CD=a——b=a--a--a.

477

3

：,cosAB1AC=cosAD=縹=二=±

A。|a5

(3)存在點P,使得CB'=AB^皿理由如下：

???乙4cB=30。/乙48=90°

BC=2m.

①如答圖2所示，

由題意可知，點次的運動軌跡為以A為圓心、AB為半徑的半圓A.

當P為BC中點時,

PC=BP=AP=AB'=m,c

又乙B=60°,

.'.APAB為等邊三角形.

又由折疊可得四邊形48P9為菱形.

PB'\\AB,

PB'1AC.

X--AP=AB',答圖2

則易知AC為.PB〃的垂直平分線.

故CB'=PC=AB=滿足題意.

此時，

②當點"落在BC上時，如答圖3所示，此時CB'=AB=犯則PB'=|(2m-m)=|m,

-1Q

??.PC=CB'+PBr=m+-m=-m,

22

3

,PC2m3

?,a一標一下

綜上所述，意的值為海

13.(1)①過F作FGLBC于G,連接CF,如圖:

答圖3

,/四邊形ABCD是正方形，ZAEF=90°,

ZBAE=90°-ZAEB=ZFEG,/B=/G=90。,

;等腰直角三角形AEF,

；.AE=EF,

在AABE和AEGF中，

2B=NG

■4BAE=ZFEG,

AE=EF

：.AABE^AEGF(AAS),

1

??.FG=BE=&EG=AB=BC,

AEG-EC=BC-EC,即CG=BE=j,

在RtACGF中，CF=VCG2+FG2=y；

②AABE繞A逆時針旋轉90。，得AADE,過P作PH^EQ于H,如圖:

,/AABE繞A逆時針旋轉90°,得AADE,

AABE^AADE',ZB=ZADE'=90°,ZBAE=ZDAE',ZAEB=ZE',AE=AE',BE=DE',

ZADC+ZADE'=180°,

；.C、D、E共線，

ZBAE+ZEAD=90°,

ZDAE'+ZEAD=90°,

ZEAF=45°,

ZEAF=ZE'AF=45°,

在AEAQ和AENQ中,

,AE=AE,

,AEAQ=/.E'AQ,

、4Q=AQ

：.AEAQ^AE'AQ(SAS),

JZE*=ZAEQ,EQ=E'Q,

JZAEB=NAEQ,EQ=DQ+DE=DQ+BE,

???ZQEP=90°-ZAEQ=90°-ZAEB=ZCEP,即EF是NQEC的平分線，

又NC=90。,PH_LEQ,???PH=PC,

VZBAE=ZCEP,ZB=ZC=90°,

???AABE^AECP,

CPCE1—Tfl

—=-，BPm=-----,

BEAB1

CP=m(l-m),

???PH=h=—m2+m=—(m—|)+/

??.m=婀,h最大值是

⑵①當0WTHW|時，如圖：

ZB=ZHGE=90°,

AAABE^AEGH,

HGEG

一=一,RnnJm=--,

BEAB1

71

???HG=—mz+-m,

2

：MG〃CD,G為BC中點,

；.MN為AADQ的中位線,

MN=|D<2,

由(1)知:EQ=DQ+BE,

設DQ=x,則EQ=x+m,CQ=l-x,

RtAEQC中,EC2+CQ2=EQ2,

(1—m)2+(1—%)2=(%+m)2,

解得人肅

??1-771

?MN=2(1+771)，

y=NH=MG-HG-MN

=1

11-m

=1——m—+m2,

22(l+m)

②當相>泄，如圖：

HGGEHG

一BRPn一=m,

ABBE,1

??.HG=

2m1

同①可得MN=?Q=技舄

??.HN=MG-HG-MN

=1y---2--m-----l------1----m---

2m2(l+m)

_1+m2

2m2+2m,

1+m2

v=---------.

)2m2+2m

(0<m<濰上所述，(根)》

14.(1)當％=5時，如圖3中，點F與B重合.

???乙RPQ=45°,E1AB,

???乙PEF=90%

???乙EPF=乙PFE=45。,

??.EF=EPf

由題意\-EF-PE=50,

.?.EF=PE=10(cm),

??,AP=5x2V5=lOVSCcm),

.410v/5

sinA=-P^7E-=-------==

PA10A/55

故答案為：10,內.

(2)當(0<xW5時，重疊部分是△PEF,

_2

y=|x(gx2遮%)=2x2

如圖3中，在RtAAPE中,

2

AE=yJPA2-PE2=(10